Potenze con esponente negativo: definizione, regole, segni ed esercizi svolti

Che cosa vuol dire $2^{-3}$? La definizione di potenza come «base moltiplicata per sé stessa tante volte quante dice l’esponente» qui si inceppa: non puoi moltiplicare un numero per sé stesso «meno tre volte». Eppure le potenze con esponente negativo esistono, e in Analisi 1 le userai di continuo: per scrivere $x^{-1}$ al posto di $\frac{1}{x}$ e derivarla più facilmente, per i numeri piccolissimi della notazione scientifica, per le unità di misura della fisica, nei domini delle funzioni e nelle espressioni che trovi all’esame. In questa pagina vediamo da dove nasce l’esponente negativo e perché la definizione è l’unica possibile, perché la base non può essere zero, la regola pratica «capovolgi e cambia segno», il segno del risultato e la trappola delle parentesi, la dimostrazione che le proprietà delle potenze continuano a valere, come spostare i fattori in una frazione, le potenze di 10, i grafici, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Se ti serve un ripasso, parti da cosa sono le potenze e come si leggono e dalle proprietà delle potenze: qui usiamo le stesse notazioni.

Da dove nasce l’esponente negativo

Ci sono due strade per arrivarci. Portano allo stesso posto, ed è proprio questo il punto.

La scala delle potenze di 2

Scrivi le potenze di 2 partendo da $2^3$ e scendendo di un esponente alla volta: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$. Ogni volta che l’esponente cala di 1, il risultato si divide per 2, perché togli un fattore 2 dal prodotto. Il gradino successivo è $2^0 = 2 : 2 = 1$, in accordo con la regola $a^0 = 1$ che conosci già.

E se scendiamo ancora? Basta continuare a dividere per 2:

$$\begin{gathered} 2^{-1} = 1 : 2 = \frac{1}{2} \\ 2^{-2} = \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{4} \\ 2^{-3} = \frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{8} \end{gathered}$$

Guarda i risultati: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$, $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$, $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$. L’esponente negativo produce il reciproco della potenza con esponente positivo. Nota anche che i gradini si avvicinano a zero senza mai toccarlo: metà di un numero positivo è sempre positiva.

La regola del quoziente quando vince il denominatore

Seconda strada. Calcoliamo $2^3 : 2^5$ in due modi.

Con le frazioni, semplificando i fattori uguali:

$$\frac{2^3}{2^5} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2^2}$$

Con la proprietà del quoziente, sottraendo gli esponenti:

$$\frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2}$$

Le due strade devono dare lo stesso numero. Quindi $2^{-2}$ deve valere $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, esattamente come sulla scala.

In generale, se $m < n$ i fattori del denominatore sono di più: dopo la semplificazione ne restano $n - m$ sotto la linea di frazione. Contando i fattori si ottiene $\frac{1}{a^{n-m}}$, mentre la regola del quoziente darebbe $a^{m-n}$, cioè $a^{-(n-m)}$.

Perché è l’unica scelta possibile

Potresti pensare che sia una convenzione decisa da qualcuno. Non è così: se vuoi che le proprietà delle potenze restino vere, non hai scelta. Supponi che la regola del quoziente valga sempre, anche quando l’esponente del denominatore è più grande. Prendi il numeratore con esponente zero:

$$\begin{gathered} \frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n} \\ \text{ma anche}\;\; \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n} \end{gathered}$$

Quindi $a^{-n}$ è obbligato a valere $\frac{1}{a^n}$. Con la regola del prodotto succede lo stesso: se deve valere $a^n \cdot a^{-n} = a^{n-n} = a^0 = 1$, allora $a^{-n}$ è il numero che moltiplicato per $a^n$ dà 1, cioè il suo reciproco. Viceversa, con questa scelta tutte le proprietà restano vere: lo dimostriamo più avanti.

