Scale logaritmiche: pH, decibel, terremoti, note musicali e grafici semilogaritmici

Il pH di un detersivo, i decibel di un concerto, la magnitudo di un terremoto, i tasti di un pianoforte: dietro tutti questi numeri c’è il logaritmo. Una scala logaritmica descrive grandezze che variano su molti ordini di grandezza: la ritroverai in Fisica 1, in Chimica e nei grafici di laboratorio. In questa pagina vediamo l’idea di scala logaritmica, il pH, i decibel, la magnitudo dei terremoti e delle stelle, la tastiera del pianoforte, quante cifre ha un numero, i grafici semilogaritmici e bilogaritmici, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Quasi tutto si ricava dalla definizione; le proprietà dei logaritmi, del prossimo capitolo, compaiono solo come anteprima.

L’idea: passi uguali, rapporti uguali

Su un righello le tacche 0, 1, 2, 3 sono equidistanti: passi uguali sono addizioni uguali. Su una scala logaritmica sono equidistanti 1, 10, 100, 1000: passi uguali sono moltiplicazioni uguali.

Siccome $\log_{10} 10^n = n$, moltiplicare $x$ per 10 sposta la sua tacca di una decade. E vale per ogni fattore: moltiplicare per $k > 0$ sposta la tacca sempre dello stesso tratto, $\log_{10} k$, qualunque sia $x$.

Perché è vero. Poniamo $L = \log_{10} x$ e $c = \log_{10} k$, cioè $x = 10^L$ e $k = 10^c$. Per le proprietà delle potenze $kx = 10^{L + c}$: la tacca di $kx$ sta in $L + c$. È un’anteprima della proprietà del prodotto, che vedrai nelle proprietà dei logaritmi.

Dentro una decade le tacche si stringono verso destra: $\log_{10} 2 \approx 0{,}301$, $\log_{10} 3 \approx 0{,}477$, $\log_{10} 5 \approx 0{,}699$. Due controlli: siccome $2 \cdot 5 = 10$, le tacche di 2 e di 5 sommano a una decade, $0{,}301 + 0{,}699 = 1$; e il punto a metà tra 1 e 10 è $10^{0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$, non 5,5. I raddoppi 1, 2, 4, 8, … invece sono equidistanti, a passi di 0,301: una progressione geometrica diventa una progressione aritmetica di tacche.

A cosa serve? A rappresentare insieme valori lontanissimi, come nella scala delle basse temperature del terzo principio della termodinamica, dove ogni tacca vale un fattore 10: su un righello normale da 0 a 300 K tutti i valori sotto qualche kelvin si schiaccerebbero sullo zero. Il logaritmo è strettamente crescente, quindi la scala conserva l’ordine. Ma lo zero e i negativi non ci sono: per $x \to 0^+$ la tacca scappa verso $-\infty$.

Il pH

Il pH misura quanto è acida una soluzione acquosa. Si definisce con la concentrazione degli ioni idrogeno, in moli per litro:

$$\mathrm{pH} = -\log_{10}\, [\mathrm{H}^+]$$

La formula inversa viene dalla definizione di logaritmo: $[\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}}$. Il segno meno rende positivi i valori, perché le concentrazioni sono di solito minori di 1 mol/L; il prezzo è che più ioni H⁺ vogliono dire pH più basso.

Il riferimento è l’acqua pura: a 25 °C contiene $[\mathrm{H}^+] = 1{,}0 \cdot 10^{-7}$ mol/L, quindi ha pH 7, il valore neutro. Sotto 7 la soluzione è acida, sopra è basica. Ma il prodotto ionico dell’acqua, $K_w = [\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-]$, cresce con la temperatura: a 80 °C l’acqua pura è neutra a pH 6,3 circa.

Il pOH

Con gli ioni idrossido si definisce il pOH, $\mathrm{pOH} = -\log_{10}[\mathrm{OH}^-]$. A 25 °C si ha $K_w = 1{,}0 \cdot 10^{-14}$, e allora

$$\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14 \quad (\text{a } 25\ ^\circ\mathrm{C})$$

Perché è vero. Con $[\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}}$ e $[\mathrm{OH}^-] = 10^{-\mathrm{pOH}}$, il prodotto ionico diventa

$$10^{-\mathrm{pH}} \cdot 10^{-\mathrm{pOH}} = 10^{-(\mathrm{pH} + \mathrm{pOH})} = 10^{-14}$$

e due potenze di 10 uguali hanno lo stesso esponente.

