Equazioni goniometriche riconducibili a elementari: argomento composto e sin A = sin B

Un’equazione goniometrica è riconducibile a elementare quando, con un passaggio, diventa una delle equazioni elementari $\sin t = a$, $\cos t = a$ o $\tan t = a$, dove al posto di $x$ c’è un’espressione $t$. Capita in quasi tutti gli esercizi: in $\sin 2x = \frac{1}{2}$ l’angolo è $2x$, in $\sin 3x = \sin x$ si confrontano due angoli, in $\sin x\cos x = -\frac{1}{4}$ basta una formula. Saperle risolvere senza perdere soluzioni serve per le disequazioni, per gli zeri e il dominio nello studio di funzione e in tutti gli esercizi d’esame del capitolo. In questa pagina vediamo l’argomento composto, con la regola del passo, il coefficiente negativo e il conteggio delle soluzioni in un intervallo; le regole per sin A = sin B, cos A = cos B, tan A = tan B e cot A = cot B, con il loro perché geometrico; il segno meno davanti a una funzione; le funzioni diverse con gli archi associati; le equazioni che si sistemano con una formula; i prodotti uguali a zero; come unire le famiglie di soluzioni; le condizioni di esistenza; uno schema per riconoscere il tipo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: un unico angolo

In un’equazione elementare l’incognita è l’angolo stesso. Se dentro la funzione c’è un’espressione, come $2x - \frac{\pi}{4}$ o $3x$, l’idea è trattarla come un unico angolo $t$: si risolve l’equazione elementare rispetto a $t$, con tutte le sue famiglie e il suo $2k\pi$, e solo alla fine si torna alla $x$. Lo stesso trucco funziona quando i due membri contengono la stessa funzione di due angoli diversi, come $\sin A = \sin B$: invece di cercare un valore, ci si chiede quando due angoli hanno lo stesso seno.

L’argomento composto

Esempio 1. $\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

L’angolo $t = 2x - \frac{\pi}{4}$ deve avere seno $\frac{\sqrt{2}}{2}$, quindi vale $\frac{\pi}{4}$ o $\frac{3\pi}{4}$, a meno di giri interi:

$$\begin{gathered} 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

Ora si ricava $x$: si somma $\frac{\pi}{4}$ e si divide tutto per 2, anche il termine $2k\pi$:

$$\begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ 2x = \pi + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{gathered}$$

Il passo è diventato $k\pi$. Non è un caso: come abbiamo visto nelle sinusoidi, la funzione $\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ ha periodo $\pi$, quindi in un giro completo fa due onde e taglia la retta $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ quattro volte, non due.

La regola generale

Perché è vero. Due valori di $x$ danno lo stesso angolo, a meno di giri, quando i loro argomenti differiscono di $2k\pi$: $a x_1 - a x_2 = 2k\pi$, cioè $x_1 - x_2 = \frac{2k\pi}{a}$. Quindi ogni famiglia si ripete con passo $\frac{2\pi}{\lvert a \rvert}$ e, per seno e coseno, in ogni periodo ci sono tante soluzioni quante ne ha l’equazione elementare in un giro: due se $-1 < c < 1$, una se $c = \pm 1$, nessuna se $\lvert c \rvert > 1$. Con la tangente, per esempio, da $\tan 3x = 1$ viene $3x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, cioè $x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$.

Quante soluzioni in un intervallo

Per elencare le soluzioni in un intervallo si prende una famiglia alla volta e si cercano gli interi $k$ che fanno cadere $x$ nell’intervallo. Nell’esempio 1, in $[0, 2\pi)$:

$$\begin{gathered} 0 \leq \frac{\pi}{4} + k\pi < 2\pi \iff -\frac{1}{4} \leq k < \frac{7}{4} \\ 0 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi < 2\pi \iff -\frac{1}{2} \leq k < \frac{3}{2} \end{gathered}$$

In entrambi i casi $k = 0$ o $k = 1$, e si ottengono $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$. Il conto dei periodi dà una stima veloce: $[0, 2\pi)$ contiene due periodi, con due soluzioni ciascuno. Ma quando l’intervallo contiene un numero non intero di periodi la stima non basta, e bisogna elencare (lo vediamo nell’esercizio 1).