Un po’ di storia

L’idea è più antica di quanto sembri. Uno dei primi a usare gli esponenti negativi fu il francese Nicolas Chuquet, nel suo Triparty en la science des nombres, terminato a Lione nel 1484: dividendo $72x$ per $8x^3$ ottiene, con una sua notazione, quello che oggi scriviamo $9x^{-2}$. Il manoscritto però restò inedito per quasi quattro secoli: fu pubblicato solo nel 1880, da Aristide Marre.

La definizione

Definizione. Per ogni numero reale $a \neq 0$ e ogni numero naturale $n$:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

In parole: una potenza con esponente negativo è il reciproco della stessa potenza con esponente positivo. Qui $a$ è la base e $n$ un numero naturale, quindi $-n$ è un intero negativo o nullo (per $n = 0$ la formula dà $a^0 = 1$, coerente con quello che sai già). Insieme a $a^0 = 1$, la definizione dà un significato a $a^k$ per ogni intero $k$: positivo, negativo o nullo.

Dalla definizione seguono subito due fatti che userai spesso:

• la formula vale anche «al contrario»: per ogni intero $k$ si ha $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, quindi per esempio $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$, perché dividere per $\frac{1}{a^2}$ vuol dire moltiplicare per $a^2$;
• reciproco e potenza si possono scambiare: $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$, perché $\left(\frac{1}{a}\right)^n = \frac{1^n}{a^n} = \frac{1}{a^n}$.

Qualche esempio:

$$\begin{gathered} 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \\ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \\ 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001 \end{gathered}$$

Perché la base non può essere zero

Se provi a calcolare $0^{-1}$, la definizione ti dà $\frac{1}{0}$, che non esiste. Il motivo profondo: $0^{-1}$ dovrebbe essere il numero che moltiplicato per $0^1 = 0$ dà 1, ma qualunque numero moltiplicato per 0 dà 0, mai 1. Lo stesso vale per ogni esponente negativo: $0^{-2}$ e $0^{-5}$ non hanno senso. Riassumendo: $0^n = 0$ per ogni $n \geq 1$, $0^{-n}$ non esiste, e il caso di $0^0$ si discute a parte nell’articolo sulle potenze.

Ecco perché negli esercizi con le lettere si scrive sempre la condizione che le basi con esponente negativo siano diverse da zero. È anche il primo passo per trovare il dominio di una funzione: $f(x) = x^{-2}$ è definita per $x \neq 0$, e $g(x) = (x - 3)^{-1}$ per $x \neq 3$.

Il caso più importante: l’esponente meno uno

Elevare alla $-1$ significa fare il reciproco:

$$\begin{gathered} a^{-1} = \frac{1}{a} \\ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \end{gathered}$$

Per esempio $7^{-1} = \frac{1}{7}$, $(-4)^{-1} = -\frac{1}{4}$ e $0{,}25^{-1} = 4$, perché $0{,}25 = \frac{1}{4}$. Scriverai spesso $x^{-1}$ al posto di $\frac{1}{x}$.

La regola pratica: capovolgi e cambia segno

Con le frazioni la definizione diventa una regola rapidissima.

Regola pratica. Si capovolge la base e si cambia segno all’esponente:

$$\begin{gathered} \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \\ (a \neq 0,\ b \neq 0) \end{gathered}$$

Perché è vero. Applichiamo la definizione e poi la proprietà del quoziente con lo stesso esponente:

$$\begin{gathered} \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\;\frac{a^n}{b^n}\;} \\ {} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \end{gathered}$$

Vediamola all’opera:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \\ \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = 7 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32 \end{gathered}$$

Un numero intero si può vedere come una frazione con denominatore 1: $4^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.

Con i decimali, il consiglio è trasformarli prima in frazione:

$$\begin{gathered} 0{,}5^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \\ 0{,}2^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25 \end{gathered}$$

Ricorda che si capovolge la base, non l’esponente: $4^{-2}$ diventa $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$, non $4^{\frac{1}{2}}$. Un esponente frazionario è tutt’altra cosa, infatti $4^{\frac{1}{2}} = 2$: lo vediamo nelle potenze con esponente frazionario.

