Espressioni con i logaritmi: metodo, esempi svolti, basi diverse ed esercizi

Calcolare $\log_3 6 + \log_3 15 - \log_3 10$ senza calcolatrice, semplificare $8^{\log_4 5}$, esprimere $\log_{12} 18$ sapendo che $\log_2 3 = a$: sono le espressioni con i logaritmi, l’esercizio che mette insieme tutte le proprietà dei logaritmi e il cambiamento di base. Le trovi nei test d’ingresso, nei precorsi e negli esercizi di Analisi 1, e le stesse mosse servono poi per le equazioni logaritmiche, i domini e i limiti. In questa pagina vediamo le regole da tenere a portata di mano, il metodo in tre passi con la scaletta completa, quattordici esempi svolti dal più semplice al più insidioso (stessa base, radici, basi diverse, logaritmi all’esponente, logaritmi annidati, $\ln$ ed $e$, logaritmi di una somma), i logaritmi decimali ricavati da $\log_{10} 2$ e $\log_{10} 3$, le espressioni con un parametro, i confronti senza calcolatrice, due identità con le lettere, le semplificazioni in cui il dominio cambia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le regole che servono

Tutto quello che useremo sta in questa tabella. Le condizioni valgono per ogni riga: le basi $a$ e $c$ sono positive e diverse da 1, gli argomenti $x$, $y$ e $b$ sono positivi, l’esponente $k$ è un numero reale qualsiasi (diverso da zero quando sta nella base); nello scambio serve anche $b \neq 1$, perché $b$ diventa una base.

Regola	Formula
prodotto	$\log_a(xy) = {\log_a x + \log_a y}$
quoziente	$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
potenza	$\log_a x^k = k \log_a x$
cambiamento di base	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
base potenza	$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$
base reciproca	$\log_{1/a} b = -\log_a b$
scambio	$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$
definizione	$a^{\log_a b} = b$ e $\log_a a^k = k$

Le prime tre sono dimostrate nelle proprietà dei logaritmi, le quattro successive nel cambiamento di base; l’ultima riga è la definizione di logaritmo letta nei due versi.

Il metodo in tre passi

Davanti a un’espressione il rischio è applicare regole a caso e girare in tondo. Il metodo ha tre passi centrali, preceduti e seguiti da due controlli. Ecco la scaletta:

1. Condizioni di esistenza (solo se ci sono lettere). Scrivi subito per quali valori esistono tutti i logaritmi: argomenti positivi, basi positive e diverse da 1. Il risultato varrà solo lì.
2. Stessa base. Se le basi sono diverse, portale a una base comune. Se sono potenze dello stesso numero (4, 8 e $\frac{1}{2}$ sono potenze di 2), scegli quel numero; altrimenti usa il cambiamento di base, di solito in base $e$.
3. Sviluppa o comprimi. Porta i coefficienti dentro come esponenti e riunisci somme e differenze in un unico logaritmo; oppure, se ogni pezzo è già semplice, spezza.
4. Riconosci la potenza della base. Scrivi l’argomento come $a^k$ e leggi $\log_a a^k = k$; se il logaritmo sta all’esponente, punta a $a^{\log_a b} = b$.
5. Controlla. Una stima o la calcolatrice ti dicono subito se hai sbagliato un segno o una frazione.

I passi 2, 3 e 4 sono il metodo in tre passi vero e proprio. Non sempre servono tutti, ma averli in mente ti dice sempre qual è la prossima domanda da farti, come nel diagramma.

E questa è la tabella delle mosse più frequenti, da consultare quando non sai da dove partire.

Situazione	Mossa	Esempio
basi potenze di un numero	base comune	$\log_{27} x = \frac{1}{3}\log_3 x$
basi senza legami	cambiamento di base	$\log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$
base tra 0 e 1	base reciproca	$\log_{1/3} x = -\log_3 x$
coefficiente davanti	diventa esponente	$3 \log_2 5 = \log_2 125$
somma o differenza	prodotto o quoziente	$\log_6 3 + \log_6 12 = 2$
numero da solo	scrivilo come logaritmo	$2 = \log_3 9$
quoziente di logaritmi	è un logaritmo	$\frac{\ln 32}{\ln 4} = \log_4 32$
logaritmo all’esponente	$a^{\log_a b} = b$	$25^{\log_5 3} = 9$
logaritmo di una somma	calcola o raccogli	$\log_2 {(8 + 8)} = 4$

Esempi con la stessa base

Esempio 1 (somme e differenze). $\log_3 6 + \log_3 15 - \log_3 10$.