Calcolare il pH, e ritorno

Esempio 1. Se $[\mathrm{H}^+] = 6{,}3 \cdot 10^{-4}$ mol/L:

$$\mathrm{pH} = -\log_{10}\left(6{,}3 \cdot 10^{-4}\right) \approx 3{,}20$$

Il valore sta tra 3 e 4, come la concentrazione sta tra $10^{-4}$ e $10^{-3}$. La parte intera del pH dice solo l’esponente, la precisione sta nei decimali: si danno tanti decimali quante sono le cifre significative della concentrazione, qui due.

Esempio 2. L’acqua di mare ha pH circa 8,1, quindi $[\mathrm{H}^+] = 10^{-8{,}1} \approx 8 \cdot 10^{-9}$ mol/L. Secondo la NOAA, dall’inizio dell’era industriale il pH superficiale degli oceani è sceso di circa 0,1, e questo vuol dire un’acidità cresciuta di circa il 30%. I conti tornano: se $[\mathrm{H}^+]$ si moltiplica per 1,3, la sua tacca si sposta di $\log_{10} 1{,}3 \approx 0{,}11$, e il pH, che ha il segno meno, cala di circa 0,1.

I decibel

L’orecchio sente intensità da circa $10^{-12}$ W/m² fino a 1 W/m², dove il suono diventa doloroso: un rapporto di mille miliardi. Il livello sonoro si misura quindi in decibel (dB):

$$L = 10 \log_{10} \frac{I}{I_0}$$

$I$ è l’intensità, la potenza che attraversa un metro quadrato, e $I_0 = 10^{-12}$ W/m² è circa la soglia di udibilità a 1000 Hz, che vale 0 dB. Il bel è il logaritmo decimale del rapporto, il decibel la sua decima parte: ecco il 10 davanti. Formula inversa: $I = I_0 \cdot 10^{L/10}$.

Livello	Esempio tipico
20 dB	sussurro a 1 m
60 dB	conversazione
70 dB	traffico intenso
100 dB	fabbrica rumorosa
120 dB	concerto rock, dolore
140 dB	jet a 30 m

Dalla formula inversa, +10 dB vuol dire intensità per 10: il traffico, a 70 dB, ha un’intensità 10 volte quella di una conversazione.

Più sorgenti: si sommano le intensità

Sorgenti indipendenti sommano le intensità, non i decibel. Con $n$ sorgenti uguali di livello $L$ l’intensità si moltiplica per $n$, e la tacca si sposta di $\log_{10} n$:

$$L_n = L + 10 \log_{10} n$$

Due sorgenti aggiungono $10 \log_{10} 2 \approx 3{,}01$ dB, dieci esattamente 10 dB: due voci da 60 dB fanno circa 63 dB, non 120.

Ecco perché il NIOSH, l’istituto statunitense per la sicurezza sul lavoro, raccomanda al massimo 85 dB(A) per 8 ore al giorno e dimezza il tempo ogni 3 dB in più: 4 ore a 88 dB(A), 2 a 91, 15 minuti a 100. Con +3 dB l’intensità raddoppia, e la stessa energia arriva all’orecchio in metà tempo. La (A) indica una pesatura che imita la sensibilità dell’orecchio.

Allontanarsi dalla sorgente

Per una sorgente puntiforme in campo libero, all’aperto e senza pareti che riflettono, l’intensità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza. A distanza doppia diventa un quarto, e il livello cala di $10 \log_{10} 4 \approx 6{,}02$ dB. In generale, da $r_1$ a $r_2$ l’intensità si moltiplica per $\left(r_1/r_2\right)^2$ e, portando l’esponente davanti (un’anteprima delle proprietà dei logaritmi):

$$L_2 = L_1 - 20 \log_{10} \frac{r_2}{r_1}$$

Per rapporti di tensioni o di pressioni, che al quadrato sono proporzionali alla potenza, di solito si usa $20 \log_{10}$ del rapporto.