Esponente negativo non vuol dire risultato negativo

È l’equivoco più diffuso. Il segno meno all’esponente indica un reciproco, non cambia il segno del risultato: $5^{-2} = \frac{1}{25}$ è un numero positivo, anche se piccolo.

Il segno. Un numero e il suo reciproco hanno sempre lo stesso segno. Quindi $a^{-n}$ ha lo stesso segno di $a^n$: il meno all’esponente non conta, e il segno si decide esattamente come per gli esponenti positivi, guardando la base e, se è negativa, la parità dell’esponente:

• base positiva: risultato sempre positivo;
• base negativa ed esponente pari: risultato positivo, $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$;
• base negativa ed esponente dispari: risultato negativo, $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$.

La grandezza. Nemmeno «piccolo» è automatico. Se la base è maggiore di 1 in valore assoluto, l’esponente negativo dà un numero piccolo, compreso tra $-1$ e 1: $10^{-3} = 0{,}001$. Ma se la base è compresa tra 0 e 1 succede il contrario: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-10} = 2^{10} = 1024$. Il reciproco di un numero piccolo è grande.

La trappola delle parentesi

L’esponente si applica solo a quello che gli sta immediatamente davanti. In $(-2)^{-2}$ la base è $-2$; in $-2^{-2}$ la base è solo 2, e il meno davanti si applica alla fine: $-2^{-2} = -\left(2^{-2}\right)$.

Scrittura	Calcolo	Risultato
$(-2)^{-2}$	$\dfrac{1}{(-2)^2}$	$\dfrac{1}{4}$
$-2^{-2}$	$-\dfrac{1}{2^2}$	$-\dfrac{1}{4}$
$(-2)^{-3}$	$\dfrac{1}{(-2)^3}$	$-\dfrac{1}{8}$
$-2^{-3}$	$-\dfrac{1}{2^3}$	$-\dfrac{1}{8}$

Con esponente pari le due scritture danno risultati opposti; con esponente dispari coincidono, perché una potenza dispari di un numero negativo è negativa. Per non sbagliare mai, scrivi sempre le basi negative tra parentesi.

Le proprietà valgono anche con gli esponenti negativi

Teorema. Per ogni $a \neq 0$, $b \neq 0$ e per ogni coppia di interi $m$ e $n$, positivi, negativi o nulli, valgono le cinque proprietà delle potenze:

Proprietà	Esempio con esponenti negativi
prodotto, stessa base $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^{-3} \cdot 2^5 = 2^{2}$
quoziente, stessa base $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{a^{-2}}{a^{-5}} = a^{3}$
potenza di potenza $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$	$\left(5^{-2}\right)^{-1} = 5^2$
prodotto, stesso esponente $a^n \cdot b^n = (ab)^n$	$2^{-2} \cdot 5^{-2} = 10^{-2}$
quoziente, stesso esponente $\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$	$\dfrac{6^{-2}}{3^{-2}} = 2^{-2}$

In pratica puoi sommare, sottrarre e moltiplicare gli esponenti negativi esattamente come quelli positivi. L’unica cosa da curare sono i segni: nel secondo esempio l’esponente è $-2 - (-5) = -2 + 5 = 3$, e il «meno meno» è il punto in cui si sbaglia più spesso. Un controllo con i numeri sul primo esempio: $2^{-3} \cdot 2^5 = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4 = 2^2$.

Dimostrazione

Con gli esponenti naturali le proprietà si dimostrano contando i fattori. Per estenderle basta la definizione, nella forma $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$ valida per ogni intero $k$.

Prodotto. Dimostriamo $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ distinguendo tre casi.