Le basi sono uguali e non ci sono coefficienti: si comprime subito. La somma porta il 15 al numeratore, la differenza porta il 10 al denominatore:

$$\log_3 \frac{6 \cdot 15}{10} = \log_3 9 = 2$$

Nessuno dei tre logaritmi è un numero «bello» ($\log_3 6 \approx 1{,}63$), ma la loro combinazione sì: è il segnale che le proprietà sono la strada giusta.

Esempio 2 (coefficienti). $\frac{1}{2}\log_2 36 - \log_2 3 + \log_2 4$.

Prima i coefficienti: $\frac{1}{2}$ entra come radice, $\frac{1}{2}\log_2 36 = \log_2 \sqrt{36} = \log_2 6$. Poi si comprime:

$$\begin{gathered} \log_2 6 - \log_2 3 + \log_2 4 \\ {} = \log_2 \frac{6 \cdot 4}{3} = \log_2 8 = 3 \end{gathered}$$

Esempio 3 (un numero da solo). $2 - 3\log_5 2 + \log_5 40$.

Il 2 non è un logaritmo, ma lo diventa: $2 = \log_5 25$. Il coefficiente 3 sale come esponente, $3 \log_5 2 = \log_5 8$, e il segno meno manda l’8 al denominatore:

$$\begin{gathered} \log_5 25 - \log_5 8 + \log_5 40 \\ {} = \log_5 \frac{25 \cdot 40}{8} = \log_5 125 = 3 \end{gathered}$$

Radici e frazioni

Le radici sono potenze con esponente frazionario e le frazioni si gestiscono con il quoziente: basta non perdere di vista gli esponenti.

Esempio 4. $\log_2 \dfrac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt{8}}$.

Scriviamo tutto come potenza di 2, $4 = 2^2$, $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$, $\sqrt{8} = 2^{3/2}$, e usiamo le proprietà delle potenze:

$$\begin{gathered} \frac{2^2 \cdot 2^{1/3}}{2^{3/2}} = 2^{2 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2}} = 2^{5/6} \\ \log_2 2^{5/6} = \frac{5}{6} \end{gathered}$$

Il conto degli esponenti: $2 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{12 + 2 - 9}{6} = \frac{5}{6}$.

Esempio 5. $\frac{1}{2}\log_3 12 + \log_3 \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Il coefficiente $\frac{1}{2}$ diventa una radice, poi il prodotto delle due radici si semplifica:

$$\begin{gathered} \log_3 \sqrt{12} + \log_3 \frac{\sqrt{3}}{2} \\ {} = \log_3 \frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}}{2} = \log_3 \frac{\sqrt{36}}{2} \\ {} = \log_3 3 = 1 \end{gathered}$$

Esempi con basi diverse

Con basi diverse le proprietà non si applicano: $\log_2 x + \log_3 x$ non si comprime. Prima si porta tutto a una base comune, in uno di tre modi.

Base e argomento potenze dello stesso numero

Esempio 6. $\log_4 32 + \log_9 \frac{1}{3} + \log_{1/5} 25$.

Ogni logaritmo si calcola da solo, scrivendo base e argomento come potenze dello stesso numero (come nella definizione di logaritmo). Per il primo, chiamiamo $c$ il risultato:

$$4^c = 32 \iff 2^{2c} = 2^5 \iff c = \frac{5}{2}$$

Allo stesso modo $9^c = \frac{1}{3}$ diventa $3^{2c} = 3^{-1}$, quindi $c = -\frac{1}{2}$, e $\left(\frac{1}{5}\right)^c = 25$ diventa $5^{-c} = 5^2$, quindi $c = -2$. In generale, se la base è $a^k$ e l’argomento è $a^h$ (con $a > 0$, $a \neq 1$ e $k \neq 0$):

$$\log_{a^k} a^h = \frac{h}{k}$$

Il totale è $\frac{5}{2} - \frac{1}{2} - 2 = 0$.

Il cambiamento di base

Esempio 7. $\log_3 5 \cdot \log_{25} 27$.

Qui 3 e 25 non sono potenze dello stesso numero: si passa in base $e$ con il cambiamento di base, scrivendo $25 = 5^2$ e $27 = 3^3$:

$$\begin{gathered} \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 27}{\ln 25} = \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{3 \ln 3}{2 \ln 5} \\ {} = \frac{3}{2} \end{gathered}$$

I $\ln 5$ e i $\ln 3$ si semplificano: sono numeri diversi da zero e qui sono fattori, non pezzi di un argomento. Attento a non fare il contrario: $\frac{\log_2 27}{\log_2 3}$ vale 3, perché è $\log_3 27$, e non è né $\log_2 9$ né $\frac{27}{3}$.

