Funzione esponenziale: definizione, grafico, proprietà ed esercizi svolti

Nel capitolo sulle potenze abbiamo dato un significato ad $a^x$ per ogni esponente reale. Ora fissiamo la base e lasciamo variare l’esponente: nasce la funzione esponenziale, una delle più importanti di tutta la matematica. Descrive popolazioni, decadimento radioattivo, interessi in banca; all’esame la ritrovi in equazioni, disequazioni, limiti, derivate e studi di funzione. In questa pagina vediamo la definizione e le condizioni sulla base, il grafico nei due casi, tutte le proprietà (dominio, immagine, monotonia, asintoto, convessità, inversa), il ruolo della base, la simmetria tra $a^x$ e $\left(\frac{1}{a}\right)^x$, perché l’esponenziale moltiplica mentre la retta somma, la differenza tra $2^x$ e $x^2$, due esempi completi, il posto speciale di $e^x$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La definizione

La variabile sta all’esponente, la base è un numero fisso: per questo si chiama esponenziale. Esempi: $2^x$, $10^x$, $\left(\frac{1}{3}\right)^x$, $0{,}9^x$, $e^x$. Grazie alla definizione delle potenze con esponente reale, $a^x$ esiste per ogni $x$: il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

Perché la base deve essere positiva

Con una base negativa molte potenze non sono numeri reali: con $a = -2$, il valore in $x = \frac{1}{2}$ sarebbe $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$, che non esiste. Come abbiamo visto nelle potenze con esponente frazionario, con base negativa restano solo gli esponenti interi: al posto di una curva avremmo punti isolati, con segni alterni. Anche la base 0 va esclusa: $0^x$ vale 0 per $x > 0$ e non è definito per $x \leq 0$.

Perché la base deve essere diversa da 1

Con $a = 1$ si ottiene $1^x = 1$ per ogni $x$: una funzione costante, il cui grafico è la retta orizzontale $y = 1$. Non cresce, non decresce e non è invertibile: non ha nessuna delle proprietà che rendono utile l’esponenziale, e per questo la si esclude.

Il grafico: due forme

Tutto dipende da un solo confronto: la base è maggiore di 1 oppure compresa tra 0 e 1? Nella figura, in alto, tre basi maggiori di 1; in basso, tre basi tra 0 e 1. Il pallino nero è il punto $(0, 1)$, comune a tutte; i pallini colorati sono i punti $(1, a)$ in alto e $\left(-1, \frac{1}{a}\right)$ in basso.

Base maggiore di 1. La funzione è strettamente crescente. A sinistra il grafico si schiaccia sull’asse $x$ senza mai toccarlo; a destra sale sempre più ripido. Con $a = 2$: $2^{-10} = \frac{1}{1024} \approx 0{,}001$, mentre $2^{10} = 1024$.

Base tra 0 e 1. La funzione è strettamente decrescente: il grafico è alto a sinistra e si schiaccia sull’asse $x$ verso destra. Con $a = \frac{1}{2}$ i valori di prima si scambiano: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-10} = 1024$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \approx 0{,}001$.

Le proprietà della funzione esponenziale

Valgono per ogni base $a > 0$ con $a \neq 1$, e si leggono tutte sul grafico.

Dominio, segno e punti notevoli

• Dominio: tutto $\mathbb{R}$.
• Sempre positiva: $a^x > 0$ per ogni $x$. Non è mai zero e non è mai negativa: il grafico sta tutto sopra l’asse $x$ e non lo incontra mai. Per esempio $2^x = -4$ non ha soluzioni.
• Punti notevoli: $a^0 = 1$, quindi ogni grafico passa per $(0, 1)$; $a^1 = a$ e $a^{-1} = \frac{1}{a}$, quindi passa anche per $(1, a)$ e per $\left(-1, \frac{1}{a}\right)$.

Monotonia e iniettività

È il teorema di monotonia rispetto all’esponente, dimostrato nelle potenze con esponente reale. Una funzione strettamente monotona è iniettiva: esponenti diversi danno valori diversi. Ne seguono le regole su cui si basano equazioni e disequazioni esponenziali:

$$a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2$$

e, per $a > 1$, $a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2$, mentre per $0 < a < 1$ il verso si inverte: $a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2$. Sono le regole che userai nelle equazioni esponenziali e nelle disequazioni esponenziali: «invertire il verso» non è un trucco, è la forma del grafico.

