Notazione scientifica e ordine di grandezza: regole, calcoli ed esercizi svolti

La distanza tra la Terra e il Sole è di circa 149 600 000 km; la massa di un elettrone è circa 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg. Scritti così, questi numeri sono illeggibili: bisogna contare gli zeri uno a uno, e sbagliarne uno vuol dire sbagliare di un fattore 10. La notazione scientifica risolve il problema con le potenze di 10, e l’ordine di grandezza ti dice al volo quanto è grande un numero. Ti servono in Analisi 1 con le potenze, e ancora di più in Fisica 1 e in Chimica, dove quasi ogni dato è una costante come $6{,}022 \times 10^{23}$: all’esame un esponente sbagliato rovina un esercizio impostato bene. In questa pagina vediamo le potenze di 10 e i prefissi del SI, la definizione di notazione scientifica e perché è unica, le conversioni nei due sensi, la E della calcolatrice, prodotti, quozienti, potenze, radici e somme, le cifre significative, l’ordine di grandezza con le sue due convenzioni e il logaritmo, le stime di Fermi, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le potenze di 10

Tutto si basa sulle potenze di 10, le più facili di tutte (per un ripasso vedi cosa sono le potenze):

• con esponente positivo, $10^n$ è un 1 seguito da $n$ zeri: $10^3 = 1000$, $10^6 = 1\,000\,000$; e $10^0 = 1$;
• con esponente negativo, $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ è un numero decimale con la cifra 1 all’$n$-esimo posto dopo la virgola: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-3} = 0{,}001$. In $0{,}001$ ci sono tre zeri, contando quello prima della virgola. Il perché lo trovi nelle potenze con esponente negativo.

La regola che userai di continuo: moltiplicare per $10^n$ sposta la virgola di $n$ posti a destra, moltiplicare per $10^{-n}$ la sposta di $n$ posti a sinistra:

$$\begin{gathered} 3{,}7 \times 10^2 = 370 \\ 3{,}7 \times 10^{-2} = 0{,}037 \end{gathered}$$

I prefissi del Sistema Internazionale

I prefissi delle unità di misura sono solo nomi per le potenze di 10. Ecco quelli che vanno di mille in mille:

Prefisso	Simbolo	Potenza
peta	P	$10^{15}$
tera	T	$10^{12}$
giga	G	$10^9$
mega	M	$10^6$
kilo	k	$10^3$
milli	m	$10^{-3}$
micro	µ	$10^{-6}$
nano	n	$10^{-9}$
pico	p	$10^{-12}$
femto	f	$10^{-15}$

Un gigabyte sono $10^9$ byte, un nanometro è $10^{-9}$ m: per passare dal prefisso alla potenza basta sostituirlo. La tabella completa, con centi, deci, deca ed etto, e il metodo per le conversioni sono in grandezze fisiche e unità di misura.

La definizione di notazione scientifica

Definizione. Un numero reale $x \neq 0$ è scritto in notazione scientifica quando ha la forma

$$\begin{gathered} x = a \times 10^n \\ \text{con } 1 \leq |a| < 10 \ \text{ e } \ n \in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Il numero $a$ è il coefficiente (o mantissa), $n$ è l’esponente. A parole: davanti alla potenza c’è un numero con una sola cifra, diversa da zero, prima della virgola. Il segno sta nel coefficiente: $-0{,}0032 = -3{,}2 \times 10^{-3}$. Lo zero è l’unico numero che non si può scrivere così, perché nessun $a$ con $|a| \geq 1$ dà zero.

Lo stesso numero si può scrivere in tanti modi, ma uno solo rispetta la regola:

$$\begin{gathered} 45 \times 10^{-8} \ \ \text{no: } 45 \geq 10 \\ 4{,}5 \times 10^{-7} \ \ \text{sì} \\ 0{,}45 \times 10^{-6} \ \ \text{no: } 0{,}45 < 1 \end{gathered}$$

Perché la scrittura è unica

Teorema. Ogni numero reale $x \neq 0$ si scrive in notazione scientifica in uno e un solo modo.

