Potenze: cosa sono, come si leggono, segni, frazioni ed esercizi svolti

Una potenza è il modo compatto di scrivere una moltiplicazione con tanti fattori uguali: $2^5$ al posto di $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Le hai viste alle medie, ma in Analisi 1 tornano dappertutto: polinomi, derivate di $x^n$, funzione esponenziale, logaritmi, limiti. E all’esame basta una parentesi dimenticata per far crollare un esercizio. In questa pagina vediamo la definizione precisa, come si leggono le potenze, esponente 1 e 0, base 0 e 1, il caso di zero alla zero, il segno e la trappola delle parentesi, frazioni e decimali, le potenze da sapere a memoria, l’ordine delle operazioni, la leggenda della scacchiera e la crescita esponenziale, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è una potenza

Quando lo stesso numero si moltiplica per sé stesso più volte, invece di scrivere tutti i fattori si scrive il numero una volta sola e, in alto a destra, quante volte compare.

Definizione. Sia $a$ un numero reale e $n$ un numero naturale con $n \geq 1$. La potenza $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fattori}}$$

Con un solo fattore il «prodotto» è il numero stesso: $a^1 = a$. Un modo equivalente, e molto utile, di leggere la definizione è a passi: ogni volta che l’esponente aumenta di 1, si moltiplica ancora per la base.

$$\begin{gathered} a^1 = a \\ a^{n+1} = a^n \cdot a \end{gathered}$$

Così $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$: ogni passo raddoppia. Questa lettura spiega quasi tutto quello che vediamo dopo.

I nomi da sapere:

• la base $a$ è il numero che si moltiplica per sé stesso;
• l’esponente $n$ dice quante volte la base compare come fattore;
• il valore è il risultato della potenza: il valore di $2^5$ è 32.

L’operazione si chiama elevamento a potenza. La base può essere qualsiasi numero reale: negativo, una frazione, un decimale, perfino $\pi$. Più avanti nel capitolo anche l’esponente diventerà negativo, frazionario e poi reale, ma si parte sempre da qui.

Come si leggono le potenze

Si legge la base, poi «alla» e l’esponente come numero ordinale: $2^3$ è «due alla terza», $10^6$ è «dieci alla sesta». Va bene anche «due elevato alla tre». Per gli esponenti 2 e 3 ci sono nomi speciali: «al quadrato» e «al cubo».

Si scrive	Si legge	Si legge anche
$2^3$	«due alla terza»	«due elevato alla tre»
$a^2$	«a al quadrato»	«a alla seconda»
$a^3$	«a al cubo»	«a alla terza»
$a^n$	«a alla n»	«a elevato alla n»
$(-3)^2$	«meno tre, tutto al quadrato»	«il quadrato di meno tre»
$-3^2$	«meno tre al quadrato»	«l’opposto di tre al quadrato»
$\left(\frac{2}{5}\right)^3$	«due quinti, tutto al cubo»

All’orale, quando l’esponente riguarda una parentesi, dì «tutto al quadrato»: eviti ogni equivoco.

Perché «al quadrato» e «al cubo»

Le parole vengono dalla geometria. Un quadrato di lato 3 si divide in $3 \cdot 3 = 9$ quadretti di lato 1: la sua area è $3^2$. Un cubo di spigolo 2 si divide in $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ cubetti: il suo volume è $2^3$. In generale, un quadrato di lato $\ell$ ha area $\ell^2$ e un cubo di spigolo $\ell$ ha volume $\ell^3$.

Per questo le unità di area e di volume hanno un esponente, m² e m³. E qui si nasconde una trappola delle conversioni: un metro è 100 cm, ma un metro quadrato non è 100 cm², è un quadrato di 100 cm per 100 cm.

$$\begin{gathered} 1\ \text{m}^2 = 100^2\ \text{cm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \\ 1\ \text{m}^3 = 100^3\ \text{cm}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3 \end{gathered}$$

Allo stesso modo, siccome un litro è un decimetro cubo, un metro cubo contiene $10^3 = 1000$ litri.

