Espressioni con le potenze: ordine delle operazioni, metodo ed esercizi svolti

Le espressioni con le potenze sono il banco di prova di tutto il capitolo: dentro ci trovi parentesi tonde, quadre e graffe, frazioni, decimali, esponenti negativi e spesso lettere. Di per sé non sono difficili. La difficoltà sta nel fare le operazioni nell’ordine giusto e nel capire quando si possono usare le proprietà delle potenze e quando invece bisogna calcolare. Sono un classico dei test d’ingresso e dei precorsi, e i loro errori tipici si ripresentano identici, più avanti, nelle derivate e nei limiti. In questa pagina vediamo l’ordine delle operazioni con il perché di ogni regola, a cosa si applica un esponente, quando usare le proprietà e quando calcolare, come trattare frazioni, decimali ed esponenti negativi, le espressioni con le lettere e le loro condizioni, come controllare il risultato, otto esempi svolti di difficoltà crescente, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’ordine delle operazioni

Un’espressione è una catena di operazioni. Perché abbia un solo risultato, tutti devono eseguirle nello stesso ordine. Ecco la scaletta:

1. Parentesi, dalle più interne alle più esterne: prima le tonde, poi le quadre, poi le graffe. Dentro ogni parentesi si riparte dal punto 2.
2. Potenze. Se gli esponenti sono impilati senza parentesi, si parte dall’alto: $2^{3^2} = 2^9$.
3. Moltiplicazioni e divisioni, una alla volta, da sinistra a destra, nell’ordine in cui compaiono.
4. Addizioni e sottrazioni, da sinistra a destra.

Ci sono anche delle parentesi nascoste. La linea di frazione raggruppa numeratore e denominatore, che si calcolano separatamente prima di dividere; un esponente scritto in alto si calcola prima di elevare:

$$\begin{gathered} \frac{2^3 + 4}{2^2 - 1} = \frac{12}{3} = 4 \\ 2^{1 + 2} = 2^3 = 8 \end{gathered}$$

Un consiglio pratico: a ogni riga riscrivi tutta l’espressione, cambiando solo il pezzo che hai calcolato. Vediamo la scaletta all’opera:

$$\begin{gathered} 5 + 2 \cdot 3^2 - \left(8 - 2^2\right)^2 : 2 \\ {} = 5 + 2 \cdot 3^2 - 4^2 : 2 \\ {} = 5 + 2 \cdot 9 - 16 : 2 \\ {} = 5 + 18 - 8 \\ {} = 15 \end{gathered}$$

Nella tonda si calcola prima la potenza, $2^2 = 4$, poi la sottrazione, $8 - 4 = 4$. Fuori restano le potenze $3^2$ e $4^2$, poi il prodotto e il quoziente, infine somma e sottrazione. La figura mostra lo stesso calcolo come un albero: ogni operazione aspetta i risultati di quelle sopra, e i colori sono i passi della scaletta.

Perché proprio questo ordine

È una convenzione, ma non è arbitraria: è scelta in modo che le scritture abbreviate dicano esattamente quello che abbreviano.

Potenze prima dei prodotti. $3^2$ è il modo breve di scrivere $3 \cdot 3$, quindi $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$. Se facessi prima $2 \cdot 3 = 6$ e poi il quadrato, eleveresti al quadrato anche il 2: otterresti $(2 \cdot 3)^2 = 36$, che è un’altra espressione.

Prodotti prima delle somme. Stessa idea, un piano più in basso: $2 \cdot 5$ abbrevia $5 + 5$, quindi $3 + 2 \cdot 5 = 3 + 5 + 5 = 13$, non $5 \cdot 5 = 25$. Grazie a questa convenzione un polinomio come $3x^2 + 2x + 1$ si scrive senza nessuna parentesi.

