Equazioni esponenziali: come si risolvono, stessa base ed esercizi svolti

Le equazioni esponenziali sono le equazioni in cui l’incognita sta all’esponente, come $2^x = 32$ oppure $3^{x+1} = 9^{x-1}$. Sono la prima applicazione della funzione esponenziale: all’esame di Analisi 1 le ritrovi da sole, dentro le disequazioni, nei domini e negli zeri di uno studio di funzione. Si risolvono con pochi metodi, sempre gli stessi, e il più importante è quello di questa pagina: riportare tutto alla stessa base. In questa pagina vediamo cos’è un’equazione esponenziale e come si riconosce il tipo, perché si possono uguagliare gli esponenti, quando $a^x = b$ ha una soluzione e quando è impossibile, il metodo generale in cinque passi, tanti esempi con frazioni, decimali, radici ed esponenti di secondo grado, lo stesso esponente con basi diverse, le condizioni di esistenza, le equazioni con un parametro, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un’equazione esponenziale

Sono esponenziali, per esempio:

$$\begin{gathered} 2^x = 32 \\ 3^{x+1} = 9^{x-1} \\ 25^x - 4 \cdot 5^x - 5 = 0 \\ 5^x = 7 \end{gathered}$$

Non è esponenziale, invece, $x^3 = 8$: lì la $x$ sta nella base, ed è un’equazione di terzo grado.

La base è positiva e diversa da 1 per i motivi visti con la funzione esponenziale: con una base negativa molte potenze non esistono, come $(-2)^{1/2}$, e con la base 1 la potenza vale sempre 1. Grazie a questa scelta, $a^t$ esiste per ogni esponente reale $t$. Quindi la potenza in sé non pone nessuna condizione sulla $x$: le condizioni, se ci sono, vengono dall’esponente $f(x)$, quando contiene frazioni, radici o logaritmi. È una differenza importante rispetto alle equazioni logaritmiche, dove l’argomento del logaritmo deve essere sempre positivo.

I tipi di equazione esponenziale

Prima di fare conti, conviene capire che tipo di equazione hai davanti. I casi sono pochi:

1. elementare: $a^{f(x)} = b$;
2. stessa base: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, magari dopo aver riscritto i numeri;
3. stesso esponente: $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, con basi diverse;
4. con più termini: somme di potenze, da raccogliere o sostituire;
5. miste: la $x$ sta sia all’esponente sia fuori.

Qui vediamo i primi tre, la base di tutto il capitolo. La tabella ti aiuta a decidere:

Se vedi	Esempio	Cosa fai
secondo membro $\leq 0$	$3^x = -9$	impossibile
$b$ potenza di $a$	$2^x = 32$	stessa base
$b > 0$ qualsiasi	$2^x = 5$	logaritmi
$a^{f(x)} = a^{g(x)}$	$8^x = 4^{x+1}$	$f(x) = g(x)$
$a^{f(x)} = b^{f(x)}$	$2^{x-3} = 5^{x-3}$	$f(x) = 0$
somme di potenze	$3^{x+1} - 3^x = 18$	raccogli o sostituisci
$x$ anche fuori	$2^x = 3 - x$	grafici

L’idea chiave: l’esponenziale è iniettivo

Tutto il capitolo poggia su un fatto semplice: esponenti diversi danno potenze diverse. In termini precisi:

In parole: se i due membri sono due potenze della stessa base, l’equazione equivale all’uguaglianza degli esponenti. Questo passaggio si chiama spesso «togliere le basi».

Perché è vero. Un verso è ovvio: se gli esponenti sono uguali, le potenze sono uguali. Per l’altro serve la monotonia: $a^t$ è strettamente crescente se $a > 1$ e strettamente decrescente se $0 < a < 1$, come abbiamo visto con la funzione esponenziale. Prendi due esponenti diversi, per esempio $t_1 < t_2$. Nel primo caso $a^{t_1} < a^{t_2}$, nel secondo $a^{t_1} > a^{t_2}$: in entrambi le due potenze sono diverse. Quindi, se le potenze sono uguali, gli esponenti non possono essere diversi:

$$a^{t_1} = a^{t_2} \implies t_1 = t_2$$

Con $t_1 = f(x)$ e $t_2 = g(x)$ si ottiene il teorema. Una funzione con questa proprietà si chiama iniettiva. Nota che la regola vale anche con le basi minori di 1: nelle equazioni una base decrescente non cambia niente, mentre nelle disequazioni esponenziali fa invertire il verso.