L’immagine e l’inversa

L’esponenziale assume solo valori positivi. Li assume tutti: per ogni $y > 0$ esiste uno e un solo $x$ con $a^x = y$. L’unicità viene dall’iniettività; l’esistenza richiede un ingrediente in più, la continuità. Per $a > 1$, $a^x$ supera qualsiasi numero quando $x$ cresce e scende sotto qualsiasi numero positivo quando $x$ diminuisce. Siccome è continua (un teorema che qui prendiamo per buono), per il teorema dei valori intermedi, che trovi insieme al teorema degli zeri, non può saltare nessun valore in mezzo. Quindi l’immagine è $(0, +\infty)$.

Una funzione strettamente monotona con immagine $(0, +\infty)$ si può invertire: la sua inversa è il logaritmo in base $a$, il protagonista della funzione logaritmica.

Il comportamento agli estremi e l’asintoto

Per $a > 1$, quando $x$ diventa grande $a^x$ cresce senza limiti; quando $x$ diventa molto negativo, $a^x$ si avvicina a 0 quanto vuoi, senza raggiungerlo. Quindi l’asse $x$, la retta $y = 0$, è un asintoto orizzontale a sinistra, mentre a destra non c’è asintoto. Per $0 < a < 1$ è il contrario: asintoto a destra, crescita senza limiti verso sinistra. Nel linguaggio dei limiti, per $a > 1$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \\ \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \end{gathered}$$

Si legge «il limite per $x$ che tende a più infinito di $a^x$ è più infinito». In particolare $e^t \to +\infty$ se $t \to +\infty$ ed $e^t \to 0$ se $t \to -\infty$: due fatti che userai di continuo. Le verifiche con la definizione sono nei limiti infiniti e all’infinito.

La convessità

Il grafico «si piega verso l’alto»: è convesso, cioè il segmento che unisce due suoi punti sta sopra la curva. Un controllo in una riga: nel punto medio tra $x_1$ e $x_2$ la funzione vale

$$a^{\frac{x_1 + x_2}{2}} = \sqrt{a^{x_1} \cdot a^{x_2}}$$

la media geometrica dei due valori, che è minore della loro media aritmetica $\frac{a^{x_1} + a^{x_2}}{2}$, l’altezza del punto medio del segmento: per $p \neq q$ positivi, $\sqrt{pq} < \frac{p + q}{2}$ perché $\left(\sqrt{p} - \sqrt{q}\right)^2 > 0$. Che basti controllare i punti medi, per una funzione continua, è un teorema che saltiamo; con le derivate lo ritroverai nel segno della derivata seconda, in concavità e convessità.

Infine, $a^x$ non è né pari né dispari ($2^{-1} = \frac{1}{2}$ è diverso sia da $2$ sia da $-2$), non è periodica e non ha né massimo né minimo: il suo estremo inferiore, 0, non è mai raggiunto.

	$a > 1$	$0 < a < 1$
esempi	$2^x$, $e^x$, $10^x$	$\left(\frac{1}{2}\right)^x$, $e^{-x}$
dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
immagine	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
monotonia	strettamente crescente	strettamente decrescente
per $x \to +\infty$	$a^x \to +\infty$	$a^x \to 0$
per $x \to -\infty$	$a^x \to 0$	$a^x \to +\infty$
asintoto $y = 0$	a sinistra	a destra
grafico	convesso	convesso

Il ruolo della base

Torna alla prima figura. Con base maggiore di 1, più la base è grande, più la curva sale in fretta a destra dell’asse $y$; a sinistra succede il contrario: le basi grandi si schiacciano prima sull’asse $x$. Per $x = 2$: $1{,}5^2 = 2{,}25$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$. Per $x = -2$ l’ordine si rovescia: $1{,}5^{-2} \approx 0{,}44$, $2^{-2} = 0{,}25$, $3^{-2} \approx 0{,}11$.

Perché è vero. Il rapporto tra i due valori è $\frac{b^x}{a^x} = \left(\frac{b}{a}\right)^x$, una potenza con base $\frac{b}{a} > 1$: è maggiore di 1 se $x > 0$ e minore di 1 se $x < 0$. È il confronto tra potenze con lo stesso esponente letto sul grafico.

Il teorema vale anche per le basi tra 0 e 1: più la base è vicina a 0, più in fretta la curva crolla a destra. E una base vicina a 1 dà una curva quasi piatta: con $a = 1{,}01$ serve $x = 100$ per arrivare a circa $2{,}7$.