Divisioni da sinistra a destra. La divisione non è associativa: il risultato cambia a seconda di come raggruppi i numeri.

$$\begin{gathered} 64 : 8 : 2 = 8 : 2 = 4 \\ 64 : (8 : 2) = 64 : 4 = 16 \end{gathered}$$

Il risultato giusto è il primo, e c’è un buon motivo: ogni segno di diviso divide per il numero che lo segue, e per nient’altro. Dividere per 8 e poi per 2 vuol dire dividere per 16 in tutto. Lo vedi trasformando ogni divisione in una moltiplicazione per il reciproco; a quel punto l’ordine non conta più:

$$\begin{gathered} 64 : 8 : 2 = 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \\ {} = \frac{64}{16} = 4 \end{gathered}$$

Con le potenze è lo stesso: siccome $64 = 2^6$ e $8 = 2^3$, ogni esponente che segue un diviso va sottratto.

$$\begin{gathered} 2^6 : 2^3 : 2 = 2^{6-3-1} = 2^2 = 4 \\ \text{non}\;\; 2^{6-(3-1)} = 2^4 = 16 \end{gathered}$$

Allo stesso modo $12 : 3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$, non $12 : 6 = 2$: il 2 moltiplica, non divide. E nelle sottrazioni in fila $10 - 4 - 3 = 3$, perché ogni meno toglie solo il numero che lo segue.

A cosa si applica un esponente

Regola. L’esponente si applica solo a ciò che gli sta subito a sinistra: un numero, una lettera o una parentesi. Non al segno meno davanti, non ai fattori che precedono.

Con le lettere è lo stesso: $2x^3 = 2 \cdot x^3$, mentre $(2x)^3 = 8x^3$. E se sostituisci $x = -3$ in $-x^2$, scrivi $-(-3)^2 = -9$. Le regole sul segno e la differenza tra $(-3)^2$ e $-3^2$ sono spiegate per bene in cosa sono le potenze.

Quando usare le proprietà e quando calcolare

Le proprietà delle potenze sono scorciatoie potenti, ma valgono solo tra fattori: potenze moltiplicate o divise tra loro, oppure elevate a loro volta. Prima di ogni passaggio chiediti quale operazione lega le potenze.

Se vedi	Cosa fai
prodotto o quoziente con la stessa base	sommi o sottrai gli esponenti: $2^5 \cdot 2^3 = 2^8$
prodotto o quoziente con lo stesso esponente	moltiplichi o dividi le basi: $2^3 \cdot 5^3 = 10^3$
potenza di potenza	moltiplichi gli esponenti: $\left(3^2\right)^4 = 3^8$
somma o differenza	calcoli, oppure raccogli: $2^3 + 2^4 = 24$
basi ed esponenti diversi	calcoli, oppure riporti alla stessa base: $4^2 \cdot 8 = 2^7$
potenza di una somma	prima la somma, poi la potenza: $(1 + 2)^2 = 9$

Per esempio in $2^3 \cdot 3^2$ basi ed esponenti sono diversi e nessuna proprietà aiuta: si calcola, $8 \cdot 9 = 72$.

Somme di potenze: raccogli un fattore comune

Con le somme le proprietà delle potenze non valgono, ma vale la proprietà distributiva, letta al contrario: se i termini hanno la stessa base, raccogli la potenza con l’esponente più piccolo.

$$\begin{gathered} 2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5 = 2^6 \\ 3^4 - 3^3 = 3^3 \cdot (3 - 1) = 2 \cdot 3^3 \end{gathered}$$

Controllo: $32 + 32 = 64$ e $81 - 27 = 54$. In generale $a^m + a^m = 2a^m$: sommando due potenze uguali raddoppia la potenza, non l’esponente. Quindi $2^5 + 2^5$ non è $2^{10} = 1024$. Il raccoglimento brilla quando gli esponenti sono grandi e calcolare sarebbe una tortura:

$$\begin{gathered} \left(5^8 - 5^7\right) : 5^6 = 5^7 \cdot (5 - 1) : 5^6 \\ {} = 4 \cdot 5^{7-6} = 20 \end{gathered}$$

Basi diverse: riportale alla stessa base

Se le basi sono diverse, guarda se sono potenze di uno stesso numero. Quelle da riconoscere al volo:

• potenze di 2: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$, $64 = 2^6$;
• potenze di 3 e di 5: $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$, $25 = 5^2$, $125 = 5^3$;
• decimali: $0{,}5 = 2^{-1}$, $0{,}25 = 2^{-2}$, $0{,}125 = 2^{-3}$, $0{,}2 = 5^{-1}$, $0{,}04 = 5^{-2}$;
• basi composte, da spezzare con il prodotto con lo stesso esponente: $6^4 = 2^4 \cdot 3^4$.