Perché è vero. Esistenza. Gli intervalli $[1, 10)$, $[10, 100)$, $[0{,}1;\ 1)$ e in generale $[10^n, 10^{n+1})$, con $n$ intero, coprono tutti i numeri positivi senza sovrapporsi. Quindi $|x|$ sta in uno solo di essi: $10^n \leq |x| < 10^{n+1}$. Dividendo per $10^n$ si ottiene $1 \leq |x|/10^n < 10$, quindi $a = x/10^n$ va bene.

Unicità. Supponi che $a \times 10^n = b \times 10^m$, con $1 \leq |a|, |b| < 10$ e $n < m$. Dividendo per $10^n$:

$$|a| = |b| \cdot 10^{m-n} \geq 1 \cdot 10 = 10$$

perché $m - n \geq 1$. Ma $|a| < 10$: assurdo. Allo stesso modo è impossibile $m < n$. Quindi $n = m$, e di conseguenza $a = b$.

Il vantaggio pratico: tra due numeri positivi in notazione scientifica comanda l’esponente. $9{,}9 \times 10^4$ è minore di $1{,}1 \times 10^5$, anche se 9,9 è più grande di 1,1; i coefficienti si confrontano solo a parità di esponente.

Come si scrive un numero in notazione scientifica

Il metodo è sempre lo stesso (per un numero negativo si lavora senza segno e alla fine si rimette il meno):

1. Sposta la virgola fino a lasciare una sola cifra diversa da zero alla sua sinistra. In un numero intero la virgola è sottintesa alla fine.
2. Conta di quanti posti l’hai spostata: è il valore di $|n|$.
3. Scegli il segno: virgola spostata a sinistra (numero maggiore o uguale a 10), esponente positivo; spostata a destra (numero minore di 1), esponente negativo. Se il numero è già tra 1 e 10, $n = 0$.

Numeri grandi

In 5 270 000 la virgola fa 6 salti verso sinistra: $5\,270\,000 = 5{,}27 \times 10^6$. Per i numeri interi c’è una scorciatoia: l’esponente è il numero delle cifre meno uno. La velocità della luce nel vuoto, 299 792 458 m/s, ha 9 cifre:

$$c = 299\,792\,458\ \text{m/s} \approx 2{,}998 \times 10^8\ \text{m/s}$$

arrotondando a quattro cifre. Allo stesso modo l’unità astronomica, la distanza media Terra-Sole di 149 597 870 700 m (12 cifre), diventa $1{,}496 \times 10^{11}$ m.

Numeri piccoli

In 0,000 46 la virgola fa 4 salti verso destra: $0{,}000\,46 = 4{,}6 \times 10^{-4}$. La scorciatoia: per un numero minore di 1, $|n|$ è il numero degli zeri prima della prima cifra diversa da zero, contando anche quello prima della virgola. Un globulo rosso ha un diametro di circa 0,000 007 m: sei zeri, quindi $7 \times 10^{-6}$ m. E la massa dell’elettrone dell’introduzione, con 31 zeri, diventa $9{,}11 \times 10^{-31}$ kg (con una cifra in più, $9{,}109 \times 10^{-31}$ kg).

Numeri che hanno già una potenza di 10

Spesso il numero ha già una potenza, ma il coefficiente è fuori posto. Si sistema il coefficiente e si corregge l’esponente in senso opposto, perché il prodotto non deve cambiare:

$$\begin{gathered} 602{,}2 \times 10^{21} = 6{,}022 \times 10^2 \times 10^{21} \\ {} = 6{,}022 \times 10^{23} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} 0{,}045 \times 10^{-3} = 4{,}5 \times 10^{-2} \times 10^{-3} \\ {} = 4{,}5 \times 10^{-5} \end{gathered}$$

Coefficiente 100 volte più piccolo, esponente più grande di 2, e viceversa. Così $450\ \text{nm} = 450 \times 10^{-9}\ \text{m} = 4{,}5 \times 10^{-7}\ \text{m}$.