Esponente 1 ed esponente 0

Per $n = 1$ la definizione dà $a^1 = a$: un numero senza esponente scritto ha esponente 1. Ti servirà quando sommerai gli esponenti: $x \cdot x^3 = x^1 \cdot x^3 = x^4$.

Con esponente 0, invece, la definizione non dice niente: «il prodotto di zero fattori» non è un calcolo che si possa eseguire. Quanto vale $a^0$ bisogna deciderlo.

Definizione. Per ogni numero reale $a \neq 0$:

$$a^0 = 1$$

Perché proprio 1? Perché è l’unico valore che fa funzionare le proprietà delle potenze anche con l’esponente 0. Prendi la regola del quoziente, che per $m > n$ si ricava semplificando i fattori:

$$\begin{gathered} \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\ (a \neq 0) \end{gathered}$$

Se vogliamo che valga anche per $m = n$, a sinistra c’è un numero diviso per sé stesso, cioè 1, e a destra c’è $a^{n-n} = a^0$. Quindi deve essere $a^0 = 1$: per esempio $\frac{5^3}{5^3} = 1$, e con la regola $\frac{5^3}{5^3} = 5^0$.

Lo stesso risultato viene dalla lettura a passi, percorsa all’indietro: scendendo di un esponente si divide per la base. Da $2^2 = 4$ si passa a $2^1 = 2$, e poi a $2^0 = 2 : 2 = 1$. Continuando si ottiene $2^{-1} = \frac{1}{2}$: è da qui che nascono le potenze con esponente negativo.

Quindi $7^0 = 1$, $(-4)^0 = 1$, $\left(\frac{3}{8}\right)^0 = 1$. Occhio però a $-4^0$: senza parentesi l’esponente riguarda solo il 4, quindi vale $-(4^0) = -1$.

Base 0 e base 1

• Base 1: $1^n = 1$ per ogni esponente, perché moltiplicare 1 per sé stesso dà sempre 1.
• Base 0: $0^n = 0$ per ogni $n \geq 1$, perché basta un fattore nullo per annullare il prodotto.

Il caso di zero alla zero

Se base ed esponente sono entrambi nulli, le due regole tirano in direzioni opposte: «esponente zero dà 1» vorrebbe $0^0 = 1$, «base zero dà 0» vorrebbe $0^0 = 0$. La risposta dipende dal contesto.

In Analisi $0^0$ di solito non si definisce, perché quando base ed esponente si avvicinano entrambi a 0 la potenza non tende a un valore preciso. Se l’esponente vale 0 e la base positiva si avvicina a 0, la potenza vale sempre 1; se la base vale 0 e l’esponente positivo si avvicina a 0, vale sempre 0:

$$\begin{gathered} x^0 = 1 \ \text{ per ogni } x > 0 \\ 0^y = 0 \ \text{ per ogni } y > 0 \end{gathered}$$

Due strade verso lo stesso punto, due risultati diversi: nessun valore di $0^0$ renderebbe continua la funzione «base elevato esponente». Per questo nei limiti $0^0$ è una forma indeterminata: per $x \to 0^+$, $x^x$ tende a 1, mentre $x^{1/\ln x}$ vale sempre $e$. Lo vedrai con le forme indeterminate.

In algebra e in combinatoria, invece, si pone quasi sempre $0^0 = 1$, e così fanno molti libri di testo. Un esempio sono i polinomi: scrivendo $3x^2 + 5x + 7$ come $3x^2 + 5x^1 + 7x^0$, per $x = 0$ deve uscire 7, e questo richiede $0^0 = 1$. Anche Python restituisce 1.

Riassumendo: $0^0 = 1$ è una convenzione quando base ed esponente valgono 0; la forma indeterminata riguarda base ed esponente che tendono a 0. Se in un limite trovi $0^0$, non scrivere 1: va calcolato.

