Grafici delle funzioni elementari: retta, parabola, potenze, radici e iperbole

In Analisi 1 alcuni grafici vanno saputi a memoria, come le tabelline. Sono i mattoni con cui si disegnano quasi tutte le altre funzioni, e servono per trovare immagini, leggere limiti e risolvere a colpo d’occhio disequazioni come $x^3 > x$. In questa pagina vediamo la retta, la parabola con vertice e intersezioni, le potenze con esponente naturale (e chi sta sopra tra 0 e 1), le radici, le potenze con esponente reale, l’iperbole $\frac{1}{x}$, la funzione omografica, la semicirconferenza, come si usa il catalogo, una tabella riassuntiva, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Di ogni funzione ci chiediamo sempre le stesse cose: dominio e immagine, simmetrie (pari o dispari), monotonia, punti notevoli e comportamento agli estremi del dominio. Quest’ultimo lo leggiamo dal grafico, a parole; la definizione precisa la vedrai nei limiti infiniti e all’infinito.

La retta

$$y = mx + q$$

Il grafico è una retta non verticale, definita su tutto $\mathbb{R}$. Il numero $q$ è l’intercetta: la retta taglia l’asse $y$ in $(0, q)$. Il numero $m$ è il coefficiente angolare, la pendenza: quando $x$ aumenta di 1, $y$ aumenta di $m$. Se $m > 0$ la funzione è strettamente crescente, se $m < 0$ strettamente decrescente, se $m = 0$ è costante.

Dati due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ con $x_1 \neq x_2$, la pendenza è il rapporto tra dislivello e spostamento orizzontale:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

e la retta è $y - y_1 = m\,(x - x_1)$. Al contrario, per disegnare una retta bastano due punti: per $y = 2x - 1$ trovi $(0, -1)$ e $(2, 3)$.

Le rette orizzontali $y = k$ sono le funzioni costanti. Le rette verticali $x = k$ invece non sono grafici di funzioni: a $x = k$ corrisponderebbero infiniti valori di $y$, e infatti non superano il test della retta verticale.

La funzione $mx + q$ è dispari se e solo se $q = 0$, pari se e solo se $m = 0$. Agli estremi: se $m > 0$, per $x \to +\infty$ anche $y \to +\infty$ e per $x \to -\infty$ si ha $y \to -\infty$; se $m < 0$ il contrario.

La parabola

$$\begin{gathered} y = ax^2 + bx + c \\ (a \neq 0) \end{gathered}$$

È definita su tutto $\mathbb{R}$ e il grafico è una parabola con asse verticale. Tutto viene da una riscrittura.

Il vertice: completare il quadrato

Raccogliamo $a$ nei primi due termini e aggiungiamo e togliamo quello che serve per avere un quadrato:

$$\begin{gathered} ax^2 + bx + c \\ {} = a\left(x^2 + \frac{b}{a}\,x\right) + c \\ {} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \\ {} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} \end{gathered}$$

dove $\Delta = b^2 - 4ac$ è il discriminante. Ponendo

$$\begin{gathered} x_V = -\frac{b}{2a} \\ y_V = -\frac{\Delta}{4a} \end{gathered}$$

la parabola diventa $y = a\,(x - x_V)^2 + y_V$, e si legge tutto.

• Concavità. $(x - x_V)^2 \geq 0$, e vale 0 solo in $x_V$. Se $a > 0$, quindi, $y \geq y_V$: il vertice $V = (x_V, y_V)$ è il punto più basso e la parabola è rivolta verso l’alto. Se $a < 0$ è il punto più alto e la parabola è rivolta verso il basso. Più $|a|$ è grande, più è stretta.
• Asse. $y$ dipende solo dalla distanza tra $x$ e $x_V$: la retta $x = x_V$ è l’asse di simmetria.
• Monotonia. Per $a > 0$ la funzione è strettamente decrescente su $(-\infty, x_V]$ e strettamente crescente su $[x_V, +\infty)$, perché allontanandosi dal vertice il quadrato cresce. Per $a < 0$ il contrario.
• Immagine. Il quadrato assume tutti i valori $\geq 0$: l’immagine è $[y_V, +\infty)$ se $a > 0$, $(-\infty, y_V]$ se $a < 0$.
• Estremi. Per $x \to \pm\infty$ la parabola va a $+\infty$ se $a > 0$, a $-\infty$ se $a < 0$.

In pratica $y_V$ si calcola sostituendo $x_V$ nella formula.

