Esercizi svolti sulle potenze: proprietà, esponenti negativi e frazionari, radicali

1. Stessa base e operazioni in fila, da sinistra a destra: il prodotto somma gli esponenti, il quoziente li sottrae.

2. Prima la potenza di potenza, che moltiplica gli esponenti, poi il prodotto con la stessa base:

3. Basi diverse ma stesso esponente: si dividono le basi.

Così eviti di calcolare $6^4 = 1296$.

4. Ancora lo stesso esponente: si moltiplicano le basi, e $0{,}5 \cdot 2 = 1$.

5. Qui ci sono somme: nessuna proprietà, si calcola ogni potenza con il suo segno.

I primi due termini si annullano perché con esponente pari il segno della base sparisce. I risultati sono 25, 4, 16, 1 e $-27$.

La regola è sempre la stessa: per $a \neq 0$ vale $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, cioè si capovolge la base e si cambia segno all’esponente.

1. $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$.

2. Si capovolge la frazione:

3. In $(-2)^{-5}$ la base è $-2$, con esponente dispari:

In $-2^{-4}$ non ci sono parentesi: la base è 2 e il meno resta fuori dalla potenza.

Sono entrambi negativi, ma per motivi diversi: nel primo per la base negativa con esponente dispari, nel secondo per il meno davanti. Mai per colpa dell’esponente negativo.

4. Il decimale diventa una frazione, $0{,}25 = \frac{1}{4}$:

5. Il numeratore è una somma, quindi va calcolato:

C’è una strada più veloce: moltiplicare numeratore e denominatore per $3^3$, che fa sparire tutti gli esponenti negativi.

I risultati sono $\frac{1}{125}$, $\frac{49}{4}$, $-\frac{1}{32}$ e $-\frac{1}{16}$, $64$ e $12$.

Si parte dalla parentesi più interna, la tonda, e si esce un livello alla volta.

Tonda. Quoziente con la stessa base, poi una somma di frazioni con lo stesso denominatore:

Quadra. La tonda vale $\frac{1}{5}$ ed è elevata a $-1$: si capovolge, $\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$. Allo stesso modo $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$. Quindi la quadra vale $5 - 3 = 2$.

Graffa. Prima le potenze, poi il prodotto, infine la sottrazione:

Risultato. La graffa vale 2 ed è elevata a $-1$:

L’espressione vale $\frac{1}{2}$. Nota che ogni esponente $-1$ è stato applicato solo quando la sua parentesi conteneva un solo numero.

1. La massa ha 25 cifre, quindi la virgola fa 24 salti verso sinistra. Il raggio va prima portato in metri, con $1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}$:

2. La stima. Arrotondiamo: $M \approx 6 \times 10^{24}$ kg, $R \approx 6 \times 10^{6}$ m e $\pi \approx 3$, così $\frac{4}{3}\pi \approx 4$.

Con la convenzione della soglia 5, il coefficiente 7,5 dà un ordine di grandezza stimato di $10^4$ kg/m³.

3. Il calcolo. Il cubo si fa separatamente sul coefficiente e sulla potenza di 10:

Per passare ai g/cm³ servono $1\ \text{kg} = 10^3\ \text{g}$ e $1\ \text{m}^3 = \left(10^2\ \text{cm}\right)^3 = 10^6\ \text{cm}^3$:

Quindi $d \approx 5{,}51$ g/cm³, circa cinque volte e mezzo la densità dell’acqua. Il coefficiente 5,51 è maggiore o uguale a 5, quindi l’ordine di grandezza è $10^4$ kg/m³, proprio come nella stima: i numeri arrotondati hanno sbagliato il coefficiente di circa un terzo, ma non l’ordine di grandezza. Il valore pubblicato dalla NASA è 5513 kg/m³: la piccola differenza viene dall’arrotondamento della massa.

(a) Tutte le basi sono potenze di 2: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$. Con la potenza di potenza:

Al numeratore $6 + (-6) = 0$, al denominatore $-4 + 5 = 1$.

(b) Qui compaiono i primi 2 e 3. Si scompone ogni base, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$, $4 = 2^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$, e si eleva ogni fattore:

Poi il quoziente, un primo alla volta:

I risultati sono $\frac{1}{2}$ e $18$, senza mai calcolare numeri come $6^5 = 7776$.

Per $a > 0$ vale $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$: il denominatore è l’indice della radice, il numeratore l’esponente.