Perché servono a ≠ 1 e la stessa base

La base 1 è esclusa proprio perché lì la regola crolla: $1^{f(x)} = 1^{g(x)}$ è sempre vera, perché entrambi i membri valgono 1. Per esempio $1^x = 1^{x+5}$ vale per ogni $x$, mentre $x = x + 5$ non vale mai.

Anche la stessa base è essenziale. Prendi $2^x = 4^{x-1}$. Chi «toglie le basi» senza pensarci scrive $x = x - 1$ e conclude che non ci sono soluzioni. Eppure $x = 2$ funziona: $2^2 = 4 = 4^1$. Il modo giusto è scrivere prima $4^{x-1} = \left(2^2\right)^{x-1} = 2^{2x-2}$, e solo allora uguagliare gli esponenti: $x = 2x - 2$, cioè $x = 2$.

Quante soluzioni ha aˣ = b

Il caso più semplice è una sola potenza uguale a un numero:

Perché è vero. Ci sono tre cose da controllare.

1. Nessuna soluzione se $b \leq 0$. Una potenza con base positiva è sempre positiva, qualunque sia l’esponente: non può valere zero né un numero negativo.
2. Al massimo una soluzione. Due soluzioni diverse $x_1 \neq x_2$ darebbero $a^{x_1} = b = a^{x_2}$, contro l’iniettività appena vista.
3. Almeno una soluzione se $b > 0$. L’immagine di $a^x$ è tutto l’intervallo $(0, +\infty)$: ogni numero positivo viene raggiunto. Si dimostra con la continuità dell’esponenziale e il teorema dei valori intermedi, come visto nella pagina sulla funzione esponenziale.

Il grafico rende tutto evidente: risolvere $2^x = b$ vuol dire cercare dove la retta orizzontale $y = b$ incontra la curva $y = 2^x$. Le rette sopra l’asse $x$ la incontrano esattamente una volta; quelle sull’asse o sotto, mai.

Se $b$ è una potenza «bella» della base, come $8 = 2^3$ o $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, la soluzione si legge subito. Ma il teorema dice di più: anche $2^x = 5$ ha una soluzione, e una sola, sebbene 5 non sia una potenza di 2 con esponente intero. Siccome $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$ e $2^x$ è crescente, quella soluzione sta tra 2 e 3. Il suo valore esatto ha un nome: è il logaritmo in base 2 di 5, $x = \log_2 5$. Come si calcola lo vediamo in equazioni esponenziali con i logaritmi; qui ci basta sapere che esiste ed è unica.

Un po’ di storia

Nel 1748, nel sesto capitolo dell’Introductio in analysin infinitorum, Eulero fissa una base $a$ maggiore di 1 e osserva quello che abbiamo appena visto: per ogni valore positivo di $y$ esiste un esponente reale $z$ con $a^z = y$, mentre per $y$ negativo non esiste. Quel valore di $z$, visto come funzione di $y$, lo chiama logaritmo di $y$. Nella definizione di Eulero, che è quella usata ancora oggi, il logaritmo è insomma la soluzione di un’equazione esponenziale.

Prima di tutto: le equazioni impossibili

Dal teorema segue una regola che fa risparmiare tempo: un’equazione del tipo $a^{f(x)} = k$ non ha soluzioni se $k \leq 0$, qualunque sia l’esponente. Sono impossibili, senza fare nessun conto:

$$\begin{gathered} 3^x = -9 \\ e^x = 0 \\ 2^x + 5 = 0 \\ 7^{x^2 - 1} = -1 \end{gathered}$$

A volte la potenza va prima isolata: $4 \cdot 3^x + 12 = 0$ diventa $3^x = -3$, impossibile. E una somma di potenze con coefficienti positivi, come $2^x + 3^x$, non fa mai zero.