• $m$ e $n$ entrambi maggiori o uguali a zero: è la proprietà che conosci già.
• Entrambi negativi: scriviamo $m = -p$ e $n = -q$, con $p$ e $q$ naturali. Allora

$$\begin{gathered} a^{-p} \cdot a^{-q} = \frac{1}{a^p} \cdot \frac{1}{a^q} = \frac{1}{a^{p+q}} \\ {} = a^{-(p+q)} = a^{m+n} \end{gathered}$$

• Uno positivo e uno negativo, per esempio $m = p \geq 0$ e $n = -q < 0$ (l’altro caso è identico, scambiando i fattori): allora $a^p \cdot a^{-q} = \frac{a^p}{a^q}$. Se $p \geq q$, semplificando restano $p - q$ fattori, cioè $a^{p-q}$; se $p < q$ resta $\frac{1}{a^{q-p}} = a^{-(q-p)} = a^{p-q}$. In entrambi i casi il risultato è $a^{p-q} = a^{m+n}$.

Quoziente. Dividere per $a^n$ vuol dire moltiplicare per $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Per la regola del prodotto appena dimostrata, $\frac{a^m}{a^n} = a^m \cdot a^{-n} = a^{m-n}$.

Potenza di potenza. Se $n \geq 0$, $\left(a^m\right)^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a^m$, e per la regola del prodotto vale $a^{m + m + \dots + m} = a^{mn}$. Se invece $n = -q < 0$:

$$\begin{gathered} \left(a^m\right)^{-q} = \frac{1}{\left(a^m\right)^q} = \frac{1}{a^{mq}} \\ {} = a^{-mq} = a^{mn} \end{gathered}$$

Stesso esponente. Per $n \geq 0$ la proprietà è nota. Per $n = -q < 0$:

$$\begin{gathered} a^{-q}\, b^{-q} = \frac{1}{a^q} \cdot \frac{1}{b^q} = \frac{1}{(ab)^q} \\ {} = (ab)^{-q} \end{gathered}$$

Il quoziente segue nello stesso modo: $\frac{a^{-q}}{b^{-q}} = \frac{b^q}{a^q} = \left(\frac{b}{a}\right)^q$, che per la regola «capovolgi e cambia segno» è proprio $\left(\frac{a}{b}\right)^{-q}$.

Spostare i fattori tra numeratore e denominatore

Dalla definizione segue una regola comodissima: un fattore può passare dal numeratore al denominatore, o viceversa, cambiando segno all’esponente. Il motivo: moltiplicare per $x^{-2}$ è lo stesso che dividere per $x^2$, e dividere per $z^{-4}$ è lo stesso che moltiplicare per $z^4$.

$$\frac{x^{-2}\, y^3}{z^{-4}} = \frac{y^3\, z^4}{x^2}$$

Qui $x^{-2}$ è sceso al denominatore diventando $x^2$; invece $z^{-4}$ è salito al numeratore diventando $z^4$. Così il risultato ha soli esponenti positivi, come chiedono di solito gli esercizi.

Attenzione a chi porta l’esponente. In $3x^{-2}$ l’esponente riguarda solo $x$, quindi scende solo $x$: $3x^{-2} = \frac{3}{x^2}$. In $(3x)^{-2}$ riguarda tutto il prodotto: $(3x)^{-2} = \frac{1}{9x^2}$.

Solo i fattori, mai i termini

Semplificare con le lettere: la scaletta

1. Scrivi le condizioni: le basi con esponente negativo devono essere diverse da zero.
2. Risolvi le potenze di potenze, moltiplicando gli esponenti con il loro segno.
3. Raggruppa lettera per lettera: si sommano gli esponenti al numeratore, si sottraggono quelli del denominatore (numeratore meno denominatore).
4. Porta ogni esponente negativo rimasto dall’altra parte della linea di frazione, dove diventa positivo.
5. Verifica sostituendo due numeri semplici.

Proviamo, con $x$ e $y$ diversi da zero, con questa espressione:

$$\frac{x^{-2}\, y^3}{x^3\, y^{-1}}$$

Lettera per lettera, numeratore meno denominatore:

$$\begin{gathered} x^{-2-3}\, y^{3-(-1)} = x^{-5}\, y^{4} \\ {} = \frac{y^4}{x^5} \end{gathered}$$

Si può arrivare allo stesso risultato spostando prima i fattori: $x^{-2}$ scende e diventa $x^2$, accanto a $x^3$ fa $x^5$; $y^{-1}$ sale e diventa $y$, accanto a $y^3$ fa $y^4$. Verifica con $x = 2$ e $y = 1$: l’espressione di partenza vale $\frac{1/4}{8} = \frac{1}{32}$, e infatti $\frac{y^4}{x^5} = \frac{1}{32}$.

