Studio di funzione con valore assoluto: punti angolosi, metodo ed esercizi svolti

Un valore assoluto dentro una funzione, come in $\lvert x - 1 \rvert\,e^x$ o in $x^2 - 4\lvert x \rvert + 3$, è uno dei casi più frequenti nello studio di funzione all’esame di Analisi 1. Non servono teoremi nuovi: il valore assoluto si toglie spezzando la funzione in tratti. Però porta tre novità che cambiano il grafico: i punti angolosi, che spesso sono massimi o minimi che la condizione $f'(x) = 0$ non trova; asintoti che possono essere diversi a destra e a sinistra; due scorciatoie grafiche, per $\lvert f(x) \rvert$ e $f(\lvert x \rvert)$, che a volte risparmiano tutto lo studio. In questa pagina vediamo il metodo (spezzare, studiare, incollare), la regola esatta delle derivate destra e sinistra nello zero dell’argomento, quando il valore assoluto non crea uno spigolo, le scorciatoie grafiche, uno schema rapido dei casi, la scaletta, tre studi completi con il grafico, gli errori più comuni e cinque esercizi svolti.

Il metodo: spezzare, studiare, incollare

Se il numero è positivo o nullo resta com’è, se è negativo gli si cambia segno: $\lvert 5 \rvert = 5$, $\lvert -3 \rvert = 3$. Sulla retta, $\lvert a \rvert$ è la distanza di $a$ da 0; il ripasso completo è nell’articolo sul valore assoluto. Il grafico di $\lvert x \rvert$ è una «V» con la punta nell’origine: è il modello di tutti gli spigoli di questa pagina.

Quando al posto di $a$ c’è una funzione $A(x)$, quello che conta è il segno dell’argomento $A(x)$. Il metodo ha tre fasi.

1. Spezzare. Risolvi $A(x) \geq 0$ e scrivi $f$ a tratti, senza valori assoluti: dove $A(x) \geq 0$ metti $A(x)$, dove $A(x) < 0$ metti $-A(x)$. Con più valori assoluti, i tratti sono separati da tutti gli zeri degli argomenti.
2. Studiare. Ogni tratto è una funzione senza moduli: la studi con i soliti passi, ma solo nel suo intervallo.
3. Incollare. Nei punti di raccordo, dove cambia la formula, controlli la continuità e calcoli le derivate destra e sinistra.

Per esempio in $\lvert x - 1 \rvert\,e^x$ l’argomento $x - 1$ è positivo o nullo per $x \geq 1$, quindi

$$f(x) = \begin{cases} (1 - x)\,e^x & \text{se } x < 1 \\ (x - 1)\,e^x & \text{se } x \geq 1 \end{cases}$$

Nota che cambia segno tutto l’argomento: $-(x - 1) = 1 - x$.

La continuità di solito è gratis. Se $A$ è continua, anche $\lvert A \rvert$ lo è, perché $\big\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \big\rvert \leq \lvert a - b \rvert$: se $A(x)$ si avvicina ad $A(x_0)$, anche $\lvert A(x) \rvert$ si avvicina ad $\lvert A(x_0) \rvert$. Quindi somme, prodotti e composizioni di funzioni continue e valori assoluti sono continue nel loro dominio. Il controllo serve davvero per le funzioni a tratti date direttamente dal testo.

Le derivate nei raccordi. In un raccordo $x_0$ usiamo il teorema del limite della derivata, dimostrato in derivabilità e continuità: se $f$ è continua in $x_0$ e derivabile vicino a $x_0$ (escluso al più $x_0$), e $f'(x)$ ha limite per $x \to x_0^+$, finito o infinito, quel limite è la derivata destra $f'_+(x_0)$; lo stesso a sinistra. Poi si confrontano i due numeri, come in massimi e minimi:

• uguali e finite: $f$ è derivabile in $x_0$;
• diverse, con almeno una finita: punto angoloso;
• infinite e di segno opposto: cuspide;
• infinite e dello stesso segno: flesso a tangente verticale.

Per $\lvert A \rvert$ con $A$ derivabile, nello zero dell’argomento le derivate laterali sono finite (lo vediamo tra poco): si trova un punto angoloso oppure un punto derivabile. Cuspidi e flessi a tangente verticale compaiono quando nella formula c’è anche una radice, come in $\sqrt{\lvert x \rvert}$, che in 0 ha una cuspide.