Attenzione però al viceversa: un secondo membro positivo non garantisce una soluzione, se l’esponente non può assumere tutti i valori. In $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2} = 4$ si scrive tutto in base 2, con $\frac{1}{2} = 2^{-1}$:

$$\begin{gathered} 2^{-x^2} = 2^2 \\ {} \iff -x^2 = 2 \\ {} \iff x^2 = -2 \end{gathered}$$

Un quadrato non è mai negativo: impossibile. Riconoscere subito questi casi ti evita di «trovare» soluzioni sbagliate.

Il metodo generale in cinque passi

1. Condizioni di esistenza. Se negli esponenti ci sono frazioni, radici o logaritmi, si scrive il loro dominio.
2. Stessa base. Si isola la potenza e si guarda il segno del secondo membro: se è negativo o nullo, l’equazione è impossibile. Altrimenti si scrivono tutti i numeri come potenze della stessa base (2, 3, 5…), si arriva alla forma $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ e si uguagliano gli esponenti.
3. Somme di potenze. Se ci sono più termini con la stessa base, si raccoglie o si usa la sostituzione $t = a^x$: lo vediamo in equazioni esponenziali con sostituzione.
4. Basi diverse. Se le basi non si possono rendere uguali, servono i logaritmi: lo vediamo in equazioni esponenziali con i logaritmi.
5. Controllo. Si verifica che le soluzioni rispettino le condizioni del passo 1, e se possibile si sostituiscono nell’equazione di partenza.

Se poi l’incognita compare sia all’esponente sia «fuori», come in $2^x = 3 - x$, i metodi algebrici non bastano più: si passa alla risoluzione grafica.

Riportare alla stessa base: esempi svolti

Il trucco è quello visto nelle proprietà delle potenze: riconoscere le potenze nascoste. Servono tre regole. Un reciproco è una potenza con esponente negativo; un decimale si scrive prima come frazione; una radice è una potenza con esponente frazionario.

Numero	Come potenza
$\frac{1}{27}$	$3^{-3}$
$0{,}25 = \frac{1}{4}$	$2^{-2}$
$\sqrt{8}$	$2^{3/2}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$	$2^{-2/3}$
$1$	$a^0$, con qualsiasi base

Come base comune conviene la più piccola possibile, di solito un numero primo: 2 invece di 4 o 8, 3 invece di 9 o 27.

Esempio 1: una frazione. $3^{x-1} = \frac{1}{27}$.

Siccome $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$:

$$\begin{gathered} 3^{x-1} = 3^{-3} \\ {} \iff x - 1 = -3 \\ {} \iff x = -2 \end{gathered}$$

Verifica: $3^{-3} = \frac{1}{27}$. Una soluzione negativa va benissimo: all’esponente la $x$ può essere qualsiasi numero reale.

Esempio 2: una base che è già una potenza. $9^x = 27$.

27 non è una potenza di 9 con esponente intero ($9^1 = 9$, $9^2 = 81$), ma 9 e 27 sono entrambi potenze di 3:

$$\begin{gathered} \left(3^2\right)^x = 3^3 \\ {} \iff 3^{2x} = 3^3 \\ {} \iff 2x = 3 \\ {} \iff x = \frac{3}{2} \end{gathered}$$

Verifica: $9^{3/2} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27$. Detto con i logaritmi, abbiamo appena calcolato $\log_9 27 = \frac{3}{2}$.

Esempio 3: un decimale. $16^x = 0{,}25$.

Si scrive il decimale come frazione, $0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, e si usa $16 = 2^4$:

$$\begin{gathered} 2^{4x} = 2^{-2} \\ {} \iff 4x = -2 \\ {} \iff x = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Verifica: $16^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.

Esempio 4: le radici. $4^x = \sqrt{8}$, e poi $2^{x+1} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$.