Le potenze di 10 con esponente negativo

Con base 10 gli esponenti negativi diventano numeri decimali: $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ è un numero con la cifra 1 all’$n$-esimo posto dopo la virgola. Molti prefissi delle unità di misura sono proprio nomi di queste potenze:

Potenza	Numero decimale	Prefisso
$10^{-1}$	$0{,}1$	deci (d)
$10^{-2}$	$0{,}01$	centi (c)
$10^{-3}$	$0{,}001$	milli (m)
$10^{-6}$	$0{,}000\,001$	micro (µ)
$10^{-9}$	$0{,}000\,000\,001$	nano (n)

Moltiplicare per $10^{-n}$ vuol dire dividere per $10^n$ e quindi spostare la virgola di $n$ posti a sinistra: $3 \cdot 10^{-3} = 0{,}003$. Così un millimetro è $10^{-3}$ m e 5 nanometri sono $5 \cdot 10^{-9}$ m. È la base della notazione scientifica, con cui si scrivono in modo compatto i numeri molto piccoli; nei calcoli valgono le stesse proprietà di sempre, come vedrai nell’esercizio 5.

Le unità di misura in fisica

In fisica gli esponenti negativi compaiono perfino nelle unità di misura. L’accelerazione si misura in $\text{m/s}^2$, che si scrive anche $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$: l’esponente $-2$ dice che $\text{s}^2$ sta al denominatore. Allo stesso modo il newton è $\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ e l’hertz, l’unità della frequenza, è $\text{s}^{-1}$. Ne parliamo nell’articolo sulle grandezze fisiche e unità di misura.

I grafici: cosa succede con gli esponenti negativi

La funzione esponenziale per x negativo

Disegna i punti $(n,\, 2^n)$ per gli interi negativi: $\left(-1,\, \frac{1}{2}\right)$, $\left(-2,\, \frac{1}{4}\right)$, $\left(-3,\, \frac{1}{8}\right)$. È la scala della prima figura, letta da destra a sinistra. Più l’esponente diventa negativo, più il valore si avvicina a zero: già $2^{-10} = \frac{1}{1024}$ è circa un millesimo. Ma non arriva mai a zero, perché ogni potenza di 2 è positiva.

Riempiendo gli spazi tra un intero e l’altro, con le potenze con esponente reale, si ottiene il grafico di $y = 2^x$: per $x \to -\infty$ la curva si schiaccia sull’asse $x$ restando sempre sopra, e l’asse $x$ è un asintoto orizzontale. Lo studiamo per bene nella funzione esponenziale.

I grafici di 1/x e 1/x²

Ora fissa l’esponente e fai variare la base: ottieni le funzioni $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ e $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. Entrambe sono definite solo per $x \neq 0$.

Le differenze nascono dal segno, come abbiamo visto. Con esponente dispari, $x^{-1}$ ha il segno di $x$: è positiva a destra e negativa a sinistra, e il suo grafico è un’iperbole. Con esponente pari, $x^{-2}$ è sempre positiva, e il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$. Per il resto si somigliano: vicino a $x = 0$ crescono senza limite in valore assoluto, e allontanandosi dall’origine tendono a zero. Gli assi sono i loro asintoti.

Nota come si comportano rispetto a $x = 1$, dove valgono entrambe 1. Per $x = 10$ si ha $x^{-1} = 0{,}1$ e $x^{-2} = 0{,}01$: lontano dall’origine $x^{-2}$ va a zero più in fretta. Per $x = 0{,}1$, invece, $x^{-1} = 10$ e $x^{-2} = 100$: vicino all’origine $x^{-2}$ esplode più in fretta. Trovi questi grafici nei grafici delle funzioni elementari e il modo di spostarli e deformarli nelle trasformazioni dei grafici.