1. Prima la radice, poi la potenza, così i numeri restano piccoli:

Per la terza si passa alle frazioni: $0{,}01 = \frac{1}{100}$ e $-1{,}5 = -\frac{3}{2}$. L’esponente negativo capovolge la base:

2. Le radici diventano potenze; siccome $27 = 3^3$, si ha $\sqrt[4]{27} = 3^{3/4}$:

Come radicale, portando fuori il fattore $9 = 3^2$:

3. Tutto in base 2: $\sqrt[3]{4} = 2^{2/3}$, $\sqrt{8} = 2^{3/2}$, $\sqrt[6]{2} = 2^{1/6}$. Si sommano e si sottraggono gli esponenti, con denominatore comune 6:

Tre radici con indici diversi danno un intero. Con le sole regole dei radicali avresti dovuto portarle tutte all’indice 6; con gli esponenti basta sommare frazioni.

L’idea è moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso fattore, cioè per 1 scritto in modo furbo, scelto per far sparire la radice dal denominatore.

1. $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$: per arrivare a $5^1$ manca $5^{2/3} = \sqrt[3]{25}$.

2. Al denominatore c’è una somma con una radice: si usa il coniugato $\sqrt{7} - 1$, perché il prodotto notevole $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ elimina la radice.

3. Il coniugato del denominatore è $2 + \sqrt{3}$. Al numeratore compare un quadrato di binomio:

Verifica. $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, quindi la frazione di partenza vale circa $\frac{3{,}732}{0{,}268} \approx 13{,}93$, proprio come $7 + 4\sqrt{3}$. I risultati sono $2\sqrt[3]{25}$, $\sqrt{7} - 1$ e $7 + 4\sqrt{3}$.

La chiave di tutto: la radice quadrata, e ogni radice di indice pari, è per definizione un numero non negativo. Quindi:

1. $\sqrt{x^2}$ ha senso per ogni $x$, perché $x^2 \geq 0$, e vale $|x|$. Invece $\left(\sqrt{x}\right)^2$ ha senso solo per $x \geq 0$, dove vale $x$. Le due espressioni coincidono solo per $x \geq 0$: per $x = -3$ la prima vale $\sqrt{9} = 3$, la seconda non esiste.

2. Il radicando è un quadrato di binomio, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \geq 0$: l’espressione ha senso per ogni $x$ e

Controllo per $x = 1$: $\sqrt{1 - 6 + 9} = \sqrt{4} = 2$, e infatti $|1 - 3| = 2$. Scrivendo $x - 3$ avresti ottenuto $-2$, un numero negativo come risultato di una radice quadrata.

3. Serve $x \neq 0$. Poi $\frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x}$, che vale:

È la funzione «segno»: dice solo se $x$ è positivo o negativo.

4. Ha senso per ogni $x$: la radice cubica esiste anche per i numeri negativi, e la quarta potenza $x^4$ non è mai negativa. Con indice dispari il segno si conserva, $\sqrt[3]{x^3} = x$; con indice pari serve il valore assoluto, $\sqrt[4]{x^4} = |x|$. Quindi:

Controllo per $x = -2$: $\sqrt[3]{-8} + \sqrt[4]{16} = -2 + 2 = 0$.

(a) Al numeratore c’è una somma: gli esponenti non si sommano tra loro. Si spezzano le potenze con la regola del prodotto e si raccoglie $3^n$:

Il risultato non dipende da $n$. Controllo per $n = 0$: $\frac{27 + 3}{10} = 3$.

(b) Prima tutto in base 2: $4^{n+1} = \left(2^2\right)^{n+1} = 2^{2n+2}$. Poi si raccoglie la potenza con l’esponente più piccolo, $2^{2n-1}$; la differenza degli esponenti è $(2n + 2) - (2n - 1) = 3$:

Controllo per $n = 1$: $\frac{16 - 2}{7 \cdot 2^{-1}} = \frac{14}{3{,}5} = 4$.

(c) Tre addendi uguali: sommare tre volte lo stesso numero vuol dire moltiplicarlo per 3.

Quindi $n = 19$. Due potenze con la stessa base maggiore di 1 sono uguali solo se hanno lo stesso esponente.

Lo stesso raccoglimento risolve le equazioni esponenziali: per esempio $3^{x+3} + 3^{x+1} = 270$ diventa $30 \cdot 3^x = 270$, cioè $3^x = 9$ e $x = 2$.

1. Gli esponenti 80, 50 e 30 sono multipli di 10: con la potenza di potenza portiamo tutto all’esponente 10.

Con lo stesso esponente positivo vince la base più grande:

2. Come potenze sono $7^{1/3}$ e $3^{1/2}$. Eleviamo entrambi alla sesta, il minimo comune multiplo di 3 e 2: sono numeri positivi, quindi l’ordine non cambia.

Quindi $\sqrt[3]{7} > \sqrt{3}$: circa 1,913 contro 1,732.