Il trucco è spiegato nelle proprietà delle potenze e lo usiamo nell’esempio 6.

Frazioni, decimali ed esponenti negativi

Trasforma tutto in frazione. I decimali finiti diventano frazioni: $0{,}5 = \frac{1}{2}$, $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $0{,}2 = \frac{1}{5}$, $1{,}5 = \frac{3}{2}$. I periodici si trasformano con la frazione generatrice: $0{,}\overline{6} = \frac{2}{3}$. Con le frazioni il calcolo è esatto, con i decimali arrotondati no.

Numeri misti e somme dentro una parentesi. «Uno e mezzo» è $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, e l’esponente si applica a tutta la somma: prima la somma, poi la potenza.

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \\ \text{non}\;\; 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \end{gathered}$$

Esponenti negativi. Si capovolge la base e si cambia segno all’esponente, come visto nelle potenze con esponente negativo: $(1{,}5)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$. Se l’esponente negativo sta su una parentesi con una somma, prima calcoli la somma, poi capovolgi.

Semplifica prima di calcolare. In un prodotto di frazioni puoi semplificare qualunque numeratore con qualunque denominatore: è la semplificazione in croce. Con lo stesso esponente conviene prima unire le basi:

$$\begin{gathered} \left(\frac{10}{21}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^3 = \left(\frac{10}{21} \cdot \frac{7}{5}\right)^3 \\ {} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \end{gathered}$$

Qui 10 e 5 si semplificano per 5, 7 e 21 per 7. Senza questo passaggio avresti dovuto moltiplicare $\frac{1000}{9261}$ per $\frac{343}{125}$.

Il segno, prima di tutto. In un prodotto o in un quoziente il risultato è positivo se i fattori negativi sono in numero pari, negativo se sono in numero dispari; una potenza con base negativa è negativa solo se l’esponente è dispari. Decidi il segno all’inizio, poi lavora con i numeri positivi. Per esempio:

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2 : \left(-\frac{1}{6}\right)$$

Sono negativi il primo fattore, che ha esponente dispari, e l’ultimo; il secondo è positivo. Due negativi: il risultato è positivo. Poi i valori, ricordando che dividere per $\frac{1}{6}$ è moltiplicare per 6:

$$\begin{gathered} \frac{8}{27} \cdot \frac{9}{16} \cdot 6 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 6}{27 \cdot 16} \\ {} = \frac{432}{432} = 1 \end{gathered}$$

Le espressioni con le lettere

Con le lettere le regole sono le stesse: cambia solo che il risultato è un’espressione, non un numero.

Un monomio è il prodotto di un numero, il coefficiente, e di lettere con esponenti naturali, come $-6a^3b^4$. Le operazioni tipiche:

• prodotto: si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti di ogni lettera, $(-2a^2b) \cdot (3ab^3) = -6a^3b^4$;
• potenza: si eleva ogni fattore, coefficiente compreso, $(-2a^2b)^3 = -8a^6b^3$;
• quoziente: si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti, $(12a^5b^2) : (4a^2b^2) = 3a^3$, con $a \neq 0$ e $b \neq 0$.

Nell’ultimo la $b$ scompare, perché $b^{2-2} = b^0 = 1$; la condizione $b \neq 0$ però resta, perché nell’espressione di partenza si divide per $b^2$.

Le condizioni. Ogni lettera che finisce al denominatore, in un divisore o sotto un esponente negativo deve essere diversa da zero: non si divide per zero, e $0^{-n}$ non esiste. Scrivi le condizioni all’inizio, sull’espressione di partenza, perché dopo le semplificazioni possono sparire: $x^{-2} \cdot x^2 = x^0 = 1$, ma l’uguaglianza vale solo per $x \neq 0$. È lo stesso ragionamento con cui troverai il dominio di una funzione.

Somme solo tra monomi simili. Due monomi si sommano solo se sono simili, cioè hanno la stessa parte letterale, stesse lettere con gli stessi esponenti: si sommano i coefficienti.

$$\begin{gathered} 3a^2b + 5a^2b = 8a^2b \\ a^2 + a^2 = 2a^2 \\ a^2 \cdot a^2 = a^4 \end{gathered}$$

Invece $3a^2b + 5ab^2$ resta così: le parti letterali sono diverse. Per gli esponenti negativi con le lettere trovi una scaletta dedicata nelle potenze con esponente negativo.