Il percorso inverso

Per tornare alla scrittura normale si sposta la virgola di tanti posti quanti dice l’esponente, a destra se è positivo e a sinistra se è negativo, aggiungendo gli zeri mancanti:

$$\begin{gathered} 3{,}05 \times 10^4 = 30\,500 \\ 7{,}2 \times 10^{-3} = 0{,}0072 \end{gathered}$$

Alcune grandezze da conoscere

Grandezza	Valore
velocità della luce $c$	$2{,}998 \times 10^8$ m/s
costante di Avogadro	$6{,}022 \times 10^{23}$ mol⁻¹
massa dell’elettrone	$9{,}109 \times 10^{-31}$ kg
costante $G$	$6{,}674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²
unità astronomica	$1{,}496 \times 10^{11}$ m
globulo rosso (diametro)	$\sim 7 \times 10^{-6}$ m

Nel SI la velocità della luce e la costante di Avogadro hanno un valore esatto per definizione ($6{,}022\,140\,76 \times 10^{23}$ mol⁻¹); la massa dell’elettrone e la costante $G$ delle forze gravitazionali sono misurate, con i valori CODATA 2022 pubblicati dal NIST. L’unità astronomica è fissata dall’Unione Astronomica Internazionale (2012).

La E della calcolatrice e la virgola

Calcolatrici, fogli di calcolo e linguaggi di programmazione scrivono la notazione scientifica con la lettera E (o e), che sta per «per dieci alla»:

• 6.022E23 significa $6{,}022 \times 10^{23}$;
• 2.5E-3, o 2.5e-3 in Python, significa $2{,}5 \times 10^{-3} = 0{,}0025$.

Non c’entra niente con il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$. Per inserire un numero si usa il tasto EXP, EE o $\times 10^x$, secondo il modello: $6{,}022 \times 10^{23}$ si digita 6.022 EXP 23. E $10^{23}$ da solo si digita 1 EXP 23: con 10 EXP 23 ottieni $10 \times 10^{23} = 10^{24}$, dieci volte troppo.

Le calcolatrici usano il punto decimale, in italiano si usa la virgola: 6.022 sul display è 6,022. Il SI accetta entrambi (Conferenza generale dei pesi e misure, 2003) e raggruppa le cifre a tre a tre con uno spazio, mai con punti o virgole: 1 000 000, non 1.000.000. Del resto «1.000» in inglese significa uno, in italiano mille.

I calcoli in notazione scientifica

Qui le proprietà delle potenze fanno tutto il lavoro: coefficienti e potenze di 10 si trattano separatamente, e alla fine si rinormalizza, cioè si riporta il coefficiente tra 1 e 10. Nei calcoli lunghi l’ordine è quello delle espressioni con le potenze.

Prodotto e quoziente

1. Moltiplica (o dividi) i coefficienti.
2. Somma (o sottrai) gli esponenti.
3. Rinormalizza: se il coefficiente è 10 o più, dividilo per 10 e aggiungi 1 all’esponente; se è minore di 1, moltiplicalo per 10 e togli 1.

Due esempi, uno per ogni tipo di rinormalizzazione:

$$\begin{gathered} \left(3 \times 10^5\right) \cdot \left(4 \times 10^{-2}\right) = 12 \times 10^{3} \\ {} = 1{,}2 \times 10^4 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \frac{2 \times 10^6}{8 \times 10^{-3}} = 0{,}25 \times 10^{6-(-3)} \\ {} = 0{,}25 \times 10^{9} = 2{,}5 \times 10^8 \end{gathered}$$

Un esempio dalla Chimica. Una mole d’acqua ha una massa di circa 18,0 g e contiene $6{,}022 \times 10^{23}$ molecole. Qual è la massa di una molecola?