La magnitudo dei terremoti

Nel 1935 Charles Richter definì la magnitudo dei terremoti californiani: il logaritmo decimale dell’ampiezza massima registrata da un sismografo di un tipo preciso, entro 600 km, con una correzione per la distanza. Un grado in più vuol dire oscillazioni registrate 10 volte più ampie.

Oggi si usa la magnitudo momento $M_w$, di Thomas Hanks e Hiroo Kanamori (1979). Parte dal momento sismico $M_0$, in N·m, che misura la «taglia» fisica del terremoto: dipende dalla rigidità delle rocce, dall’area della faglia e da quanto scorrono le due parti. Nella forma standard dell’IASPEI, l’associazione internazionale di sismologia:

$$M_w = \frac{2}{3}\left(\log_{10} M_0 - 9{,}1\right)$$

La scala si accorda con quelle precedenti dove queste funzionano, ma vale per tutte le magnitudo, anche per i terremoti più forti. La forma originale del 1979, scritta per $M_0$ in dyne·cm, dà valori più alti di circa 0,03: le differenze tra due terremoti non cambiano. Dalla definizione di logaritmo:

$$M_0 = 10^{1{,}5\,M_w + 9{,}1}\ \text{N·m}$$

Un grado in più aumenta l’esponente di 1,5: il momento sismico si moltiplica per $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$, e l’energia liberata, secondo l’USGS, per circa 32.

Esempio 3. Il terremoto di Amatrice del 24 agosto 2016 ebbe magnitudo momento 6,0; quello di Norcia del 30 ottobre 6,5, il più forte registrato in Italia dall’inizio degli anni Ottanta (dati INGV). Il rapporto dei momenti sismici è

$$\frac{10^{18{,}85}}{10^{18{,}1}} = 10^{0{,}75} \approx 5{,}6$$

Mezzo grado vale più di un fattore cinque.

La magnitudo delle stelle

Gli astronomi usano una scala logaritmica rovesciata. Ipparco divideva le stelle in sei classi, dalla «prima grandezza», le più brillanti, alla «sesta», le più deboli visibili a occhio nudo. Nel 1856 Norman Pogson fissò la regola moderna: 5 magnitudini corrispondono esattamente a un fattore 100 nel flusso luminoso $F$ che arriva a noi. Una magnitudine vale $\sqrt[5]{100} = 10^{0{,}4} \approx 2{,}512$, e per due stelle

$$m_1 - m_2 = -2{,}5 \log_{10} \frac{F_1}{F_2}$$

Per il segno meno, più una stella è brillante, più la sua magnitudo è piccola, anche negativa: Vega ha circa 0, Sirio circa $-1{,}5$, il Sole $-26{,}7$. Dalla definizione di logaritmo $\frac{F_1}{F_2} = 10^{0{,}4\,(m_2 - m_1)}$: tra Sirio e una stella di magnitudo 6, al limite della vista, il fattore è $10^{0{,}4 \cdot 7{,}5} = 10^3 = 1000$.

La tastiera del pianoforte

Due note a un’ottava di distanza hanno frequenze una doppia dell’altra. Il riferimento è il La sopra il Do centrale, a 440 Hz per la norma ISO 16. Nel temperamento equabile l’ottava è divisa in 12 semitoni uguali: ognuno moltiplica la frequenza per lo stesso fattore $r$, e dodici fanno un’ottava:

$$r^{12} = 2 \iff r = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595$$

La nota $n$ semitoni sopra il La ha frequenza $440 \cdot 2^{n/12}$ Hz: il Do centrale, 9 semitoni sotto, ha circa 261,6 Hz. Al contrario, i semitoni tra due frequenze vengono dalla definizione di logaritmo:

$$2^{n/12} = \frac{f_2}{f_1} \iff n = 12 \log_2 \frac{f_2}{f_1}$$

Con la calcolatrice si usa il cambiamento di base, $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$. I musicisti usano anche il cent, un centesimo di semitono: $1200 \log_2 \frac{f_2}{f_1}$.