Questa scrittura ti farà risparmiare molta fatica: scrivendo $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$, la derivata si calcola con la stessa regola di $x^3$ e vale $-3x^{-4}$, come vedrai nelle derivate delle funzioni elementari.

Gli errori più comuni

• Rendere negativo il risultato. $2^{-3} = \frac{1}{8}$, non $-8$ e nemmeno $-\frac{1}{8}$: l’esponente negativo fa il reciproco, il segno lo decide la base.
• Cambiare segno alla base invece di capovolgerla. $2^{-3}$ non è $(-2)^3$.
• Dimenticare le parentesi. $(-2)^{-2} = \frac{1}{4}$, ma $-2^{-2} = -\frac{1}{4}$.
• Sbagliare il «meno meno» nel quoziente. $\frac{a^{-2}}{a^{-5}} = a^{-2+5} = a^3$, non $a^{-7}$.
• Mandare al denominatore il fattore sbagliato. In $3x^{-2}$ scende solo $x$, quindi $3x^{-2} = \frac{3}{x^2}$; in $(3x)^{-2}$ scende tutto il prodotto, quindi $(3x)^{-2} = \frac{1}{9x^2}$ e non $\frac{3}{x^2}$.
• Spostare i termini di una somma. $(a + b)^{-1}$ non è $a^{-1} + b^{-1}$, e $a^{-1} + b^{-1}$ vale $\frac{a + b}{ab}$, non $\frac{1}{a + b}$.
• Confondere esponente negativo e frazionario. $4^{-2} = \frac{1}{16}$, mentre $4^{\frac{1}{2}} = 2$.
• Dimenticare la condizione sulla base. $0^{-1}$ non esiste: con le lettere scrivi sempre che le basi con esponente negativo sono diverse da zero.

Esercizi svolti

1. Calcoli con i numeri

Testo. Calcola $3^{-4}$, $0{,}4^{-2}$, $\left(2^{-1}\right)^{-3}$ e $5^{-4} \cdot 5^6$.

Per $3^{-4}$ basta la definizione: $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.

Per $0{,}4^{-2}$ scriviamo prima il decimale come frazione, $0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, poi capovolgiamo:

$$0{,}4^{-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

cioè $6{,}25$. In $\left(2^{-1}\right)^{-3}$ c’è una potenza di potenza: si moltiplicano gli esponenti, $(-1) \cdot (-3) = 3$, quindi il risultato è $2^3 = 8$. Controllo per l’altra strada: $2^{-1} = \frac{1}{2}$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$.

Infine $5^{-4} \cdot 5^6$ è un prodotto con la stessa base: $5^{-4+6} = 5^2 = 25$.

I risultati sono $\frac{1}{81}$, $\frac{25}{4}$, $8$ e $25$: nessuno è negativo, e tre sono addirittura maggiori di 1.

2. Frazioni e segni

Testo. Calcola $\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}$, $(-3)^{-3}$, $-3^{-2}$, $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-2}$ e $-\left(-\frac{1}{2}\right)^{-5}$.

Capovolgiamo la frazione e cambiamo segno all’esponente:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}$$

In $(-3)^{-3}$ la base è negativa e l’esponente dispari, quindi il risultato è negativo: $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.

In $-3^{-2}$ non ci sono parentesi: la base è 3 e il meno si applica alla fine, $-3^{-2} = -\frac{1}{9}$.

In $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-2}$ si capovolge la base tenendo il segno, e l’esponente pari rende positivo il risultato:

$$\left(-\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

L’ultima va fatta in due tempi. Prima la potenza: $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-5} = (-2)^5 = -32$. Poi il meno davanti: $-(-32) = 32$.

I risultati sono $\frac{64}{27}$, $-\frac{1}{27}$, $-\frac{1}{9}$, $\frac{25}{4}$ e $32$: il segno dipende sempre dalla base e dalle parentesi, mai dal meno all’esponente.