Come controllare il risultato

Un’espressione lunga ha tanti passaggi, e ognuno è un’occasione di errore. Tre controlli rapidi:

1. Stima segno e grandezza. Prima di calcolare, conta i fattori negativi per prevedere il segno, e fai una stima grossolana, per esempio con $2^{10} \approx 1000$. Se ti aspetti un numero intorno a 10 e trovi diecimila, c’è un errore.
2. Con le lettere, sostituisci dei numeri. Scegli valori ammessi dalle condizioni, diversi tra loro, ed evita 0, 1 e $-1$: siccome $1^n = 1$ per ogni $n$, con 1 un esponente sbagliato non si vede. Se qualcuno scrive $\left(a^2\right)^3 = a^5$, con $a = 1$ i due lati valgono 1; con $a = 2$ valgono 64 e 32, e l’errore salta fuori.
3. Ricalcola in un altro ordine. Per esempio calcola ogni potenza per conto suo, senza proprietà, e confronta. Con la calcolatrice metti sempre le parentesi intorno alle basi negative: Excel, per esempio, calcola =-3^2 come 9.

Otto esempi svolti, dal più semplice al più completo

Esempio 1: proprietà e calcoli insieme

$$\left[\left(2^3\right)^2 : 2^4 - 3\right] \cdot 5 + 2^5 : \left(2^2 \cdot 2\right)$$

Quadra. Potenza di potenza e quoziente con la stessa base si fanno con le proprietà; poi la sottrazione:

$$\begin{gathered} \left(2^3\right)^2 : 2^4 = 2^6 : 2^4 = 2^2 = 4 \\ 4 - 3 = 1 \end{gathered}$$

Tonda. Prodotto con la stessa base: $2^2 \cdot 2 = 2^3$.

Fuori dalle parentesi restano un prodotto, un quoziente e una somma:

$$\begin{gathered} 1 \cdot 5 + 2^5 : 2^3 \\ {} = 5 + 2^2 = 5 + 4 = 9 \end{gathered}$$

Esempio 2: tonde, quadre e graffe

$$\left\{\left[\left(6^2 : 3^2\right)^3 : 4^2 + 5\right] : 3^2 + 7^0\right\}^2$$

Tonda. Stesso esponente, quindi si dividono le basi: $6^2 : 3^2 = (6 : 3)^2 = 2^2$.

Quadra. Potenza di potenza, poi riportiamo $4^2$ in base 2, $4^2 = 2^4$:

$$\begin{gathered} \left(2^2\right)^3 : 4^2 + 5 = 2^6 : 2^4 + 5 \\ {} = 2^2 + 5 = 9 \end{gathered}$$

Graffa. $9 : 3^2 + 7^0 = 9 : 9 + 1 = 2$.

Risultato. $2^2 = 4$. Riconoscere che $4^2 = 2^4$ ci ha tenuti sempre su numeri piccoli.

Esempio 3: frazioni ed esponenti negativi

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$$

Capovolgi e cambia segno agli esponenti negativi:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \\ \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3} \end{gathered}$$

Poi il prodotto prima della sottrazione:

$$\begin{gathered} 8 \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{3} = \frac{32}{9} - \frac{12}{9} \\ {} = \frac{20}{9} \end{gathered}$$

Stima: $8 \cdot \frac{4}{9} \approx 3{,}56$, meno $1{,}33$, fa circa $2{,}2$. Infatti $\frac{20}{9} \approx 2{,}22$.

Esempio 4: tonde, quadre e graffe con le frazioni

$$\begin{gathered} \left\{\left[\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right]^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}\right\} \\ {} : \left(\frac{4}{5}\right)^2 \end{gathered}$$

Tonda. È un numero misto: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Quadra. Prima la potenza, poi la sottrazione; fuori dalla quadra, il cubo:

$$\begin{gathered} \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 \\ 2^3 = 8 \end{gathered}$$

Graffa. Il prodotto, semplificando in croce 8 con 16, poi la sottrazione:

$$\begin{gathered} 8 \cdot \frac{9}{16} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \\ {} = 4 \end{gathered}$$

Divisione finale. Dividere per una frazione è moltiplicare per la sua reciproca:

$$4 : \frac{16}{25} = 4 \cdot \frac{25}{16} = \frac{25}{4}$$

Il risultato è $\frac{25}{4} = 6{,}25$.

