Esercizi svolti su insiemi e funzioni: valore assoluto, sup e inf, dominio e inversa

Gli insiemi. Il trinomio $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ ha radici $-2$ e $3$ ed è negativo o nullo tra le radici. Per $B$, la distanza di $x$ da 1 deve superare 2: $x - 1 < -2$ oppure $x - 1 > 2$, cioè $x < -1$ oppure $x > 3$.

Le operazioni. Disegnando i due insiemi sulla retta:

• $A \cap B = [-2,\ -1)$: il tratto di $A$ a sinistra di $-1$;
• $A \cup B = \mathbb{R}$: $A$ copre tutto da $-2$ a $3$ e $B$ copre il resto; il 3 sta in $A$, quindi non resta nessun buco;
• $A \setminus B = [-1,\ 3]$, mentre $B \setminus A = (-\infty,\ -2) \cup (3,\ +\infty)$: la differenza non è commutativa;
• $A^c = (-\infty,\ -2) \cup (3,\ +\infty)$ e $B^c = [-1,\ 3]$.

Nota che $A \setminus B = B^c$ e $B \setminus A = A^c$. Succede perché $A \cup B = \mathbb{R}$: ciò che non sta in $B$ sta per forza in $A$.

De Morgan. Il complementare di un’unione è l’intersezione dei complementari, e viceversa. Controlliamo:

perché $A^c$ sta fuori da $[-2, 3]$ e $B^c$ dentro. E per la seconda legge:

Verifica. Un punto per zona, sostituendo nelle due condizioni: $x = -1{,}5$ sta in $A \cap B$, $x = 0$ in $A \setminus B$, $x = 5$ in $B \setminus A$.

1. Conta il valore del numero, non il modo in cui è scritto.

• $-\frac{12}{4} = -3$: è intero ma negativo, quindi sta in $\mathbb{Z}$ e non in $\mathbb{N}$.
• $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$ sta in $\mathbb{Q}$: c’è una radice, ma di un quadrato perfetto.
• $0{,}\overline{9} = 1$ sta in $\mathbb{N}$. Con $x = 0{,}\overline{9}$ si ha $10x - x = 9{,}\overline{9} - 0{,}\overline{9} = 9$, quindi $9x = 9$ e $x = 1$.
• $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ è irrazionale: se fosse una frazione $\frac{p}{q}$, anche $\sqrt{2} = \frac{p}{2q}$ lo sarebbe, e invece $\sqrt{2}$ è irrazionale.
• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ sta in $\mathbb{N}$: il prodotto di due irrazionali può essere un intero.
• $\pi - 3$ è irrazionale: se fosse un razionale $q$, anche $\pi = q + 3$ sarebbe razionale, e non lo è.

2. Detto $x = 1{,}2\overline{3}$, si moltiplica per 10, per portare la virgola subito prima del periodo, e per 100, per portarla dopo il primo periodo:

Sottraendo, le code periodiche si cancellano:

Verifica. Facendo la divisione, $37 : 30 = 1{,}2333\dots$, e $\frac{37}{30}$ è ridotta ai minimi termini, perché $37$ è primo e non divide $30$.

1. $|x - 2|$ è la distanza di $x$ da 2: cerchiamo i punti che distano da 2 meno di 3.

La soluzione è $(-1,\ 5)$, l’intervallo aperto di centro 2 e raggio 3, cioè un intorno di 2.

2. Qui conta la distanza di $x^2$ da 4. L’equazione la vuole uguale a 3: $x^2 - 4 = 3$ oppure $x^2 - 4 = -3$, cioè $x^2 = 7$ oppure $x^2 = 1$. Le soluzioni sono quattro:

La disequazione vuole la distanza al massimo 3:

$x^2 \leq 7$ vale per $-\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}$, mentre $x^2 \geq 1$ vale per $x \leq -1$ oppure $x \geq 1$. Insieme:

Gli estremi sono proprio le soluzioni dell’equazione: lì $|x^2 - 4|$ passa da meno di 3 a più di 3. Lo stesso risultato si vede sul grafico, che si costruisce dalla parabola $x^2 - 4$ ribaltando sopra l’asse l’arco tra $-2$ e $2$, come nelle trasformazioni dei grafici.

Verifica. Per $x = 2$ si ha $|0| = 0 \leq 3$: dentro. Per $x = 0$ si ha $|-4| = 4 > 3$: fuori, nel «buco» tra $-1$ e $1$. Per $x = 3$ si ha $|5| = 5 > 3$: fuori.

1. Una disequazione del tipo $|f(x)| \leq g(x)$ equivale al sistema $-g(x) \leq f(x) \leq g(x)$:

Non serve imporre a parte $x + 1 \geq 0$: il sistema la contiene già, perché da $-(x + 1) \leq x + 1$ segue proprio $x + 1 \geq 0$. La soluzione è $\left[\frac{2}{3},\ 4\right]$.

2. Qui entrambi i membri sono valori assoluti, quindi non negativi. Per due numeri $a, b \geq 0$ vale $a \geq b \iff a^2 \geq b^2$, e $|t|^2 = t^2$: possiamo elevare al quadrato.

Il trinomio ha radici $-2$ e $0$ ed è positivo o nullo all’esterno. La soluzione è $(-\infty,\ -2] \cup [0,\ +\infty)$.

Verifica. Nel primo punto, agli estremi vale l’uguale: per $x = \frac{2}{3}$ i due membri valgono $\frac{5}{3}$, per $x = 4$ valgono 5. Nel secondo, per $x = -1$, che è escluso, si ha $|-1| = 1 < |-2| = 2$; per $x = -3$ si ha $5 \geq 4$; per $x = 0$ vale l’uguale, $1 = 1$.