Nella prima, $\sqrt{8} = \left(2^3\right)^{1/2} = 2^{3/2}$ e $4^x = 2^{2x}$:

$$\begin{gathered} 2^{2x} = 2^{3/2} \\ {} \iff 2x = \frac{3}{2} \\ {} \iff x = \frac{3}{4} \end{gathered}$$

Nella seconda, la radice cubica di un reciproco dà un esponente negativo e frazionario: $\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \left(2^{-2}\right)^{1/3} = 2^{-2/3}$. Quindi:

$$\begin{gathered} 2^{x+1} = 2^{-2/3} \\ {} \iff x + 1 = -\frac{2}{3} \\ {} \iff x = -\frac{5}{3} \end{gathered}$$

Esempio 5: due basi potenze di una terza. $8^x = 4^{x+1}$.

8 e 4 sono entrambi potenze di 2. Attenzione alle parentesi: l’esponente $x + 1$ va moltiplicato tutto per 2.

$$\begin{gathered} \left(2^3\right)^x = \left(2^2\right)^{x+1} \\ {} \iff 2^{3x} = 2^{2x+2} \\ {} \iff 3x = 2x + 2 \\ {} \iff x = 2 \end{gathered}$$

Verifica: $8^2 = 64$ e $4^3 = 64$.

Esempio 6: prodotti e quozienti di potenze. $3^x \cdot 9^{x-1} = 27$.

Il primo membro è un prodotto: si porta tutto in base 3 e si sommano gli esponenti, perché $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$\begin{gathered} 3^x \cdot 3^{2x-2} = 3^3 \\ {} \iff 3^{3x-2} = 3^3 \\ {} \iff 3x - 2 = 3 \\ {} \iff x = \frac{5}{3} \end{gathered}$$

Con un quoziente, invece, gli esponenti si sottraggono: per esempio $\frac{8^x}{2^x} = \frac{2^{3x}}{2^x} = 2^{2x}$.

Esempio 7: una base minore di 1. $\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} = \frac{9}{4}$.

$\frac{9}{4}$ è il reciproco di $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$, quindi $\frac{9}{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \\ {} \iff x + 1 = -2 \\ {} \iff x = -3 \end{gathered}$$

La base minore di 1 non cambia nulla: la regola vale per ogni base positiva diversa da 1.

Esempio 8: un esponente di secondo grado. $2^{x^2 - 2x} = 8$.

Siccome $8 = 2^3$, l’uguaglianza degli esponenti dà un’equazione di secondo grado:

$$\begin{gathered} x^2 - 2x = 3 \\ {} \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \\ {} \iff (x + 1)(x - 3) = 0 \end{gathered}$$

Le soluzioni sono $x = -1$ e $x = 3$: in entrambe l’esponente vale 3. Due soluzioni non contraddicono il teorema di prima: $2^t$ vale 8 per un solo esponente, $t = 3$, ma due valori di $x$ danno quell’esponente. Lo mostra la figura: sopra la curva $y = 2^{x^2 - 2x}$ e la retta $y = 8$, sotto la parabola degli esponenti $y = x^2 - 2x$ e la retta $y = 3$, con gli stessi punti di incontro.

La parabola spiega anche quando un’equazione del genere è impossibile. Il vertice di $x^2 - 2x$ è in $x = 1$, dove vale $-1$: l’esponente non scende mai sotto $-1$, quindi la potenza $2^{x^2 - 2x}$ non scende mai sotto $2^{-1} = \frac{1}{2}$. Così $2^{x^2 - 2x} = \frac{1}{2}$ ha una sola soluzione, $x = 1$, mentre $2^{x^2 - 2x} = \frac{1}{4}$ non ne ha, anche se $\frac{1}{4}$ è positivo.

Lo stesso esponente con basi diverse

Un caso meno frequente ma elegante: $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, con basi diverse e lo stesso esponente.

Perché è vero. Si divide per $b^{f(x)}$, che è positivo e quindi non è mai zero, e si usa la proprietà $\frac{a^t}{b^t} = \left(\frac{a}{b}\right)^t$:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{f(x)} = 1 = \left(\frac{a}{b}\right)^0$$

La base $\frac{a}{b}$ è positiva e diversa da 1, perché $a \neq b$: per l’iniettività gli esponenti sono uguali, cioè $f(x) = 0$.