Intersezioni con gli assi

L’asse $y$ si incontra in $(0, c)$. Con l’asse $x$ decide $\Delta$: se $\Delta > 0$ ci sono due intersezioni, $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, simmetriche rispetto all’asse; se $\Delta = 0$ la parabola tocca l’asse $x$ solo nel vertice; se $\Delta < 0$ non lo incontra mai.

Come si disegna: la scaletta

1. Il segno di $a$ dà la concavità.
2. Vertice: $x_V = -\frac{b}{2a}$, poi $y_V$ sostituendo.
3. Il punto $(0, c)$ e il suo simmetrico rispetto all’asse, $(2x_V, c)$.
4. Se $\Delta \geq 0$, le intersezioni con l’asse $x$.
5. Una curva liscia e simmetrica per questi punti.

Esempio. $y = x^2 - 4x + 3$. Concavità verso l’alto ($a = 1 > 0$); $x_V = \frac{4}{2} = 2$ e $y_V = 4 - 8 + 3 = -1$, quindi $V = (2, -1)$; passa per $(0, 3)$ e per il simmetrico $(4, 3)$; $\Delta = 4$, radici $x = \frac{4 \pm 2}{2}$, cioè 1 e 3. In forma con il vertice $y = (x - 2)^2 - 1$: immagine $[-1, +\infty)$, decrescente su $(-\infty, 2]$, crescente su $[2, +\infty)$.

Le potenze con esponente naturale

$$\begin{gathered} y = x^n \\ n = 1, 2, 3, \dots \end{gathered}$$

Conta se $n$ è pari o dispari, ed è da qui che vengono i nomi delle funzioni pari e dispari: $(-x)^n = x^n$ per $n$ pari, $(-x)^n = -x^n$ per $n$ dispari.

Esponente pari ($x^2$, $x^4$, …):

• dominio $\mathbb{R}$, immagine $[0, +\infty)$; funzione pari;
• strettamente decrescente su $(-\infty, 0]$, strettamente crescente su $[0, +\infty)$;
• passa per $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$;
• per $x \to \pm\infty$ tende a $+\infty$.

Esponente dispari ($x$, $x^3$, …):

• dominio e immagine $\mathbb{R}$; funzione dispari;
• strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$, quindi invertibile;
• passa per $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$;
• tende a $+\infty$ per $x \to +\infty$ e a $-\infty$ per $x \to -\infty$.

Perché è vero. Se $0 \leq x_1 < x_2$, moltiplicando membro a membro $n$ copie della disuguaglianza (lecito, perché i numeri non sono negativi) si ottiene $x_1^n < x_2^n$: ogni potenza cresce su $[0, +\infty)$. Il resto lo fa la simmetria: specchiando rispetto all’asse $y$ ($n$ pari) la salita diventa una discesa; specchiando rispetto all’origine ($n$ dispari) resta una salita, con i valori negativi a sinistra di 0 e quelli positivi a destra: la funzione cresce su tutto $\mathbb{R}$.

Chi sta sopra: il confronto tra le potenze

Un fatto che all’esame si usa di continuo: tra 0 e 1 le potenze più alte sono più piccole, dopo 1 sono più grandi.

$$\begin{gathered} 0 < x < 1 \implies x^3 < x^2 < x \\ x > 1 \implies x < x^2 < x^3 \end{gathered}$$

Per esempio $0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}5^2 = 0{,}25$, mentre $2^3 = 8 > 2^2 = 4$: moltiplicare per un numero tra 0 e 1 rimpicciolisce.

Perché è vero. Per $m > n \geq 1$ si ha $x^m - x^n = x^n\,(x^{m - n} - 1)$. Per $0 < x < 1$ il primo fattore è positivo e il secondo negativo, quindi $x^m < x^n$; per $x > 1$ sono positivi entrambi.

Ecco perché, nella figura, al crescere di $n$ le curve sono più schiacciate vicino all’origine e più ripide fuori da $[-1, 1]$. Per $x$ negativi si usa la simmetria: tra $-1$ e $0$ si ha $x < x^3 < 0 < x^2$.

Le radici

$$\begin{gathered} y = \sqrt{x} \qquad y = \sqrt[3]{x} \\ y = \sqrt[n]{x} \end{gathered}$$

Le radici sono le funzioni inverse delle potenze: il loro grafico è il simmetrico di quello della potenza rispetto alla bisettrice $y = x$. Ma si inverte solo una funzione iniettiva:

• se $n$ è dispari, $x^n$ è crescente su $\mathbb{R}$ e $\sqrt[n]{x}$ è definita per ogni $x$: per esempio $\sqrt[3]{-8} = -2$;
• se $n$ è pari, $x^n$ non è iniettiva ($(-2)^2 = 2^2$): si inverte la restrizione a $[0, +\infty)$, quindi $\sqrt[n]{x}$ è definita solo per $x \geq 0$ e non è mai negativa.