Una formula sola per la derivata. Dove $A(x) \neq 0$, la funzione $\lvert A \rvert$ coincide con $A$ o con $-A$ vicino al punto, quindi

$$\big(\lvert A(x) \rvert\big)' = A'(x) \cdot \frac{A(x)}{\lvert A(x) \rvert}$$

La frazione vale $1$ dove $A > 0$ e $-1$ dove $A < 0$: è la derivata del tratto giusto. Per esempio $(\lvert x \rvert)' = \frac{x}{\lvert x \rvert}$ per $x \neq 0$. Dove $A(x) = 0$ la formula non dice nulla: lì servono le derivate laterali.

Le derivate destra e sinistra nello zero dell’argomento

Nel punto in cui l’argomento si annulla non serve nemmeno derivare i tratti: c’è una regola diretta.

Perché è vero. Siccome $f(x_0) = 0$, il rapporto incrementale si spezza in tre fattori:

$$\begin{gathered} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \\ {} = \left\lvert \frac{A(x_0 + h)}{h} \right\rvert \cdot \frac{\lvert h \rvert}{h} \cdot B(x_0 + h) \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ il primo fattore tende a $\lvert A'(x_0) \rvert$, perché $\frac{A(x_0 + h)}{h}$ è il rapporto incrementale di $A$ (ricorda che $A(x_0) = 0$). Il secondo vale $1$ per $h > 0$ e $-1$ per $h < 0$. Il terzo tende a $B(x_0)$, perché $B$ è continua.

Cosa ci dice.

• Se $A'(x_0) \neq 0$ e $B(x_0) \neq 0$, le due derivate sono opposte e non nulle: punto angoloso. Se $B(x_0) > 0$, per continuità $B$ resta positiva vicino a $x_0$, dove quindi $f \geq 0 = f(x_0)$: punta in giù, a «V», ed è un minimo relativo. Se $B(x_0) < 0$ la punta è in su ed è un massimo relativo.
• Se $A'(x_0) = 0$ oppure $B(x_0) = 0$, le due derivate valgono 0: $f$ è derivabile in $x_0$, con $f'(x_0) = 0$.

Quando il valore assoluto non crea un punto angoloso

Il teorema dice esattamente quando lo spigolo sparisce: se $A'(x_0) = 0$ oppure $B(x_0) = 0$. Ecco i casi tipici, tutti verificati con il rapporto incrementale.

• $\lvert x \rvert^3 = \lvert x^3 \rvert$: qui $A = x^3$ e $A'(0) = 0$. È derivabile, con $f'(0) = 0$: il grafico arriva piatto nel minimo, senza punta.
• $x\lvert x \rvert$: è $\lvert A \rvert \cdot B$ con $A = B = x$ e $B(0) = 0$. Vale $x^2$ per $x \geq 0$ e $-x^2$ per $x < 0$, e la sua derivata è $2\lvert x \rvert$ ovunque. Cresce sempre e in 0 passa da concava a convessa con tangente orizzontale: flesso a tangente orizzontale.
• $\lvert A \rvert$ con uno zero doppio: per un polinomio, $A'(x_0) \neq 0$ vuol dire zero semplice. In $\lvert x\,(x - 2)^2 \rvert$ lo zero 0 è semplice, $A'(0) = 4$, e dà uno spigolo con derivate $-4$ e $4$; lo zero 2 è doppio, $A'(2) = 0$, e il grafico tocca l’asse con tangente orizzontale.
• $\lvert A \rvert \cdot B$ con $B(x_0) = 0$: in $(x - 1)\lvert x^2 - 1 \rvert$ l’argomento si annulla in $\pm 1$ con $A'(\pm 1) = \pm 2$. In $-1$ il fattore vale $B(-1) = -2$: derivate $f'_-(-1) = 4$ e $f'_+(-1) = -4$, spigolo con la punta in su (massimo). In 1 invece $B(1) = 0$: derivabile, con $f'(1) = 0$.

Un’ultima osservazione: un punto angoloso non è mai un flesso, anche se lì la concavità cambia. Nella definizione di flesso il grafico deve avere una retta tangente, mentre in uno spigolo le semitangenti sono due.