3. Semplificare con le lettere

Testo. Semplifica le due espressioni seguenti, con $a, b \neq 0$, scrivendo il risultato con soli esponenti positivi.

$$\begin{gathered} \text{(a)}\;\; \left(a^{-2}\, b\right)^{-3} \cdot a^{-4}\, b^2 \\ \text{(b)}\;\; \frac{\left(2a^{-2}b^3\right)^{-3}}{\left(4a^3b^{-2}\right)^{-2}} \end{gathered}$$

(a) Prima la potenza di potenza, poi il prodotto lettera per lettera:

$$\begin{gathered} \left(a^{-2}\, b\right)^{-3} = a^{(-2)(-3)}\, b^{-3} = a^6\, b^{-3} \\ a^6\, b^{-3} \cdot a^{-4}\, b^2 = a^{6-4}\, b^{-3+2} \\ {} = a^2\, b^{-1} = \frac{a^2}{b} \end{gathered}$$

(b) Eleviamo ogni fattore, numero compreso. Conviene scrivere $4 = 2^2$:

$$\begin{gathered} \left(2a^{-2}b^3\right)^{-3} = 2^{-3}\, a^{6}\, b^{-9} \\ \left(4a^3b^{-2}\right)^{-2} = 2^{-4}\, a^{-6}\, b^{4} \end{gathered}$$

Ora il quoziente, numeratore meno denominatore, fattore per fattore:

$$\begin{gathered} 2^{-3-(-4)}\, a^{6-(-6)}\, b^{-9-4} \\ {} = 2\, a^{12}\, b^{-13} = \frac{2a^{12}}{b^{13}} \end{gathered}$$

Verifica con $a = 1$ e $b = 2$: il numeratore vale $16^{-3} = \frac{1}{4096}$, il denominatore $1^{-2} = 1$, e infatti $\frac{2}{2^{13}} = \frac{1}{4096}$. I risultati sono $\frac{a^2}{b}$ e $\frac{2a^{12}}{b^{13}}$.

4. Somme di potenze con esponente negativo

Testo. Calcola $\left(2^{-1} + 3^{-1}\right)^{-2}$ e semplifica, indicando le condizioni:

$$\frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-2} - b^{-2}}$$

Prima parte. Dentro la parentesi c’è una somma, quindi prima la calcoliamo; poi capovolgiamo e cambiamo segno all’esponente:

$$\begin{gathered} 2^{-1} + 3^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \\ \left(\frac{5}{6}\right)^{-2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} \end{gathered}$$

L’esponente non si può distribuire sulla somma: né $2^2 + 3^2 = 13$ né $(2 + 3)^2 = 25$ sono il risultato giusto.

Seconda parte. Condizioni: $a \neq 0$, $b \neq 0$ e denominatore diverso da zero, cioè $\frac{1}{a^2} \neq \frac{1}{b^2}$, ossia $a^2 \neq b^2$, ossia $a \neq \pm b$. Numeratore e denominatore sono somme: le calcoliamo con il denominatore comune.

$$\begin{gathered} a^{-1} + b^{-1} = \frac{b + a}{ab} \\ a^{-2} - b^{-2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} \end{gathered}$$

Dividere per una frazione vuol dire moltiplicare per la sua reciproca. Poi scomponiamo $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ e semplifichiamo $a + b$ con $b + a$, e $a^2 b^2$ con $ab$, che lascia $ab$ al numeratore:

$$\begin{gathered} \frac{a + b}{ab} \cdot \frac{a^2 b^2}{(b - a)(b + a)} \\ {} = \frac{ab}{b - a} \end{gathered}$$

Verifica con $a = 2$ e $b = 3$: l’espressione vale $\frac{5}{6} : \frac{5}{36} = 6$, e infatti $\frac{2 \cdot 3}{3 - 2} = 6$. I risultati sono $\frac{36}{25}$ e $\frac{ab}{b - a}$, valido per $a, b \neq 0$ e $a \neq \pm b$.

5. Un calcolo in notazione scientifica

Testo. Un capello ha uno spessore di 0,08 mm, un virus un diametro di 120 nm. Quanti virus messi in fila servono per coprire lo spessore del capello?