Il segno di una potenza

Se la base è positiva, la potenza è positiva. Se la base è negativa, decide l’esponente.

Regola dei segni. Con base negativa:

• esponente pari: risultato positivo. $(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16$;
• esponente dispari: risultato negativo. $(-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8$.

Perché è vero. Il prodotto di due numeri negativi è positivo, quindi i fattori si raggruppano a coppie e ogni coppia dà un numero positivo. Con un numero pari di fattori si accoppiano tutti; con un numero dispari ne resta uno spaiato, negativo. In formula, per $a > 0$:

$$\begin{gathered} (-a)^n = (-1)^n \cdot a^n \\ (-1)^n = \begin{cases} 1 & n \text{ pari} \\ -1 & n \text{ dispari} \end{cases} \end{gathered}$$

Due conseguenze che userai sempre:

• un quadrato non è mai negativo: $x^2 \geq 0$ per ogni numero reale $x$, e vale 0 solo per $x = 0$. Per esempio $x^2 + 1$ è sempre positivo;
• un esponente pari cancella il segno: $(-3)^2 = 3^2 = 9$. Per questo, tra i reali, $x^2 = 9$ ha due soluzioni, $x = 3$ e $x = -3$, mentre $x^3 = -8$ ne ha una sola, $x = -2$.

La trappola delle parentesi

È l’errore più frequente in assoluto con le potenze:

$$\begin{gathered} (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \\ -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \end{gathered}$$

La regola: l’esponente si applica solo a ciò che gli sta subito a sinistra, cioè un numero, una lettera o una parentesi. In $-3^2$ tocca solo il 3. Lo stesso vale per i prodotti: $2x^3$ significa $2 \cdot x^3$, non $(2x)^3 = 8x^3$.

Il caso più insidioso è la sostituzione di un numero negativo: $x^2$ con $x = -3$ si scrive $(-3)^2 = 9$, con le parentesi, mentre $-x^2$ con $x = -3$ vale $-(-3)^2 = -9$.

Potenze di frazioni e di numeri decimali

Per elevare a potenza una frazione si elevano numeratore e denominatore:

$$\begin{gathered} \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \\ (b \neq 0) \end{gathered}$$

Perché è vero. Nel prodotto di frazioni si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3}$.

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \\ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Nel secondo esempio base negativa ed esponente dispari danno un risultato negativo. Attento a dove sta l’esponente: $\frac{2^3}{3}$ eleva solo il numeratore e vale $\frac{8}{3}$.

Con i decimali si può passare alle frazioni: $0{,}2 = \frac{2}{10}$, quindi $(0{,}2)^3 = \frac{8}{1000} = 0{,}008$. Da qui viene una regola pratica: si eleva il numero senza virgola, poi si mettono tanti decimali quanti sono quelli della base moltiplicati per l’esponente. In $(0{,}2)^3$: $2^3 = 8$ con $1 \cdot 3 = 3$ decimali, $0{,}008$. In $(0{,}03)^2$: $3^2 = 9$ con $2 \cdot 2 = 4$ decimali, $0{,}0009$. E $(1{,}1)^2 = 1{,}21$, perché $11^2 = 121$.

Basi tra 0 e 1: la potenza diventa più piccola

Un fatto che sorprende molti: $0{,}5^2 = 0{,}25$, minore di $0{,}5$. Elevare a potenza fa crescere solo le basi maggiori di 1.

Il motivo: moltiplicare per $0{,}5$ significa prendere la metà, quindi $0{,}5^2$ è la metà di $0{,}5$, e $0{,}5^3$ la metà della metà di $0{,}5$. In generale, se $0 < a < 1$, a ogni passo moltiplichi per un numero minore di 1 e il risultato si rimpicciolisce: $a^{n+1} = a^n \cdot a < a^n$. Se $a > 1$, ogni passo lo fa crescere.