Le scorciatoie grafiche: |f(x)| e f(|x|)

Le due trasformazioni sono spiegate nelle trasformazioni dei grafici; qui vediamo cosa dicono allo studio di funzione.

Il grafico di $y = \lvert f(x) \rvert$. Dove $f \geq 0$ resta com’è, dove $f < 0$ si ribalta sopra l’asse $x$. Di conseguenza:

• negli zeri in cui $f$ cambia segno con $f'(x_0) \neq 0$ nascono spigoli, con derivate $\pm\lvert f'(x_0) \rvert$; dove $f'(x_0) = 0$ non c’è spigolo;
• nelle parti ribaltate un minimo diventa un massimo, un limite $-\infty$ diventa $+\infty$, un asintoto $y = mx + q$ diventa $y = -mx - q$ e la concavità si inverte;
• se $B \geq 0$ allora $\lvert A \rvert \cdot B = \lvert A \cdot B \rvert$: per esempio $\lvert x - 1 \rvert\,e^x = \lvert (x - 1)\,e^x \rvert$.

Il grafico di $y = f(\lvert x \rvert)$. Per $x \geq 0$ coincide con $f$, per $x < 0$ è lo specchio rispetto all’asse $y$: è sempre pari. Quello che $f$ faceva per $x < 0$ (zeri, asintoti, massimi) sparisce. In 0, se $f$ è derivabile lì, le derivate laterali sono $f'_+(0) = f'(0)$ e $f'_-(0) = -f'(0)$: c’è uno spigolo se $f'(0) \neq 0$, che è un massimo se $f'(0) < 0$ e un minimo se $f'(0) > 0$.

Quando risparmiano lo studio. Se conosci già il grafico di $f$, perché è elementare o l’hai già studiata, per $\lvert f \rvert$ e $f(\lvert x \rvert)$ non servono nuove derivate. Esempio: $\lvert \ln x \rvert$ è il grafico del logaritmo con la parte tra 0 e 1 ribaltata; ha uno spigolo in 1 con derivate $-1$ e $1$ e l’asintoto $x = 0$ verso $+\infty$. Le scorciatoie non bastano quando il modulo è solo un pezzo della formula, come in $x^2 - 2\lvert x - 1 \rvert$ o in $\lvert x \rvert \cdot (x - 3)$: lì si spezza.

Schema rapido dei casi

Nella tabella $A$ e $B$ sono derivabili, $c$ è una costante e $x_0$ è il punto di raccordo: lo zero di $A$ nelle prime due righe, lo zero di $B$ nella terza, $x_0 = 0$ nell’ultima. Per brevità $A'$, $B$ e $B'$ sono i loro valori in $x_0$.

Funzione	Derivate	Spigolo se
$\lvert A \rvert$	${\pm\lvert A' \rvert}$	${A' \neq 0}$
$\lvert A \rvert\,B$	${\pm\lvert A' \rvert\,B}$	${A' \neq 0}$ e ${B \neq 0}$
$A + c\lvert B \rvert$	${A' \pm c\lvert B' \rvert}$	${c\,B' \neq 0}$
$A(\lvert x \rvert)$	${\pm A'(0)}$	${A'(0) \neq 0}$

Il segno superiore è la derivata destra, quello inferiore la sinistra. La riga della somma viene dalla prima, perché la derivata di $A$ si aggiunge a entrambe: per $x^2 - 2\lvert x - 1 \rvert$ in 1 dà $2 + 2 = 4$ a sinistra e $2 - 2 = 0$ a destra, come trovato in massimi e minimi. Se invece l’argomento si annulla fuori dal dominio, come in $\frac{x^2}{\lvert x - 1 \rvert}$, non c’è nessun raccordo da incollare ma un asintoto verticale (esempio 3).