$$\begin{gathered} m = \frac{1{,}80 \times 10^{1}}{6{,}022 \times 10^{23}}\ \text{g} \\ {} = 0{,}299 \times 10^{-22}\ \text{g} \\ {} = 2{,}99 \times 10^{-23}\ \text{g} \end{gathered}$$

Potenza e radice

Per la potenza si eleva il coefficiente e si moltiplica l’esponente, perché $\left(a \times 10^n\right)^k = a^k \times 10^{nk}$:

$$\begin{gathered} \left(2 \times 10^{-3}\right)^2 = 4 \times 10^{-6} \\ \left(5 \times 10^4\right)^3 = 125 \times 10^{12} = 1{,}25 \times 10^{14} \end{gathered}$$

Per la radice quadrata vale $\sqrt{a \times 10^n} = \sqrt{a} \times 10^{n/2}$, ma questa formula dà un esponente intero solo se $n$ è pari:

$$\sqrt{4 \times 10^6} = 2 \times 10^3$$

Se $n$ è dispari, prima si sposta un fattore 10 nel coefficiente, così l’esponente diventa pari:

$$\begin{gathered} \sqrt{10^7} = \sqrt{10 \times 10^6} = \sqrt{10} \times 10^3 \\ {} \approx 3{,}16 \times 10^3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \sqrt{9 \times 10^{-5}} = \sqrt{90 \times 10^{-6}} \\ {} = \sqrt{90} \times 10^{-3} \approx 9{,}49 \times 10^{-3} \end{gathered}$$

Per la radice cubica serve un esponente multiplo di 3: $\sqrt[3]{2{,}7 \times 10^{10}} = \sqrt[3]{27 \times 10^9} = 3 \times 10^3$. Perché $\sqrt{10^n} = 10^{n/2}$ lo vediamo nelle potenze con esponente frazionario.

Somma e differenza

Qui le potenze non si sommano: $3 \times 10^4 + 5 \times 10^3$ non è né $8 \times 10^7$ né $8 \times 10^4$. Per raccogliere una potenza comune bisogna prima portare i numeri allo stesso esponente, di solito il più grande:

$$\begin{gathered} 3{,}2 \times 10^4 + 5 \times 10^3 \\ {} = 3{,}2 \times 10^4 + 0{,}5 \times 10^4 \\ {} = 3{,}7 \times 10^4 \end{gathered}$$

Anche dopo una differenza può servire la rinormalizzazione:

$$\begin{gathered} 7{,}5 \times 10^{-3} - 7{,}2 \times 10^{-3} = 0{,}3 \times 10^{-3} \\ {} = 3 \times 10^{-4} \end{gathered}$$

Con esponenti molto lontani il termine piccolo è trascurabile: $1{,}0 \times 10^8 + 3 = 100\,000\,003$, che con due cifre significative resta $1{,}0 \times 10^8$.

Cifre significative in notazione scientifica

In «2500 m» non sai se gli zeri sono misurati o servono solo a riempire. La notazione scientifica toglie il dubbio, perché le cifre significative sono tutte e sole le cifre del coefficiente:

• $2{,}5 \times 10^3$ m: due cifre, misura precisa alle centinaia di metri;
• $2{,}50 \times 10^3$ m: tre cifre, precisa alle decine;
• $2{,}500 \times 10^3$ m: quattro cifre, precisa al metro.

Lo zero finale è un’informazione, non una decorazione. Nei prodotti e nei quozienti il risultato si dà con tante cifre significative quante ne ha il dato meno preciso:

$$\begin{gathered} \left(1{,}2 \times 10^{-3}\right) \cdot \left(3{,}456 \times 10^5\right) \\ {} = 4{,}1472 \times 10^2 \approx 4{,}1 \times 10^2 \end{gathered}$$

Nelle somme la regola è diversa: conta il numero di decimali. I dettagli sono in grandezze fisiche e unità di misura, e come arrotondare nei problemi lo trovi in come risolvere gli esercizi di fisica.