La simmetria tra aˣ e (1/a)ˣ

Per le proprietà delle potenze:

$$\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x} = a^{-x}$$

Quindi $g(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x$ si ottiene da $f(x) = a^x$ sostituendo $x$ con $-x$: $g(x) = f(-x)$. Sul grafico è la simmetria rispetto all’asse $y$: il punto $(x, y)$ del primo grafico diventa il punto $(-x, y)$ del secondo. Per esempio $2^3 = 8$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$.

Ecco perché basta studiare bene il caso $a > 1$: ogni esponenziale decrescente è lo specchio di uno crescente. Così $e^{-x} = \left(\frac{1}{e}\right)^x$ è decrescente, mentre $0{,}5^{-x} = 2^x$ è crescente.

L’esponenziale moltiplica, la retta somma

Per capire che tipo di crescita descrive un esponenziale, confrontiamo la retta $g(x) = 2x + 1$ con $f(x) = 2^x$, che per $x = 0$ valgono entrambe 1:

$x$	$2x + 1$	$2^x$
0	1	1
1	3	2
2	5	4
3	7	8
4	9	16
5	11	32
10	21	1024

Quando $x$ aumenta di 1, la retta aggiunge sempre la stessa quantità, 2; l’esponenziale moltiplica sempre per lo stesso fattore, la base 2. All’inizio la retta è avanti, ma da $x = 3$ in poi l’esponenziale sta sopra e la distanza non smette di crescere.

In formule, per ogni $x$ reale:

$$f(x + 1) = a^{x + 1} = a \cdot a^x = a \cdot f(x)$$

e, più in generale, per un passo $h$ qualsiasi, $f(x + h) = a^h \cdot f(x)$. A passi uguali in $x$ corrispondono fattori uguali in $y$. Prese ascisse equidistanti $x_0$, $x_0 + h$, $x_0 + 2h$, … i valori $a^{x_0}$, $a^{x_0} \cdot a^h$, $a^{x_0} \cdot a^{2h}$, … formano una progressione geometrica di ragione $q = a^h$. Con $2^x$ e passo $\frac{1}{2}$, partendo da 0: $1$, $\sqrt{2}$, $2$, $2\sqrt{2}$, $4$, ogni volta moltiplicati per $\sqrt{2}$. Viceversa, se $q > 0$ e $q \neq 1$, i punti $(n, a_0 q^n)$ di una progressione geometrica stanno sul grafico di $y = a_0 \cdot q^x$. La retta fa lo stesso con le somme: i suoi valori sono in progressione aritmetica.

L’equazione funzionale

La regola $f(x + 1) = a \cdot f(x)$ è un caso particolare di una proprietà più generale, che viene da $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$:

$$f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \quad \text{per ogni } x, y$$

La funzione esponenziale trasforma le somme in prodotti. È proprio questa proprietà che la rende il modello naturale di tutti i fenomeni che crescono «in percentuale», come vediamo in crescita e decadimento esponenziale.

Vale anche il viceversa, che enunciamo senza dimostrazione: tra le funzioni continue su $\mathbb{R}$, le uniche che soddisfano $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ sono la funzione nulla e le $a^x$ con $a = f(1) > 0$ (per $a = 1$ si ottiene la costante 1). Senza l’ipotesi di continuità esistono anche altre soluzioni, molto irregolari. «Trasformare le somme in prodotti» è la carta d’identità dell’esponenziale.

Non confondere 2ˣ e x²

Le scritture $x^2$ e $2^x$ si somigliano, ma sono funzioni completamente diverse:

• in $x^2$ la variabile è la base e l’esponente è fisso: è una funzione potenza, una parabola;
• in $2^x$ la variabile è l’esponente e la base è fissa: è una funzione esponenziale.

$x$	$x^2$	$2^x$
$-2$	4	0,25
$-1$	1	0,5
0	0	1
1	1	2
2	4	4
3	9	8
4	16	16
5	25	32
10	100	1024
20	400	1 048 576

I grafici si incontrano in tre punti: in $x = 2$ e $x = 4$, dove i valori coincidono, e in un punto con $x$ negativo, $x \approx -0{,}767$, dove valgono entrambe circa $0{,}588$. Tra 2 e 4 vince la parabola ($9 > 8$ per $x = 3$); da $x = 4$ in poi vince l’esponenziale, e per sempre: già per $x = 20$ si ha $x^2 = 400$ contro $2^{20} = 1\,048\,576$.

