Disequazioni goniometriche fratte e con prodotti: studio del segno ed esercizi svolti

Una disequazione goniometrica fratta, o con prodotti, è una disequazione in cui, portato tutto a primo membro, compare un prodotto o una frazione di espressioni con seno, coseno e tangente, come $\sin x\,(2\cos x - 1) > 0$ o $(2\cos x + 1)/\sin x \leq 0$. Non si risolve con un solo passaggio: serve lo studio del segno di ogni fattore, lo stesso strumento delle disequazioni esponenziali fratte, con in più la periodicità. All’esame di Analisi 1 la incontri nel segno di una funzione, durante lo studio di funzione goniometrica, e nei domini con frazioni. In questa pagina vediamo perché non si divide per un’espressione di segno ignoto, il metodo in sette passi, come si sceglie il periodo, i prodotti di due e tre fattori, le frazioni con le condizioni di esistenza, il grafico dei segni sulla circonferenza e sulla retta, i fattori di segno costante e quelli che si annullano, i fattori con periodi diversi, i prodotti nascosti da una formula, come si scrive la soluzione con il periodo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Prerequisito: le disequazioni goniometriche elementari, i mattoni con cui si studia il segno di ogni fattore.

L’idea: dove una curva sta sopra l’altra

Prendi la disequazione

$$\sin 2x > \sin x$$

Graficamente chiede dove la curva $y = \sin 2x$ sta sopra la curva $y = \sin x$. Le curve si incontrano in $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi}{3}$ e $2\pi$, e tra due incontri consecutivi una resta sempre sopra l’altra.

In un giro la soluzione è fatta di due pezzi, $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ e $\left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)$. Il disegno però non basta: serve un metodo che trovi esattamente i punti di incontro e dica cosa succede tra l’uno e l’altro. Con la duplicazione $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, portando tutto a sinistra e raccogliendo:

$$\begin{gathered} 2\sin x\cos x - \sin x > 0 \\ {} \iff \sin x\,(2\cos x - 1) > 0 \end{gathered}$$

È un prodotto, e i punti in cui le curve si incontrano sono proprio quelli in cui un fattore si annulla.

Perché non si divide per sin x

La tentazione è dividere $2\sin x\cos x > \sin x$ per $\sin x$ e ottenere $2\cos x > 1$. È sbagliato. Prendi $x = \frac{3\pi}{2}$: $\sin 3\pi = 0$ è maggiore di $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$, quindi $\frac{3\pi}{2}$ è una soluzione; invece $2\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ non è maggiore di 1.

Regola. In una disequazione puoi moltiplicare o dividere i due membri solo per una quantità di segno noto: se è positiva il verso resta, se è negativa si inverte.

Il seno è positivo in mezzo giro e negativo nell’altro: dividere per lui è vietato, e così moltiplicare per un denominatore come $\sin x$ o $\cos x$. Si porta invece tutto a primo membro, si scompone in fattori e si usa la regola dei segni: un prodotto, o un quoziente, è positivo se i fattori negativi sono in numero pari, negativo se sono in numero dispari.

Proprietà. Se le funzioni $f_1, \dots, f_n$ sono continue su un intervallo $I$ e nessuna si annulla in $I$, allora ognuna ha segno costante su $I$, e quindi anche il loro prodotto e i loro quozienti.

Perché è vero. Se $f_i$ fosse positiva in un punto di $I$ e negativa in un altro, per il teorema degli zeri si annullerebbe in un punto intermedio, contro l’ipotesi. Seno e coseno sono continui ovunque, la tangente in ogni intervallo che non contiene i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$.

L’idea è semplice: una curva continua che passa da sotto l’asse a sopra deve attraversarlo. La conseguenza è il cuore del metodo: un prodotto o una frazione di questi fattori può cambiare segno solo dove un fattore si annulla o non esiste, e tra due di questi punti consecutivi il segno resta lo stesso.