La scaletta con il valore assoluto

1. Dominio e scrittura a tratti. Il modulo è definito per ogni numero e non toglie punti; poi spezzi con il segno dell’argomento.
2. Simmetrie. $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$: le funzioni di $\lvert x \rvert$ sono pari, e basta studiare $x \geq 0$.
3. Intersezioni e segno. $\lvert A \rvert \geq 0$ semplifica tutto: fuori dagli zeri di $A$, $\lvert A \rvert \cdot B$ ha il segno di $B$, e gli zeri di $A$ dove $B > 0$ sono già minimi.
4. Limiti e asintoti. A $+\infty$ e a $-\infty$ valgono tratti diversi: si calcolano separatamente.
5. Derivata prima. Tratto per tratto; nei raccordi le derivate laterali. Gli spigoli si aggiungono ai candidati per massimi e minimi.
6. Derivata seconda. Tratto per tratto; un cambio di concavità in uno spigolo non è un flesso.
7. Grafico. In ogni spigolo disegna le due semitangenti.

Esempio 1: un punto angoloso, un massimo e un flesso

$$f(x) = \lvert x - 1 \rvert\,e^x$$

Dominio e scrittura a tratti. Il dominio è $\mathbb{R}$; la scrittura a tratti l’abbiamo già vista: $(1 - x)\,e^x$ per $x < 1$, $(x - 1)\,e^x$ per $x \geq 1$.

Simmetrie. Nessuna: $f(1) = 0$, mentre $f(-1) = \frac{2}{e}$.

Intersezioni e segno. $f(0) = 1$, quindi il punto $(0, 1)$; l’unico zero è $x = 1$. Il prodotto di un valore assoluto e di un esponenziale non è mai negativo: in $(1, 0)$ c’è il minimo assoluto, prima ancora di derivare.

Limiti e asintoti. Per $x \to -\infty$ vale il primo tratto, una forma $\infty \cdot 0$. Con $t = -x \to +\infty$ diventa $\frac{1 + t}{e^t} \to 0^+$, perché l’esponenziale batte ogni polinomio: $y = 0$ è asintoto orizzontale a sinistra, raggiunto da sopra. Per $x \to +\infty$ la funzione tende a $+\infty$ e $\frac{f(x)}{x} = \frac{x - 1}{x}\,e^x \to +\infty$: nessun asintoto obliquo.

Derivata prima. Con la regola del prodotto, tratto per tratto:

• per $x < 1$: $\ f'(x) = -e^x + (1 - x)\,e^x$, cioè $-x\,e^x$;
• per $x > 1$: $\ f'(x) = e^x + (x - 1)\,e^x$, cioè $x\,e^x$.

Il primo è positivo per $x < 0$ e negativo tra 0 e 1; il secondo è positivo, perché lì $x > 1$.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 0)}$	$+$	$\nearrow$
${(0, 1)}$	$-$	$\searrow$
${(1, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Massimo relativo $(0, 1)$, non assoluto perché $f \to +\infty$.

Il raccordo. In $x = 1$ entrambi i tratti valgono 0: $f$ è continua. Le derivate laterali sono

$$\begin{gathered} f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (-x\,e^x) = -e \\ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} x\,e^x = e \end{gathered}$$

La regola dà lo stesso: $A = x - 1$, $A'(1) = 1$, $B(1) = e$. È un punto angoloso a «V»: il grafico arriva con pendenza $-e$ e riparte con pendenza $e$.

Derivata seconda. Per $x < 1$: $\ f''(x) = -e^x - x\,e^x = -(x + 1)\,e^x$. Per $x > 1$: $\ f''(x) = (x + 1)\,e^x$, positiva.

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -1)}$	$+$	$\cup$
${(-1, 1)}$	$-$	$\cap$
${(1, +\infty)}$	$+$	$\cup$

In $x = -1$ c’è un flesso, con $f(-1) = \frac{2}{e} \approx 0{,}74$ e tangente di pendenza $f'(-1) = \frac{1}{e}$. In $x = 1$ la concavità cambia, ma è uno spigolo: niente flesso.

Grafico. La curva parte appoggiata all’asse $x$, sale con il flesso fino al massimo $(0, 1)$, scende fino a $(1, 0)$ con una punta e risale sempre più ripida. L’immagine è $[0, +\infty)$. Controllo con la scorciatoia: siccome $e^x > 0$, $f = \lvert (x - 1)\,e^x \rvert$; la funzione $(x - 1)\,e^x$ ha il minimo $(0, -1)$ ed è negativa per $x < 1$, e ribaltata quel minimo diventa il nostro massimo $(0, 1)$.