3. C’è una base comune nascosta, perché $0{,}25 = 0{,}5^2$:

Ora si confrontano gli esponenti: $2{,}4^2 = 5{,}76$ è minore di 6, quindi $\sqrt{6} > 2{,}4$. La base $0{,}5$ è compresa tra 0 e 1, quindi l’esponente più grande dà la potenza più piccola:

Con la calcolatrice: circa 0,183 contro 0,189. Sono vicinissimi, ma il ragionamento non lascia dubbi.

4. Stesso esponente, negativo. Riscriviamo $3^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{3^{\sqrt{2}}}$ e $5^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{5^{\sqrt{2}}}$. Con l’esponente positivo $\sqrt{2}$ vince la base più grande, $3^{\sqrt{2}} < 5^{\sqrt{2}}$; passando ai reciproci di numeri positivi il verso si inverte:

Infatti valgono circa 0,212 e 0,103.

(a) Con $x$ e $y$ positivi tutte le radici si scrivono come potenze con esponente frazionario, e le proprietà valgono:

Ora gli esponenti, lettera per lettera: quelli del numeratore si sommano, quelli del denominatore si sottraggono.

Il risultato è $x^{1/2}\, y = y\sqrt{x}$. Controllo con $x = 16$ e $y = 4$: l’espressione vale $\frac{8 \cdot 32}{16} = 16$, perché $\sqrt[4]{16^3} = 2^3$, $\sqrt{16 \cdot 64} = 32$ e $\sqrt[8]{2^{24} \cdot 2^{8}} = 2^4$; e infatti $4\sqrt{16} = 16$.

(b) Condizioni. $a^{-1/2}$ richiede $a > 0$; $\sqrt{b}$ richiede $b \geq 0$; il denominatore non deve annullarsi, quindi $\sqrt{a} \neq \sqrt{b}$, cioè $a \neq b$.

Semplificazione. Siccome $a^{3/2} = a^{1/2} \cdot a$, al numeratore si raccoglie $a^{1/2}$:

Il fattore $a^{1/2}$ si semplifica con $a^{-1/2}$, perché $a^{1/2} \cdot a^{-1/2} = a^0 = 1$. Resta

Per $a, b \geq 0$ si ha $a = \left(\sqrt{a}\right)^2$ e $b = \left(\sqrt{b}\right)^2$, quindi $a - b$ è una differenza di quadrati:

Il risultato è $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, con $a > 0$, $b \geq 0$ e $a \neq b$. Controllo con $a = 4$ e $b = 1$: l’espressione vale $\frac{8 - 2}{2 - 1} \cdot \frac{1}{2} = 3$, e $\sqrt{4} + \sqrt{1} = 3$.

1. Lo spessore iniziale è $0{,}1\ \text{mm} = 10^{-4}\ \text{m}$, e ogni piega lo moltiplica per 2. Dopo $n$ pieghe:

Per $n = 10$ si ha $s_{10} = 1024 \times 10^{-4}\ \text{m} \approx 0{,}10\ \text{m}$: da un decimo di millimetro a circa 10 centimetri.

2. La stima. Ogni 10 pieghe lo spessore si moltiplica per $2^{10} \approx 10^3$: guadagna tre ordini di grandezza. Dopo 40 pieghe:

Per arrivare a $3{,}84 \times 10^8$ m serve ancora un fattore 3,84: bastano altre due pieghe, che moltiplicano per $2^2 = 4$. La stima è 42 piegature.

La verifica. Serve $10^{-4} \cdot 2^n \geq 3{,}84 \times 10^8$, cioè $2^n \geq 3{,}84 \times 10^{12}$. Con i valori veri:

41 pieghe non bastano, 42 sì: il foglio sarebbe spesso circa $4{,}4 \times 10^8$ m, più della distanza dalla Luna.

3. Serve $2^n \geq 8849 \times 10^4 \approx 8{,}85 \times 10^7$. Con la stessa stima $2^{30} \approx 10^9$, quindi $2^{27} = 2^{30} : 2^3 \approx 1{,}25 \times 10^8$ basta, mentre $2^{26} \approx 6{,}25 \times 10^7$ no. I valori veri confermano:

Servono 27 piegature, che danno uno spessore di circa 13,4 km.

Nel grafico lo spessore è in scala logaritmica, dove ogni tacca è un fattore 100: le potenze di 2 si allineano su una retta, e ogni 10 pieghe si sale di un fattore 1024.

In pratica non ci si arriva nemmeno vicino: il record riconosciuto dal Guinness dei primati è di 12 piegature, ottenuto nel 2002 dalla studentessa americana Britney Gallivan con una striscia di carta velina lunga circa 1,2 km. Con il nostro foglio da 0,1 mm, 12 pieghe darebbero già uno spessore di circa 41 cm. È la forza della crescita esponenziale, la stessa dei batteri e degli interessi composti.