$n$	$0{,}5^n$	$2^n$
1	0,5	2
2	0,25	4
3	0,125	8
4	0,0625	16
5	0,03125	32

Anche una base vicinissima a 1, alla lunga, crolla: $0{,}9^{10} \approx 0{,}35$. È la stessa differenza che c’è tra la funzione esponenziale decrescente e quella crescente.

Le potenze di 10

$10^n$ è un 1 seguito da $n$ zeri: ogni moltiplicazione per 10 aggiunge uno zero.

$$\begin{gathered} 10^3 = 1000 \\ 10^6 = 1\,000\,000 \ \text{(un milione)} \\ 10^9 = 1\,000\,000\,000 \ \text{(un miliardo)} \end{gathered}$$

Al contrario, per sapere quale potenza di 10 è 100 000 basta contare gli zeri: $10^5$. Su questo si basa la notazione scientifica, che scrive i numeri molto grandi e molto piccoli con le potenze di 10.

Le potenze da sapere a memoria

Negli esercizi capita continuamente di dover riconoscere al volo che $64 = 2^6$, $81 = 3^4$ o $125 = 5^3$, soprattutto quando si riportano le potenze alla stessa base.

$n$	$n^2$	$n^3$
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Poi i quadrati da 11 a 20: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Le potenze di 2 fino a $2^{10}$: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. E qualche altra che torna spesso: $3^5 = 243$, $3^6 = 729$, $5^4 = 625$.

Perché 2 alla 10 vale circa mille

$2^{10} = 1024$ è vicinissimo a $10^3 = 1000$: la differenza è del 2,4%. È comodissimo per le stime, perché $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2$ e $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3$:

$$\begin{gathered} 2^{20} = 1\,048\,576 \approx 10^6 \\ 2^{30} = 1\,073\,741\,824 \approx 10^9 \end{gathered}$$

Da qui nasce una confusione sulla memoria dei computer, che lavorano in binario e la organizzano in potenze di 2: così «kilobyte» è stato usato a lungo per 1024 byte invece di 1000. Per togliere l’ambiguità, nel 1998 la IEC, la commissione internazionale per gli standard dell’elettrotecnica, ha approvato i prefissi binari: il kibibyte (KiB) vale $2^{10}$ byte, il mebibyte (MiB) $2^{20}$, il gibibyte (GiB) $2^{30}$. Un disco da 1 TB, cioè $10^{12}$ byte, corrisponde quindi a circa 931 GiB: non manca nessun byte, cambia l’unità.

L’ordine delle operazioni con le potenze

Le potenze si calcolano dopo le parentesi e prima di moltiplicazioni e divisioni, che vengono prima di addizioni e sottrazioni:

$$\begin{gathered} 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \\ (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36 \\ 5 + 2^3 = 5 + 8 = 13 \end{gathered}$$

Il metodo completo, con tonde, quadre e graffe, è nelle espressioni con le potenze.

Le torri di esponenti

Quando gli esponenti sono impilati senza parentesi si calcola partendo dall’alto: in $2^{3^2}$ l’esponente di 2 è $3^2 = 9$.

$$\begin{gathered} 2^{3^2} = 2^9 = 512 \\ \left(2^3\right)^2 = 8^2 = 64 \end{gathered}$$

Un buon motivo per la convenzione: $\left(2^3\right)^2$ si scrive già più semplicemente come $2^6$, quindi la torre resta libera per l’altro significato. Anche qui i programmi non vanno d’accordo: in Python 2**3**2 dà 512, mentre Excel calcola da sinistra a destra e =2^3^2 dà 64.

La leggenda della scacchiera

Una famosa leggenda racconta che l’inventore degli scacchi chiese al re, come ricompensa, un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via, raddoppiando fino alla sessantaquattresima. Il re accettò, divertito da una richiesta così modesta. La storia ha molte versioni; una delle più antiche scritte è quella del biografo Ibn Khallikan, che iniziò a comporre la sua raccolta di biografie nel 1256. Il calcolo dei chicchi raddoppiati, però, compare già intorno all’anno 1000 nell’opera dello scienziato persiano al-Biruni.