I tasti sono equidistanti, le frequenze si moltiplicano: la tastiera è un asse logaritmico in base 2. Gli 88 tasti vanno dal La a 27,5 Hz al Do a circa 4186 Hz, e infatti $12 \log_2 \frac{4186}{27{,}5} \approx 87$ semitoni. In pratica gli accordatori si scostano un poco dal temperamento equabile agli estremi.

Quante cifre ha un numero

Il logaritmo decimale conta le cifre. Serve la parte intera inferiore $\lfloor x \rfloor$, il più grande intero minore o uguale a $x$: $\lfloor 30{,}1 \rfloor = 30$ e $\lfloor 3 \rfloor = 3$.

Perché è vero. $N$ ha $k$ cifre quando $10^{k-1} \leq N < 10^k$: i numeri di tre cifre vanno da 100 compreso a 1000 escluso. Il logaritmo decimale e la sua inversa $10^x$ sono strettamente crescenti, quindi

$$\begin{gathered} 10^{k-1} \leq N < 10^k \\ {} \iff k - 1 \leq \log_{10} N < k \end{gathered}$$

cioè $\lfloor \log_{10} N \rfloor = k - 1$.

Esempio 4. Con la proprietà che porta l’esponente davanti, anticipata nelle equazioni esponenziali con i logaritmi:

$$\log_{10} 2^{100} = 100 \log_{10} 2 \approx 30{,}103$$

Quindi $2^{100}$ ha 31 cifre. La parte dopo la virgola, la mantissa, dà le prime cifre:

$$\begin{gathered} 2^{100} \approx 10^{30{,}103} = 10^{0{,}103} \cdot 10^{30} \\ {} \approx 1{,}27 \cdot 10^{30} \end{gathered}$$

Infatti $2^{100}$ = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376.

Tre cifre, quante cifre? Il numero $9^{9^9}$ si scrive con tre cifre. Le torri di potenze si calcolano dall’alto, quindi l’esponente di 9 è $9^9 = 387\,420\,489$. Con la stessa proprietà:

$$\begin{gathered} \log_{10} 9^{9^9} = 387\,420\,489 \cdot \log_{10} 9 \\ {} \approx 369\,693\,099{,}6316 \end{gathered}$$

Il numero ha quindi 369 693 100 cifre, e dalla mantissa, $10^{0{,}6316} \approx 4{,}28$, comincia con 428. Qui però l’errore di $\log_{10} 9$ viene moltiplicato per 387 420 489: con nove decimali, 0,954 242 509, il conto torna; con 0,95424 il prodotto verrebbe circa 369 692 127, e si sbaglierebbero quasi mille cifre.

I grafici in scala logaritmica

Il grafico semilogaritmico

In un grafico semilogaritmico l’asse $x$ è normale e l’asse $y$ è logaritmico: l’altezza di un punto è $\log_{10} y$. Si usa per dati che cambiano di molti ordini di grandezza, come nella crescita e decadimento esponenziale.

Perché è vero. Poniamo $q = \log_{10} C$ e $m = \log_{10} a$, cioè $C = 10^q$ e $a = 10^m$. Con le proprietà delle potenze:

$$\begin{gathered} y = 10^q \cdot \left(10^m\right)^x = 10^{q + m x} \\ \log_{10} y = q + m x \end{gathered}$$

una retta nel piano $(x, \log_{10} y)$. Vale anche il viceversa: se $\log_{10} y = q + mx$, allora $y = 10^q \cdot \left(10^m\right)^x$ è un esponenziale. Per $y = 2^x$, nella figura, 4 passi in orizzontale fanno salire di $4 \cdot 0{,}301 \approx 1{,}2$ decadi, cioè di un fattore $2^4 = 16$.

Come si legge la pendenza.

1. Prendi due punti della retta, $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, lontani tra loro.
2. Calcola la pendenza con i logaritmi dei valori:

$$m = \frac{\log_{10} y_2 - \log_{10} y_1}{x_2 - x_1}$$

3. Il fattore per ogni unità di $x$ è $10^m$.
4. Con $m > 0$ il tempo di raddoppio $T$ risolve $10^{mT} = 2$, quindi $T = \frac{\log_{10} 2}{m}$; con $m < 0$ il tempo di dimezzamento è $\frac{\log_{10} 2}{|m|}$. Una decade si percorre in $\frac{1}{|m|}$.