Il metodo in sette passi

1. Condizioni di esistenza: denominatori diversi da zero, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ se c’è una tangente, $x \neq k\pi$ se c’è una cotangente.
2. Porta tutto a primo membro, con lo $0$ al secondo, e scrivi un’unica frazione.
3. Scomponi in fattori numeratore e denominatore: raccoglimento, prodotti notevoli, duplicazione, prostaferesi. Elimina i fattori di segno costante, invertendo il verso se sono negativi.
4. Scegli il periodo comune $T$ e un intervallo lungo $T$, di solito $[0, 2\pi)$.
5. Studia il segno di ogni fattore in quell’intervallo con le disequazioni elementari: per il numeratore $N > 0$, o $N \geq 0$ se c’è l’uguale; per il denominatore sempre $D > 0$.
6. Combina i segni con una tabella, una riga per intervallo, o con il grafico dei segni.
7. Leggi la soluzione e aggiungi $kT$: gli intervalli con il segno richiesto, gli zeri del numeratore solo con $\geq$ o $\leq$, quelli del denominatore mai. Controlla con un valore di prova nella disequazione di partenza.

È lo stesso metodo delle fratte esponenziali e delle logaritmiche fratte: cambiano le disequazioni elementari del passo 5, e c’è in più il passo 4, perché qui le soluzioni si ripetono.

Basta un periodo: quale scegliere

Proprietà. Se $T$ è un periodo di tutte le funzioni che compaiono nella disequazione, allora $x$ è soluzione se e solo se lo è $x + T$.

Perché è vero. Sostituendo $x + T$ al posto di $x$, ogni funzione riprende lo stesso valore: il primo membro non cambia e la disequazione resta vera o resta falsa. Per questo si risolve in un intervallo lungo $T$ e poi si aggiunge $kT$.

Ecco come si sceglie $T$, ricordando i periodi delle funzioni periodiche:

• solo seno e coseno di $x$: $T = 2\pi$;
• solo funzioni di periodo $\pi$, come $\tan x$, $\cot x$, $\sin 2x$, $\cos 2x$, $\sin^2 x$: $T = \pi$;
• con argomento $ax$: $\sin(ax)$ e $\cos(ax)$ hanno periodo $\frac{2\pi}{|a|}$, quindi con solo $\sin 3x$ e $\cos 3x$ basta $T = \frac{2\pi}{3}$;
• con periodi diversi: il più piccolo multiplo comune, per esempio $2\pi$ con $\tan x$ e $\cos x$, $4\pi$ con $\sin\frac{x}{2}$ e $\cos x$.

Un intervallo più lungo va bene, uno più corto no. Di solito si usa $[0, 2\pi)$; $[-\pi, \pi)$ conviene quando un pezzo della soluzione passa per lo $0$, così non si spezza.

Un prodotto di due fattori

Esempio 1. $\sin x\,(2\cos x - 1) > 0$, cioè $\sin 2x > \sin x$.

Il segno dei due fattori in $[0, 2\pi)$:

• $f_1 = \sin x > 0$ per $0 < x < \pi$;
• $f_2 = 2\cos x - 1 > 0$, cioè $\cos x > \frac{1}{2}$, per $0 \leq x < \frac{\pi}{3}$ oppure $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$.

I punti in cui un fattore si annulla, in ordine, sono $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\pi$ e $\frac{5\pi}{3}$: dividono il giro in quattro intervalli.

Intervallo	$f_1$ e $f_2$	prodotto
$(0, \frac{\pi}{3})$	$+$ e $+$	$+$
$(\frac{\pi}{3}, \pi)$	$+$ e $-$	$-$
$(\pi, \frac{5\pi}{3})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$	$-$ e $+$	$-$

Il prodotto è positivo nel primo e nel terzo intervallo; agli estremi vale zero, quindi sono esclusi:

$$\begin{gathered} 2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \pi + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{6}$: $\sin\frac{\pi}{3} \approx 0{,}87 > \sin\frac{\pi}{6} = 0{,}5$, vero. E $\frac{3\pi}{2}$, la soluzione persa dalla divisione, sta nel terzo intervallo.

Il grafico dei segni sulla circonferenza

Invece della tabella puoi disegnare i segni sulla circonferenza:

1. disegna una circonferenza per ogni fattore, una dentro l’altra;
2. segna su ognuna i punti in cui il fattore si annulla o non esiste, e traccia dal centro le semirette per tutti questi punti: dividono il piano in settori;
3. su ogni circonferenza la linea è continua dove il fattore è positivo e tratteggiata dove è negativo;
4. in ogni settore conta i tratti tratteggiati, cioè i fattori negativi: se sono in numero pari, zero compreso, il prodotto è positivo; se sono dispari, è negativo.