Quando il coefficiente di x è negativo

Esempio 2. $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Primo modo: direttamente. L’angolo deve valere $\frac{\pi}{3}$ o $\frac{2\pi}{3}$, a meno di giri. Dalla prima famiglia:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{6} - 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ -2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ x = -\frac{\pi}{12} - k\pi \end{gathered}$$

Siccome $k$ è un intero qualsiasi, $-k\pi$ descrive gli stessi numeri di $+k\pi$: si scrive $x = -\frac{\pi}{12} + k\pi$. Allo stesso modo la seconda famiglia, $\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, dà $-2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ e quindi $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, di nuovo dopo aver scritto $+k\pi$ al posto di $-k\pi$.

Secondo modo: prima si cambia segno all’argomento. Il seno è dispari, quindi $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$ e l’equazione diventa $\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\begin{gathered} 2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ {} \iff x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \\[2mm] 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \end{gathered}$$

Sono le stesse famiglie: $\frac{3\pi}{4}$ e $-\frac{\pi}{4}$ differiscono di $\pi$, cioè di un passo. In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{11\pi}{12}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\frac{23\pi}{12}$, e con le famiglie del primo modo si ottengono con $k = 1$ e $k = 2$, non con $k = 0$: per questo i valori di $k$ vanno cercati, non indovinati. Con il coseno è ancora più semplice: è pari, quindi $\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Argomenti come x/2: il passo si allunga

Esempio 3. $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

$$\begin{gathered} \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi \\ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \iff x = 2\pi + 4k\pi \end{gathered}$$

Qui si moltiplica tutto per 2, e il passo raddoppia: $4k\pi$. In $[0, 2\pi)$ la funzione fa solo mezza onda, e infatti c’è una sola soluzione, $x = \frac{2\pi}{3}$ (il valore $2\pi$ è escluso); in $[0, 4\pi)$ le soluzioni sono due, $\frac{2\pi}{3}$ e $2\pi$. Meno soluzioni di $\sin x = \frac{1}{2}$ nello stesso intervallo, non di più.

Due funzioni dello stesso tipo

Un’equazione come $\sin 3x = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ non chiede di calcolare un valore. La domanda giusta è: quando due angoli hanno lo stesso seno? La risposta si legge sulla circonferenza goniometrica. Il seno è l’ordinata: due angoli hanno lo stesso seno quando individuano lo stesso punto oppure due punti alla stessa altezza, cioè simmetrici rispetto all’asse $y$, come $B$ e $\pi - B$. Il coseno è l’ascissa: due angoli hanno lo stesso coseno quando individuano lo stesso punto oppure due punti simmetrici rispetto all’asse $x$, come $B$ e $-B$.

Sono le regole delle equazioni elementari con un angolo $B$ al posto di $\alpha$: infatti $\sin x = \frac{1}{2}$ è proprio $\sin x = \sin\frac{\pi}{6}$. Per la tangente il motivo è un altro: $\tan A = \tan B$ quando i punti di $A$ e $B$ stanno sulla stessa retta per l’origine, cioè coincidono o sono opposti, e due punti opposti differiscono di $\pi$.

Seno: stesso punto o simmetrici

Esempio 4. $\sin 3x = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

$$\begin{gathered} 3x = x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{6} + k\pi \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} 3x = \pi - \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi \\ 4x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \end{gathered}$$

Nota la parentesi: in $\pi - B$ il segno meno cambia segno a tutto $B$. La prima famiglia è contenuta nella seconda (si ottiene con $k$ pari), quindi la soluzione si scrive $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$. Come si controlla lo vediamo tra poco, nella sezione sulle famiglie.