Portiamo tutto in metri, con $1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m}$ e $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} 0{,}08\ \text{mm} = 8 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3}\ \text{m} \\ {} = 8 \cdot 10^{-5}\ \text{m} \\ 120\ \text{nm} = 1{,}2 \cdot 10^{2} \cdot 10^{-9}\ \text{m} \\ {} = 1{,}2 \cdot 10^{-7}\ \text{m} \end{gathered}$$

Ora dividiamo. I numeri davanti si dividono tra loro, le potenze di 10 con la regola del quoziente, attenti al «meno meno»:

$$\begin{gathered} \frac{8 \cdot 10^{-5}}{1{,}2 \cdot 10^{-7}} = \frac{8}{1{,}2} \cdot 10^{-5-(-7)} \\ {} \approx 6{,}67 \cdot 10^{2} \end{gathered}$$

Servono circa 667 virus in fila per coprire lo spessore di un capello.

6. Trova l’errore

Testo. Per semplificare $E = \left(3a^{-2}b\right)^{-1} \cdot \left(a^{-1} + b^{-1}\right)$, con $a, b \neq 0$, uno studente scrive i passaggi seguenti. Trova gli errori e correggili.

$$\begin{gathered} E = 3a^2 b^{-1} \cdot (a + b) \\ {} = \frac{3a^2(a + b)}{b} \end{gathered}$$

Gli errori sono due, entrambi nella prima riga.

Primo errore. L’esponente $-1$ riguarda tutti i fattori della parentesi, anche il 3. Lo studente ha cambiato segno agli esponenti di $a$ e di $b$, ma ha lasciato il 3 al numeratore. Correttamente:

$$\left(3a^{-2}b\right)^{-1} = 3^{-1} a^{2} b^{-1} = \frac{a^2}{3b}$$

Secondo errore. $a^{-1} + b^{-1}$ è una somma: i termini non si possono «capovolgere» uno per uno. Vale $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$, non $a + b$.

La versione corretta:

$$\begin{gathered} E = \frac{a^2}{3b} \cdot \frac{a + b}{ab} \\ {} = \frac{a(a + b)}{3b^2} \end{gathered}$$

Verifica con $a = b = 1$: l’espressione di partenza vale $3^{-1} \cdot (1 + 1) = \frac{2}{3}$, il nostro risultato dà $\frac{1 \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}$, quello dello studente $\frac{3 \cdot 2}{1} = 6$. Una verifica numerica di pochi secondi smaschera subito l’errore.

Altri esercizi sugli esponenti negativi, insieme alle altre proprietà, li trovi negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze.

In sintesi

• Definizione: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ per $a \neq 0$; in particolare $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Con base zero l’esponente negativo non ha senso.
• È l’unica definizione compatibile con le proprietà: da $a^n \cdot a^{-n} = a^0 = 1$ segue che $a^{-n}$ è il reciproco di $a^n$.
• Con una frazione si capovolge la base e si cambia segno all’esponente: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.
• Il meno all’esponente non rende negativo il risultato: il segno dipende dalla base e, se è negativa, dalla parità dell’esponente. $(-2)^{-2} = \frac{1}{4}$, $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$, $-2^{-2} = -\frac{1}{4}$.
• Le cinque proprietà delle potenze valgono per tutti gli esponenti interi, con la sola attenzione ai segni.
• Un fattore cambia lato della frazione cambiando segno all’esponente; un termine di una somma no: $a^{-1} + b^{-1} = \frac{a + b}{ab}$.
• $10^{-n}$ ha la cifra 1 all’$n$-esimo posto dopo la virgola: milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$, nano $10^{-9}$.
• $2^x$ tende a zero per $x \to -\infty$ senza mai annullarsi; $x^{-1}$ e $x^{-2}$ sono definite per $x \neq 0$ e hanno gli assi come asintoti.

Con esponenti interi di ogni segno, ora possiamo mettere tutto insieme nelle espressioni con le potenze.