Esempio 2: una W con lo spigolo in alto

$$f(x) = x^2 - 4\lvert x \rvert + 3$$

Dominio e simmetrie. $\mathbb{R}$. Siccome $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$, la funzione è pari: basta studiarla per $x \geq 0$, dove

$$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$

È la scorciatoia $h(\lvert x \rvert)$ con $h(x) = x^2 - 4x + 3$. Per $x < 0$ vale $x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$.

Intersezioni e segno. $f(0) = 3$: il punto $(0, 3)$. Per $x \geq 0$ gli zeri sono 1 e 3, e la parabola è negativa tra di loro. Per simmetria: zeri $\pm 1$ e $\pm 3$, $f < 0$ per $1 < \lvert x \rvert < 3$, $f > 0$ per $\lvert x \rvert < 1$ e per $\lvert x \rvert > 3$.

Limiti e asintoti. $f \to +\infty$ da entrambe le parti, e cresce come $x^2$: niente asintoti.

Derivata prima. Per $x > 0$, $\ f'(x) = 2x - 4$; per $x < 0$, $\ f'(x) = 2x + 4$.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -2)}$	$-$	$\searrow$
${(-2, 0)}$	$+$	$\nearrow$
${(0, 2)}$	$-$	$\searrow$
${(2, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Minimi assoluti in $x = \pm 2$, con $f(\pm 2) = -1$.

Il raccordo in 0. $f'_+(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} (2x - 4) = -4$ e $f'_-(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} (2x + 4) = 4$: punto angoloso con la punta in su, ed è un massimo relativo, $f(0) = 3$. Con lo schema rapido bastava $h'(0) = -4 < 0$. La condizione $f'(x) = 0$ non l’avrebbe mai trovato.

Derivata seconda. $f'' = 2$ in ogni tratto: convessa su $(-\infty, 0]$ e su $[0, +\infty)$, nessun flesso. Ma non è convessa su tutto $\mathbb{R}$: la corda tra $(-1, 0)$ e $(1, 0)$ passa sotto il punto $(0, 3)$.

Grafico. Due archi di parabola uguali, con le valli in $(\pm 2, -1)$, uniti dallo spigolo in $(0, 3)$. L’immagine è $[-1, +\infty)$. Quante soluzioni ha $f(x) = k$ al variare di $k$ lo trovi negli esercizi su insiemi e funzioni.

Esempio 3: due asintoti obliqui diversi

$$f(x) = \frac{x^2}{\lvert x - 1 \rvert}$$

Dominio e scrittura a tratti. $x \neq 1$, e

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{1 - x} & \text{se } x < 1 \\[2mm] \dfrac{x^2}{x - 1} & \text{se } x > 1 \end{cases}$$

Il raccordo $x = 1$ è fuori dal dominio: niente spigolo da controllare lì.

Simmetrie. Il dominio non è simmetrico: nessuna.

Intersezioni e segno. $f(0) = 0$, unico zero. Numeratore e denominatore non sono mai negativi: $f \geq 0$, e $(0, 0)$ è il minimo assoluto.

Limiti e asintoti. Vicino a 1 il numeratore tende a 1 e il denominatore a $0^+$ da entrambe le parti:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$

Senza il modulo, $\frac{x^2}{x - 1}$ andrebbe a $-\infty$ da sinistra. All’infinito dividiamo in ciascun tratto, come per le fratte:

$$\begin{gathered} x > 1:\ f(x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1} \\ x < 1:\ f(x) = -x - 1 + \frac{1}{1 - x} \end{gathered}$$

Asintoto obliquo $y = x + 1$ per $x \to +\infty$ e $y = -x - 1$ per $x \to -\infty$: due rette diverse. I resti sono positivi in tutto il loro tratto: il grafico sta sempre sopra i due asintoti, senza toccarli.

Derivata prima. Deriviamo le forme divise. Per $x > 1$:

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$$

Per $x < 1$:

$$f'(x) = -1 + \frac{1}{(1 - x)^2} = \frac{x(2 - x)}{(1 - x)^2}$$

I denominatori sono positivi; i numeratori decidono il segno.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 0)}$	$-$	$\searrow$
${(0, 1)}$	$+$	$\nearrow$
${(1, 2)}$	$-$	$\searrow$
${(2, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Minimo assoluto $(0, 0)$ e minimo relativo $(2, 4)$, perché $f(2) = \frac{4}{1} = 4$. In 0 la derivata vale 0: niente spigolo, perché lo zero del numeratore $x^2$ è doppio.