Coseno: simmetrici rispetto all’asse x

Esempio 5. $\cos 5x = \cos x$.

$$\begin{gathered} 5x = x + 2k\pi \iff x = \frac{k\pi}{2} \\ 5x = -x + 2k\pi \iff x = \frac{k\pi}{3} \end{gathered}$$

Questa volta nessuna famiglia contiene l’altra, ma hanno valori in comune: i multipli di $\pi$. In $[0, 2\pi)$ la prima dà $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$; la seconda $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$. Le soluzioni distinte sono 8, non 10: $0$ e $\pi$ si contano una volta sola.

Tangente: attenzione al dominio

Esempio 6. $\tan 2x = \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Condizioni di esistenza: $2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, cioè $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, e $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, cioè $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$. Dalla regola:

$$2x = x + \frac{\pi}{4} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$

Ma per questi valori $2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ e $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$: nessuna delle due tangenti esiste. La regola $A = B + k\pi$ ha trovato i punti in cui i due angoli differiscono di $k\pi$, anche dove le tangenti non sono definite. Tutte le soluzioni vanno scartate: l’equazione è impossibile.

Il segno meno: sin A = −sin B e cos A = −cos B

Se davanti a una funzione c’è un segno meno, lo si porta dentro con gli archi associati, e si torna al caso precedente:

$$\begin{gathered} -\sin B = \sin(-B) \\ -\cos B = \cos(\pi - B) \end{gathered}$$

Attenzione: $\sin(\pi - B)$ vale $\sin B$, non $-\sin B$. Per il seno va bene anche $\sin(\pi + B)$, che vale $-\sin B$.

Esempio 7. $\cos 3x = -\cos x$, cioè $\cos 3x = \cos(\pi - x)$:

$$\begin{gathered} 3x = \pi - x + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \\[2mm] 3x = -(\pi - x) + 2k\pi \\ {} \iff x = -\frac{\pi}{2} + k\pi \end{gathered}$$

La seconda famiglia si può scrivere anche $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Controllo con la prostaferesi: $\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x$, che si annulla per $\cos 2x = 0$ o $\cos x = 0$, cioè proprio per le stesse due famiglie.

Funzioni diverse: gli archi associati

Se le funzioni sono diverse, si trasforma una nell’altra con gli archi associati. Le trasformazioni che servono più spesso:

$$\begin{gathered} \cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) \\ \sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \\ \cot\theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \end{gathered}$$

Valgono per qualsiasi espressione al posto di $\theta$, anche $2x + \frac{\pi}{3}$.

Esempio 8. $\sin 4x = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Primo modo. Con $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ il secondo membro diventa $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$:

$$\begin{gathered} 4x = \frac{\pi}{6} - 2x + 2k\pi \\ 6x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{3} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} 4x = \pi - \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + 2k\pi \\ 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \end{gathered}$$

Secondo modo. Con $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ il secondo membro diventa $\sin\left(2x + \frac{5\pi}{6}\right)$:

$$\begin{gathered} 4x = 2x + \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \\[2mm] 4x = \pi - 2x - \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ 6x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{3} \end{gathered}$$

Le famiglie sono le stesse, solo scambiate. Il motivo: i due argomenti $\frac{\pi}{6} - 2x$ e $2x + \frac{5\pi}{6}$ sono supplementari, quindi il caso «stesso punto» di una scrittura è il caso «punto simmetrico» dell’altra. Le soluzioni sono $x = \frac{\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}$ (cioè 5° più multipli di 60°) oppure $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$; in $[0, 2\pi)$ sono 8, sei dalla prima famiglia e due dalla seconda.

Tangente e cotangente. Con $\cot\theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ ci si riconduce a $\tan A = \tan B$.