Esempio 5: esponenti negativi e decimali

$$\begin{gathered} \left[(0{,}25)^{-1} - (-0{,}2)^{-2} \cdot 0{,}04\right]^{-2} \\ {} + (-1{,}5)^{-1} \end{gathered}$$

Decimali in frazione: $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}2 = \frac{1}{5}$, $0{,}04 = \frac{1}{25}$, $1{,}5 = \frac{3}{2}$.

Dentro la quadra, le potenze. Nella seconda la base è negativa ma l’esponente è pari, quindi il risultato è positivo:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4 \\ \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} = (-5)^2 = 25 \end{gathered}$$

Poi il prodotto e la sottrazione: $4 - 25 \cdot \frac{1}{25} = 4 - 1 = 3$.

Fuori dalla quadra, l’esponente $-2$ agisce sul risultato della quadra. Nell’ultimo termine base negativa ed esponente dispari danno un risultato negativo:

$$\begin{gathered} 3^{-2} = \frac{1}{9} \\ \left(-\frac{3}{2}\right)^{-1} = -\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Somma finale:

$$\frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} = -\frac{5}{9}$$

Il risultato è negativo, ma non per colpa degli esponenti negativi: per via della base $-1{,}5$ con esponente dispari.

Esempio 6: un’espressione brutta che diventa una sola potenza

Prima un riscaldamento: $9^2 \cdot 27^{-1} : 3^3$. Le basi sono tutte potenze di 3:

$$\begin{gathered} \left(3^2\right)^2 \cdot \left(3^3\right)^{-1} : 3^3 \\ {} = 3^4 \cdot 3^{-3} : 3^3 \\ {} = 3^{4-3-3} = 3^{-2} = \frac{1}{9} \end{gathered}$$

Ora una più minacciosa:

$$\frac{(0{,}5)^{-3} \cdot 4^5}{8^2 \cdot (0{,}125)^{-1}}$$

Sono tutte potenze di 2, anche i decimali: $0{,}5 = 2^{-1}$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ e $0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$.

$$\begin{gathered} \frac{\left(2^{-1}\right)^{-3} \cdot \left(2^2\right)^5}{\left(2^3\right)^2 \cdot \left(2^{-3}\right)^{-1}} = \frac{2^3 \cdot 2^{10}}{2^6 \cdot 2^3} \\ {} = \frac{2^{13}}{2^9} = 2^4 = 16 \end{gathered}$$

Senza il trucco avresti dovuto calcolare $8 \cdot 1024 : (64 \cdot 8)$: si arriva allo stesso 16, ma con molta più fatica.

Esempio 7: un’espressione con le lettere

Semplifichiamo, con $x$ e $y$ diversi da zero:

$$\left[\left(x^2 y\right)^3 : \left(x\, y^2\right)^2\right]^2 \cdot \frac{y^2}{x^8}$$

Potenze di potenze dentro la quadra: $\left(x^2 y\right)^3 = x^6 y^3$ e $\left(x y^2\right)^2 = x^2 y^4$.

Quoziente, lettera per lettera: $x^{6-2}\, y^{3-4} = x^4 y^{-1}$.

Quadrato della quadra: $\left(x^4 y^{-1}\right)^2 = x^8 y^{-2}$.

Prodotto finale:

$$\begin{gathered} x^8 y^{-2} \cdot \frac{y^2}{x^8} = x^{8-8}\, y^{-2+2} \\ {} = x^0 y^0 = 1 \end{gathered}$$

Tutta quell’espressione vale 1 per ogni $x$ e $y$ diversi da zero. Verifica con $x = 2$ e $y = 3$: la quadra vale $(4 \cdot 3)^3 : (2 \cdot 9)^2 = 1728 : 324 = \frac{16}{3}$, il suo quadrato $\frac{256}{9}$, e $\frac{256}{9} \cdot \frac{9}{256} = 1$.