Non ce ne sono altri: per $x < 0$ la parabola scende e l’esponenziale sale, quindi si incontrano una volta sola; per $x > 0$ lo si dimostra con le derivate. Il valore $-0{,}767$ non si trova con l’algebra, ma si stima con il teorema degli zeri: $2^x - x^2$ vale $-0{,}5$ in $x = -1$ e $1$ in $x = 0$.

Il fatto generale si chiama gerarchia degli infiniti: per $x \to +\infty$ ogni esponenziale con base maggiore di 1, prima o poi, supera qualsiasi potenza, anche $x^{100}$. Lo trovi in infinitesimi e infiniti.

Due esempi completi

Base maggiore di 1: f(x) = 3ˣ

• Valori: $f(2) = 9$, $f(-1) = \frac{1}{3}$, $f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.
• Dominio $\mathbb{R}$, immagine $(0, +\infty)$, strettamente crescente perché $3 > 1$. A ogni passo di 1 il valore triplica.
• Passa per $(0, 1)$ e $(1, 3)$; l’asse $x$ è asintoto a sinistra, mentre a destra $3^x$ cresce senza limiti.
• Per confrontare due valori basta confrontare gli esponenti: $3^{\sqrt{2}} < 3^{1{,}5}$, perché $\sqrt{2} < 1{,}5$ (infatti $2 < 2{,}25$).

Base tra 0 e 1: g(x) = (2/3)ˣ

• Valori: $g(-2) = \frac{9}{4}$, $g(-1) = \frac{3}{2}$, $g(0) = 1$, $g(2) = \frac{4}{9}$, $g(3) = \frac{8}{27} \approx 0{,}30$.
• Dominio $\mathbb{R}$, immagine $(0, +\infty)$, strettamente decrescente perché $0 < \frac{2}{3} < 1$. A ogni passo di 1 verso destra il valore perde un terzo.
• Passa per $(0, 1)$ e $\left(1, \frac{2}{3}\right)$. L’asse $x$ è asintoto a destra: già $g(10) \approx 0{,}017$; verso sinistra cresce senza limiti, $g(-10) \approx 57{,}7$.
• Nei confronti l’ordine si inverte: $\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{2}} > \left(\frac{2}{3}\right)^{1{,}5}$, perché $\sqrt{2} < 1{,}5$ e la base è minore di 1.

L’esponenziale per eccellenza: eˣ

Tra tutte le basi ce n’è una che in Analisi si usa quasi sempre: il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$. La funzione $e^x$, scritta anche $\exp(x)$, è l’unico esponenziale il cui grafico attraversa il punto $(0, 1)$ con pendenza esattamente 1, e per questo rende semplicissime le formule di limiti, derivate e integrali: lo scopri nella pagina sul numero di Nepero. Ogni esponenziale si riscrive in base $e$, perché $a^x = e^{x \ln a}$, con $\ln a$ logaritmo naturale di $a$. Vicino a 0, poi, $a^x - 1$ si comporta come $x \ln a$: è uno dei limiti notevoli.

Nello studio di funzione esponenziale vedrai $e^x$ insieme a polinomi e frazioni; i grafici che nascono da $a^x$ con traslazioni, simmetrie e composizioni sono nei grafici di funzioni esponenziali; con $e^x$ ed $e^{-x}$ si costruiscono le funzioni iperboliche.

Un po’ di storia

Già nel 1697 Johann Bernoulli aveva pubblicato un «calcolo esponenziale», cioè il calcolo infinitesimale delle funzioni esponenziali. La presentazione di questa pagina, però, segue quella del suo allievo Eulero: nel capitolo VI dell’Introductio in analysin infinitorum (1748) studia $a^z$ come funzione dell’esponente $z$ e distingue i nostri casi. Con $a = 1$ si ottiene sempre 1, con $a > 1$ i valori crescono, con $a < 1$ calano, mentre con $a = 0$ e con le basi negative fanno «salti» enormi. Sceglie una base maggiore di 1 e chiama logaritmo di $y$ l’esponente $z$ per cui $a^z = y$.