Esempio 9. $\tan 3x = \cot x$ diventa $\tan 3x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$:

$$3x = \frac{\pi}{2} - x + k\pi \iff x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$$

Condizioni di esistenza: $\cos 3x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$, e $\sin x \neq 0$, cioè $x \neq k\pi$. Scritte con denominatore 24, le soluzioni sono $\frac{(3 + 6k)\pi}{24}$, con numeratore dispari, mentre i valori esclusi, $\frac{(4 + 8k)\pi}{24}$ e $\frac{24k\pi}{24}$, hanno numeratore pari: non coincidono mai, e le soluzioni sono tutte accettabili.

Equazioni che si sistemano con una formula

Alcune equazioni sembrano di un tipo nuovo, ma una formula di duplicazione o di linearizzazione le trasforma in un’equazione con l’argomento doppio.

Il prodotto sin x cos x. Siccome $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, l’equazione $\sin x\cos x = c$ diventa $\sin 2x = 2c$. Ha soluzioni se e solo se $\lvert c \rvert \leq \frac{1}{2}$: il prodotto $\sin x\cos x$ non supera mai $\frac{1}{2}$.

Esempio 10. $\sin x\cos x = -\frac{1}{4}$ diventa $\sin 2x = -\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \iff x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \\ 2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \end{gathered}$$

La differenza cos² x − sin² x. È $\cos 2x$, come $2\cos^2 x - 1$ e $1 - 2\sin^2 x$.

Esempio 11. $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2}$ diventa $\cos 2x = \frac{1}{2}$, quindi $2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ e $x = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi$.

Il quadrato sin² x. Si può linearizzare, con $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, oppure togliere il quadrato con il $\pm$.

Esempio 12. $\sin^2 x = \frac{3}{4}$.

Con la linearizzazione:

$$\begin{gathered} \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{3}{4} \iff \cos 2x = -\frac{1}{2} \\ 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi \end{gathered}$$

Con la radice: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oppure $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Il primo dà $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{2\pi}{3}$, il secondo $-\frac{\pi}{3}$ e $\frac{4\pi}{3}$, tutti più $2k\pi$. Quattro famiglie, ma $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{4\pi}{3}$ differiscono di $\pi$, e così $-\frac{\pi}{3}$ e $\frac{2\pi}{3}$: si uniscono in $x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi$, lo stesso risultato. Dimenticare il $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ farebbe perdere metà delle soluzioni.

Prodotti uguali a zero

Quando un’equazione si scrive come prodotto uguale a zero, si spezza in equazioni più semplici: un prodotto è nullo se e solo se è nullo almeno un fattore (dove tutti i fattori sono definiti). La regola d’oro è raccogliere, mai dividere per un’espressione che può annullarsi.

Esempio 13. $\sin 2x = \sin x$, in due modi.

Con la regola di sin A = sin B: da $2x = x + 2k\pi$ viene $x = 2k\pi$; da $2x = \pi - x + 2k\pi$ viene $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$.

Con la duplicazione:

$$\begin{gathered} 2\sin x\cos x - \sin x = 0 \\ \sin x\,(2\cos x - 1) = 0 \end{gathered}$$

Quindi $\sin x = 0$, cioè $x = k\pi$, oppure $\cos x = \frac{1}{2}$, cioè $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Sembrano risultati diversi, ma sono lo stesso insieme. La famiglia $\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$, in un giro, dà $\frac{\pi}{3}$, $\pi$ e $\frac{5\pi}{3}$: cioè $\frac{\pi}{3}$, $-\frac{\pi}{3}$ e $\pi$ più $2k\pi$. Insieme a $2k\pi$, i valori $\pi + 2k\pi$ completano i multipli di $\pi$. In $[0, 2\pi)$ entrambe le strade danno $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi}{3}$.

Dividendo per $\sin x$, invece, resterebbe solo $\cos x = \frac{1}{2}$: si perderebbero tutte le soluzioni $x = k\pi$, proprio quelle in cui $\sin x = 0$.