Basi reciproche e reciproci

Esempio 8. $\dfrac{1}{\log_2 6} + \dfrac{1}{\log_3 6}$ e $\log_{1/5} 2 + \log_5 50$.

Scambiando base e argomento un logaritmo diventa il suo reciproco: $\frac{1}{\log_2 6} = \log_6 2$ e $\frac{1}{\log_3 6} = \log_6 3$. Ora la base è la stessa:

$$\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1$$

Nel secondo la base $\frac{1}{5}$ si porta a 5 cambiando segno, $\log_{1/5} 2 = -\log_5 2$:

$$\begin{gathered} -\log_5 2 + \log_5 50 = \log_5 \frac{50}{2} \\ {} = \log_5 25 = 2 \end{gathered}$$

Potenze con un logaritmo all’esponente

Quando il logaritmo sta all’esponente, l’obiettivo è far comparire $a^{\log_a b} = b$: la base della potenza e quella del logaritmo devono essere uguali. Se non lo sono, si porta tutto alla stessa base; se l’esponente è una somma o ha un coefficiente, lo si sistema con le proprietà delle potenze.

Esempio 9. $8^{\log_4 5}$.

La potenza ha base 8, il logaritmo base 4: sono entrambi potenze di 2. Scriviamo $8 = 2^3$ e $\log_4 5 = \frac{1}{2}\log_2 5$:

$$\begin{gathered} 8^{\log_4 5} = 2^{3 \cdot \frac{1}{2}\log_2 5} = \left(2^{\log_2 5}\right)^{3/2} \\ {} = 5^{3/2} = 5\sqrt{5} \end{gathered}$$

Controllo: $5\sqrt{5} \approx 11{,}18$, e con la calcolatrice $\log_4 5 \approx 1{,}161$ e $8^{1{,}161} \approx 11{,}18$.

Esempio 10. $e^{2\ln 3 - \ln 6}$ e $10^{1 + \log_{10} 2}$.

All’esponente una differenza diventa un quoziente di potenze, un coefficiente diventa un esponente, una somma diventa un prodotto:

$$\begin{gathered} e^{2\ln 3 - \ln 6} = \frac{\left(e^{\ln 3}\right)^2}{e^{\ln 6}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \\ 10^{1 + \log_{10} 2} = 10 \cdot 10^{\log_{10} 2} = 20 \end{gathered}$$

In alternativa si comprime prima l’esponente: $2\ln 3 - \ln 6 = \ln \frac{9}{6} = \ln \frac{3}{2}$, e $e^{\ln \frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$. Il risultato non è $2 \cdot 3 - 6 = 0$: l’esponenziale trasforma le somme in prodotti, non in somme.

Logaritmi dentro logaritmi

Esempio 11. $\log_3 \left(\log_2 512\right)$ e $\log_4 \left(\log_2 \sqrt{2}\right)$.

Si lavora dall’interno verso l’esterno, come con le funzioni composte. $\log_2 512 = 9$, perché $2^9 = 512$, quindi il primo vale $\log_3 9 = 2$. Nel secondo $\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$, e $\log_4 \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, perché $4^{-1/2} = \frac{1}{2}$.

Il logaritmo interno deve essere positivo, perché fa da argomento a quello esterno. Per esempio $\log_3 \left(\log_{1/2} 4\right)$ non esiste, perché $\log_{1/2} 4 = -2$. Con le lettere, $\ln(\ln x)$ esiste solo per $\ln x > 0$, cioè per $x > 1$: non basta $x > 0$.

Logaritmo naturale e numero e

Con $\ln$ le potenze da riconoscere sono quelle di $e$: $\ln e^k = k$, $\ln 1 = 0$, $\ln \frac{1}{e} = -1$. Numeri e potenze di $e$ si mescolano senza problemi.

Esempio 12. $\ln 6 - \ln \dfrac{3}{e^2} + \ln \dfrac{1}{2e}$.

Comprimiamo: dividere per $\frac{3}{e^2}$ significa moltiplicare per $\frac{e^2}{3}$.

$$\begin{gathered} \ln\left(6 \cdot \frac{e^2}{3} \cdot \frac{1}{2e}\right) = \ln \frac{6e^2}{6e} \\ {} = \ln e = 1 \end{gathered}$$

Sviluppando si arriva allo stesso punto: $\ln 6 - \ln 3 + 2 - \ln 2 - 1 = \ln \frac{6}{3 \cdot 2} + 1 = 1$.