• Indice pari ($\sqrt{x}$, $\sqrt[4]{x}$, …): dominio e immagine $[0, +\infty)$, strettamente crescenti, né pari né dispari. Per $x \to +\infty$ tendono a $+\infty$, ma lentamente: $\sqrt{x}$ arriva a 10 solo per $x = 100$.
• Indice dispari ($\sqrt[3]{x}$, …): dominio e immagine $\mathbb{R}$, strettamente crescenti e dispari; tendono a $\pm\infty$ per $x \to \pm\infty$.

Riflesse rispetto alla bisettrice, le radici sono quasi verticali vicino all’origine, e il confronto si rovescia: $\sqrt{x} > x$ per $0 < x < 1$ (per esempio $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$), $\sqrt{x} < x$ per $x > 1$.

Le potenze con esponente reale

Per le potenze $x^\alpha$ con $\alpha$ non intero seguiamo la convenzione del sito: base positiva, più la base 0 se l’esponente è positivo ($0^\alpha = 0$). Quindi:

$$\begin{gathered} \alpha > 0: \quad D = [0, +\infty) \\ \alpha < 0: \quad D = (0, +\infty) \end{gathered}$$

Il perché è nelle potenze con esponente frazionario. Non confondere $\sqrt[3]{x}$, definita su $\mathbb{R}$, con $x^{1/3}$, definita solo per $x \geq 0$: coincidono per $x \geq 0$, ma per $x < 0$ esiste solo la radice. Alcuni testi escludono anche lo 0: controlla la convenzione del tuo corso.

Tutti questi grafici passano per $(1, 1)$, e nessuno è pari o dispari, perché il dominio non è simmetrico. La forma dipende da $\alpha$ (in figura, tratteggiata, c’è anche la bisettrice $y = x$):

• $\alpha > 1$ (come $x^{3/2} = x\sqrt{x}$): crescente, immagine $[0, +\infty)$; parte piatta e sale sempre più ripida, sotto la bisettrice tra 0 e 1 e sopra dopo. Somiglia a $x^2$.
• $0 < \alpha < 1$ (come $x^{1/2} = \sqrt{x}$): crescente, immagine $[0, +\infty)$; parte quasi verticale e sale sempre più piano, sopra la bisettrice tra 0 e 1 e sotto dopo. Somiglia a $\sqrt{x}$.
• $\alpha < 0$ (come $x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$): decrescente, immagine $(0, +\infty)$; tende a $+\infty$ per $x \to 0^+$ e a 0 per $x \to +\infty$, quindi gli assi sono asintoti. Somiglia al ramo destro di $\frac{1}{x}$.

Con $\alpha > 0$, invece, $x^\alpha \to +\infty$ per $x \to +\infty$. La regola del confronto è la stessa delle potenze intere: tra 0 e 1 sta più in alto l’esponente più piccolo, dopo 1 il più grande. Infatti per $\beta > \alpha$ il rapporto $\frac{x^\beta}{x^\alpha} = x^{\beta - \alpha}$ è minore di 1 se $0 < x < 1$ e maggiore di 1 se $x > 1$.

L’iperbole 1/x e le funzioni 1/xⁿ

$y = \frac{1}{x}$ è l’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti:

• dominio e immagine $\mathbb{R} \setminus \{0\}$: ogni $y \neq 0$ è raggiunto da $x = \frac{1}{y}$;
• dispari, con i rami nel primo e nel terzo quadrante;
• strettamente decrescente su $(-\infty, 0)$ e su $(0, +\infty)$ separatamente, non sull’unione: $-1 < 1$ ma $f(-1) < f(1)$. È l’errore classico delle funzioni monotone;
• tende a $+\infty$ per $x \to 0^+$, a $-\infty$ per $x \to 0^-$, a 0 per $x \to \pm\infty$: l’asse $y$ è un asintoto verticale, l’asse $x$ un asintoto orizzontale (vedi gli asintoti).

$y = \frac{1}{x^2}$: dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, immagine $(0, +\infty)$, pari, strettamente crescente su $(-\infty, 0)$ e strettamente decrescente su $(0, +\infty)$. Tende a $+\infty$ per $x \to 0$ da entrambe le parti e a 0 per $x \to \pm\infty$; gli asintoti sono ancora gli assi.