Esempio 14. $\sin 3x + \sin x = \sqrt{3}\cos x$. Con la prostaferesi, $p = 3x$ e $q = x$, la somma a sinistra è $2\sin 2x\cos x$:

$$\begin{gathered} 2\sin 2x\cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \\ \cos x\,(2\sin 2x - \sqrt{3}) = 0 \end{gathered}$$

Il primo fattore dà $\cos x = 0$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Il secondo dà $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, cioè $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ oppure $2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$: $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ oppure $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. Controllo con $x = \frac{\pi}{6}$: a sinistra $\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}$, a destra $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Unire le famiglie di soluzioni

Alla fine di un’equazione ci si ritrova spesso con più famiglie. Come si scrive la soluzione elementare con le sue famiglie l’abbiamo visto nelle equazioni goniometriche elementari; qui servono due controlli in più.

Una famiglia contenuta in un’altra. Si uguagliano le due famiglie usando due lettere diverse per gli interi, e si guarda se per ogni $k$ esiste un $m$ intero. Nell’esempio 4:

$$\frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{2} \iff m = 2k$$

$m$ è sempre intero: la prima famiglia è contenuta nella seconda, e basta scrivere $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$. Nell’esempio 7, invece, $\frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}$ dà $m = 2k + \frac{1}{2}$, mai intero: le famiglie vanno tenute tutte e due. Un controllo pratico è elencare i valori di ogni famiglia in un giro e confrontarli, come nell’esempio 5.

Scrivere un’unione in modo compatto. Se più famiglie hanno lo stesso passo e i punti di partenza sono equidistanti, si fondono in una sola con un passo più piccolo: sulla circonferenza sono i vertici di un poligono regolare.

Famiglie	Si scrivono
$k\pi$ e $\frac{\pi}{2} + k\pi$	$\frac{k\pi}{2}$
$\frac{\pi}{4} + k\pi$ e $\frac{3\pi}{4} + k\pi$	$\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
$2k\pi$, $\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $\frac{4\pi}{3} + 2k\pi$	$\frac{2k\pi}{3}$
$\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ e $\frac{4\pi}{3} + 2k\pi$	$\frac{\pi}{3} + k\pi$

Le scritture non compatte non sono sbagliate: lo diventano solo se si contano due volte le stesse soluzioni.

Condizioni di esistenza e verifica finale

Quando compaiono tangenti, cotangenti o frazioni, il metodo ha quattro passi:

1. scrivi le condizioni di esistenza prima di trasformare l’equazione;
2. risolvi;
3. scarta le soluzioni che violano le condizioni;
4. verifica un valore per famiglia nell’equazione di partenza.

Esempio 15. $\dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} = 0$.

Il denominatore si annulla quando $\sin x = \cos x$. Lì $\cos x \neq 0$ (se fosse $\cos x = 0$, sarebbe $\sin x = \pm 1$), quindi si può dividere per $\cos x$: $\tan x = 1$, cioè $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Condizione di esistenza: $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Una frazione è nulla quando è nullo il numeratore: $\cos 2x = 0$, cioè $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$. Queste soluzioni sono $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$, e così via: una su due è esclusa. Restano $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$. Lo stesso risultato si trova scomponendo $\cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$ e semplificando, ma la semplificazione è lecita solo dove il fattore tolto non è zero.

Come riconoscere il tipo

Se vedi…	Cosa fai
una funzione di $ax + b$ uguale a un numero	risolvi per l’argomento, poi dividi tutto per $a$
la stessa funzione nei due membri	regola di $\sin A = \sin B$, $\cos A = \cos B$, $\tan A = \tan B$
un segno meno davanti a una funzione	portalo dentro: $\sin(-B)$, $\cos(\pi - B)$
seno da una parte, coseno dall’altra	archi associati, poi la regola
$\sin x\cos x$, $\cos^2 x - \sin^2 x$, $\sin^2 x$	duplicazione o linearizzazione
un fattore comune, somme di seni o coseni	raccogli o usa la prostaferesi, poi prodotto nullo
tangenti, cotangenti, frazioni	condizioni di esistenza all’inizio, controllo alla fine

Se invece la stessa funzione compare al quadrato e al primo grado, l’equazione è di secondo grado; se seno e coseno compaiono al primo grado con un termine noto, è lineare; se tutti i termini sono di secondo grado in seno e coseno, è omogenea.