Sulla casella $k$ ci sono $2^{k-1}$ chicchi: sulla decima già $2^9 = 512$, sulla ventesima $2^{19} = 524\,288$, sull’ultima $2^{63}$, un numero di 19 cifre. E in tutto? Chiama $S$ la somma: raddoppiandola, ogni termine diventa il successivo.

$$\begin{gathered} S = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{63} \\ 2S = 2 + 2^2 + \ldots + 2^{63} + 2^{64} \end{gathered}$$

Sottraendo la prima riga dalla seconda, i termini in mezzo si cancellano e restano solo $2^{64}$ e $1$:

$$\begin{gathered} S = 2S - S = 2^{64} - 1 \\ S = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615 \end{gathered}$$

È lo stesso trucco della somma di una progressione geometrica. Sono circa $1{,}8 \cdot 10^{19}$ chicchi; la stima al volo $2^{64} = 2^4 \cdot \left(2^{10}\right)^6 \approx 1{,}6 \cdot 10^{19}$ dà già l’ordine giusto. Anche con un chicco leggerissimo, da 0,03 grammi, sono circa 550 miliardi di tonnellate: più di 600 volte la produzione mondiale di grano di un anno, che è dell’ordine di 800 milioni di tonnellate.

Crescita lineare e crescita esponenziale

Confronta $2n$ e $2^n$: nel primo, a ogni passo si aggiunge 2; nel secondo si moltiplica per 2.

$n$	$2n$	$2^n$
1	2	2
2	4	4
3	6	8
5	10	32
10	20	1024
20	40	1 048 576

All’inizio vanno a braccetto, poi la potenza stacca l’altra in modo impressionante.

È la crescita esponenziale, quella dei batteri che si dividono e degli interessi composti. La studierai con la funzione esponenziale e nella pagina sulla crescita e il decadimento esponenziale.

Le potenze nella vita di tutti i giorni

• Interesse composto. Con 1000 euro al 3% annuo, se gli interessi restano sul conto, ogni anno il capitale si moltiplica per 1,03. Dopo 10 anni hai $1000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 1343{,}92$ euro, contro i 1300 che avresti se gli interessi non producessero altri interessi.
• Informatica. Un bit vale 0 o 1, quindi con $n$ bit si scrivono $2^n$ combinazioni, cioè i numeri da 0 a $2^n - 1$. Un byte, 8 bit, ha $2^8 = 256$ valori. E $2^{64} - 1$, il numero della scacchiera, è il più grande intero senza segno che si scrive con 64 bit.

Gli errori più comuni

• Moltiplicare base ed esponente. $3^4 = 81$, non $12$: l’esponente conta i fattori.
• Scambiare base ed esponente. $2^3 = 8$ ma $3^2 = 9$.
• Dimenticare le parentesi con i numeri negativi. $-3^2 = -9$ mentre $(-3)^2 = 9$; sostituendo $x = -3$ in $x^2$ si scrive $(-3)^2$.
• Dare per scontato il segno. Con base negativa decide la parità dell’esponente: $(-2)^3 = -8$, ma $(-2)^4 = 16$.
• Scrivere che un numero alla zero fa zero. $7^0 = 1$; vale 0 solo $0^n$ con $n \geq 1$.
• Scrivere 1 al posto di una forma indeterminata. In un limite la forma $0^0$ va calcolata.
• Calcolare le torri dal basso. $2^{3^2} = 2^9 = 512$, non $8^2 = 64$.
• Sbagliare la virgola. $(0{,}2)^3 = 0{,}008$, non $0{,}6$ né $0{,}8$.

Esercizi svolti

1. Leggere e calcolare

Testo. Leggi ad alta voce e calcola: $3^4$, $5^3$, $2^7$, $10^6$, $7^0$, $1^{100}$, $0^7$.