In generale $\frac{1}{x^n}$ somiglia a $\frac{1}{x}$ se $n$ è dispari e a $\frac{1}{x^2}$ se $n$ è pari; più $n$ è grande, più sale in fretta vicino a 0 e più si schiaccia in fretta sull’asse $x$. Il confronto con i numeri è nelle potenze con esponente negativo.

La funzione omografica

Una funzione omografica è un rapporto tra due polinomi di primo grado:

$$\begin{gathered} y = \frac{ax + b}{cx + d} \\ (c \neq 0,\ ad - bc \neq 0) \end{gathered}$$

con dominio $x \neq -\frac{d}{c}$. Le condizioni escludono due casi banali, che vediamo alla fine.

Una 1/x spostata

Si divide il numeratore per il denominatore, come quando si scrive $\frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2}$. Poiché $ax + b = \frac{a}{c}\,(cx + d) + b - \frac{ad}{c}$:

$$\begin{gathered} \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{k}{cx + d} \\ \text{con } k = \frac{bc - ad}{c} \neq 0 \end{gathered}$$

Il termine $\frac{k}{cx + d} = \frac{k/c}{x + d/c}$ è l’iperbole $\frac{1}{x}$ moltiplicata per $\frac{k}{c}$ e spostata in orizzontale fino a $x = -\frac{d}{c}$; aggiungere $\frac{a}{c}$ la sposta in verticale. Sono le mosse delle trasformazioni dei grafici. Il grafico è quindi un’iperbole equilatera traslata, con:

• asintoto verticale $x = -\frac{d}{c}$, dove si annulla il denominatore;
• asintoto orizzontale $y = \frac{a}{c}$, il rapporto tra i coefficienti della $x$: per $x \to \pm\infty$ la frazione $\frac{k}{cx + d}$ tende a 0;
• centro di simmetria $C = \left(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\right)$, dove si incrociano gli asintoti: il grafico è simmetrico rispetto a $C$, come $\frac{1}{x}$ rispetto all’origine;
• immagine $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{a}{c}\right\}$: il valore dell’asintoto orizzontale non è mai raggiunto, perché $\frac{k}{cx + d}$ non vale mai 0;
• monotonia su ciascuna semiretta del dominio: $\frac{k}{c} = \frac{bc - ad}{c^2}$ ha il segno opposto a $ad - bc$, quindi la funzione è decrescente se $ad - bc < 0$, come $\frac{1}{x}$, e crescente se $ad - bc > 0$.

Per esempio $y = \frac{x + 1}{x - 2}$, che abbiamo usato negli articoli su iniettività e funzione inversa, ha asintoti $x = 2$ e $y = 1$: ecco perché il valore $y = 1$ non è mai raggiunto.

Un esempio completo

Prendiamo $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$: qui $ad - bc = 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 3$. Il dominio è $x \neq -1$ e, poiché $2x - 1 = 2\,(x + 1) - 3$,

$$y = 2 - \frac{3}{x + 1}$$

Asintoti $x = -1$ e $y = 2$, centro $C = (-1, 2)$, immagine $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Con $ad - bc > 0$ la funzione è crescente su $(-\infty, -1)$ e su $(-1, +\infty)$, con i rami in alto a sinistra e in basso a destra del centro. Taglia gli assi in $(0, -1)$ e $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$. Per $x \to -1^-$ tende a $+\infty$, per $x \to -1^+$ a $-\infty$, per $x \to \pm\infty$ a 2.

La simmetria si vede sui punti: $P = (0, -1)$ sta sul grafico, e ci sta anche il suo simmetrico rispetto a $C$, $P' = (-2, 5)$, perché $\frac{-4 - 1}{-2 + 1} = 5$. Il punto medio tra $P$ e $P'$ è proprio $(-1, 2)$.

I casi degeneri

Se $ad - bc = 0$, numeratore e denominatore sono proporzionali e la funzione è costante con un buco: per esempio $\frac{2x + 4}{x + 2} = 2$ per $x \neq -2$, e il grafico è la retta $y = 2$ senza il punto $(-2, 2)$. Se invece $c = 0$ (con $d \neq 0$), $y = \frac{a}{d}\,x + \frac{b}{d}$ è una retta.

La semicirconferenza

$$\begin{gathered} y = \sqrt{r^2 - x^2} \\ (r > 0) \end{gathered}$$

Una circonferenza intera non è il grafico di una funzione, ma la sua metà superiore sì. La radice non è mai negativa, ed elevando al quadrato:

$$\begin{gathered} y = \sqrt{r^2 - x^2} \\ \text{equivale a} \\ y \geq 0 \ \text{ e } \ x^2 + y^2 = r^2 \end{gathered}$$

cioè ai punti con $y \geq 0$ della circonferenza di centro l’origine e raggio $r$. Dominio $[-r, r]$, immagine $[0, r]$, funzione pari, crescente su $[-r, 0]$ e decrescente su $[0, r]$. Con il segno meno si ottiene la metà inferiore.