Nella dimostrazione è comparso un caso speciale da ricordare: $a^{f(x)} = 1$ equivale a $f(x) = 0$, perché $1 = a^0$ con qualsiasi base. Per esempio $7^{x-2} = 1$ dà $x - 2 = 0$, cioè $x = 2$.

Esempio. $2^{x-3} = 5^{x-3}$ ha come unica soluzione $x = 3$, dove entrambi i membri valgono 1. Il grafico mostra il perché: le curve $y = 2^x$ e $y = 5^x$ si incontrano in un solo punto, $(0, 1)$, cioè quando l’esponente vale zero. Nell’equazione l’esponente è $x - 3$, e vale zero solo per $x = 3$.

Attenzione: se cambiano sia la base sia l’esponente, come in $3^{x+1} = 2^{2x-1}$, questo trucco non basta e servono i logaritmi.

Con le condizioni di esistenza

La potenza $a^t$ esiste per ogni $t$ reale, ma l’esponente potrebbe non esistere per tutti gli $x$. Le condizioni si scrivono all’inizio e si controllano alla fine:

• frazioni: il denominatore deve essere diverso da zero;
• radici di indice pari: il radicando deve essere maggiore o uguale a zero;
• logaritmi: l’argomento deve essere positivo.

Esempio 1. $3^{1/x} = 9$.

Condizione: $x \neq 0$. Poi $3^{1/x} = 3^2$, cioè $\frac{1}{x} = 2$, cioè $x = \frac{1}{2}$, che rispetta la condizione.

Esempio 2. $2^{\sqrt{x-1}} = 8$.

Condizione: $x - 1 \geq 0$, cioè $x \geq 1$. Poi $8 = 2^3$, quindi $\sqrt{x-1} = 3$. Elevando al quadrato, $x - 1 = 9$, cioè $x = 10$, accettabile. Se invece a destra ci fosse $\frac{1}{2}$, si arriverebbe a $\sqrt{x-1} = -1$: impossibile, perché una radice quadrata non è mai negativa.

Esempio 3: il controllo che salva. $2^{(x+1)/(x-1)} = 2^{2/(x-1)}$.

Condizione: $x \neq 1$. Uguagliando gli esponenti:

$$\frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}$$

I denominatori sono uguali e diversi da zero, quindi $x + 1 = 2$, cioè $x = 1$. Ma $x = 1$ è proprio il valore escluso, in cui gli esponenti non esistono. L’equazione non ha soluzioni: senza le condizioni avresti dato una risposta sbagliata.

Equazioni con un parametro

Il teorema su $a^x = b$ risolve subito anche le domande con un parametro. Per quali valori di $k$ l’equazione $2^x = k - 3$ ha soluzioni? Il secondo membro deve essere positivo:

$$k - 3 > 0 \iff k > 3$$

Per $k > 3$ la soluzione c’è ed è unica; per $k \leq 3$ l’equazione è impossibile. Per esempio con $k = 11$ si ha $2^x = 8$, cioè $x = 3$; con $k = \frac{7}{2}$ si ha $2^x = \frac{1}{2}$, cioè $x = -1$; con $k = 8$ si ha $2^x = 5$, che ha una soluzione tra 2 e 3, da calcolare con i logaritmi.

Se l’esponente non assume tutti i valori, il conteggio cambia. Prendi $3^{x^2} = k$. Siccome $x^2 \geq 0$ e $3^t$ è crescente, $3^{x^2} \geq 3^0 = 1$. Quindi:

• per $k < 1$ non ci sono soluzioni;
• per $k = 1$ ce n’è una sola, $x = 0$;
• per $k > 1$ ce ne sono due, opposte: $x^2$ deve valere l’unico esponente $c$ con $3^c = k$, e $c > 0$ perché $k > 1$, quindi $x = \pm\sqrt{c}$. Per esempio $3^{x^2} = 27$ dà $x^2 = 3$, cioè $x = \pm\sqrt{3}$.