Esempio 8: lettere, esponenti negativi e condizioni

$$\frac{\left(-2x^{-1}y\right)^3}{4\,x^{-5}\,y^2} + 3x^2y$$

Condizioni. $x$ ha esponenti negativi e sta al denominatore, $y$ sta al denominatore: $x \neq 0$ e $y \neq 0$.

Potenza del monomio, coefficiente compreso; $(-2)^3$ è negativo:

$$\left(-2x^{-1}y\right)^3 = -8\,x^{-3}\,y^3$$

Quoziente, attenzione al «meno meno» negli esponenti:

$$\begin{gathered} \frac{-8\,x^{-3}\,y^3}{4\,x^{-5}\,y^2} = -2\,x^{-3-(-5)}\,y^{3-2} \\ {} = -2x^2y \end{gathered}$$

Somma. Ora i due termini sono monomi simili: $-2x^2y + 3x^2y = x^2y$.

Il risultato è $x^2y$, con $x \neq 0$ e $y \neq 0$. Verifica con $x = 2$ e $y = 3$: il numeratore vale $(-3)^3 = -27$, il denominatore $4 \cdot \frac{1}{32} \cdot 9 = \frac{9}{8}$, il primo termine $-24$; aggiungendo $3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$ si ottiene 12, proprio $2^2 \cdot 3$. Nota che $x^2y$ avrebbe senso anche per $x = 0$, l’espressione di partenza no: per questo le condizioni si scrivono all’inizio.

Gli errori più comuni

• Eseguire le operazioni nell’ordine in cui si leggono. In $3 + 2^2 \cdot 5$ si fa prima la potenza, poi il prodotto: $3 + 4 \cdot 5 = 23$, non $(3 + 4) \cdot 5 = 35$.
• Applicare le proprietà a somme e differenze. $2^3 + 2^4$ non è $2^7$, ma $8 + 16 = 24$; e $2^5 + 2^5 = 2^6$, non $2^{10}$.
• Distribuire l’esponente su una somma. $\left(3^2 - 2^3\right)^5 = 1^5 = 1$, non $3^{10} - 2^{15}$; $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$, non $1 + \frac{1}{4}$.
• Raggruppare male le divisioni in fila. $2^6 : 2^3 : 2 = 2^2$, non $2^4$; $12 : 3 \cdot 2 = 8$, non 2.
• Attaccare l’esponente alla cosa sbagliata. $-3^2 = -9$ ma $(-3)^2 = 9$; $2 \cdot 3^2 = 18$ ma $(2 \cdot 3)^2 = 36$.
• Togliere una parentesi che serve. $(-3)^2$ non diventa $-3^2$, e $\left(2^3\right)^2 = 64$ non diventa $2^{3^2} = 512$.
• Semplificare in croce dentro una somma. In $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$ non si semplifica niente: si fa il denominatore comune.
• Scrivere le condizioni sul risultato semplificato. $(12a^5b^2) : (4a^2b^2) = 3a^3$ vale per $a \neq 0$ e $b \neq 0$, anche se $b$ non compare più.

Esercizi svolti

1. Tonde, quadre e graffe

Testo. Calcola il valore dell’espressione:

$$\left\{\left[\left(2^7 - 2^6\right) : 2^4\right]^2 - 3^5 : 3^2 : 3\right\}^2$$

Tonda. È una differenza: niente proprietà, ma si può raccogliere $2^6$, oppure calcolare $128 - 64$:

$$2^7 - 2^6 = 2^6 \cdot (2 - 1) = 2^6$$

Quadra. Quoziente con la stessa base, poi il quadrato: $2^6 : 2^4 = 2^2$ e $\left(2^2\right)^2 = 2^4 = 16$.

Graffa. La catena di divisioni va da sinistra a destra, quindi si sottraggono tutti gli esponenti; poi la sottrazione:

$$\begin{gathered} 3^5 : 3^2 : 3 = 3^{5-2-1} = 3^2 = 9 \\ 16 - 9 = 7 \end{gathered}$$

Risultato. $7^2 = 49$. Chi raggruppa male la catena trova $3^{5-(2-1)} = 81$, e una graffa negativa: $16 - 81 = -65$.

2. Frazioni e decimali

Testo. Calcola:

$$\left[\left(2 - \frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 0{,}5\right]^3 : (0{,}4)^2$$

Tonda e decimali. $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $0{,}5 = \frac{1}{2}$ e $0{,}4 = \frac{2}{5}$.