Valore assoluto, segno e parte intera

Completano l’elenco tre funzioni definite a tratti:

• il valore assoluto $|x|$ vale $x$ per $x \geq 0$ e $-x$ per $x < 0$: una V con il vertice nell’origine (vedi il valore assoluto);
• la funzione segno $\operatorname{sgn}(x)$ vale $-1$, $0$ o $1$ se $x$ è negativo, nullo o positivo;
• la parte intera $\lfloor x \rfloor$ è il più grande intero minore o uguale a $x$: una scala di gradini.

Segno e parte intera sono tra le funzioni definite a tratti.

Come si usa il catalogo

I grafici noti risolvono equazioni e disequazioni a colpo d’occhio:

1. scrivi il problema come confronto tra due funzioni note, $f(x) = g(x)$ oppure $f(x) > g(x)$;
2. disegna i due grafici nello stesso piano;
3. le soluzioni dell’equazione sono le ascisse dei punti d’incontro, quelle della disequazione gli $x$ in cui il grafico di $f$ sta sopra;
4. trova i punti d’incontro esatti con l’algebra.

Esempio: quando $x^3 > x$? I due grafici si incontrano in $-1$, $0$ e $1$; dopo 1 la cubica sta sopra, e tra $-1$ e $0$ vale $x < x^3$. Quindi $x^3 > x$ su $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$. Controllo: $x^3 - x = x\,(x - 1)(x + 1)$ è positivo proprio lì.

Esempio: quante soluzioni ha $\frac{1}{x} = x^2$? Per $x < 0$ il primo membro è negativo e il secondo positivo: niente. Per $x > 0$, $\frac{1}{x}$ decresce e $x^2$ cresce, quindi si incontrano al massimo una volta: in $x = 1$. Una sola soluzione, come conferma $x^3 = 1$.

Con le trasformazioni dei grafici il metodo funziona anche con curve spostate o ribaltate; all’esame serve a contare le soluzioni, come nell’esercizio 6.

Tabella riassuntiva

Funzione	Dominio e immagine	Parità e monotonia
$mx + q$, $m > 0$	$D = \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$	dispari solo se $q = 0$ crescente
$ax^2 + bx + c$, $a > 0$	$D = \mathbb{R}$ $I = [y_V, +\infty)$	pari solo se $b = 0$ decresce fino a $x_V$, poi cresce
$x^n$, $n$ pari	$D = \mathbb{R}$ $I = [0, +\infty)$	pari decresce su $(-\infty, 0]$, cresce su $[0, +\infty)$
$x^n$, $n$ dispari	$D = \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$	dispari crescente
$\sqrt[n]{x}$, $n$ pari	$D = [0, +\infty)$ $I = [0, +\infty)$	né pari né dispari crescente
$\sqrt[n]{x}$, $n$ dispari	$D = \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$	dispari crescente
$x^\alpha$, $\alpha > 0$ non intero	$D = [0, +\infty)$ $I = [0, +\infty)$	né pari né dispari crescente
$x^\alpha$, $\alpha < 0$ non intero	$D = (0, +\infty)$ $I = (0, +\infty)$	né pari né dispari decrescente
$\frac{1}{x^n}$, $n$ dispari	$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ $I = \mathbb{R} \setminus \{0\}$	dispari decresce su ogni semiretta
$\frac{1}{x^n}$, $n$ pari	$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ $I = (0, +\infty)$	pari cresce su $(-\infty, 0)$, decresce su $(0, +\infty)$
$\frac{ax + b}{cx + d}$	$D$: $x \neq -\frac{d}{c}$ $I = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{a}{c}\right\}$	simmetrica rispetto al centro monotona su ogni semiretta
$\sqrt{r^2 - x^2}$	$D = [-r, r]$ $I = [0, r]$	pari cresce su $[-r, 0]$, decresce su $[0, r]$

I principali limiti agli estremi del dominio sono riassunti nella tabella dei limiti infiniti e all’infinito.