Gli errori più comuni

• Dividere per 2 solo il termine noto. Da $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ viene $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$, non $x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi$: chi lascia $2k\pi$ trova due soluzioni di $\sin 2x = \frac{1}{2}$ in $[0, 2\pi)$ invece di quattro.
• Dividere per sin x. Si perdono le soluzioni $x = k\pi$, in cui $\sin x = 0$. Si raccoglie e si annulla un fattore alla volta.
• Dimenticare le condizioni di esistenza della tangente. La regola $A = B + k\pi$ trova anche punti in cui le tangenti non esistono: nell’esempio 6 li trova tutti.
• Scrivere cos A = cos B come A = B + 2kπ e basta. Manca la famiglia $A = -B + 2k\pi$, quella dei punti simmetrici rispetto all’asse $x$.
• Portare dentro il meno nel modo sbagliato. $-\sin B$ non è $\sin(\pi - B)$, che vale $\sin B$: è $\sin(-B)$, oppure $\sin(\pi + B)$. E $-\cos B$ non è $\cos(-B)$: è $\cos(\pi - B)$.
• Usare gli stessi valori di k per tutte le famiglie. Nel conteggio in un intervallo ogni famiglia ha i suoi $k$: nell’esempio 2 servono $k = 1$ e $k = 2$, non $k = 0$ e $k = 1$.
• Perdere soluzioni togliendo un quadrato. Da $\sin^2 x = \frac{3}{4}$ viene $\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, con entrambi i segni. Al contrario, elevando al quadrato i due membri si possono aggiungere soluzioni false: vanno verificate.
• Chiamare k due interi diversi. Per confrontare due famiglie si scrive $\frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{2}$; con la stessa lettera si otterrebbe $k\pi = \frac{k\pi}{2}$, cioè solo $k = 0$, e una conclusione sbagliata.

Esercizi svolti

1. Argomento composto in un intervallo

Testo. Risolvi $2\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$ e trova le soluzioni nell’intervallo $[0, \pi]$. Quante sono?

L’equazione è $\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, quindi l’argomento vale $\frac{\pi}{6}$ o $\frac{5\pi}{6}$, a meno di giri:

$$\begin{gathered} 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ 3x = 2k\pi \iff x = \frac{2k\pi}{3} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ 3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \end{gathered}$$

Ora una famiglia alla volta. Per la prima, $0 \leq \frac{2k\pi}{3} \leq \pi$ significa $0 \leq k \leq \frac{3}{2}$, quindi $k = 0, 1$: $x = 0$ e $x = \frac{2\pi}{3}$. Per la seconda, $0 \leq \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \leq \pi$ significa $-\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{7}{6}$, quindi $k = 0, 1$: $x = \frac{2\pi}{9}$ e $x = \frac{8\pi}{9}$.

Le soluzioni in $[0, \pi]$ sono 4: $0$, $\frac{2\pi}{9}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{8\pi}{9}$. Il periodo è $\frac{2\pi}{3}$, quindi $[0, \pi]$ contiene un periodo e mezzo: la stima «due per periodo» darebbe 3, ma nel mezzo periodo finale cadono tutte e due le soluzioni del periodo successivo. Per questo, quando i periodi non sono interi, si elenca. Verifica con $x = \frac{8\pi}{9}$: l’argomento vale $\frac{8\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$, e $\sin\frac{17\pi}{6} = \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

2. Stesso seno, con una famiglia nascosta

Testo. Risolvi $\sin 2x = \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ e scrivi le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Con la regola di $\sin A = \sin B$, prima famiglia:

$$\begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{4} - x + 2k\pi \\ 3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3} \end{gathered}$$