Le prime tre si calcolano moltiplicando; per $2^7$ conviene partire da $2^6 = 64$, che sai a memoria:

$$\begin{gathered} 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \\ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \\ 2^7 = 2^6 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128 \end{gathered}$$

Si leggono «tre alla quarta», «cinque al cubo», «due alla settima». Poi $10^6$, «dieci alla sesta», è un 1 seguito da sei zeri: $1\,000\,000$. $7^0 = 1$ per definizione, perché la base non è zero. $1^{100} = 1$. Infine $0^7 = 0$, perché c’è almeno un fattore nullo.

2. Segni e parentesi

Testo. Calcola $(-2)^4$, $-2^4$, $(-2)^5$, $-(-2)^3$, $(-1)^{101}$ e il valore di $x^3 - x^2$ per $x = -2$.

Guarda prima dove sono le parentesi, poi la parità dell’esponente:

$$\begin{gathered} (-2)^4 = 16 \\ -2^4 = -(2^4) = -16 \\ (-2)^5 = -32 \end{gathered}$$

In $(-2)^4$ la base è $-2$ e l’esponente è pari; in $-2^4$ l’esponente tocca solo il 2; in $(-2)^5$ l’esponente è dispari. Per $-(-2)^3$ calcola prima la potenza, $(-2)^3 = -8$, poi l’opposto: $-(-8) = 8$. E $(-1)^{101} = -1$, perché 101 è dispari.

Per l’ultima sostituisci $x = -2$ con le parentesi:

$$\begin{gathered} (-2)^3 - (-2)^2 = -8 - 4 \\ {} = -12 \end{gathered}$$

Il punto delicato è $x^2$: vale $(-2)^2 = 4$, positivo. Se avessi scritto $-2^2 = -4$, avresti ottenuto $-8 - (-4) = -4$, sbagliato.

3. Frazioni e decimali

Testo. Calcola $\left(\frac{2}{3}\right)^3$, $\left(-\frac{3}{4}\right)^2$, $\frac{2^3}{3}$, $(0{,}2)^3$ e $(0{,}03)^2$. Poi stabilisci, senza calcolatrice, se $0{,}7^5$ è maggiore o minore di $0{,}7$.

Si elevano numeratore e denominatore; nella seconda l’esponente è pari, quindi il segno meno sparisce:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \\ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \end{gathered}$$

In $\frac{2^3}{3}$ l’esponente riguarda solo il numeratore: $\frac{8}{3}$. Con la regola dei decimali, $(0{,}2)^3$ dà $2^3 = 8$ con 3 decimali, $0{,}008$, e $(0{,}03)^2$ dà $3^2 = 9$ con 4 decimali, $0{,}0009$.

Infine $0{,}7$ è compreso tra 0 e 1: ogni moltiplicazione per $0{,}7$ rimpicciolisce il risultato, quindi $0{,}7^5 < 0{,}7$. Infatti $0{,}7^5 = 0{,}16807$.

4. Ordine delle operazioni e torri

Testo. Calcola $2 \cdot 3^2 + 4^3 : 2^4 - 5^0$. Poi calcola $2^{3^2}$, $\left(2^3\right)^2$ e $-2^{2^2}$.

Prima le potenze: $3^2 = 9$, $4^3 = 64$, $2^4 = 16$, $5^0 = 1$. L’espressione diventa:

$$2 \cdot 9 + 64 : 16 - 1$$

Poi moltiplicazioni e divisioni: $2 \cdot 9 = 18$ e $64 : 16 = 4$. Infine somme e sottrazioni:

$$18 + 4 - 1 = 21$$

Per le torri si parte dall’alto: $2^{3^2} = 2^9 = 512$. Con la parentesi si calcola prima la potenza interna: $\left(2^3\right)^2 = 8^2 = 64$. Nell’ultima l’esponente di 2 è $2^2 = 4$ e il segno meno resta fuori: $-2^{2^2} = -\left(2^4\right) = -16$.