Anteprima: esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche

Le altre funzioni elementari hanno un articolo ciascuna; ecco una riga per ognuna, utile anche per i domini:

• esponenziale $a^x$ ($a > 0$, $a \neq 1$): dominio $\mathbb{R}$, immagine $(0, +\infty)$, crescente se $a > 1$. Vedi la funzione esponenziale.
• logaritmo $\log_a x$: dominio $(0, +\infty)$, immagine $\mathbb{R}$, inverso dell’esponenziale. Vedi la funzione logaritmica.
• seno, coseno, tangente: $\sin x$ e $\cos x$ hanno immagine $[-1, 1]$ e periodo $2\pi$, $\tan x$ periodo $\pi$. Vedi i grafici delle funzioni goniometriche.
• arcoseno, arcocoseno, arcotangente: le inverse delle loro restrizioni. Vedi le funzioni goniometriche inverse.
• seno e coseno iperbolici: combinazioni di $e^x$ ed $e^{-x}$. Vedi le funzioni iperboliche.

Gli errori più comuni

• Invertire $x^2$ e $x^3$ tra 0 e 1. Per $0 < x < 1$ si ha $x^3 < x^2$; il contrario vale dopo 1.
• Sbagliare il segno di $x_V$. $x_V = -\frac{b}{2a}$: per $x^2 - 4x + 3$ vale $+2$.
• Dare a una parabola immagine $\mathbb{R}$. L’immagine è una semiretta che parte da $y_V$.
• Dire che $\frac{1}{x}$ è decrescente sul suo dominio. Lo è su ciascuna semiretta, non sull’unione.
• Dare a $x^{1/3}$ il dominio di $\sqrt[3]{x}$. Con la convenzione del sito $x^{1/3}$ è definita solo per $x \geq 0$.
• Prendere $y = \frac{b}{d}$ come asintoto dell’omografica. L’asintoto orizzontale è $y = \frac{a}{c}$; $\frac{b}{d}$ è solo il valore in 0.
• Dimenticare il caso $ad - bc = 0$. Allora il grafico è una retta orizzontale con un buco, non un’iperbole.
• Trattare come funzioni la retta $x = k$ o la circonferenza. Non superano il test della retta verticale.

Esercizi svolti

Altri esercizi sul capitolo sono negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

1. Vertice, asse e immagine di una parabola

Testo. Data $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$, trova vertice, asse, intersezioni con gli assi, immagine e monotonia, poi disegna il grafico.

Qui $a = -2 < 0$: concavità verso il basso. Il vertice:

$$\begin{gathered} x_V = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2 \\ y_V = f(2) = -8 + 16 - 5 = 3 \end{gathered}$$

Quindi $V = (2, 3)$ e l’asse è $x = 2$. Completando il quadrato si controlla:

$$\begin{gathered} -2x^2 + 8x - 5 \\ {} = -2\,(x^2 - 4x) - 5 \\ {} = -2\left[(x - 2)^2 - 4\right] - 5 \\ {} = -2\,(x - 2)^2 + 3 \end{gathered}$$

L’asse $y$ si incontra in $(0, -5)$, e il simmetrico è $(4, -5)$. Per l’asse $x$, $\Delta = 64 - 40 = 24 > 0$; dalla forma con il vertice, $(x - 2)^2 = \frac{3}{2}$:

$$\begin{gathered} x = 2 \pm \sqrt{\tfrac{3}{2}} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \\ x_1 \approx 0{,}78 \qquad x_2 \approx 3{,}22 \end{gathered}$$

Il vertice è il punto più alto: immagine $(-\infty, 3]$. La funzione cresce su $(-\infty, 2]$, decresce su $[2, +\infty)$ e tende a $-\infty$ per $x \to \pm\infty$. Il grafico è una U rovesciata con il massimo in $(2, 3)$.

2. Riconoscere il grafico dalla descrizione

Testo. Abbina ogni descrizione a una tra $x^4$, $x^3$, $\sqrt[3]{x}$, $x^{3/2}$, $\frac{1}{x^2}$ (una resta fuori).

• (A) Dominio $\mathbb{R}$, pari, immagine $[0, +\infty)$, più schiacciata di $x^2$ vicino all’origine.
• (B) Dominio $\mathbb{R}$, dispari, crescente, sopra la bisettrice per $0 < x < 1$.
• (C) Definita per $x \neq 0$, sempre positiva, con gli assi come asintoti.
• (D) Definita solo per $x \geq 0$, passa per $(1, 1)$, sotto la bisettrice tra 0 e 1.

(A) Le funzioni pari sono $x^4$ e $\frac{1}{x^2}$, ma solo la prima ha dominio $\mathbb{R}$: è $x^4$. (B) Dispari e crescenti sono $x^3$ e $\sqrt[3]{x}$; tra 0 e 1 si ha $x^3 < x$ e $\sqrt[3]{x} > x$ (per esempio $\sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}5$): è $\sqrt[3]{x}$. (C) È $\frac{1}{x^2}$. (D) Il dominio $[0, +\infty)$ indica un esponente positivo non intero: è $x^{3/2}$, che ha esponente maggiore di 1.