L’ordine di grandezza

Spesso non serve il valore preciso di un numero, ma solo quanto è grande: la potenza di 10 «più vicina», che si chiama ordine di grandezza (per un numero negativo si guarda il valore assoluto). «Più vicina» si può precisare in due modi, quindi ci sono due convenzioni.

Regola (quella usata in questa pagina). Scrivi il numero in notazione scientifica $a \times 10^n$ e guarda il coefficiente $a$:

• se $a < 5$, l’ordine di grandezza è $10^n$;
• se $a \geq 5$, l’ordine di grandezza è $10^{n+1}$.

Numero	Notazione	Ordine
380 000	$3{,}8 \times 10^5$	$10^5$
610 000	$6{,}1 \times 10^5$	$10^6$
0,000 23	$2{,}3 \times 10^{-4}$	$10^{-4}$
0,000 61	$6{,}1 \times 10^{-4}$	$10^{-3}$
velocità della luce	$2{,}998 \times 10^8$	$10^8$
costante di Avogadro	$6{,}022 \times 10^{23}$	$10^{24}$

Occhio agli esponenti negativi: arrotondare per eccesso $6{,}1 \times 10^{-4}$ porta a $10^{-3}$, perché $-3$ è più grande di $-4$.

Due convenzioni: 5 oppure 3,16

Altri testi usano come soglia $\sqrt{10} \approx 3{,}16$. Il motivo: su una scala in cui ogni passo è un fattore 10, il punto di mezzo tra $10^n$ e $10^{n+1}$ è il numero $m$ che sta «a un fattore uguale» da entrambi:

$$\begin{gathered} \frac{m}{10^n} = \frac{10^{n+1}}{m} \\ m = \sqrt{10} \times 10^n \approx 3{,}16 \times 10^n \end{gathered}$$

La soglia 5, invece, è solo una convenzione comoda: il punto di mezzo «normale» tra $10^n$ e $10^{n+1}$ sarebbe $5{,}5 \times 10^n$. Le due regole differiscono quando $a$ è tra 3,16 e 5: $3{,}8 \times 10^5$ ha ordine di grandezza $10^5$ con la soglia 5, ma $10^6$ con la soglia 3,16. Usa la convenzione del tuo docente; qui e negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze usiamo il 5. Nel linguaggio comune, infine, «dell’ordine di $10^5$» indica spesso solo l’esponente, senza arrotondare.

L’ordine di grandezza serve soprattutto a confrontare: due grandezze che differiscono di $k$ ordini di grandezza hanno un rapporto di circa $10^k$. La distanza Terra-Sole divisa per il diametro della Terra fa $\left(1{,}496 \times 10^{11}\right)/\left(1{,}274 \times 10^7\right) \approx 1{,}17 \times 10^4$: circa dodicimila Terre in fila.

Il logaritmo trova l’esponente

Il logaritmo in base 10 è lo strumento che «legge» l’esponente. Se $x = a \times 10^n$ con $1 \leq a < 10$:

$$\begin{gathered} \log_{10} x = n + \log_{10} a \\ \text{con } 0 \leq \log_{10} a < 1 \end{gathered}$$

Quindi $n$ è la parte intera inferiore di $\log_{10} x$, cioè il più grande intero minore o uguale a $\log_{10} x$. Per esempio $\log_{10} 5\,270\,000 \approx 6{,}72$, quindi $n = 6$. Attenzione con i numeri piccoli: $\log_{10} 0{,}000\,46 \approx -3{,}34$, e il più grande intero minore o uguale a $-3{,}34$ è $-4$, non $-3$.

E la seconda convenzione? $a \geq \sqrt{10}$ equivale a $\log_{10} a \geq 0{,}5$, quindi con la soglia 3,16 l’ordine di grandezza è $\log_{10} x$ arrotondato all’intero più vicino. Altri usi del logaritmo decimale, come contare le cifre di un numero o il pH, sono nelle scale logaritmiche.