Quando le proprietà non si possono usare

Per il logaritmo di una somma non esiste nessuna formula. Non è un vicolo cieco: si calcola l’argomento, oppure lo si raccoglie o lo si scompone in un prodotto.

Esempio 13. $\log_3\left(3^{10} + 2 \cdot 3^{10}\right)$ e $\log_{10}\left(10^{20} + 10^{21}\right)$.

Nel primo si raccoglie $3^{10}$: l’argomento è $3^{10}(1 + 2) = 3^{11}$, quindi il logaritmo vale 11. Nel secondo si raccoglie $10^{20}$:

$$\begin{gathered} \log_{10}\left[10^{20}(1 + 10)\right] = 20 + \log_{10} 11 \\ {} \approx 21{,}04 \end{gathered}$$

Il numero è poco più di $10^{21}$, e il suo logaritmo è poco più di 21: torna.

Esempio 14. $\log_2\left(\sqrt{5} + 1\right) + \log_2\left(\sqrt{5} - 1\right)$ e $\ln\left(e^2 - 1\right) - \ln(e - 1)$.

Le somme sono dentro i logaritmi, ma la combinazione si semplifica. Nel primo i due argomenti sono positivi, perché $\sqrt{5} > 1$, e il loro prodotto è una somma per una differenza:

$$\begin{gathered} \log_2\left[\left(\sqrt{5} + 1\right)\left(\sqrt{5} - 1\right)\right] \\ {} = \log_2 (5 - 1) = \log_2 4 = 2 \end{gathered}$$

Nel secondo si scompone $e^2 - 1 = (e - 1)(e + 1)$:

$$\ln \frac{(e - 1)(e + 1)}{e - 1} = \ln(e + 1) \approx 1{,}31$$

La tentazione è scrivere $\ln e^2 - \ln 1 - \ln e + \ln 1 = 1$: sbagliato, perché $\ln\left(e^2 - 1\right)$ non è $\ln e^2 - \ln 1$.

Calcolare i logaritmi decimali da log 2 e log 3

Prima delle calcolatrici era un esercizio quotidiano: conoscendo pochi logaritmi, si ricavano tutti gli altri con le proprietà. Partiamo da

$$\begin{gathered} \log_{10} 2 \approx 0{,}3010 \\ \log_{10} 3 \approx 0{,}4771 \end{gathered}$$

e da $\log_{10} 10 = 1$. Ogni numero che si ottiene da 2, 3 e 10 con prodotti, quozienti e potenze ha un logaritmo calcolabile. Il trucco più bello è il 5: non è un prodotto di 2 e 3, ma è $\frac{10}{2}$, quindi $\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2$.

$n$	da 2, 3 e 10	$\log_{10} n$
2	$2$	0,3010
3	$3$	0,4771
4	$2^2$	0,6020
5	$\frac{10}{2}$	0,6990
6	$2 \cdot 3$	0,7781
7	non si ricava	?
8	$2^3$	0,9030
9	$3^2$	0,9542
10	$10$	1
12	$2^2 \cdot 3$	1,0791
15	$\frac{3 \cdot 10}{2}$	1,1761
18	$2 \cdot 3^2$	1,2552
0,6	$\frac{2 \cdot 3}{10}$	−0,2219
1,5	$\frac{3}{2}$	0,1761

Nella figura ogni logaritmo è una barra costruita con i «mattoncini» $\log_{10} 2$ e $\log_{10} 3$: la barra di 6 è un mattoncino di ciascun tipo, quella di 8 tre mattoncini di $\log_{10} 2$.

Perché il 7 non si ricava. Supponiamo che si possa scrivere $7 = 2^p \cdot 3^q \cdot 5^r$ con esponenti razionali. Elevando entrambi i membri a un intero che toglie tutti i denominatori, e portando dall’altra parte i fattori con esponente negativo, si otterrebbe un’uguaglianza tra due numeri interi in cui il fattore primo 7 compare da una parte sola: impossibile, perché la scomposizione in fattori primi è unica. Quindi $\log_{10} 7$ non si ottiene da $\log_{10} 2$, $\log_{10} 3$ e 1 con le proprietà; la calcolatrice dà $\log_{10} 7 \approx 0{,}8451$.

Però si può stimare benissimo: $7^4 = 2401$ è vicinissimo a $2400 = 2^3 \cdot 3 \cdot 10^2$, quindi

$$\begin{gathered} 4\log_{10} 7 \approx 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 + 2 \\ \log_{10} 7 \approx 0{,}8450 \end{gathered}$$

contro il valore vero 0,8451.