Quadra. Le potenze danno $\frac{27}{8}$ e $\frac{4}{9}$; nel prodotto semplifichiamo in croce 27 con 9 e 4 con 8, poi la somma:

$$\begin{gathered} \frac{27}{8} \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \\ {} = 2 \end{gathered}$$

Bastava anche notare che $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$, quindi il prodotto è $\left(\frac{3}{2}\right)^{3-2} = \frac{3}{2}$.

Fuori dalla quadra. Il cubo e la divisione per una frazione:

$$\begin{gathered} 2^3 : \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 8 : \frac{4}{25} \\ {} = 8 \cdot \frac{25}{4} = 50 \end{gathered}$$

Il risultato è 50. Stima: dividere per $0{,}16$ è come moltiplicare per poco più di 6, e $8 \cdot 6 = 48$.

3. Esponenti negativi

Testo. Calcola:

$$\frac{2^{-2} + 2^{-3}}{3^{-1} - 3^{-2}} \cdot (-0{,}75)^{-3}$$

Segno. La frazione è positiva, come vedremo; $(-0{,}75)^{-3}$ è negativa, perché ha base negativa ed esponente dispari. Il risultato sarà negativo.

Numeratore e denominatore sono somme: si raccoglie la potenza con l’esponente più piccolo, cioè il più negativo.

$$\begin{gathered} 2^{-2} + 2^{-3} = 2^{-3} \cdot (2 + 1) = \frac{3}{8} \\ 3^{-1} - 3^{-2} = 3^{-2} \cdot (3 - 1) = \frac{2}{9} \end{gathered}$$

Controllo: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ e $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$. La frazione vale $\frac{3}{8} : \frac{2}{9} = \frac{3}{8} \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{16}$.

L’ultimo fattore, con $-0{,}75 = -\frac{3}{4}$:

$$\left(-\frac{3}{4}\right)^{-3} = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27}$$

Prodotto, semplificando in croce 27 con 27 e 64 con 16:

$$\frac{27}{16} \cdot \left(-\frac{64}{27}\right) = -4$$

Il risultato è $-4$, negativo come previsto.

4. Un’espressione che diventa una sola potenza

Testo. Scrivi come una sola potenza e poi calcola:

$$\frac{6^4 \cdot (0{,}25)^3}{27^2 \cdot 8^{-2}}$$

Le basi sono 2, 3 e un loro prodotto: $6 = 2 \cdot 3$, $0{,}25 = 2^{-2}$, $27 = 3^3$, $8 = 2^3$. Il 6 si spezza con il prodotto con lo stesso esponente, $6^4 = 2^4 \cdot 3^4$; poi si raggruppa base per base:

$$\begin{gathered} \frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 2^{-6}}{3^6 \cdot 2^{-6}} \\ {} = 2^{4-6+6} \cdot 3^{4-6} = 2^4 \cdot 3^{-2} \end{gathered}$$

Per avere una sola potenza servono esponenti uguali: $2^4 = \left(2^2\right)^2 = 4^2$, e $3^{-2} = \frac{1}{3^2}$.

$$\begin{gathered} 2^4 \cdot 3^{-2} = \frac{4^2}{3^2} \\ {} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \end{gathered}$$

Il risultato è $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$. Controllo alla vecchia maniera: $6^4 = 1296$, $27^2 = 729$, e i fattori $(0{,}25)^3$ e $8^{-2}$ valgono entrambi $\frac{1}{64}$, quindi si semplificano: $\frac{1296}{729} = \frac{16}{9}$.

5. Lettere con le condizioni

Testo. Semplifica, indicando le condizioni, e scrivi il risultato con esponenti positivi:

$$\begin{gathered} \left(-\frac{1}{2}a^{-1}b^2\right)^{-2} \cdot a^{-3}b^5 \\ {} - \frac{(2ab)^3}{8a^4b^2} \end{gathered}$$

Condizioni. $a$ ha esponenti negativi ed entrambe le lettere stanno al denominatore: $a \neq 0$ e $b \neq 0$. Del resto la base della prima potenza, che ha esponente negativo, non deve essere nulla.