Dall’atomo all’universo

Con le potenze di 10 tutto ciò che esiste sta su un’unica scala. Nella figura ogni tacca è un fattore 10: dal protone, circa $10^{-15}$ m, al raggio dell’universo osservabile, circa $4{,}4 \times 10^{26}$ m.

Tra i due estremi ci sono più di 40 ordini di grandezza, che su un righello normale, in scala lineare, non starebbero: se il protone fosse lungo 1 mm, cioè $10^{12}$ volte più grande, il raggio dell’universo osservabile misurerebbe circa $4{,}4 \times 10^{38}$ m, mille miliardi di volte quello vero.

Le stime di Fermi

Enrico Fermi (Roma 1901 - Chicago 1954), Nobel per la Fisica nel 1938, sapeva stimare quantità difficili con pochi dati. Al primo test nucleare, nel luglio 1945, lasciò cadere dei pezzetti di carta e, da quanto li spostò l’onda d’urto, stimò un’energia pari a circa 10 kilotoni di tritolo. Le stime moderne sono intorno ai 20-25 kilotoni: stesso ordine di grandezza, $10^4$ tonnellate.

Per una stima di Fermi:

1. spezza la domanda in fattori che sai stimare;
2. stima ogni fattore con un numero tondo;
3. moltiplica, lavorando con le potenze;
4. dai come risultato solo l’ordine di grandezza.

Gli errori dei singoli fattori, per eccesso e per difetto, tendono a compensarsi. Il problema classico: quanti accordatori di pianoforti ci sono in una città di un milione di abitanti? Le ipotesi sono stime, non dati:

• $10^6$ abitanti, in media 2,5 persone per famiglia: $4 \times 10^5$ famiglie;
• una famiglia su 20 ha un pianoforte: $2 \times 10^4$ pianoforti;
• ogni pianoforte si accorda una volta l’anno: $2 \times 10^4$ accordature l’anno;
• un accordatore ne fa 4 al giorno per 250 giorni: $10^3$ accordature l’anno.

$$N \approx \frac{2 \times 10^4}{10^3} = 20$$

L’ordine di grandezza è $10^1$: decine di accordatori, non migliaia e non uno solo.

Gli errori più comuni

• Lasciare il coefficiente fuori da 1-10. $12 \times 10^3$ e $0{,}5 \times 10^{-2}$ sono numeri giusti, ma non in notazione scientifica: vanno rinormalizzati.
• Sbagliare il segno dell’esponente. Un numero tra 0 e 1 ha sempre esponente negativo; uno da 10 in su, positivo.
• Rinormalizzare nel verso sbagliato. $0{,}25 \times 10^9 = 2{,}5 \times 10^8$, non $2{,}5 \times 10^{10}$: se il coefficiente cresce, l’esponente cala.
• Sommare gli esponenti in una somma. Si sommano solo nei prodotti; nelle somme si porta tutto allo stesso esponente.
• Dimezzare un esponente dispari nelle radici. $\sqrt{9 \times 10^{-5}}$ non è in notazione scientifica se scrivi $3 \times 10^{-2{,}5}$: prima si rende pari l’esponente.
• Digitare 10 EXP 23 per $10^{23}$. Il risultato è $10^{24}$; si digita 1 EXP 23.

Esercizi svolti

1. Avanti e indietro

Testo. Scrivi in notazione scientifica 38 400 000 e 0,000 052; riporta in notazione scientifica $0{,}0081 \times 10^5$; scrivi per esteso $4{,}7 \times 10^{-5}$.