Espressioni in funzione di un parametro

Un classico: «sapendo che $\log_2 3 = a$, esprimi … in funzione di $a$». Il metodo: scomponi ogni numero in fattori 2 e 3, porta tutto in base 2 con il cambiamento di base, poi sostituisci $\log_2 2 = 1$ e $\log_2 3 = a$. Tre esempi di difficoltà crescente.

• $\log_2 72 = \log_2\left(2^3 \cdot 3^2\right) = 3 + 2a$.
• Con $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$:

$$\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = \frac{1 + 2a}{2 + a}$$

• Con una radice nella base: $\log_2 \sqrt{6} = \frac{1}{2}\log_2 6 = \frac{1 + a}{2}$ e $\log_2 48 = \log_2\left(2^4 \cdot 3\right) = 4 + a$, quindi

$$\log_{\sqrt{6}} 48 = \frac{4 + a}{\frac{1 + a}{2}} = \frac{2(4 + a)}{1 + a}$$

Controlla sempre con i numeri: con $a \approx 1{,}585$ l’ultima formula dà circa 4,321, e infatti $\log_{\sqrt{6}} 48 = \frac{\ln 48}{\ln \sqrt{6}} \approx 4{,}321$.

Con due parametri il metodo non cambia. Se $\log_{10} 2 = a$ e $\log_{10} 3 = b$, il 5 si scrive ancora come $\frac{10}{2}$, quindi $\log_{10} 5 = 1 - a$, e

$$\begin{gathered} \log_{15} 12 = \frac{\log_{10}\left(2^2 \cdot 3\right)}{\log_{10} 3 + \log_{10} 5} \\ {} = \frac{2a + b}{1 - a + b} \end{gathered}$$

Con i valori numerici si ottiene circa 0,918: un po’ meno di 1, come deve essere, perché 12 è un po’ meno di 15.

Confrontare due logaritmi senza calcolatrice

Tutti i confronti si basano su un fatto: con una base maggiore di 1 il logaritmo è strettamente crescente, quindi un numero più grande ha un logaritmo più grande, come abbiamo visto nella funzione logaritmica. La strategia è trovare un numero semplice che stia in mezzo.

Tra due interi consecutivi

Qual è più grande, $\log_2 10$ o $\log_3 10$? Siccome $2^3 = 8 < 10$, si ha $\log_2 10 > 3$; siccome $3^3 = 27 > 10$, si ha $\log_3 10 < 3$. Quindi $\log_2 10 > 3 > \log_3 10$. Con la calcolatrice: circa 3,32 contro 2,10.

Con una frazione

Se i due logaritmi stanno tra gli stessi interi, si prova con una frazione. Per $a > 1$, $b > 0$ e $p$, $q$ interi positivi:

$$\begin{gathered} \log_a b > \frac{p}{q} \iff b > a^{p/q} \\ {} \iff b^q > a^p \end{gathered}$$

Il primo passaggio usa la monotonia del logaritmo; il secondo eleva alla $q$ due numeri positivi, e $t^q$ è strettamente crescente per $t > 0$. Per esempio $\log_5 12 > \frac{3}{2}$, perché $12^2 = 144 > 125 = 5^3$.

Ora un caso più fine: $\log_3 7$ o $\log_5 16$? Stanno entrambi tra 1 e 2. Con $\frac{3}{2}$ non si decide: $7^2 = 49 > 27 = 3^3$ e $16^2 = 256 > 125 = 5^3$, quindi sono entrambi maggiori di $\frac{3}{2}$. Proviamo con $\frac{7}{4}$:

$$\begin{gathered} 7^4 = 2401 > 2187 = 3^7 \\ 16^4 = 65\,536 < 78\,125 = 5^7 \end{gathered}$$

Quindi $\log_3 7 > \frac{7}{4} > \log_5 16$. Con la calcolatrice: circa 1,771 contro 1,723.

Base e argomento scambiati

Per confrontare $\log_a b$ e $\log_b a$ si usa che sono uno il reciproco dell’altro. Se $1 < a < b$, allora $\log_a b > \log_a a = 1$, e quindi $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} < 1$. Per esempio $\log_5 7 > 1 > \log_7 5$. In breve, con due numeri maggiori di 1, vince il logaritmo che ha come argomento il numero più grande.

Due identità con le lettere

Le proprietà servono anche per dimostrare uguaglianze che valgono per tutte le lettere ammesse. Le condizioni sulle lettere fanno parte dell’enunciato.