Gli errori più comuni

• Togliere le basi quando c’è una somma. Nell’equazione $2^x + 2^{x+1} = 24$ non si può scrivere $x + (x + 1) = \ldots$: a sinistra c’è una somma, non una sola potenza. Bisogna prima raccogliere $2^x$: si ottiene $2^x(1 + 2) = 24$, cioè $2^x = 8$ e $x = 3$.
• Togliere le basi quando le basi sono diverse. $2^x = 4^{x-1}$ non diventa $x = x - 1$: prima si scrive $4^{x-1} = 2^{2x-2}$, e la soluzione è $x = 2$.
• Dimenticare che l’esponenziale è positivo. Se un calcolo porta a $2^x = -4$, la conclusione corretta è «nessuna soluzione», non $x = 2$.
• Sbagliare le proprietà delle potenze. $8^x = 2^{3x}$, non $2^{3+x}$; $4^{x+1} = 2^{2x+2}$, non $2^{2x+1}$; nel prodotto gli esponenti si sommano, $2^x \cdot 2^3 = 2^{x+3}$, non $2^{3x}$.
• Confondere reciproci e radici. Un reciproco dà un esponente negativo, una radice un esponente frazionario: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ e $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$, non il contrario.
• Usare basi negative. Scrivere $4 = (-2)^2$ per riportarsi alla base $-2$ non è lecito: le funzioni esponenziali hanno base positiva.
• Saltare le condizioni di esistenza. Con frazioni o radici all’esponente, una soluzione può cadere proprio in un punto escluso, come in $2^{(x+1)/(x-1)} = 2^{2/(x-1)}$.

Esercizi svolti

1. Frazioni, decimali e radici

Testo. Risolvi le equazioni:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{8}\right)^x = 16 \\ (0{,}04)^x = 125 \\ \sqrt[3]{4^x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Prima. Base comune 2: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ e $16 = 2^4$, quindi il primo membro diventa $\left(2^{-3}\right)^x = 2^{-3x}$:

$$\begin{gathered} 2^{-3x} = 2^4 \\ {} \iff -3x = 4 \\ {} \iff x = -\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Seconda. Il decimale diventa una frazione, $0{,}04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$, e $125 = 5^3$:

$$\begin{gathered} 5^{-2x} = 5^3 \\ {} \iff -2x = 3 \\ {} \iff x = -\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Terza. La radice cubica è un esponente $\frac{1}{3}$ e $4^x = 2^{2x}$, quindi il primo membro è $\left(2^{2x}\right)^{1/3} = 2^{2x/3}$. A destra, $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$. Uguagliando gli esponenti e moltiplicando per 6:

$$\begin{gathered} \frac{2x}{3} = -\frac{1}{2} \\ {} \iff 4x = -3 \\ {} \iff x = -\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Verifica della terza: $4^{-3/4} = 2^{-3/2}$, e la sua radice cubica è $2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Le soluzioni sono $x = -\frac{4}{3}$, $x = -\frac{3}{2}$ e $x = -\frac{3}{4}$.

2. Riconoscere le equazioni impossibili

Testo. Stabilisci quali di queste equazioni sono impossibili e risolvi le altre:

$$\begin{gathered} 5 \cdot 3^x + 15 = 0 \\ 2 \cdot 4^x - 1 = 0 \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 + 1} = 3 \\ 4^x + 2^x = 0 \end{gathered}$$

Prima. Isolando la potenza: $5 \cdot 3^x = -15$, cioè $3^x = -3$. Una potenza di base positiva non è mai negativa: impossibile.

Seconda. $2 \cdot 4^x = 1$, cioè $4^x = \frac{1}{2}$. Il secondo membro è positivo, quindi la soluzione c’è ed è unica: $2^{2x} = 2^{-1}$, cioè $2x = -1$ e $x = -\frac{1}{2}$. Verifica: $4^{-1/2} = \frac{1}{2}$, e $2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$.