38 400 000 ha 8 cifre: la virgola fa 7 salti verso sinistra. 0,000 052 ha 5 zeri prima del 5, contando quello prima della virgola: la virgola fa 5 salti verso destra.

$$\begin{gathered} 38\,400\,000 = 3{,}84 \times 10^7 \\ 0{,}000\,052 = 5{,}2 \times 10^{-5} \end{gathered}$$

Nel terzo il coefficiente va moltiplicato per 1000, quindi l’esponente cala di 3:

$$\begin{gathered} 0{,}0081 \times 10^5 = 8{,}1 \times 10^{-3} \times 10^5 \\ {} = 8{,}1 \times 10^2 \end{gathered}$$

Controllo: $0{,}0081 \times 100\,000 = 810$. Nel quarto la virgola va 5 posti a sinistra: $4{,}7 \times 10^{-5} = 0{,}000\,047$.

2. Prodotto e quoziente

Testo. Calcola, dando il risultato in notazione scientifica:

$$\frac{\left(6{,}0 \times 10^{-4}\right) \cdot \left(8{,}0 \times 10^7\right)}{1{,}6 \times 10^{-2}}$$

Coefficienti ed esponenti si trattano separatamente:

$$\begin{gathered} \frac{6{,}0 \cdot 8{,}0}{1{,}6} = \frac{48}{1{,}6} = 30 \\ -4 + 7 - (-2) = 5 \end{gathered}$$

Si ottiene $30 \times 10^5$. Il coefficiente supera 10: lo dividiamo per 10 e aggiungiamo 1 all’esponente, $30 \times 10^5 = 3{,}0 \times 10^6$. Attenzione: sottrarre l’esponente $-2$ significa aggiungere 2.

3. Somme con esponenti diversi

Testo. Calcola $4{,}2 \times 10^5 + 3{,}1 \times 10^4 - 2{,}0 \times 10^3$ e $9{,}8 \times 10^{-3} + 5{,}5 \times 10^{-4}$.

Nella prima portiamo tutto a $10^5$: $3{,}1 \times 10^4 = 0{,}31 \times 10^5$ e $2{,}0 \times 10^3 = 0{,}020 \times 10^5$.

$$\begin{gathered} (4{,}2 + 0{,}31 - 0{,}020) \times 10^5 \\ {} = 4{,}49 \times 10^5 \end{gathered}$$

Controllo per esteso: $420\,000 + 31\,000 - 2000 = 449\,000$. Nella seconda portiamo tutto a $10^{-3}$, perché $-3$ è l’esponente più grande:

$$\begin{gathered} 9{,}8 \times 10^{-3} + 0{,}55 \times 10^{-3} = 10{,}35 \times 10^{-3} \\ {} = 1{,}035 \times 10^{-2} \end{gathered}$$

La somma ha portato il coefficiente oltre 10, quindi si rinormalizza: il risultato è 0,010 35.

4. Potenze, radici e ordine di grandezza

Testo. Calcola $\left(3 \times 10^4\right)^3$ e $\sqrt{1{,}6 \times 10^{-7}}$ in notazione scientifica. Trova l’ordine di grandezza dei due risultati con la soglia 5, poi con la soglia 3,16.

Per la potenza:

$$\left(3 \times 10^4\right)^3 = 27 \times 10^{12} = 2{,}7 \times 10^{13}$$

Per la radice l’esponente $-7$ è dispari: moltiplichiamo il coefficiente per 10 e togliamo 1 all’esponente.

$$\begin{gathered} \sqrt{1{,}6 \times 10^{-7}} = \sqrt{16 \times 10^{-8}} \\ {} = 4 \times 10^{-4} \end{gathered}$$

Con la soglia 5: 2,7 e 4 sono minori di 5, quindi gli ordini di grandezza sono $10^{13}$ e $10^{-4}$. Con la soglia 3,16 il primo resta $10^{13}$, ma 4 è maggiore di 3,16, quindi il secondo diventa $10^{-3}$. È proprio il caso in cui le due convenzioni non vanno d’accordo.

5. Una stima di Fermi: i battiti di una vita

Testo. Stima quanti battiti fa il cuore di una persona in una vita, supponendo 70 battiti al minuto e una vita di 80 anni. Il risultato cambia ordine di grandezza se i battiti sono 60 o 100 al minuto?