Nella figura il settore da $0$ a $\frac{\pi}{3}$ non ha tratteggi ($+$), quello da $\frac{\pi}{3}$ a $\pi$ ne ha uno ($-$), quello da $\pi$ a $\frac{5\pi}{3}$ due ($+$), l’ultimo uno ($-$). La circonferenza non ha inizio né fine, quindi gli archi non si spezzano: un arco che passa per l’angolo $0$ si scrive partendo da un angolo negativo, per esempio da $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{6}$.

Il grafico dei segni sulla retta

L’alternativa è disegnare $[0, 2\pi]$ come un segmento, una riga per fattore (continua dove è positivo, tratteggiata dove è negativo), con una linea verticale in ogni punto di cambio e i segni del prodotto nell’ultima riga, come nell’esercizio 9 degli esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche. Con tanti punti o periodi diversi è più ordinata. L’unica trappola: $0$ e $2\pi$ sono lo stesso punto della circonferenza, quindi se il primo e l’ultimo intervallo sono soluzioni formano un unico arco.

Prodotti con tre fattori

Con tre fattori non cambia niente: c’è solo una riga, o una circonferenza, in più.

Esempio 2. $\sin x\,\cos x\,(2\sin x + 1) \geq 0$.

In $[0, 2\pi)$:

• $f_1 = \sin x > 0$ per $0 < x < \pi$;
• $f_2 = \cos x > 0$ per $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$;
• $f_3 = 2\sin x + 1 > 0$, cioè $\sin x > -\frac{1}{2}$, per $0 \leq x < \frac{7\pi}{6}$ oppure $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$.

I punti in ordine sono $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6}$:

Intervallo	$f_1$, $f_2$ e $f_3$	prodotto
$(0, \frac{\pi}{2})$	$+$, $+$ e $+$	$+$
$(\frac{\pi}{2}, \pi)$	$+$, $-$ e $+$	$-$
$(\pi, \frac{7\pi}{6})$	$-$, $-$ e $+$	$+$
$(\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$	$-$, $-$ e $-$	$-$
$(\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6})$	$-$, $+$ e $-$	$+$
$(\frac{11\pi}{6}, 2\pi)$	$-$, $+$ e $+$	$-$

Con il $\geq$ gli zeri si includono tutti, perché nessun fattore sta al denominatore:

$$\begin{gathered} 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \pi + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

I segni si alternano perché in ogni punto cambia segno esattamente un fattore. È un buon controllo, non una regola: se un fattore non cambia segno, come $\sin^2 x$, o se due fattori si annullano nello stesso punto, due intervalli vicini possono avere lo stesso segno (lo vedi nell’esercizio 4).

Le frazioni: condizioni di esistenza ed estremi esclusi

Dove $D \neq 0$ vale

$$\frac{N}{D} = \frac{N \cdot D}{D^2}$$

e $D^2$ è positivo: una frazione ha lo stesso segno del prodotto $N \cdot D$. La tabella è quindi la stessa di un prodotto, con tre differenze: si parte dalla condizione $D \neq 0$; per il denominatore si studia sempre $D > 0$, con il segno stretto; gli zeri del denominatore sono sempre esclusi, anche con $\leq$ e $\geq$, perché lì la frazione non esiste.

Esempio 3. $\dfrac{2\cos x + 1}{\sin x} \leq 0$.

C.E.: $\sin x \neq 0$, cioè $x \neq k\pi$. In $[0, 2\pi)$:

• numeratore: $2\cos x + 1 \geq 0$, cioè $\cos x \geq -\frac{1}{2}$, per $0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$ oppure $\frac{4\pi}{3} \leq x < 2\pi$;
• denominatore: $\sin x > 0$ per $0 < x < \pi$.