5. Chi è più grande, 2 alla 100 o 10 alla 30?

Testo. Senza calcolatrice, stabilisci quale numero è più grande tra $2^{100}$ e $10^{30}$. Poi confronta $2^{300}$ e $3^{200}$.

L’idea è scrivere i due numeri con lo stesso esponente, usando la potenza di potenza:

$$\begin{gathered} 2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10} \\ 10^{30} = \left(10^{3}\right)^{10} = 1000^{10} \end{gathered}$$

Ora si confrontano le basi. Se $0 < a < b$, allora $a^n < b^n$: moltiplicando $n$ fattori positivi più grandi si ottiene un prodotto più grande. Siccome $1024 > 1000$, si ha $2^{100} > 10^{30}$. Per la cronaca, $2^{100} \approx 1{,}27 \cdot 10^{30}$, un numero di 31 cifre.

Stesso metodo per la seconda coppia, con esponente comune 100:

$$\begin{gathered} 2^{300} = \left(2^3\right)^{100} = 8^{100} \\ 3^{200} = \left(3^2\right)^{100} = 9^{100} \end{gathered}$$

Siccome $9 > 8$, è più grande $3^{200}$, anche se ha l’esponente più piccolo. Altri confronti così li trovi tra le potenze con esponente reale.

6. Il messaggio a catena

Testo. Mandi un messaggio a 3 amici: è il primo giro. Ognuno lo inoltra a 3 persone nuove (secondo giro), e così via. Quante persone lo ricevono al sesto giro? Quante in tutto nei primi sei giri? A quale giro, per la prima volta, più di un milione di persone lo ricevono nello stesso giro?

A ogni giro il numero si moltiplica per 3, quindi al giro $k$ lo ricevono $3^k$ persone: al sesto giro $3^6 = 729$. Nei primi sei giri:

$$\begin{gathered} 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 \\ {} = 1092 \end{gathered}$$

Controllo con il trucco della scacchiera: chiamata $S$ la somma, $3S - S = 3^7 - 3$, quindi $S = \frac{2187 - 3}{2} = 1092$.

Per l’ultima domanda, una stima: $3^6 = 729$ è quasi mille, quindi $3^{12} = \left(3^6\right)^2$ è circa mezzo milione. Infatti:

$$\begin{gathered} 3^{12} = 531\,441 \\ 3^{13} = 1\,594\,323 \end{gathered}$$

Il milione si supera per la prima volta al tredicesimo giro. Con solo 3 persone in più a ogni giro, dopo 13 giri saresti a 39: è la differenza tra crescita lineare ed esponenziale.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze.

In sintesi

• $a^n$, con $n \geq 1$ naturale, è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$; a ogni passo $a^{n+1} = a^n \cdot a$.
• $2^5$ si legge «due alla quinta»; $a^2$ e $a^3$ si leggono «al quadrato» e «al cubo», come area del quadrato e volume del cubo.
• $a^1 = a$; $a^0 = 1$ per $a \neq 0$, per definizione, perché resti vera $a^m : a^n = a^{m-n}$; $0^n = 0$ per $n \geq 1$.
• $0^0$: forma indeterminata nei limiti; $0^0 = 1$ per convenzione in algebra e combinatoria.
• Base negativa: esponente pari, risultato positivo; dispari, negativo. $(-3)^2 = 9$ ma $-3^2 = -9$.
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$; con base tra 0 e 1 le potenze diminuiscono.
• Potenze prima di moltiplicazioni e divisioni; torri dall’alto: $2^{3^2} = 512$.
• $2^{10} = 1024 \approx 10^3$; la crescita esponenziale batte presto quella lineare.

Ora che sai cosa sono le potenze, vediamo le regole per calcolarle senza svilupparle: le proprietà delle potenze.