Derivata seconda. Dalle forme divise, $f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3}$ per $x > 1$ e $f''(x) = \frac{2}{(1 - x)^3}$ per $x < 1$: entrambe positive. Convessa su $(-\infty, 1)$ e su $(1, +\infty)$, nessun flesso.

Grafico. A sinistra la curva scende lungo $y = -x - 1$ fino all’origine, poi sale lungo l’asintoto verticale; a destra scende da $+\infty$ al minimo $(2, 4)$ e risale sopra $y = x + 1$. L’immagine è $[0, +\infty)$. Con la scorciatoia: $x^2 = \lvert x^2 \rvert$, quindi $f = \left\lvert \frac{x^2}{x - 1} \right\rvert$. La fratta $\frac{x^2}{x - 1}$ ha un massimo in $(0, 0)$, un minimo in $(2, 4)$ e l’asintoto $y = x + 1$ da entrambe le parti; ribaltando il ramo sinistro, negativo, il massimo diventa minimo e l’asintoto diventa $y = -x - 1$.

Gli errori più comuni

• Cambiare segno solo a un pezzo dell’argomento. Per $x < 1$, $\lvert x - 1 \rvert$ vale $1 - x$, non $-x - 1$.
• Scrivere $(\lvert A \rvert)' = \lvert A' \rvert$. Per $x < 1$ la funzione $\lvert 1 - x \rvert$ vale $1 - x$ e ha derivata $-1$, non $\lvert -1 \rvert = 1$.
• Dare le derivate laterali come $\pm A'(x_0)$. Per $\lvert A \rvert$ la sinistra è $-\lvert A'(x_0) \rvert$ e la destra $+\lvert A'(x_0) \rvert$; con $\lvert A \rvert \cdot B$ si moltiplicano per $B(x_0)$.
• Dare per scontato lo spigolo. Se $A'(x_0) = 0$ o $B(x_0) = 0$ non c’è: $\lvert x \rvert^3$ e $x\lvert x \rvert$ sono derivabili in 0.
• Cercare massimi e minimi solo dove $f' = 0$. Il massimo $(0, 3)$ della W e il minimo $(1, 0)$ dell’esempio 1 sono spigoli: vanno aggiunti ai candidati.
• Chiamare flesso un punto angoloso. Nell’esempio 1 la concavità cambia in 1, ma lì non c’è una retta tangente.
• Concludere «convessa su $\mathbb{R}$» da $f'' > 0$ in ogni tratto. La W è convessa su ciascun tratto, ma non su $\mathbb{R}$.
• Usare lo stesso asintoto a $+\infty$ e a $-\infty$. Con il modulo cambiano formula e asintoto, come in $\frac{x^2}{\lvert x - 1 \rvert}$.

Esercizi svolti

1. Il grafico di |f| a partire da f

Testo. Nella guida allo studio di funzione abbiamo studiato $f(x) = x^3 - 3x$: dispari, zeri 0 e $\pm\sqrt{3}$, massimo $(-1, 2)$, minimo $(1, -2)$, concava per $x < 0$ e convessa per $x > 0$. Senza rifare lo studio, descrivi $y = \lvert x^3 - 3x \rvert$: spigoli con le derivate laterali, massimi e minimi, concavità.

Da $f(x) = x(x^2 - 3)$: $f$ è negativa in $(-\infty, -\sqrt{3})$ e in $(0, \sqrt{3})$, e quelle parti si ribaltano. Il valore assoluto di una funzione dispari è pari: il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$.

Spigoli. Negli zeri $f$ cambia segno, e $f'(x) = 3x^2 - 3$ vale $f'(0) = -3$ e $f'(\pm\sqrt{3}) = 9 - 3 = 6$. Quindi: in 0 derivate laterali $-3$ e $3$, in $\pm\sqrt{3}$ derivate $-6$ e $6$. Sono tre punti angolosi a «V», tutti minimi assoluti, con valore 0.