Il grafico bilogaritmico

Con entrambi gli assi logaritmici il grafico è bilogaritmico, e diventano rette le potenze. Prendiamo $y = C \cdot x^k$ con $C > 0$ e $x > 0$, e poniamo $u = \log_{10} x$, $q = \log_{10} C$:

$$\begin{gathered} y = 10^q \cdot \left(10^u\right)^k = 10^{q + k u} \\ \log_{10} y = q + k \log_{10} x \end{gathered}$$

È una retta di pendenza $k$: l’esponente si legge come pendenza. Un esempio è la terza legge di Keplero: il quadrato del periodo $T$ di un pianeta è proporzionale al cubo della distanza media $d$ dal Sole, cioè $T = C \cdot d^{3/2}$. Con i dati del Planetary Fact Sheet della NASA gli otto pianeti stanno su una retta di pendenza 3/2: quella che li approssima meglio ha pendenza 1,498.

In breve: retta in scala semilogaritmica, esponenziale; retta in scala bilogaritmica, potenza.

Un po’ di storia

Nel 1860 Gustav Fechner, negli Elementi di psicofisica, propose che la sensazione cresca come il logaritmo dello stimolo. Il pH lo introdusse nel 1909 il chimico danese Søren Sørensen, al laboratorio Carlsberg di Copenaghen. Il bel prende il nome da Alexander Graham Bell: nel 1923 la rete telefonica Bell adottò un’unità in cui un rapporto di potenze vale dieci volte il suo logaritmo decimale, chiamata decibel alla fine del decennio. Delle tavole di Nepero e Briggs parliamo nelle proprietà dei logaritmi.

Gli errori più comuni

• Sommare i decibel. Due sorgenti da 60 dB fanno circa 63 dB: si sommano le intensità.
• Confrontare due pH con un rapporto. Tra pH 4 e pH 8 c’è un fattore $10^4$ nella concentrazione di H⁺, non 2.
• Dimenticare il segno meno del pH. Con $[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}$ mol/L il pH è 3, non $-3$.
• Usare 7 come neutro a ogni temperatura. Il 7 e la relazione $\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14$ valgono a 25 °C.
• Leggere un grado di magnitudo come «un po’ di più». È un fattore 31,6 nel momento sismico; e la magnitudo non è l’intensità.
• Calcolare la pendenza con i valori invece che con i logaritmi. Su un asse logaritmico da 10 a 1000 si sale di 2 decadi, non di 990.
• Contare le cifre arrotondando il logaritmo per eccesso. Sbaglia sulle potenze di 10: $\log_{10} 1000 = 3$, ma 1000 ha 4 cifre.
• Cercare lo zero su un asse logaritmico. Non c’è: valori nulli o negativi non si rappresentano.

Esercizi svolti

1. Il pH dell’aceto e quello della pioggia

Testo. a) Un aceto ha $[\mathrm{H}^+] = 1{,}6 \cdot 10^{-3}$ mol/L: qual è il suo pH? b) Un campione di pioggia ha pH 5,60: quanto vale $[\mathrm{H}^+]$? c) In un secondo campione il pH è 5,30: come cambia $[\mathrm{H}^+]$?

a) Dalla definizione, con due decimali come le due cifre significative del dato:

$$\mathrm{pH} = -\log_{10}\left(1{,}6 \cdot 10^{-3}\right) \approx 2{,}80$$

b) Con la formula inversa:

$$[\mathrm{H}^+] = 10^{-5{,}60} \approx 2{,}5 \cdot 10^{-6} \text{ mol/L}$$

c) Ora $[\mathrm{H}^+] = 10^{-5{,}30} \approx 5{,}0 \cdot 10^{-6}$ mol/L, e il rapporto è

$$\frac{10^{-5{,}30}}{10^{-5{,}60}} = 10^{0{,}30} \approx 2{,}0$$

Un calo di appena 0,3 raddoppia gli ioni H⁺, perché $0{,}30 \approx \log_{10} 2$: anche pochi decimali di pH contano.