Intervallo	$N$ e $D$	frazione
$(0, \frac{2\pi}{3})$	$+$ e $+$	$+$
$(\frac{2\pi}{3}, \pi)$	$-$ e $+$	$-$
$(\pi, \frac{4\pi}{3})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{4\pi}{3}, 2\pi)$	$+$ e $-$	$-$

Servono gli intervalli negativi e gli zeri del numeratore, $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{4\pi}{3}$, ma non quelli del denominatore, $\pi$ e $2\pi$:

$$\begin{gathered} \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq x < \pi + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \leq x < 2\pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Fattori di segno costante e fattori che si annullano

Seno e coseno stanno tra $-1$ e $1$, quindi alcuni fattori hanno un segno che non cambia mai:

• $2 + \sin x \geq 1$ e $1 + \sin^2 x \geq 1$ sono sempre positivi: si eliminano e il verso resta;
• $\cos x - 3 \leq -2$ è sempre negativo: si elimina invertendo il verso.

Questa volta dividere è lecito, proprio perché il segno è noto.

Esempio 4. $(\sin x - 3)(2\cos x - \sqrt{3}) > 0$.

Il primo fattore è sempre negativo: dividendo, il verso si inverte.

$$\begin{gathered} 2\cos x - \sqrt{3} < 0 \\ {} \iff \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \\ {} \iff \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

Diverso è il caso dei fattori positivi o nulli, come $\sin^2 x$ e $|\sin x|$, nulli in $x = k\pi$, o $1 - \cos x$, nullo in $x = 2k\pi$. Non cambiano il segno del prodotto, ma dove si annullano il prodotto vale zero:

• con $>$ o $<$ le soluzioni sono quelle degli altri fattori, meno gli zeri del fattore;
• con $\geq$ o $\leq$ sono quelle degli altri fattori, più gli zeri del fattore.

Esempio 5. $\sin^2 x\,(2\cos x - \sqrt{2}) > 0$, e poi con $\geq$.

Il secondo fattore è positivo per $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$, cioè $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{4} + 2k\pi$. Il fattore $\sin^2 x$ si annulla in $x = k\pi$, e dentro quest’arco cade $x = 2k\pi$, che va tolto:

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \\ x \neq 2k\pi \end{gathered}$$

Con il $\geq$, invece, $2\cos x - \sqrt{2} \geq 0$ dà l’arco con gli estremi, e gli zeri di $\sin^2 x$ si aggiungono: $x = 2k\pi$ c’è già, $x = \pi + 2k\pi$ è nuovo.

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo in $x = \pi$: il prodotto vale $0 \cdot (-2 - \sqrt{2}) = 0$, che soddisfa $\geq 0$ ma non $> 0$.

Fattori con periodi diversi

Se un fattore ha periodo $\pi$ e un altro $2\pi$, si lavora su un intervallo lungo $2\pi$, e lì il fattore di periodo $\pi$ dà due archi.

Esempio 6. $\dfrac{\tan x - \sqrt{3}}{2\sin x - 1} > 0$.

C.E.: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ per la tangente, e $\sin x \neq \frac{1}{2}$, cioè $x \neq \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $x \neq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. I periodi sono $\pi$ e $2\pi$: si lavora in $[0, 2\pi)$.

• $\tan x - \sqrt{3} > 0$, cioè $\tan x > \sqrt{3}$, per $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\frac{4\pi}{3} < x < \frac{3\pi}{2}$;
• $2\sin x - 1 > 0$, cioè $\sin x > \frac{1}{2}$, per $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$.

Tra i punti di cambio ci sono anche $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$: lì la tangente non esiste e il numeratore passa da positivo a negativo senza annullarsi.

Intervallo	$N$ e $D$	frazione
$[0, \frac{\pi}{6})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$	$-$ e $+$	$-$
$(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$	$+$ e $+$	$+$
$(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$	$-$ e $+$	$-$
$(\frac{5\pi}{6}, \frac{4\pi}{3})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$	$+$ e $-$	$-$
$(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$	$-$ e $-$	$+$

Guarda l’intervallo $\left(\frac{5\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}\right)$: contiene $\pi$, dove la tangente passa da negativa a positiva, ma resta sempre minore di $\sqrt{3}$, quindi il numeratore non cambia segno. Contano gli zeri del fattore, non quelli della tangente. Il primo e l’ultimo intervallo si saldano attraverso lo $0$, dove la frazione esiste e vale $\sqrt{3} > 0$: formano l’arco da $\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{6}$.