Resta fuori $x^3$: anche lei sta sotto la bisettrice tra 0 e 1, ma è definita su tutto $\mathbb{R}$.

3. Confrontare x², x³ e √x tra 0 e 1

Testo. Ordina $x^2$, $x^3$ e $\sqrt{x}$ dal più piccolo al più grande per $0 < x < 1$ e per $x > 1$. Verifica con $x = \frac{1}{4}$ e $x = 4$.

Con $\sqrt{x} = x^{1/2}$ gli esponenti sono $\frac{1}{2} < 2 < 3$. Tra 0 e 1 sta più in alto l’esponente più piccolo, dopo 1 il più grande:

$$\begin{gathered} 0 < x < 1 \implies x^3 < x^2 < \sqrt{x} \\ x > 1 \implies \sqrt{x} < x^2 < x^3 \end{gathered}$$

Verifica diretta per $0 < x < 1$:

$$\begin{gathered} x^2 - x^3 = x^2\,(1 - x) > 0 \\ \sqrt{x} - x^2 = \sqrt{x}\,\big(1 - x^{3/2}\big) > 0 \end{gathered}$$

perché $1 - x$ e $1 - x^{3/2}$ sono positivi per $x < 1$; per $x > 1$ diventano negativi e l’ordine si rovescia. Con $x = \frac{1}{4}$: $\frac{1}{64} < \frac{1}{16} < \frac{1}{2}$. Con $x = 4$: $2 < 16 < 64$. Vicino a 0 le potenze alte sono trascurabili: tornerà utile nei limiti.

4. Asintoti, centro e immagine di una funzione omografica

Testo. Data $g(x) = \frac{3x + 2}{2x - 4}$, trova dominio, asintoti, centro, immagine, monotonia e intersezioni con gli assi, poi disegnala.

Qui $ad - bc = 3 \cdot (-4) - 2 \cdot 2 = -16 \neq 0$: è una vera omografica, con dominio $x \neq 2$. Poiché $\frac{3}{2}\,(2x - 4) = 3x - 6$, si ha $3x + 2 = \frac{3}{2}\,(2x - 4) + 8$, quindi

$$\begin{gathered} g(x) = \frac{3}{2} + \frac{8}{2x - 4} \\ {} = \frac{3}{2} + \frac{4}{x - 2} \end{gathered}$$

È l’iperbole $\frac{4}{x}$ spostata di 2 a destra e di $\frac{3}{2}$ in alto: asintoti $x = 2$ e $y = \frac{3}{2}$, centro $C = \left(2, \frac{3}{2}\right)$. Controlliamo l’immagine risolvendo $g(x) = y$:

$$\begin{gathered} 3x + 2 = y\,(2x - 4) \\ x\,(3 - 2y) = -4y - 2 \end{gathered}$$

Per $y \neq \frac{3}{2}$ si trova $x = \frac{4y + 2}{2y - 3}$, che non vale mai 2 (imponendolo si arriva a $2 = -6$); per $y = \frac{3}{2}$ l’equazione diventa $0 = -8$. L’immagine è $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$.

Poiché $ad - bc < 0$, $g$ è strettamente decrescente su $(-\infty, 2)$ e su $(2, +\infty)$. Intersezioni: $\left(0, -\frac{1}{2}\right)$ e $\left(-\frac{2}{3}, 0\right)$. Per $x \to 2^+$ tende a $+\infty$, per $x \to 2^-$ a $-\infty$, per $x \to \pm\infty$ a $\frac{3}{2}$.

Per disegnarla: asintoti tratteggiati, centro, e qualche punto, come $g(3) = \frac{11}{2}$ sul ramo destro e $g(1) = -\frac{5}{2}$ sul sinistro. Il loro punto medio è $\left(2, \frac{3}{2}\right)$, il centro, come vuole la simmetria.

5. Dominio e immagine di una potenza con esponente reale

Testo. Trova dominio, immagine e monotonia di $f(x) = x^{-2/3}$. È la stessa funzione di $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$?

L’esponente $-\frac{2}{3}$ è negativo e non intero: per la convenzione del sito il dominio è $(0, +\infty)$, e lì

$$x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$

$x^{2/3}$ è positiva e strettamente crescente, quindi il reciproco $f$ è strettamente decrescente. $f$ è sempre positiva, e dato $y > 0$ l’equazione $f(x) = y$ ha la soluzione positiva $x = y^{-3/2}$: l’immagine è $(0, +\infty)$. Il grafico è come quelli con $\alpha < 0$ della figura: passa per $(1, 1)$, tende a $+\infty$ per $x \to 0^+$ e a 0 per $x \to +\infty$. Per esempio $f(8) = \frac{1}{4}$ e $f\left(\frac{1}{8}\right) = 4$.