Perché è vero. Con il cambiamento di base in base $e$, ogni fattore è un quoziente di logaritmi naturali, tutti diversi da zero perché $a$, $b$ e $c$ sono diversi da 1:

$$\frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} \cdot \frac{\ln a}{\ln c} = 1$$

Ogni logaritmo compare una volta al numeratore e una al denominatore. Per esempio $\log_2 4 \cdot \log_4 16 \cdot \log_{16} 2 = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

Perché è vero. L’idea è passare ai reciproci, dove il prodotto $ab$ si spezza in una somma. Siccome $x \neq 1$, si possono scambiare base e argomento:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\log_{ab} x} = \log_x (ab) = \log_x a + \log_x b \\ {} = \frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x} \end{gathered}$$

Sommando le due frazioni a destra si ottiene $\frac{\log_a x + \log_b x}{\log_a x \cdot \log_b x}$, e prendendo il reciproco di entrambi i membri si ha la tesi. Ogni condizione serve: $ab \neq 1$ perché $ab$ è una base; $x \neq 1$ perché per $x = 1$ il secondo membro diventa $\frac{0}{0}$. E il denominatore non si annulla mai, perché

$$\log_a x + \log_b x = \frac{\ln x \cdot \ln(ab)}{\ln a \cdot \ln b} \neq 0$$

Verifica con $a = 2$, $b = 8$, $x = 16$: a sinistra $\log_{16} 16 = 1$; a destra $\log_2 16 = 4$ e $\log_8 16 = \frac{4}{3}$, e la formula dà $\frac{16/3}{16/3} = 1$.

Semplificare con le lettere: il dominio conta

Con le lettere il risultato vale solo dove esiste l’espressione di partenza. La forma semplificata ha spesso un dominio più grande, come abbiamo visto in quando comprimere allarga il dominio: per questo il primo passo della scaletta sono le condizioni di esistenza.

Prendi $f(x) = \ln\left(x^2 - 1\right) - \ln(x - 1)$. Servono $x^2 - 1 > 0$, cioè $x < -1$ oppure $x > 1$, e $x - 1 > 0$: insieme, $x > 1$. Su questo dominio si comprime e si semplifica la frazione, cosa lecita perché $x - 1 \neq 0$:

$$\begin{gathered} f(x) = \ln \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \\ f(x) = \ln(x + 1) \quad (x > 1) \end{gathered}$$

La funzione $\ln(x + 1)$ esiste per $x > -1$, quindi le due funzioni non sono uguali: coincidono solo per $x > 1$. Per $x = 0$, per esempio, $\ln(x + 1) = 0$, mentre $f(0)$ contiene $\ln(-1)$ e non esiste.

Lo stesso succede con un logaritmo all’esponente. $g(x) = e^{\ln x + \ln(x + 2)}$ esiste per $x > 0$, e lì l’esponente si spezza in un prodotto:

$$\begin{gathered} g(x) = e^{\ln x} \cdot e^{\ln(x + 2)} \\ g(x) = x(x + 2) \quad (x > 0) \end{gathered}$$

Il polinomio $x^2 + 2x$ esiste ovunque, ma $g$ no: per $x = -1$ il polinomio vale $-1$, mentre $g(-1)$ non esiste. Il metodo completo per i domini è in dominio e segno delle funzioni logaritmiche.

Gli errori più comuni

• Spezzare il logaritmo di una somma. $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$, non $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$. Per la somma si calcola, si raccoglie o si scompone l’argomento.
• Comprimere con i coefficienti fuori. $2\log_3 x + \log_3 y = \log_3\left(x^2 y\right)$, non $\log_3(2xy)$.
• Usare le proprietà con basi diverse. $\log_2 3 + \log_4 3$ non è $\log_8 9$: prima la stessa base, $\log_4 3 = \frac{1}{2}\log_2 3$, quindi la somma è $\frac{3}{2}\log_2 3$.
• «Semplificare» un quoziente di logaritmi. $\frac{\log_2 27}{\log_2 3}$ è $\log_3 27 = 3$: non è $\log_2 9$, e non è $\frac{27}{3}$.
• Sbagliare l’esponente nella base. $\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x$, non $2\log_3 x$; e $\log_{1/2} x = -\log_2 x$: la base reciproca cambia il segno.
• Trattare l’esponente come una somma di numeri. $e^{2\ln 3 - \ln 6}$ vale $\frac{9}{6}$, non $2 \cdot 3 - 6$: all’esponente le somme diventano prodotti e i coefficienti diventano potenze.
• Dimenticare le condizioni con le lettere. $\ln\left(x^2 - 1\right) - \ln(x - 1) = \ln(x + 1)$ vale solo per $x > 1$.
• Fidarsi dell’ultima cifra. Con $\log_{10} 2 \approx 0{,}3010$ si ottiene $\log_{10} 8 \approx 0{,}9030$, ma il valore vero è 0,9031: moltiplicando un valore arrotondato si moltiplica anche il suo errore.