Gli errori più comuni

• Confondere $2^x$ con $x^2$ o con $2x$. Nel primo la variabile è all’esponente: per $x = 10$ valgono $1024$, $100$ e $20$.
• Pensare che $a^x$ possa essere zero o negativo. Con base positiva la potenza è sempre positiva: $3^x = 0$ e $3^x = -9$ non hanno soluzioni, e $3^{-2} = \frac{1}{9}$ è positivo.
• Credere che il segno meno all’esponente renda la funzione decrescente. Conta la base dopo averla riscritta: $0{,}9^{-x} = \left(\frac{10}{9}\right)^x$ è crescente.
• Dimenticare di invertire il verso con base tra 0 e 1. $\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1} < \left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}$ significa $x_1 > x_2$.
• Mettere l’asintoto da entrambe le parti. Con $a > 1$ la retta $y = 0$ è asintoto solo a sinistra: a destra $a^x$ cresce senza limiti.
• Scrivere $a^{x + y} = a^x + a^y$. L’esponenziale trasforma le somme in prodotti: $2^{3 + 2} = 2^3 \cdot 2^2 = 32$, non $8 + 4 = 12$.
• Dividere il fattore invece di estrarre la radice. Se in 2 unità una grandezza esponenziale viene moltiplicata per $0{,}64$, in 1 unità viene moltiplicata per $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$, non per $0{,}32$.
• Accettare basi negative o uguali a 1. $(-2)^x$ non è una funzione esponenziale e $1^x$ è costante: negli esercizi con parametro vanno escluse.

Esercizi svolti

1. Crescente o decrescente

Testo. Stabilisci se ciascuna funzione è crescente o decrescente: (a) $\left(\sqrt{2} - 1\right)^x$; (b) $\left(\frac{\pi}{3}\right)^x$; (c) $0{,}9^{-x}$; (d) $5^x \cdot 2^{-2x}$.

Si scrive ogni funzione nella forma $a^x$ e si confronta la base con 0 e con 1, usando disuguaglianze sicure.

(a) Da $1 < \sqrt{2} < 2$ segue $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$: la base, circa $0{,}414$, è tra 0 e 1, quindi la funzione è decrescente.

(b) Siccome $\pi > 3$, la base $\frac{\pi}{3}$ è maggiore di 1: crescente. Ma di poco: $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}047$, e il grafico è quasi piatto, tanto che $\left(\frac{\pi}{3}\right)^{10} \approx 1{,}59$.

(c) Con le proprietà delle potenze:

$$0{,}9^{-x} = \left(\frac{9}{10}\right)^{-x} = \left(\frac{10}{9}\right)^x$$

La base $\frac{10}{9}$ è maggiore di 1: crescente, nonostante il segno meno e la base di partenza minore di 1.

(d) Siccome $2^{-2x} = \left(2^2\right)^{-x} = 4^{-x}$:

$$5^x \cdot 2^{-2x} = \frac{5^x}{4^x} = \left(\frac{5}{4}\right)^x$$

La base $\frac{5}{4}$ è maggiore di 1: crescente. In tutti i casi la monotonia è stretta e l’immagine è $(0, +\infty)$.

2. L’immagine con la monotonia

Testo. Trova l’immagine di $f(x) = 2^x + 3$. Poi studia $g(x) = 3 - \left(\frac{1}{2}\right)^x$: monotonia, asintoto e immagine, prima su tutto $\mathbb{R}$ e poi sull’intervallo $[-2, 1]$.

La funzione $f$. Mentre $x$ percorre $\mathbb{R}$, $t = 2^x$ percorre tutto $(0, +\infty)$, quindi $t + 3$ percorre tutto $(3, +\infty)$: l’immagine di $f$ è $(3, +\infty)$. La funzione è strettamente crescente, con asintoto $y = 3$ a sinistra.

La funzione $g$. Poni $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$: è strettamente decrescente e assume tutti i valori di $(0, +\infty)$.

• Quando $x$ cresce, $t$ diminuisce e $3 - t$ cresce: $g$ è strettamente crescente.
• Per $x \to +\infty$, $t \to 0$ e $g(x) \to 3$: la retta $y = 3$ è asintoto orizzontale a destra, e il grafico resta sempre sotto di essa, perché $t > 0$.
• Per $x \to -\infty$, $t \to +\infty$ e $g(x) \to -\infty$. Se $t$ percorre $(0, +\infty)$, $3 - t$ percorre $(-\infty, 3)$: è l’immagine di $g$.