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Il passo $k\pi$ qui sarebbe sbagliato: spostando di $\pi$ l’intervallo $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ si ottiene $\left(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)$, dove la frazione è negativa.

Tangente e cotangente come seno su coseno

Quando la tangente o la cotangente compaiono da sole come fattori, conviene scrivere $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Il segno di $\tan x$ diventa quello di $\sin x \cdot \cos x$, positivo nel primo e nel terzo quadrante, e tutti i fattori hanno periodo $2\pi$. Le condizioni di esistenza però restano quelle di partenza, anche se dopo la riscrittura il coseno finisce al numeratore: lo vedi nell’esercizio 6.

Quando il prodotto è nascosto: le formule

Spesso il prodotto non si vede subito. Gli strumenti per farlo comparire:

• duplicazione e raccoglimento, come in $\sin 2x > \sin x$;
• differenza di quadrati: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ diventa $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$;
• raccoglimento a coppie, come nell’esercizio 6 delle disequazioni goniometriche di secondo grado;
• prostaferesi, che trasformano somme e differenze di seni o coseni in prodotti (formule di prostaferesi):

$$\begin{gathered} \sin p - \sin q = 2\cos\frac{p + q}{2}\,\sin\frac{p - q}{2} \\ \cos p - \cos q = -2\sin\frac{p + q}{2}\,\sin\frac{p - q}{2} \end{gathered}$$

Con le prostaferesi un confronto come $\sin A > \sin B$ diventa lo studio del segno di un prodotto.

Esempio 7. $\sin 4x > \sin 2x$.

Con $p = 4x$ e $q = 2x$:

$$\sin 4x - \sin 2x = 2\cos 3x\,\sin x > 0$$

Il periodo si sceglie guardando la disequazione di partenza: $\sin 4x$ ha periodo $\frac{\pi}{2}$ e $\sin 2x$ ha periodo $\pi$, quindi $T = \pi$. I due fattori da soli hanno periodi $\frac{2\pi}{3}$ e $2\pi$, ma il loro prodotto, $\sin 4x - \sin 2x$, si ripete ogni $\pi$. Lavoriamo in $[0, \pi)$.

Lì $\sin x$ è positivo, tranne in $x = 0$ dove vale zero: il segno del prodotto è quello di $\cos 3x$, e lo $0$ va escluso. Con l’argomento composto:

$$\begin{gathered} \cos 3x > 0 \\ {} \iff -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 3x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ {} \iff -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \end{gathered}$$

In $[0, \pi)$ restano $0 \leq x < \frac{\pi}{6}$ (con $k = 0$) e $\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}$ (con $k = 1$). Togliendo lo $0$ e aggiungendo il periodo $\pi$:

$$\begin{gathered} k\pi < x < \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{\pi}{2} + k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{2\pi}{3}$: $\sin\frac{8\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ è maggiore di $\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, vero. In $[0, 2\pi)$ avresti trovato quattro intervalli, a due a due spostati di $\pi$.

Leggere la soluzione e scrivere il periodo

• A ogni intervallo trovato in $[0, 2\pi)$ si aggiunge $2k\pi$ a entrambi gli estremi; con un altro periodo $T$, $kT$.
• Il primo e l’ultimo intervallo si saldano attraverso lo $0$ solo se lì l’espressione esiste e soddisfa la disequazione, come nell’esempio 6. Se non esiste, o vale zero con $>$ o $<$, si scrive l’esclusione, come $x \neq 2k\pi$ nell’esempio 5.
• Il passo $k\pi$ si usa solo se l’insieme si ripete davvero ogni $\pi$: spostando di $\pi$ ogni pezzo devi ritrovare un altro pezzo, estremi compresi. Va bene nell’esempio 7, non negli esempi 1, 2 e 6.
• Controllo con i punti di prova: sostituisci un punto della soluzione e uno fuori nella disequazione di partenza, non in quella scomposta, così scopri anche un errore nella scomposizione; poi controlla gli estremi.