Terza. Il secondo membro è positivo, ma non basta. In base 3, $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+1} = 3^{-x^2-1}$:

$$\begin{gathered} -x^2 - 1 = 1 \\ {} \iff x^2 = -2 \end{gathered}$$

Impossibile, perché un quadrato non è mai negativo. Lo si poteva prevedere: l’esponente $x^2 + 1$ vale almeno 1 e la base è minore di 1, quindi il primo membro vale al massimo $\frac{1}{3}$ e non può arrivare a 3.

Quarta. È una somma di due numeri positivi, che non può fare zero: impossibile, senza nessun conto.

Tre equazioni su quattro sono impossibili, ognuna per un motivo diverso; l’unica soluzione è $x = -\frac{1}{2}$, della seconda.

3. Un esponente di secondo grado

Testo. Risolvi $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2} = 9^{x-4}$.

Base comune 3: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2} = 3^{-x^2}$ e $9^{x-4} = 3^{2x-8}$. Si uguagliano gli esponenti:

$$\begin{gathered} -x^2 = 2x - 8 \\ {} \iff x^2 + 2x - 8 = 0 \\ {} \iff (x + 4)(x - 2) = 0 \end{gathered}$$

Verifica per $x = 2$: $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$ e $9^{-2} = \frac{1}{81}$. Per $x = -4$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{16} = 3^{-16}$ e $9^{-8} = 3^{-16}$. L’equazione ha due soluzioni, $x = 2$ e $x = -4$.

4. Stesso esponente, basi diverse

Testo. Risolvi $3^{x^2 - x - 2} = 5^{x^2 - x - 2}$ e poi $4^{x+1} = 3^{2x+2}$.

Prima. Basi diverse, stesso esponente: l’equazione equivale a esponente uguale a zero.

$$\begin{gathered} x^2 - x - 2 = 0 \\ {} \iff (x - 2)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Le soluzioni sono $x = 2$ e $x = -1$: in entrambe i due membri valgono $3^0 = 5^0 = 1$.

Seconda. A prima vista gli esponenti sono diversi, $x + 1$ e $2x + 2$. Ma $2x + 2 = 2(x + 1)$, quindi $3^{2x+2} = \left(3^2\right)^{x+1} = 9^{x+1}$:

$$4^{x+1} = 9^{x+1}$$

Ora l’esponente è lo stesso e le basi 4 e 9 sono diverse: $x + 1 = 0$, cioè $x = -1$. Verifica: $4^0 = 1$ e $3^0 = 1$. La prima equazione ha le soluzioni $x = 2$ e $x = -1$, la seconda solo $x = -1$.

5. Una radice all’esponente

Testo. Risolvi $5^{\sqrt{x+1}} = \dfrac{25^x}{5^{x+1}}$.

Condizione di esistenza: $x + 1 \geq 0$, cioè $x \geq -1$. Il secondo membro è un quoziente di potenze: in base 5, $25^x = 5^{2x}$, e gli esponenti si sottraggono:

$$\frac{5^{2x}}{5^{x+1}} = 5^{2x - (x+1)} = 5^{x-1}$$

Uguagliando gli esponenti si ottiene un’equazione irrazionale:

$$\sqrt{x+1} = x - 1$$

Il primo membro non è mai negativo, quindi serve anche $x - 1 \geq 0$, cioè $x \geq 1$. Con questa condizione si può elevare al quadrato:

$$\begin{gathered} x + 1 = x^2 - 2x + 1 \\ {} \iff x^2 - 3x = 0 \\ {} \iff x(x - 3) = 0 \end{gathered}$$

I candidati sono $x = 0$ e $x = 3$. Il valore $x = 0$ non rispetta $x \geq 1$, e infatti non funziona: il primo membro vale $5^1 = 5$, il secondo $\frac{1}{5}$. Per $x = 3$, invece, $5^{\sqrt{4}} = 25$ e $\frac{25^3}{5^4} = \frac{5^6}{5^4} = 25$. L’unica soluzione è $x = 3$.