Sull’intervallo. Siccome $g$ è crescente, il valore più piccolo è nell’estremo sinistro e il più grande nel destro:

$$\begin{gathered} g(-2) = 3 - \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 3 - 4 = -1 \\ g(1) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \end{gathered}$$

Siccome $g$ è anche continua, per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori in mezzo: l’immagine di $[-2, 1]$ è $\left[-1, \frac{5}{2}\right]$. La monotonia fissa gli estremi, la continuità garantisce che non ci siano buchi.

3. Il fattore per ogni unità

Testo. (a) Data $f(x) = 4 \cdot 3^{x/2}$, calcola $\frac{f(x + 2)}{f(x)}$ e il fattore per cui $f$ viene moltiplicata quando $x$ aumenta di 1. (b) Una funzione $g(x) = k \cdot a^x$, con $k > 0$, soddisfa $g(x + 2) = 0{,}64 \cdot g(x)$ per ogni $x$. Trova $a$ e di quale percentuale diminuisce $g$ a ogni unità.

(a) Il 4 si semplifica e gli esponenti si sottraggono:

$$\begin{gathered} \frac{f(x + 2)}{f(x)} = \frac{4 \cdot 3^{\frac{x + 2}{2}}}{4 \cdot 3^{\frac{x}{2}}} \\ {} = 3^{\frac{x + 2}{2} - \frac{x}{2}} = 3^1 = 3 \end{gathered}$$

Il rapporto non dipende da $x$: ogni 2 unità il valore triplica. Con un passo di 1, allo stesso modo, $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = 3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$: un aumento del 73,2% a ogni unità. Infatti $f(x) = 4 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^x$: due passi danno $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.

(b) Il rapporto è $\frac{g(x + 2)}{g(x)} = \frac{k\,a^{x + 2}}{k\,a^x} = a^2$, quindi $a^2 = 0{,}64$. Le soluzioni sono $\pm 0{,}8$, ma la base è positiva: $a = 0{,}8$. A ogni unità $g$ viene moltiplicata per 0,8, cioè diminuisce del 20%. In due unità diminuisce del 36%, non del 40%: $0{,}8^2 = 0{,}64$.

4. Riconoscere un esponenziale da una tabella

Testo. Una delle due funzioni della tabella è un esponenziale $k \cdot a^x$, l’altra è un esponenziale traslato $k \cdot a^x + c$. Scrivile entrambe.

$x$	$f(x)$	$g(x)$
0	48	3
2	12	7
4	3	15
6	0,75	31

Le ascisse sono equidistanti, con passo 2: per un esponenziale i rapporti tra valori consecutivi sono costanti.

La funzione $f$. I rapporti $\frac{12}{48}$, $\frac{3}{12}$ e $\frac{0{,}75}{3}$ valgono tutti $\frac{1}{4}$. Quindi $f(x) = k \cdot a^x$ con $k = f(0) = 48$ e $a^2 = \frac{1}{4}$, cioè $a = \frac{1}{2}$, perché la base è positiva:

$$f(x) = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

Controllo: $f(6) = \frac{48}{64} = 0{,}75$.

La funzione $g$. I rapporti $\frac{7}{3}$, $\frac{15}{7}$, $\frac{31}{15}$ sono diversi, e le differenze 4, 8, 16 non sono costanti: $g$ non è né un esponenziale $k \cdot a^x$ né una retta. Però le differenze raddoppiano. Per $g(x) = k \cdot a^x + c$ la costante $c$ si cancella nelle differenze:

$$g(x + 2) - g(x) = k\,a^x\left(a^2 - 1\right)$$

e a ogni passo vengono moltiplicate per $a^2$. Quindi $a^2 = 2$ e $a = \sqrt{2}$. Da $g(0) = k + c = 3$ e $g(2) = 2k + c = 7$, sottraendo, $k = 4$ e $c = -1$:

$$g(x) = 4 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^x - 1$$

Controllo: $g(4) = 4 \cdot 4 - 1 = 15$ e $g(6) = 4 \cdot 8 - 1 = 31$. È un esponenziale traslato in basso di 1, con asintoto $y = -1$ a sinistra.

5. Un esponenziale per due punti

Testo. Trova $k$ e $a$ in modo che il grafico di $f(x) = k \cdot a^x$ passi per $(-1, 8)$ e $(2, 1)$. Poi trova dove il grafico taglia l’asse $y$ e per quale $x$ si ha $f(x) = \frac{1}{2}$.