Gli errori più comuni

• Moltiplicare per il denominatore. In $\frac{2\cos x + 1}{\sin x} \leq 0$, moltiplicando per $\sin x$ il verso resta giusto solo dove $\sin x > 0$.
• Dividere per sin x. Da $\sin 2x > \sin x$ si passa a $2\cos x > 1$: si perde il pezzo $\left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)$, per esempio $x = \frac{3\pi}{2}$, e si aggiungono soluzioni false come $x = -\frac{\pi}{6}$. Si raccoglie, non si divide.
• Includere gli zeri del denominatore. Con $\leq$ o $\geq$ si includono solo gli zeri del numeratore; dove il denominatore si annulla la frazione non esiste.
• Dimenticare le condizioni di esistenza della tangente. I punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$ sono esclusi anche se, scrivendo $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, il coseno finisce al numeratore.
• Studiare il segno su un periodo che non è comune. Con $\tan x$ e $\sin x$ serve $[0, 2\pi)$, non $[0, \pi)$: il seno, su mezzo giro, è studiato a metà.
• Trascurare gli zeri dei fattori positivi o nulli. $\sin^2 x$, $1 - \cos x$ e $|\sin x|$ non cambiano il segno, ma dove si annullano il prodotto vale zero: quei punti si tolgono con $>$ e $<$ e si aggiungono con $\geq$ e $\leq$.
• Scrivere kπ quando lo schema si ripete solo ogni 2π. Prima controlla che, spostando di $\pi$ ogni intervallo, si ritrovi la soluzione.
• Saldare due intervalli attraverso un punto escluso. Se nel punto che li separa l’espressione non esiste, o vale zero con una disequazione stretta, quel punto va escluso esplicitamente.

Esercizi svolti

1. Un prodotto di due fattori

Testo. Risolvi $\cos x\,(2\sin x + \sqrt{3}) \leq 0$.

Non ci sono condizioni di esistenza e il periodo comune è $2\pi$. In $[0, 2\pi)$:

• $f_1 = \cos x > 0$ per $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$;
• $f_2 = 2\sin x + \sqrt{3} > 0$, cioè $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, per $0 \leq x < \frac{4\pi}{3}$ oppure $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$.

Intervallo	$f_1$ e $f_2$	prodotto
$[0, \frac{\pi}{2})$	$+$ e $+$	$+$
$(\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3})$	$-$ e $+$	$-$
$(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$	$+$ e $-$	$-$
$(\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$	$+$ e $+$	$+$

Servono gli intervalli negativi e, per il $\leq$, tutti gli zeri:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \pi$: $\cos\pi \cdot (0 + \sqrt{3}) = -\sqrt{3} \leq 0$, vero; con $x = 0$: $1 \cdot \sqrt{3} > 0$, e infatti $0$ non è soluzione.

2. Una frazione con le condizioni di esistenza

Testo. Risolvi $\dfrac{\sqrt{2}\cos x + 1}{2\sin x + 1} \geq 0$.

C.E.: $\sin x \neq -\frac{1}{2}$, cioè $x \neq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ e $x \neq \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$:

• $N \geq 0$, cioè $\cos x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, per $0 \leq x \leq \frac{3\pi}{4}$ oppure $\frac{5\pi}{4} \leq x < 2\pi$;
• $D > 0$, cioè $\sin x > -\frac{1}{2}$, per $0 \leq x < \frac{7\pi}{6}$ oppure $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$.

Intervallo	$N$ e $D$	frazione
$[0, \frac{3\pi}{4})$	$+$ e $+$	$+$
$(\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{6})$	$-$ e $+$	$-$
$(\frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{6})$	$+$ e $-$	$-$
$(\frac{11\pi}{6}, 2\pi)$	$+$ e $+$	$+$

Si prendono gli intervalli positivi, si aggiungono gli zeri del numeratore, $\frac{3\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{4}$, e si escludono quelli del denominatore. L’ultimo e il primo intervallo si saldano attraverso lo $0$, dove la frazione vale $\sqrt{2} + 1 > 0$: l’arco parte da $\frac{11\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6}$.

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x \leq \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{7\pi}{6} + 2k\pi < x \leq \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{6\pi}{5}$, nel secondo pezzo: la frazione vale circa $\frac{-0{,}14}{-0{,}18} \approx 0{,}82 > 0$.