Altri errori, ognuno con il suo controesempio, sono negli errori comuni con i logaritmi.

Esercizi svolti

1. Stessa base, con radici

Testo. Calcola senza calcolatrice $\log_7 98 - 2\log_7 \sqrt{2} + 3\log_7 \sqrt[3]{7}$.

La base è una sola, quindi si parte dai coefficienti, che salgono come esponenti:

$$\begin{gathered} 2\log_7 \sqrt{2} = \log_7 \left(\sqrt{2}\right)^2 = \log_7 2 \\ 3\log_7 \sqrt[3]{7} = \log_7 7 = 1 \end{gathered}$$

Ora i primi due termini si comprimono con il quoziente:

$$\log_7 98 - \log_7 2 = \log_7 49 = 2$$

Il totale è $2 + 1 = 3$. Controllo con la calcolatrice: $\log_7 98 \approx 2{,}356$ e $\log_7 2 \approx 0{,}356$, e la loro differenza è proprio 2.

2. Basi diverse

Testo. Calcola $\log_4 24 - \log_2 \sqrt{6} + \log_{1/27} 9$.

Le basi 4 e 2 sono potenze di 2, la base $\frac{1}{27}$ è una potenza di 3. Il primo logaritmo si porta in base 2, e il $\frac{1}{2}$ entra come radice:

$$\log_4 24 = \frac{1}{2}\log_2 24 = \log_2 \sqrt{24}$$

Siccome $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$, i primi due termini si comprimono:

$$\log_2 \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \log_2 2 = 1$$

Per il terzo scriviamo base e argomento come potenze di 3, $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ e $9 = 3^2$. Da $\left(3^{-3}\right)^c = 3^2$ si ha $-3c = 2$, cioè $c = -\frac{2}{3}$. Il segno torna: base minore di 1, argomento maggiore di 1. Il risultato è $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

3. Un logaritmo all’esponente

Testo. Calcola $16^{\log_8 27} + 10^{2 - \log_{10} 4}$.

Nel primo termine la potenza ha base $16 = 2^4$ e il logaritmo base $8 = 2^3$. Portiamo l’esponente in base 2, ricordando che $27 = 3^3$:

$$\log_8 27 = \frac{1}{3}\log_2 3^3 = \log_2 3$$

Quindi

$$\begin{gathered} 16^{\log_8 27} = \left(2^4\right)^{\log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^4 \\ {} = 3^4 = 81 \end{gathered}$$

Nel secondo termine l’esponente è una differenza, quindi la potenza diventa un quoziente:

$$10^{2 - \log_{10} 4} = \frac{10^2}{10^{\log_{10} 4}} = \frac{100}{4} = 25$$

Il risultato è $81 + 25 = 106$.

4. Con log 2 e log 3

Testo. Sapendo che $\log_{10} 2 \approx 0{,}3010$ e $\log_{10} 3 \approx 0{,}4771$, calcola: a) $\log_{10} 0{,}45$; b) $\log_2 3$; c) il numero di cifre di $18^{10}$.

a) Scomponiamo: $0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} = \frac{3^2}{2 \cdot 10}$. Quindi

$$\begin{gathered} \log_{10} 0{,}45 = 2\log_{10} 3 - \log_{10} 2 - 1 \\ {} \approx 0{,}9542 - 0{,}3010 - 1 = -0{,}3468 \end{gathered}$$

È negativo, come deve essere per un argomento minore di 1.

b) Con il cambiamento di base in base 10:

$$\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} \approx \frac{0{,}4771}{0{,}3010} \approx 1{,}585$$

Torna con la stima: $2^1 < 3 < 2^2$, quindi deve stare tra 1 e 2.

c) Un numero $N \geq 1$ ha $k + 1$ cifre quando $10^k \leq N < 10^{k+1}$, cioè quando la parte intera di $\log_{10} N$ è $k$, come nella notazione scientifica. Con $18 = 2 \cdot 3^2$:

$$\begin{gathered} \log_{10} 18^{10} = 10\left(\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3\right) \\ {} \approx 10 \cdot 1{,}2552 = 12{,}552 \end{gathered}$$

L’errore di arrotondamento è al massimo $10 \cdot 3 \cdot 0{,}00005 = 0{,}0015$, troppo piccolo per cambiare la parte intera, che è 12. Quindi $18^{10}$ ha 13 cifre. Infatti $18^{10} = 3\,570\,467\,226\,624$.