I minuti in un anno sono $60 \cdot 24 \cdot 365 = 525\,600 \approx 5{,}3 \times 10^5$. Moltiplicando:

$$\begin{gathered} N \approx \left(7 \times 10^1\right) \cdot \left(5{,}3 \times 10^5\right) \cdot \left(8 \times 10^1\right) \\ {} = 296{,}8 \times 10^7 \approx 3 \times 10^9 \end{gathered}$$

dove $7 \cdot 5{,}3 \cdot 8 = 296{,}8$ e $1 + 5 + 1 = 7$. L’ordine di grandezza è $10^9$: qualche miliardo di battiti. Con 60 battiti al minuto si ottiene circa $2{,}5 \times 10^9$, con 100 circa $4{,}2 \times 10^9$: il coefficiente resta sotto 5 e l’ordine di grandezza resta $10^9$. Per questo le stime di Fermi reggono anche ipotesi grossolane.

6. Quanto impiega la luce del Sole

Testo. La luce viaggia a $c = 2{,}998 \times 10^8$ m/s e la distanza media Terra-Sole è $1{,}496 \times 10^{11}$ m. Quanto tempo impiega la luce del Sole ad arrivare sulla Terra? Un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno giuliano, $3{,}156 \times 10^7$ s: quanti metri sono, e quante volte la distanza Terra-Sole?

La luce si muove di moto rettilineo uniforme: $t = d/c$.

$$\begin{gathered} t = \frac{1{,}496 \times 10^{11}}{2{,}998 \times 10^8}\ \text{s} = 0{,}4990 \times 10^3\ \text{s} \\ {} = 4{,}990 \times 10^2\ \text{s} \end{gathered}$$

Il coefficiente 0,4990 era minore di 1: l’abbiamo moltiplicato per 10 togliendo 1 all’esponente. Sono circa 499 s, cioè 8 minuti e 19 secondi: il Sole che vedi è quello di otto minuti fa. Per l’anno luce:

$$\begin{gathered} d = \left(2{,}998 \times 10^8\right) \cdot \left(3{,}156 \times 10^7\right)\ \text{m} \\ {} \approx 9{,}462 \times 10^{15}\ \text{m} \end{gathered}$$

Il valore ufficiale è $9{,}461 \times 10^{15}$ m: la differenza nell’ultima cifra viene dall’arrotondamento dei dati. Rispetto alla distanza Terra-Sole:

$$\frac{9{,}462 \times 10^{15}}{1{,}496 \times 10^{11}} \approx 6{,}32 \times 10^4$$

Un anno luce è più di 63 000 volte la distanza Terra-Sole; dato che 6,32 è maggiore di 5, l’ordine di grandezza del rapporto è $10^5$. Altri esercizi sono negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze.

In sintesi

• Notazione scientifica: $x = a \times 10^n$ con $1 \leq |a| < 10$ e $n$ intero; ogni $x \neq 0$ si scrive così in un solo modo.
• Virgola spostata a sinistra: esponente positivo; a destra: negativo. Per un intero, $n$ è il numero delle cifre meno uno.
• La E della calcolatrice significa «per dieci alla»: 2.5E-3 è $2{,}5 \times 10^{-3}$.
• Prodotti e quozienti: coefficienti moltiplicati (divisi), esponenti sommati (sottratti), poi si rinormalizza.
• Radici: prima l’esponente pari. Somme: prima lo stesso esponente.
• Le cifre significative sono quelle del coefficiente: $2{,}50 \times 10^3$ ne ha tre.
• Ordine di grandezza: $10^n$ se $a < 5$, $10^{n+1}$ se $a \geq 5$ (oppure soglia $\sqrt{10} \approx 3{,}16$). L’esponente $n$ è la parte intera inferiore di $\log_{10} x$.

Finora gli esponenti sono stati numeri interi. Ma cosa significa $9^{1/2}$? Lo scopriamo con le potenze con esponente frazionario.