2. Due tosaerba e un passo indietro

Testo. Un tosaerba, a 2 m, produce 88 dB; consideralo una sorgente puntiforme in campo libero. a) Che livello si misura a 2 m da due tosaerba uguali, vicini tra loro? b) A che distanza da un solo tosaerba il livello scende a 70 dB?

a) L’intensità raddoppia:

$$L_2 = 88 + 10 \log_{10} 2 \approx 91{,}0 \text{ dB}$$

Se i livelli sono in dB(A), per il NIOSH il limite giornaliero passa da 4 ore a 2.

b) Con la formula delle distanze e $r_1 = 2$ m:

$$\begin{gathered} 88 - 20 \log_{10} \frac{r}{2} = 70 \\ \log_{10} \frac{r}{2} = \frac{18}{20} = 0{,}9 \end{gathered}$$

Quindi $\frac{r}{2} = 10^{0{,}9} \approx 7{,}94$ e $r \approx 15{,}9$ m. Controllo: a distanza 7,94 volte maggiore l’intensità diventa $7{,}94^2 \approx 63$ volte più piccola, e $10 \log_{10} 63 \approx 18$ dB.

3. Norcia e Tōhoku

Testo. Il terremoto di Norcia del 2016 ebbe magnitudo momento 6,5 secondo l’INGV; quello di Tōhoku, in Giappone, l’11 marzo 2011, 9,1 secondo l’USGS. a) Calcola i due momenti sismici. b) Quanti terremoti come quello di Norcia servirebbero per eguagliare Tōhoku? c) Di quanto cresce la magnitudo se il momento sismico raddoppia?

a) Gli esponenti di $M_0 = 10^{1{,}5\,M_w + 9{,}1}$ N·m sono

$$\begin{gathered} 1{,}5 \cdot 6{,}5 + 9{,}1 = 18{,}85 \\ 1{,}5 \cdot 9{,}1 + 9{,}1 = 22{,}75 \end{gathered}$$

quindi $M_0 \approx 7{,}1 \cdot 10^{18}$ N·m per Norcia e $M_0 \approx 5{,}6 \cdot 10^{22}$ N·m per Tōhoku.

b) Il rapporto è $10^{22{,}75 - 18{,}85} = 10^{3{,}9} \approx 7900$: circa ottomila terremoti come quello di Norcia, con soli 2,6 gradi di differenza.

c) Il nuovo momento è $2 M_0$. Scriviamo $2 = 10^{\log_{10} 2}$:

$$\begin{gathered} 10^{1{,}5\,M_w' + 9{,}1} = 10^{\log_{10} 2} \cdot 10^{1{,}5\,M_w + 9{,}1} \\ 1{,}5\,M_w' = 1{,}5\,M_w + \log_{10} 2 \end{gathered}$$

Quindi $M_w' - M_w = \frac{2}{3} \log_{10} 2 \approx 0{,}20$: raddoppiare il momento sismico aggiunge solo due decimi di magnitudo.

4. Le cifre di 2 e di 5 alla 2026

Testo. Quante cifre hanno $2^{2026}$ e $5^{2026}$, e con quali cifre cominciano? Spiega perché in tutto le cifre sono 2027.

Con la proprietà della potenza, in anteprima dalle proprietà dei logaritmi:

$$\begin{gathered} \log_{10} 2^{2026} = 2026 \log_{10} 2 \approx 609{,}887 \\ \log_{10} 5^{2026} = 2026 \log_{10} 5 \approx 1416{,}113 \end{gathered}$$

Quindi $2^{2026}$ ha 610 cifre e $5^{2026}$ ne ha 1417. Dalle mantisse, $10^{0{,}887} \approx 7{,}70$ e $10^{0{,}113} \approx 1{,}30$: i numeri sono circa $7{,}70 \cdot 10^{609}$ e $1{,}30 \cdot 10^{1416}$. Controllo: $7{,}70 \cdot 1{,}30 \approx 10$, e infatti $2^{2026} \cdot 5^{2026} = 10^{2026}$.