$g$ invece ha dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, perché la radice cubica è definita ovunque, ed è pari. Le due funzioni coincidono per $x > 0$ e hanno la stessa immagine, ma non sono la stessa funzione: $g$ ha anche il ramo simmetrico per $x < 0$.

6. Quante soluzioni ha un’equazione

Testo. Quante soluzioni reali ha $x^2 - 2 = \frac{1}{x}$? Rispondi confrontando i grafici, verifica con una tabella e trova le soluzioni esatte.

Il primo grafico è la parabola $x^2$ abbassata di 2, con zeri in $\pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41$; il secondo è l’iperbole.

• Per $x > 0$ l’iperbole decresce e la parabola cresce, quindi si incontrano al più una volta; e si incontrano, perché vicino a 0 sta sopra l’iperbole e lontano la parabola.
• Per $x \leq -\sqrt{2}$ la parabola è $\geq 0$ e l’iperbole negativa: nessuna soluzione.
• Per $-\sqrt{2} < x < 0$ sono negative entrambe e il disegno a mano non basta, anche se in $x = -1$ valgono entrambe $-1$. Servono i numeri.

$x$	$x^2 - 2$	$\frac{1}{x}$
$-1{,}5$	$0{,}25$	$-0{,}67$
$-1$	$-1$	$-1$
$-0{,}8$	$-1{,}36$	$-1{,}25$
$-0{,}5$	$-1{,}75$	$-2$
$1$	$-1$	$1$
$2$	$2$	$0{,}5$

Tra $-1{,}5$ e $-0{,}8$ la parabola passa sotto l’iperbole (in $-1$), tra $-0{,}8$ e $-0{,}5$ torna sopra, tra 1 e 2 c’è il terzo incrocio. Su questi intervalli, che non contengono lo 0, la differenza $x^2 - 2 - \frac{1}{x}$ è continua e cambia segno, quindi si annulla per il teorema degli zeri: almeno tre soluzioni.

Non sono di più: moltiplicando per $x \neq 0$ si ottiene $x^3 - 2x - 1 = 0$, e un polinomio di terzo grado ha al massimo tre radici. Le soluzioni sono esattamente tre. Per trovarle, con la regola di Ruffini e la radice $x = -1$:

$$\begin{gathered} x^3 - 2x - 1 = (x + 1)(x^2 - x - 1) \\ x^2 - x - 1 = 0 \iff x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

cioè $x \approx -0{,}618$ e $x \approx 1{,}618$, proprio negli intervalli della tabella. Il confronto tra due curve dice quante soluzioni ci sono e dove cercarle.

In sintesi

• Retta $y = mx + q$: pendenza $m$, intercetta $q$.
• Parabola: $y = a\,(x - x_V)^2 + y_V$ con $x_V = -\frac{b}{2a}$; concavità dal segno di $a$, immagine $[y_V, +\infty)$ o $(-\infty, y_V]$, intersezioni con l’asse $x$ dal segno di $\Delta$.
• Potenze $x^n$: pari con immagine $[0, +\infty)$ se $n$ è pari, dispari e crescenti se $n$ è dispari. Per $0 < x < 1$: $x^3 < x^2 < x$; dopo 1 il contrario.
• Radici: inverse delle potenze; $\sqrt[n]{x}$ è definita per $x \geq 0$ se $n$ è pari, su $\mathbb{R}$ se è dispari.
• Esponente reale non intero: dominio $[0, +\infty)$ se $\alpha > 0$, $(0, +\infty)$ se $\alpha < 0$; tutte passano per $(1, 1)$.
• Iperboli $\frac{1}{x^n}$: asintoti gli assi, monotone su ogni semiretta separatamente.
• Omografica: $\frac{a}{c} + \frac{k}{cx + d}$, asintoti $x = -\frac{d}{c}$ e $y = \frac{a}{c}$, centro nel loro incrocio, immagine $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{a}{c}\right\}$; se $ad - bc = 0$ è una costante con un buco.
• Semicirconferenza: $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ è la metà superiore della circonferenza di raggio $r$.

Con pochi trucchi, da questi grafici se ne ottengono moltissimi altri: traslando, dilatando e ribaltando. È l’argomento del prossimo articolo, trasformazioni dei grafici.