6. Da esame: prodotti di potenze e un parametro

Testo. Considera l’equazione

$$\frac{8^x \cdot 2^{x+1}}{4^x} = 2k - 1$$

con $k$ parametro reale. (a) Per quali $k$ ha soluzioni, e quante? (b) Per quale $k$ la soluzione è $x = 1$? (c) Risolvila per $k = \frac{5}{8}$. (d) Per $k = 3$, tra quali valori si trova la soluzione?

Il primo membro. Tutto in base 2, poi si sommano e si sottraggono gli esponenti:

$$\begin{gathered} \frac{2^{3x} \cdot 2^{x+1}}{2^{2x}} = 2^{3x + x + 1 - 2x} \\ {} = 2^{2x+1} \end{gathered}$$

Quindi l’equazione è $2^{2x+1} = 2k - 1$.

(a) Per il teorema su $a^x = b$, l’equazione $2^t = 2k - 1$ ha una e una sola soluzione $t$ se $2k - 1 > 0$, nessuna altrimenti. E a ogni $t$ corrisponde un solo $x$, perché $2x + 1 = t$ dà $x = \frac{t - 1}{2}$. Quindi:

• per $k > \frac{1}{2}$ c’è una sola soluzione;
• per $k \leq \frac{1}{2}$ l’equazione è impossibile.

(b) Per $x = 1$ il primo membro vale $2^3 = 8$, quindi $2k - 1 = 8$, cioè $k = \frac{9}{2}$.

(c) Con $k = \frac{5}{8}$ il secondo membro vale $\frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$:

$$\begin{gathered} 2^{2x+1} = 2^{-2} \\ {} \iff 2x + 1 = -2 \\ {} \iff x = -\frac{3}{2} \end{gathered}$$

(d) Con $k = 3$ si ottiene $2^{2x+1} = 5$. Siccome $3 > \frac{1}{2}$, la soluzione esiste ed è unica, ma 5 non è una potenza di 2 con esponente intero. Possiamo però chiuderla tra due numeri: $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$ e $2^t$ è crescente, quindi l’esponente sta tra 2 e 3:

$$\begin{gathered} 2 < 2x + 1 < 3 \\ {} \iff \frac{1}{2} < x < 1 \end{gathered}$$

Il valore esatto si trova con i logaritmi. Riassumendo: (a) una sola soluzione per $k > \frac{1}{2}$, nessuna altrimenti; (b) $k = \frac{9}{2}$; (c) $x = -\frac{3}{2}$; (d) $\frac{1}{2} < x < 1$.

Altri esercizi, anche con il raccoglimento, la sostituzione e i logaritmi, li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni esponenziali.

In sintesi

• Un’equazione esponenziale ha l’incognita all’esponente di una potenza con base $a > 0$, $a \neq 1$. La potenza esiste per ogni esponente reale: le condizioni vengono solo dall’esponente.
• Regola chiave: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$, perché $a^t$ è strettamente monotona e quindi iniettiva. Vale anche per $0 < a < 1$, ma solo se ogni membro è una singola potenza della stessa base.
• $a^x = b$ ha una e una sola soluzione se $b > 0$, nessuna se $b \leq 0$. Se $b$ non è una potenza «bella» di $a$, la soluzione è $\log_a b$.
• Si riporta tutto alla stessa base: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, $0{,}25 = 2^{-2}$, $\sqrt{8} = 2^{3/2}$, $1 = a^0$.
• $a^{f(x)} = 1 \iff f(x) = 0$; con basi diverse, $a^{f(x)} = b^{f(x)} \iff f(x) = 0$.
• Con un esponente di secondo grado le soluzioni possono essere due, una o nessuna, anche con il secondo membro positivo.
• Le condizioni di esistenza degli esponenti si scrivono all’inizio e si controllano alla fine.
• Con le somme si raccoglie o si sostituisce, con basi diverse servono i logaritmi, con la $x$ anche fuori dall’esponente i grafici.

Il prossimo passo sono le equazioni con più termini, che si risolvono con il raccoglimento o con una sostituzione: equazioni esponenziali con sostituzione.