5. In funzione di un parametro

Testo. Sapendo che $\log_2 5 = a$, esprimi in funzione di $a$: a) $\log_2 0{,}8$; b) $\log_{25} 80$; c) $\log_{10} 2$ e $\log_{10} 5$.

a) $0{,}8 = \frac{4}{5} = \frac{2^2}{5}$, quindi $\log_2 0{,}8 = 2 - a$. Siccome $a \approx 2{,}32$, il risultato è circa $-0{,}32$: negativo, come deve essere per un argomento minore di 1.

b) $80 = 2^4 \cdot 5$ e $25 = 5^2$. Tutto in base 2:

$$\log_{25} 80 = \frac{\log_2 80}{\log_2 25} = \frac{4 + a}{2a}$$

c) Qui la base 10 va al denominatore. Siccome $\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = 1 + a$:

$$\begin{gathered} \log_{10} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 10} = \frac{1}{1 + a} \\ \log_{10} 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 10} = \frac{a}{1 + a} \end{gathered}$$

Controllo: la somma è $\frac{1 + a}{1 + a} = 1 = \log_{10} 10$, come deve essere, perché $2 \cdot 5 = 10$. E con $a \approx 2{,}3219$ si ritrova $\log_{10} 2 \approx 0{,}3010$.

6. Da esame: semplificare con le lettere

Testo. Trova il dominio e semplifica $f(x) = 4^{\log_2 \sqrt{x}} + \log_9 \left(x^2\right) - \log_3 x$. La funzione $f$ è uguale a $g(x) = x$?

Dominio. $\sqrt{x}$ richiede $x \geq 0$, e il suo logaritmo richiede $\sqrt{x} > 0$, cioè $x > 0$. $\log_9\left(x^2\right)$ richiede $x^2 > 0$, cioè $x \neq 0$, e $\log_3 x$ richiede $x > 0$. Mettendo insieme: $x > 0$.

Primo termine. $4 = 2^2$ e $\log_2 \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_2 x$:

$$4^{\log_2 \sqrt{x}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 x} = 2^{\log_2 x} = x$$

Secondo termine. In base 3, con la proprietà della potenza:

$$\log_9\left(x^2\right) = \frac{1}{2}\log_3\left(x^2\right) = \log_3 \lvert x \rvert$$

In generale serve il valore assoluto, ma nel dominio $x > 0$ si ha $\lvert x \rvert = x$: il secondo termine è $\log_3 x$ e si cancella con l’ultimo. Il risultato è

$$f(x) = x \quad \text{per } x > 0$$

Quindi $f$ e $g$ non sono la stessa funzione: coincidono su $(0, +\infty)$, ma $g$ è definita su tutto $\mathbb{R}$, $f$ solo per $x > 0$. Il grafico di $f$ è la semiretta $y = x$ senza l’origine e senza la parte con $x \leq 0$. Controllo con $x = 16$: $4^{\log_2 4} = 4^2 = 16$, e $\log_9 256 = \frac{1}{2}\log_3 256 = \log_3 16$, che si cancella con $\log_3 16$; quindi $f(16) = 16$. Altri esercizi di questo tipo sono negli esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi.

In sintesi

• Il metodo: condizioni di esistenza (se ci sono lettere), stessa base, sviluppa o comprimi, riconosci la potenza della base, controlla.
• Basi potenze dello stesso numero: $\log_{a^k} a^h = \frac{h}{k}$. Basi senza legami: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. Base reciproca: $\log_{1/a} b = -\log_a b$.
• Un quoziente di logaritmi nella stessa base è un logaritmo, $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$; scambiando base e argomento si ottiene il reciproco.
• Con un logaritmo all’esponente si punta a $a^{\log_a b} = b$, dopo aver reso uguali le basi.
• Per il logaritmo di una somma non c’è formula: si calcola, si raccoglie o si scompone l’argomento.
• Da $\log_{10} 2$ e $\log_{10} 3$ si ricavano i logaritmi di tutti i numeri fatti con 2, 3 e 10 (anche 5), ma non quello di 7.
• Per confrontare due logaritmi si cerca un intero o una frazione in mezzo: con $a > 1$, $\log_a b > \frac{p}{q} \iff b^q > a^p$.
• Con le lettere il risultato vale solo nel dominio dell’espressione di partenza.

C’è un’ultima, importantissima applicazione: scrivere qualsiasi potenza come esponenziale in base $e$. È il tema delle potenze con base ed esponente variabili.