Il totale: siccome $\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = 1$, i due logaritmi sommano a 2026. Nessuno dei due è intero, perché né $2^{2026}$ né $5^{2026}$ è una potenza di 10, quindi le loro parti decimali sommano esattamente a 1, e le parti intere a $2026 - 1 = 2025$. Le cifre sono $2025 + 2 = 2027$, come conferma il calcolo esatto.

5. Una quinta naturale

Testo. Due note hanno frequenze 440 Hz e 660 Hz, in rapporto $\frac{3}{2}$: una «quinta naturale». Quanti semitoni e quanti cent le separano? Che frequenza ha la quinta del pianoforte, 7 semitoni sopra i 440 Hz?

Con la formula dei semitoni e il cambiamento di base:

$$n = 12 \log_2 \frac{3}{2} = 12 \cdot \frac{\ln 1{,}5}{\ln 2} \approx 7{,}02$$

cioè circa 701,96 cent. La quinta del pianoforte ha 7 semitoni esatti:

$$f = 440 \cdot 2^{7/12} \approx 659{,}26 \text{ Hz}$$

La differenza è di circa 1,96 cent. È il prezzo del temperamento equabile: $2^{7/12} = \frac{3}{2}$ vorrebbe dire $2^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^{12}$, cioè $2^{19} = 3^{12}$, impossibile perché il primo numero è pari e il secondo dispari.

6. Da esame: la pendenza di un grafico semilogaritmico

Testo. In un grafico semilogaritmico in base 10, i casi di un’epidemia nelle prime settimane stanno su una retta che passa per $(0;\ 40)$ e $(14;\ 1000)$, con il tempo $t$ in giorni. a) Trova la pendenza e il modello. b) Di che percentuale crescono i casi ogni giorno, e in quanto tempo raddoppiano? c) Allo stesso ritmo, quando si arriverebbe a 10 000 casi?

a) La pendenza si calcola con i logaritmi dei valori:

$$\begin{gathered} m = \frac{\log_{10} 1000 - \log_{10} 40}{14 - 0} \\ {} \approx \frac{3 - 1{,}6021}{14} \approx 0{,}0999 \end{gathered}$$

per giorno. La retta è $\log_{10} y = \log_{10} 40 + m\,t$, quindi $y = 40 \cdot 10^{m t} \approx 40 \cdot 1{,}258^{\,t}$.

b) Ogni giorno i casi si moltiplicano per $10^{m} \approx 1{,}258$: circa il 26% in più. Il tempo di raddoppio è

$$T = \frac{\log_{10} 2}{m} \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0999} \approx 3{,}0 \text{ giorni}$$

c) Serve $\log_{10} y = 4$:

$$t = \frac{4 - \log_{10} 40}{m} \approx \frac{2{,}398}{0{,}0999} \approx 24{,}0$$

Circa al giorno 24. Controllo: una decade richiede $\frac{1}{m} \approx 10$ giorni, e da 1000 a 10 000 c’è una decade dopo il giorno 14. In un’epidemia vera la crescita poi rallenta e i punti si piegano sotto la retta.

In sintesi

• Scala logaritmica: $x > 0$ sta in $\log_{10} x$; moltiplicare per $k$ sposta sempre di $\log_{10} k$.
• $\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]$, $[\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}}$; a 25 °C il neutro è 7 e $\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14$.
• $L = 10 \log_{10} \frac{I}{I_0}$, $I_0 = 10^{-12}$ W/m²; $n$ sorgenti uguali aggiungono $10 \log_{10} n$ dB; a distanza doppia da una sorgente puntiforme, $-6$ dB.
• $M_w = \frac{2}{3}\left(\log_{10} M_0 - 9{,}1\right)$: un grado in più, momento sismico per 31,6.
• Stelle: 5 magnitudini sono un fattore 100, e più luce vuol dire magnitudo più piccola.
• Semitoni tra $f_1$ e $f_2$: $12 \log_2 \frac{f_2}{f_1}$; i cent sono 100 volte tanti.
• Un intero $N \geq 1$ ha $\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1$ cifre.
• $y = C a^x$ è una retta in scala semilogaritmica, di pendenza $\log_{10} a$; $y = C x^k$ in scala bilogaritmica, di pendenza $k$.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulla funzione logaritmica.