Primo termine. Capovolgi il coefficiente e moltiplica per $-2$ l’esponente di ogni fattore:

$$\begin{gathered} \left(-\frac{1}{2}a^{-1}b^2\right)^{-2} = (-2)^2\, a^{2}\, b^{-4} \\ {} = 4a^2b^{-4} \end{gathered}$$

Poi il prodotto con $a^{-3}b^5$: $4a^{2-3}b^{-4+5} = 4a^{-1}b$.

Secondo termine. $(2ab)^3 = 8a^3b^3$, e il quoziente dà $a^{3-4}b^{3-2} = a^{-1}b$.

Differenza. I due termini sono simili:

$$\begin{gathered} 4a^{-1}b - a^{-1}b = 3a^{-1}b \\ {} = \frac{3b}{a} \end{gathered}$$

Il risultato è $\frac{3b}{a}$, con $a \neq 0$ e $b \neq 0$. Verifica con $a = 2$ e $b = 3$: il primo termine vale $\frac{16}{81} \cdot \frac{243}{8} = 6$, il secondo $\frac{1728}{1152} = \frac{3}{2}$, la differenza $\frac{9}{2}$; e infatti $\frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$.

6. Da esame: esponenti con le lettere

Testo. Semplifica le due espressioni seguenti, per ogni numero naturale $n$, zero compreso; nella (b) indica le condizioni su $x$.

$$\begin{gathered} \text{(a)}\;\; \frac{2^{n+3} - 2^{n+1}}{3 \cdot 2^n + 2^{n+1}} \\ \text{(b)}\;\; \frac{x^{n+2} - x^n}{x^{n+1} + x^n} \end{gathered}$$

(a) Con l’esponente letterale non si può calcolare niente: l’unica strada è raccogliere $2^n$, la potenza con l’esponente più piccolo. Per la regola del prodotto $2^{n+3} = 2^n \cdot 2^3$ e $2^{n+1} = 2^n \cdot 2$:

$$\frac{2^n \cdot (8 - 2)}{2^n \cdot (3 + 2)} = \frac{6}{5}$$

Il risultato non dipende da $n$. Controllo con $n = 1$: $\frac{16 - 4}{6 + 4} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

(b) Il denominatore è $x^{n+1} + x^n = x^n(x + 1)$ e deve essere diverso da zero: quindi $x \neq 0$ e $x \neq -1$. La condizione $x \neq 0$ vale anche per $n = 0$, perché in Analisi $0^0$ di solito non si definisce. Raccogliamo $x^n$ sopra e sotto, scomponiamo la differenza di quadrati e semplifichiamo:

$$\begin{gathered} \frac{x^n\left(x^2 - 1\right)}{x^n(x + 1)} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} \\ {} = x - 1 \end{gathered}$$

Il risultato è $x - 1$, con $x \neq 0$ e $x \neq -1$. Verifica con $n = 1$ e $x = 3$: $\frac{27 - 3}{9 + 3} = \frac{24}{12} = 2$, proprio $3 - 1$.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze.

In sintesi

• Ordine: parentesi dalle più interne (tonde, quadre, graffe), potenze, moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, addizioni e sottrazioni.
• L’esponente si applica solo a ciò che gli sta subito a sinistra: $-3^2 = -9$, $2 \cdot 3^2 = 18$, $(2 \cdot 3)^2 = 36$.
• Nelle divisioni in fila ogni diviso divide per il numero che lo segue: $64 : 8 : 2 = 4$ e $2^6 : 2^3 : 2 = 2^{6-3-1}$.
• Le proprietà valgono solo tra fattori con la stessa base o lo stesso esponente; con le somme si calcola o si raccoglie, e $a^m + a^m = 2a^m$.
• Decimali e numeri misti si trasformano in frazioni; gli esponenti negativi si trattano con «capovolgi e cambia segno»; la semplificazione in croce vale solo nei prodotti; il segno si decide all’inizio.
• Con le lettere: condizioni scritte sull’espressione di partenza, e si sommano solo i monomi simili.
• Controlla sempre: stima del segno e della grandezza, sostituzione di numeri come 2 e 3, ricalcolo in un altro ordine.

Le potenze di 10 meritano un discorso a parte, perché permettono di scrivere in modo compatto numeri enormi e minuscoli: è la notazione scientifica.