Imponiamo il passaggio per i due punti:

$$\begin{cases} k \cdot a^{-1} = 8 \\ k \cdot a^{2} = 1 \end{cases}$$

Dividendo la seconda equazione per la prima, $k$ si semplifica e gli esponenti si sottraggono:

$$\frac{k\,a^2}{k\,a^{-1}} = a^{3} = \frac{1}{8}$$

quindi $a = \frac{1}{2}$, l’unico numero reale il cui cubo è $\frac{1}{8}$. Dalla prima equazione $k = 8a = 4$:

$$f(x) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

Controllo: $f(-1) = 4 \cdot 2 = 8$ e $f(2) = \frac{4}{4} = 1$. Il grafico taglia l’asse $y$ in $(0, 4)$, perché $f(0) = 4$: in $k \cdot a^x$ il coefficiente $k$ è proprio il valore in 0. Infine:

$$\begin{gathered} 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2} \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \end{gathered}$$

e per l’iniettività $x = 3$.

6. Da esame: una base con il parametro

Testo. Sia $f(x) = \left(\frac{m - 1}{3 - m}\right)^x$, con $m$ parametro reale. (a) Per quali $m$ è una funzione esponenziale? (b) Per quali è decrescente? (c) Per quale $m$ il grafico passa per $\left(2, \frac{1}{4}\right)$?

Chiamiamo $b = \frac{m - 1}{3 - m}$ la base. Intanto serve $m \neq 3$, perché il denominatore non si annulli.

(a) Una funzione esponenziale richiede $b > 0$ e $b \neq 1$. La frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno: sono entrambi positivi per $1 < m < 3$, mentre per averli entrambi negativi servirebbe $m < 1$ e $m > 3$ insieme, impossibile. Poi $b = 1$ quando $m - 1 = 3 - m$, cioè $m = 2$. Quindi $f$ è una funzione esponenziale per

$$1 < m < 3, \quad m \neq 2$$

(b) Serve anche $b < 1$. Per $1 < m < 3$ il denominatore è positivo, e moltiplicando per $3 - m$ il verso non cambia:

$$\begin{gathered} \frac{m - 1}{3 - m} < 1 \\ m - 1 < 3 - m \\ m < 2 \end{gathered}$$

Quindi $f$ è decrescente per $1 < m < 2$ e crescente per $2 < m < 3$. Controllo: con $m = 1{,}5$ la base è $\frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3}$; con $m = 2{,}5$ è $\frac{1{,}5}{0{,}5} = 3$.

(c) Si impone $f(2) = b^2 = \frac{1}{4}$. Le soluzioni sono $b = \pm\frac{1}{2}$, ma la base deve essere positiva, quindi $b = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \frac{m - 1}{3 - m} = \frac{1}{2} \\ 2m - 2 = 3 - m \\ m = \frac{5}{3} \end{gathered}$$

Il valore $\frac{5}{3}$ sta tra 1 e 2: è accettabile, e coerente con (b), perché $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ è decrescente. La soluzione scartata, $b = -\frac{1}{2}$, darebbe $m = -1$: lì $b^2$ vale davvero $\frac{1}{4}$, ma $\left(-\frac{1}{2}\right)^x$ non è una funzione esponenziale. È la trappola tipica degli esercizi con il parametro. Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti sulla funzione esponenziale.

In sintesi

• $f(x) = a^x$ con $a > 0$ e $a \neq 1$: la variabile sta all’esponente.
• Dominio $\mathbb{R}$, immagine $(0, +\infty)$: sempre positiva. Il grafico passa per $(0, 1)$ e $(1, a)$ ed è convesso.
• $a > 1$: strettamente crescente, asintoto $y = 0$ a sinistra. $0 < a < 1$: strettamente decrescente, asintoto $y = 0$ a destra.
• Iniettiva: $a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2$. L’inversa è il logaritmo in base $a$.
• Con $0 < a < b$: $a^x < b^x$ per $x > 0$ e $a^x > b^x$ per $x < 0$.
• $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$: i due grafici sono simmetrici rispetto all’asse $y$.
• $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$: a passi uguali in $x$ corrispondono fattori uguali, e i valori formano una progressione geometrica.
• $2^x$ e $x^2$ si incontrano in $x \approx -0{,}767$, $x = 2$ e $x = 4$; da 4 in poi vince l’esponenziale.

Ora che conosci tutte le basi, scopri perché in Analisi se ne usa quasi sempre una sola: il numero di Nepero.