Seconda famiglia, con la parentesi:

$$\begin{gathered} 2x = \pi - \left(\frac{\pi}{4} - x\right) + 2k\pi \\ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

La seconda è contenuta nella prima? Uguagliamo con due lettere diverse e moltiplichiamo per $\frac{12}{\pi}$:

$$\begin{gathered} \frac{3\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{12} + \frac{2m\pi}{3} \\ 9 + 24k = 1 + 8m \iff m = 1 + 3k \end{gathered}$$

$m$ è intero per ogni $k$: la seconda famiglia è contenuta nella prima. La soluzione è $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}$, e in $[0, 2\pi)$ dà $\frac{\pi}{12}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{17\pi}{12}$. Verifica con $x = \frac{3\pi}{4}$: $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ e $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Tre soluzioni in un giro, a distanza $\frac{2\pi}{3}$ l’una dall’altra.

3. Coseno contro seno

Testo. Risolvi $\cos 3x + \sin x = 0$ e trova le soluzioni in $[0, \pi]$.

L’equazione è $\cos 3x = -\sin x$. Con gli archi associati, $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$, quindi diventa $\cos 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$:

$$\begin{gathered} 3x = \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\[2mm] 3x = -\frac{\pi}{2} - x + 2k\pi \\ {} \iff x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \end{gathered}$$

Le famiglie non si contengono: uguagliando e moltiplicando per $\frac{8}{\pi}$ si ottiene $2 + 8k = -1 + 4m$, cioè $4m = 3 + 8k$, impossibile perché a sinistra c’è un numero pari e a destra uno dispari. In $[0, \pi]$ la prima famiglia dà $\frac{\pi}{4}$, la seconda, con $k = 1$ e $k = 2$, dà $\frac{3\pi}{8}$ e $\frac{7\pi}{8}$.

Le soluzioni in $[0, \pi]$ sono tre: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{7\pi}{8}$. Verifica con $x = \frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{3\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.

4. Tangenti e soluzioni da scartare

Testo. Risolvi $\tan 2x \cdot \tan x = 1$.

Condizioni di esistenza: $\cos x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e $\cos 2x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$. Se fosse $\tan x = 0$ il prodotto varrebbe 0, non 1: quindi nelle soluzioni $\tan x \neq 0$ e si può dividere. Con gli archi associati:

$$\begin{gathered} \tan 2x = \frac{1}{\tan x} = \cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ 2x = \frac{\pi}{2} - x + k\pi \iff x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \end{gathered}$$

Ora il controllo. In un giro questi valori sono $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6}$: i valori $\frac{\pi}{2} + k\pi$ vanno scartati, perché lì $\tan x$ non esiste. La condizione su $\cos 2x$ invece è sempre rispettata: se fosse $\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + m\pi$, moltiplicando per $\frac{6}{\pi}$ si avrebbe $2 + 4k = 3 + 6m$, un numero pari uguale a uno dispari. Restano $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ e $x = \frac{5\pi}{6} + k\pi$, cioè

$$x = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi$$

Verifica: $\tan\frac{\pi}{3} \cdot \tan\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$. Controllo con un’altra strada: con $t = \tan x$ e $\tan 2x = \frac{2t}{1 - t^2}$ l’equazione diventa $\frac{2t^2}{1 - t^2} = 1$, cioè $t^2 = \frac{1}{3}$ e $\tan x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$: le stesse soluzioni. Nota che $x = \frac{\pi}{2}$ risolve $\tan 2x = \cot x$ (entrambi valgono 0), ma non l’equazione di partenza.

5. Un prodotto con la prostaferesi

Testo. Risolvi $\sin 5x - \sin 3x = \sin x$ e trova le soluzioni in $[0, \pi)$.