Massimi. Il massimo $(-1, 2)$ sta nella parte positiva e resta; il minimo $(1, -2)$ sta nella parte ribaltata e diventa il massimo $(1, 2)$. Sono massimi relativi, non assoluti, perché $\lvert f \rvert \to +\infty$ da entrambe le parti.

Concavità. Si inverte nelle parti ribaltate: convessa su $(-\infty, -\sqrt{3})$ e su $(\sqrt{3}, +\infty)$, concava su $(-\sqrt{3}, 0)$ e su $(0, \sqrt{3})$. Il flesso di $f$ nell’origine è diventato uno spigolo. Il grafico scende da $+\infty$ alla punta $(-\sqrt{3}, 0)$, sale alla cima $(-1, 2)$, scende alla punta $(0, 0)$, risale alla cima $(1, 2)$, scende alla punta $(\sqrt{3}, 0)$ e poi sale verso $+\infty$.

2. Il grafico di f(|x|) a partire da f

Testo. Sia $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$. Studia $g(x) = f(\lvert x \rvert) = \frac{\lvert x \rvert - 1}{\lvert x \rvert + 1}$: dominio, asintoti, punto angoloso, massimi e minimi, concavità e immagine.

Ripasso su $f$. Dominio $x \neq -1$, asintoti $x = -1$ e $y = 1$. Dividendo, $f(x) = 1 - \frac{2}{x + 1}$, quindi

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^2} \\ f''(x) = -\frac{4}{(x + 1)^3} \end{gathered}$$

Dominio. $\lvert x \rvert + 1 \geq 1$: il denominatore di $g$ non si annulla mai, il dominio è $\mathbb{R}$. L’asintoto $x = -1$ di $f$ stava nella parte $x < 0$, che $f(\lvert x \rvert)$ butta via: sparisce.

Per $x \geq 0$. $g = f$: cresce da $g(0) = -1$, si annulla in 1, è concava ($f'' < 0$ per $x > -1$) e tende a 1 da sotto, perché $\frac{2}{x + 1} > 0$. Specchiando: $g$ è pari, con zeri $\pm 1$ e asintoto $y = 1$ da entrambe le parti.

In 0. $g'_+(0) = f'(0) = 2$ e $g'_-(0) = -2$: punto angoloso a «V», minimo assoluto $(0, -1)$.

Quindi $g$ decresce su $(-\infty, 0]$, cresce su $[0, +\infty)$, è concava su ciascuna delle due semirette e non ha flessi. L’immagine è $[-1, 1)$: il valore 1 è solo il limite all’infinito, mai raggiunto.

3. Spigolo o no?

Testo. Stabilisci se ciascuna funzione è derivabile in $x = 0$; se non lo è, calcola le derivate laterali: a) $e^{-\lvert x \rvert}$; b) $x\,e^{-\lvert x \rvert}$; c) $\cos\lvert x \rvert$; d) $\sin\lvert x \rvert$.

a) È $A(\lvert x \rvert)$ con $A(x) = e^{-x}$ e $A'(0) = -1$: derivate $f'_+(0) = -1$ e $f'_-(0) = 1$. Spigolo con la punta in su: massimo, $f(0) = 1$.

b) Il rapporto incrementale è

$$\frac{h\,e^{-\lvert h \rvert} - 0}{h} = e^{-\lvert h \rvert} \to 1$$

da entrambe le parti: derivabile, con $f'(0) = 1$. Il fattore $x$, che si annulla in 0, «spiana» lo spigolo di $e^{-\lvert x \rvert}$, come $B(x_0) = 0$ nel teorema.

c) Il coseno è pari, quindi $\cos\lvert x \rvert = \cos x$: derivabile, con derivata 0. Lo conferma lo schema, con $A = \cos$: $A'(0) = -\sin 0 = 0$.

d) È $A(\lvert x \rvert)$ con $A = \sin$ e $A'(0) = \cos 0 = 1$: derivate $f'_-(0) = -1$ e $f'_+(0) = 1$. Spigolo a «V», minimo relativo, perché $\sin\lvert x \rvert \geq 0$ vicino a 0. Sono derivabili in 0 la b) e la c); la a) e la d) hanno un punto angoloso.