3. Un fattore sempre negativo e uno che si annulla

Testo. Risolvi $\dfrac{|\sin x|\,(2\cos x + \sqrt{3})}{\cos x - 3} \geq 0$. Cosa cambia con $>$ al posto di $\geq$?

Il denominatore non si annulla mai, perché $\cos x \leq 1$, ed è sempre negativo. Lo eliminiamo invertendo il verso:

$$|\sin x|\,(2\cos x + \sqrt{3}) \leq 0$$

Il fattore $|\sin x|$ non è mai negativo, quindi il prodotto è negativo o nullo solo se $|\sin x| = 0$ oppure $2\cos x + \sqrt{3} \leq 0$:

• $|\sin x| = 0$ per $x = k\pi$;
• $\cos x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$.

I punti $x = \pi + 2k\pi$ sono già dentro l’arco; i punti $x = 2k\pi$ sono nuovi. Il periodo comune è $2\pi$, perché $|\sin x|$ ha periodo $\pi$ e il coseno $2\pi$:

$$\begin{gathered} \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = 2k\pi \end{gathered}$$

Con il $>$ si cerca $|\sin x|\,(2\cos x + \sqrt{3}) < 0$: serve $2\cos x + \sqrt{3} < 0$ e $|\sin x| \neq 0$. Gli estremi dell’arco cadono e cade anche il punto $\pi$:

$$\begin{gathered} \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \\ x \neq \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo in $x = 0$: la frazione vale $\frac{0 \cdot (2 + \sqrt{3})}{1 - 3} = 0$, che soddisfa il $\geq$ ma non il $>$.

4. Periodi diversi e uno zero in comune

Testo. Risolvi $\sin 3x\,(2\cos x - 1) > 0$.

$\sin 3x$ ha periodo $\frac{2\pi}{3}$, $2\cos x - 1$ ha periodo $2\pi$, che è tre volte $\frac{2\pi}{3}$: il periodo comune è $2\pi$. Il segno del primo fattore si trova con l’argomento composto:

$$\begin{gathered} \sin 3x > 0 \iff 2k\pi < 3x < \pi + 2k\pi \\ {} \iff \frac{2k\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \end{gathered}$$

In $[0, 2\pi)$, con $k = 0, 1, 2$, sono tre archi: $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$, $\left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right)$, $\left(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$. Il secondo fattore è positivo per $0 \leq x < \frac{\pi}{3}$ oppure $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$. In $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$ si annullano tutti e due.

Intervallo	$f_1$ e $f_2$	prodotto
$(0, \frac{\pi}{3})$	$+$ e $+$	$+$
$(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{2\pi}{3}, \pi)$	$+$ e $-$	$-$
$(\pi, \frac{4\pi}{3})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$	$+$ e $-$	$-$
$(\frac{5\pi}{3}, 2\pi)$	$-$ e $+$	$-$

In $\frac{\pi}{3}$ cambiano segno entrambi i fattori, quindi il prodotto non cambia: è positivo da tutte e due le parti. Però lì vale zero, e con il $>$ va escluso:

$$\begin{gathered} 2k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \;\; x \neq \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \\ \text{oppure}\;\; \pi + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Il perché del doppio zero: con la triplicazione, $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x = \sin x\,(4\cos^2 x - 1)$, e il prodotto diventa $\sin x\,(2\cos x - 1)^2(2\cos x + 1)$, con un fattore al quadrato. Controllo con $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2} \cdot (0 - 1) = (-1)(-1) = 1 > 0$, vero.

5. Un prodotto nascosto dalla duplicazione

Testo. Risolvi $\cos 2x < \sin x + \cos x$.

Con $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ e la differenza di quadrati:

$$\begin{gathered} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \\ {} - (\cos x + \sin x) < 0 \end{gathered}$$

Raccogliendo $\cos x + \sin x$:

$$(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x - 1) < 0$$

Il segno dei due fattori si trova con l’angolo aggiunto delle disequazioni lineari:

• $f_1 = \cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ è positivo per $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$, cioè in $[0, 2\pi)$ per $0 \leq x < \frac{3\pi}{4}$ oppure $\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$;
• $f_2 = \cos x - \sin x - 1 > 0$ significa $\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 1$, cioè $-\frac{\pi}{4} < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4}$: in $[0, 2\pi)$ è $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, il quarto quadrante. Si annulla in $0$ e in $\frac{3\pi}{2}$.