Con la prostaferesi $\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p + q}{2}\sin\frac{p - q}{2}$, con $p = 5x$ e $q = 3x$:

$$\begin{gathered} 2\cos 4x\sin x - \sin x = 0 \\ \sin x\,(2\cos 4x - 1) = 0 \end{gathered}$$

Si raccoglie $\sin x$, senza dividere. Il primo fattore dà $\sin x = 0$, cioè $x = k\pi$. Il secondo dà $\cos 4x = \frac{1}{2}$:

$$4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$

In $[0, \pi)$: da $x = k\pi$ solo $0$; da $\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, con $k = 0, 1$, vengono $\frac{\pi}{12}$ e $\frac{7\pi}{12}$; da $-\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, con $k = 1, 2$, vengono $\frac{5\pi}{12}$ e $\frac{11\pi}{12}$. Le soluzioni sono 5: $0$, $\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{7\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12}$. Verifica con $x = \frac{\pi}{12}$: in gradi, $\sin 75^\circ - \sin 45^\circ \approx 0{,}966 - 0{,}707 = 0{,}259 \approx \sin 15^\circ$.

6. Da esame: due formule di fila

Testo. Risolvi $\sin x\cos x\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{8}$. Quante soluzioni ha in $[0, 2\pi)$? Elencale.

Il primo membro si compatta con la duplicazione, usata due volte:

$$\begin{gathered} \sin x\cos x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x \\ {} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 4x = \frac{1}{4}\sin 4x \end{gathered}$$

L’equazione diventa $\frac{1}{4}\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{8}$, cioè $\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\begin{gathered} 4x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \\ 4x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \end{gathered}$$

Il periodo di $\sin 4x$ è $\frac{\pi}{2}$: in $[0, 2\pi)$ ci sono quattro periodi interi, con due soluzioni ciascuno, quindi 8 soluzioni. Con $k = 0, 1, 2, 3$ in ogni famiglia:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{2\pi}{3}, \\ \frac{13\pi}{12},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{19\pi}{12},\ \frac{5\pi}{3} \end{gathered}$$

Verifica con $x = \frac{\pi}{12}$: $\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{4}$, e moltiplicato per $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dà $\frac{\sqrt{3}}{8}$. Altri esercizi su tutto il capitolo, dalle elementari a quelle con parametro, sono negli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche; per contare le soluzioni con un grafico c’è la risoluzione grafica.

In sintesi

• Con l’argomento composto si risolve rispetto all’argomento e poi si divide tutto per il coefficiente di $x$: il passo diventa $\frac{2\pi}{\lvert a \rvert}$ (o $\frac{\pi}{\lvert a \rvert}$ per la tangente). Con un coefficiente negativo, $-k\pi$ e $+k\pi$ descrivono gli stessi numeri.
• Per le soluzioni in un intervallo si cercano i $k$ di ogni famiglia; il numero di periodi dà solo una stima.
• $\sin A = \sin B \iff A = B + 2k\pi$ oppure $A = \pi - B + 2k\pi$; $\ \cos A = \cos B \iff A = \pm B + 2k\pi$; $\ \tan A = \tan B$ e $\cot A = \cot B \iff A = B + k\pi$, con le condizioni di esistenza.
• Il segno meno entra nella funzione: $-\sin B = \sin(-B)$, $-\cos B = \cos(\pi - B)$. Con funzioni diverse si usano gli archi associati, come $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.
• $\sin x\cos x = c$ diventa $\sin 2x = 2c$; $\cos^2 x - \sin^2 x = c$ diventa $\cos 2x = c$; $\sin^2 x = c$ si linearizza o si risolve con il $\pm$.
• Si raccoglie, non si divide; la prostaferesi trasforma somme in prodotti.
• Le famiglie si confrontano con due lettere diverse; le condizioni di esistenza si scrivono all’inizio e si controllano alla fine.

Un altro caso molto frequente sono le equazioni in cui la stessa funzione compare al quadrato e al primo grado: le vediamo nelle equazioni goniometriche di secondo grado.