4. Derivate laterali con un parametro

Testo. Sia $f(x) = \lvert x - 1 \rvert\,(x^2 + a)$, con $a$ reale. Calcola $f'_-(1)$ e $f'_+(1)$. Per quali $a$ la funzione è derivabile in 1? Per $a = 3$ e per $a = -5$, $x = 1$ è un massimo o un minimo?

Con il teorema: $A = x - 1$, $A'(1) = 1$, e $B = x^2 + a$ è continua con $B(1) = 1 + a$. Quindi

$$\begin{gathered} f'_-(1) = -(1 + a) \\ f'_+(1) = 1 + a \end{gathered}$$

Controllo con i tratti. Per $x > 1$, $f = (x - 1)(x^2 + a)$ e $f' = x^2 + a + 2x(x - 1)$, che in 1 vale $1 + a$. Per $x < 1$, $f = (1 - x)(x^2 + a)$ e $f' = -(x^2 + a) + 2x(1 - x)$, che in 1 vale $-(1 + a)$.

Derivabilità. Le due derivate coincidono solo se $1 + a = 0$: per $a = -1$ la funzione è derivabile in 1, con $f'(1) = 0$.

Con $a = 3$. Derivate $-4$ e $4$: spigolo a «V». Siccome $f \geq 0$ e $f(1) = 0$, è un minimo, anzi assoluto.

Con $a = -5$. Derivate $4$ e $-4$: spigolo con la punta in su. Vicino a 1 si ha $x^2 - 5 < 0$, quindi $f \leq 0 = f(1)$: è un massimo relativo. Il segno di $B(x_0)$ decide da che parte punta lo spigolo.

5. Massimo e minimo su un intervallo

Testo. Trova il massimo e il minimo assoluti di $f(x) = x\lvert x - 3 \rvert$ sull’intervallo $[1, 4]$.

$f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato: per il teorema di Weierstrass massimo e minimo esistono. Spezziamo:

$$f(x) = \begin{cases} 3x - x^2 & \text{se } x < 3 \\ x^2 - 3x & \text{se } x \geq 3 \end{cases}$$

I candidati sono di tre tipi.

• Estremi dell’intervallo: $x = 1$ e $x = 4$.
• Punti stazionari interni: per $x < 3$, $f'(x) = 3 - 2x = 0$ per $x = \frac{3}{2}$, che sta nell’intervallo; per $x > 3$, $f'(x) = 2x - 3 > 0$, nessuno.
• Punti non derivabili: $x = 3$, con $f'_-(3) = 3 - 6 = -3$ e $f'_+(3) = 6 - 3 = 3$, un punto angoloso.

I valori. $f(1) = 2$, $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}$, $f(3) = 0$, $f(4) = 4$. Il massimo assoluto è 4, nell’estremo $x = 4$; il minimo assoluto è 0, nello spigolo $x = 3$, che la sola condizione $f' = 0$ avrebbe perso. Il punto $\frac{3}{2}$ è solo un massimo relativo, e l’immagine è $f([1, 4]) = [0, 4]$.

In sintesi

• Metodo: spezza con il segno dell’argomento, studia ogni tratto nel suo intervallo, incolla nei raccordi con continuità e derivate laterali.
• Derivate nello zero dell’argomento: per $\lvert A \rvert \cdot B$, con $A(x_0) = 0$, $f'_\pm(x_0) = \pm\lvert A'(x_0) \rvert\,B(x_0)$; per $\lvert A \rvert$ sinistra $-\lvert A'(x_0) \rvert$, destra $+\lvert A'(x_0) \rvert$.
• Niente spigolo se $A'(x_0) = 0$ (per un polinomio, zero multiplo) o $B(x_0) = 0$: $\lvert x \rvert^3$, $x\lvert x \rvert$.
• Gli spigoli sono candidati per massimi e minimi, ma non sono mai flessi.
• $\lvert f(x) \rvert$ ribalta le parti negative; $f(\lvert x \rvert)$ è pari e ha uno spigolo in 0 se $f'(0) \neq 0$.
• All’infinito valgono tratti diversi: limiti e asintoti a $+\infty$ e a $-\infty$ si calcolano separatamente.

Per allenarti su studi completi di ogni tipo ci sono gli esercizi svolti sullo studio di funzione. Restano le funzioni periodiche, con seno e coseno: lo studio di funzione goniometrica.