Intervallo	$f_1$ e $f_2$	prodotto
$(0, \frac{3\pi}{4})$	$+$ e $-$	$-$
$(\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$	$-$ e $-$	$+$
$(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4})$	$-$ e $+$	$-$
$(\frac{7\pi}{4}, 2\pi)$	$+$ e $+$	$+$

Servono gli intervalli negativi, estremi esclusi:

$$\begin{gathered} 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{2}$: $\cos\pi = -1 < 1 + 0$, vero; con $x = \pi$: $\cos 2\pi = 1 < 0 - 1$, falso, e infatti $\pi$ sta in un intervallo positivo.

6. Una frazione con la tangente in un intervallo dato

Testo. Risolvi $\dfrac{2\sin x - \sqrt{3}}{\tan x} \geq 0$ nell’intervallo $[-\pi, \pi]$ e conta da quanti intervalli è formata la soluzione.

C.E.: la tangente deve esistere, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e non deve essere zero, $x \neq k\pi$. In $[-\pi, \pi]$ sono esclusi $-\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$. Scriviamo la tangente come seno su coseno:

$$\frac{2\sin x - \sqrt{3}}{\tan x} = \frac{(2\sin x - \sqrt{3})\cos x}{\sin x}$$

Ora tutti i fattori hanno periodo $2\pi$, e $[-\pi, \pi]$ è lungo proprio $2\pi$: lavoriamo direttamente lì.

• $N = 2\sin x - \sqrt{3} > 0$, cioè $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$, per $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$;
• $\cos x > 0$ per $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$;
• $\sin x > 0$ per $0 < x < \pi$.

Intervallo	$N$, $\cos x$ e $\sin x$	frazione
$(-\pi, -\frac{\pi}{2})$	$-$, $-$ e $-$	$-$
$(-\frac{\pi}{2}, 0)$	$-$, $+$ e $-$	$+$
$(0, \frac{\pi}{3})$	$-$, $+$ e $+$	$-$
$(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$	$+$, $+$ e $+$	$+$
$(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3})$	$+$, $-$ e $+$	$-$
$(\frac{2\pi}{3}, \pi)$	$-$, $-$ e $+$	$+$

Agli intervalli positivi si aggiungono gli zeri del numeratore, $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{2\pi}{3}$, dove la tangente esiste e non è nulla:

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{2} < x < 0 \\ \text{oppure}\;\; \frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ \text{oppure}\;\; \frac{2\pi}{3} \leq x < \pi \end{gathered}$$

La soluzione è formata da tre intervalli. La trappola è in $\pm\frac{\pi}{2}$: la frazione riscritta lì vale zero, perché $\cos x = 0$, e sembrerebbe soddisfare il $\geq$; ma la frazione di partenza non esiste, perché non esiste $\tan x$. Controllo con $x = -\frac{\pi}{4}$: $\frac{-\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} \approx 3{,}15 \geq 0$, vero.

In sintesi

• Non si divide e non si moltiplica per espressioni di segno variabile come $\sin x$: si porta tutto a primo membro, si scompone e si studia il segno.
• Un prodotto o una frazione di fattori continui cambia segno solo dove un fattore si annulla o non esiste.
• Basta un periodo comune a tutte le funzioni: $2\pi$ con seno e coseno, $\pi$ con funzioni di periodo $\pi$, $\frac{2\pi}{|a|}$ con argomento $ax$.
• Tabella o grafico dei segni sulla circonferenza: un numero pari di fattori negativi dà $+$, uno dispari dà $-$.
• Nelle frazioni gli zeri del denominatore sono sempre esclusi; quelli del numeratore si includono solo con $\geq$ e $\leq$.
• I fattori di segno costante si eliminano, invertendo il verso se negativi; quelli positivi o nulli, come $\sin^2 x$, tolgono i loro zeri con $>$ e li aggiungono con $\geq$.
• Alla fine si aggiunge $kT$; il passo $k\pi$ solo se la soluzione si ripete davvero ogni $\pi$.

Nell’ultimo articolo di teoria del capitolo mettiamo insieme più disequazioni: sistemi di disequazioni goniometriche e domini di funzioni.