L’insieme $A$: i primi elementi. Per $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ si ottiene

Sembrano crescere verso 1. Per esserne sicuri riscriviamo la frazione:

Al crescere di $n$ la frazione $\frac{3}{n + 2}$ diminuisce, quindi gli elementi crescono. L’elemento più piccolo è il primo: $\min A = \inf A = -\frac{1}{2}$, ottenuto per $n = 0$.

Estremo superiore. Mostriamo che $\sup A = 1$.

1. 1 è un maggiorante: $1 - \frac{3}{n + 2} < 1$ per ogni $n$, perché $\frac{3}{n + 2} > 0$.
2. Fissato $\varepsilon > 0$, cerchiamo un elemento maggiore di $1 - \varepsilon$:

Un naturale così esiste sempre, per la proprietà di Archimede. Nessun elemento vale 1 (servirebbe $\frac{3}{n + 2} = 0$), quindi il massimo non esiste.

L’insieme $B$. Il trinomio $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ è negativo tra le radici, quindi $B = (-1,\ 3) \cup \{4\}$.

• Massimo. $4$ sta in $B$ e tutti gli altri elementi sono minori di 3: $\max B = \sup B = 4$.
• Estremo inferiore. $-1$ è un minorante. Per ogni $\varepsilon \in (0, 4)$ il numero $-1 + \frac{\varepsilon}{2}$ sta in $B$ ed è minore di $-1 + \varepsilon$; per $\varepsilon \geq 4$ va bene, per esempio, $0$. Quindi $\inf B = -1$, e siccome $-1 \notin B$ il minimo non esiste.

Verifica. Con $\varepsilon = 0{,}01$ la condizione dà $n > 298$. Infatti $n = 298$ dà esattamente $1 - \frac{3}{300} = 0{,}99$, che non basta, mentre $n = 299$ dà $1 - \frac{3}{301} \approx 0{,}99003 > 0{,}99$.

La funzione $f$. Le operazioni delicate sono tre: una radice di indice pari, una frazione e un logaritmo. Le condizioni vanno a sistema:

I punti $\pm 3$ sono inclusi perché la radice di zero esiste e il denominatore lì non si annulla; il 5 è escluso dal denominatore, il 6 dal logaritmo.

La funzione $g$. Servono $x \neq -1$, l’argomento dell’arcoseno compreso tra $-1$ e $1$ e $2 - x \geq 0$. Le due disequazioni fratte si risolvono portando tutto a primo membro:

Insieme danno $x \geq 0$; con la radice, $x \leq 2$:

Verifica. In $x = 0$ l’argomento dell’arcoseno vale $-1$ e in $x = 2$ vale $\frac{1}{3}$: va bene. In $x = -2$ vale $\frac{-3}{-1} = 3$, fuori da $[-1, 1]$: escluso, come deve essere.

1. Il dominio è $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Per l’iniettività supponiamo $f(x_1) = f(x_2)$ e moltiplichiamo in croce:

Semplificando resta $7x_1 = 7x_2$, cioè $x_1 = x_2$: la funzione è iniettiva.

2. Cerchiamo per quali $y$ l’equazione $f(x) = y$ ha soluzione:

Si può dividere per $2 - y$ solo se $y \neq 2$; per $y = 2$ l’equazione diventa $0 = 7$, impossibile. Il valore trovato non è mai $-3$: imponendo $\frac{3y + 1}{2 - y} = -3$ si arriva a $1 = -6$. Quindi

3. Il punto 2 ha già ricavato $x$ in funzione di $y$; basta scambiare i nomi delle variabili:

Verifica. Componendo, si deve ottenere l’identità:

Su un numero: $f(1) = \frac{1}{4}$ e $f^{-1}\!\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{7/4}{7/4} = 1$.

1. Completando il quadrato, $g(x) = (x - 1)^2 - 1$. Se $0 \leq x \leq 3$, allora $-1 \leq x - 1 \leq 2$, e il quadrato di un numero tra $-1$ e $2$ sta tra $0$ e $4$. Quindi $-1 \leq g(x) \leq 3$, e ogni valore è raggiunto, come mostra il punto 3. Su tutto $\mathbb{R}$, invece, $(x - 1)^2$ assume tutti i valori $\geq 0$:

2. Non è iniettiva: $g(0) = g(2) = 0$, due punti simmetrici rispetto al vertice $x = 1$. Non è suriettiva su $\mathbb{R}$: il valore $-2$ non è raggiunto, perché $g(x) = -2$ significherebbe $(x - 1)^2 = -1$.

3. Per $x \geq 1$ il numero $x - 1$ è non negativo, e su questi numeri il quadrato è strettamente crescente: quindi $g$ è strettamente crescente, e iniettiva. Ricaviamo $x$ da $y = (x - 1)^2 - 1$, con $x \geq 1$:

Per ogni $y \geq -1$ questo $x$ esiste ed è $\geq 1$: la restrizione è suriettiva su $[-1, +\infty)$, quindi biiettiva. Con $y \in [-1, 3]$ si ottiene $x \in [1, 3]$, che completa il punto 1. Scambiando i nomi:

I due grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y = x$. Siccome $g$ è crescente, si incontrano solo sulla bisettrice, dove $g(x) = x$, cioè $x^2 - 3x = 0$: solo in $(3, 3)$, perché $x = 0$ non sta nella restrizione.

Verifica. Per $x \geq -1$ si ha $g\big(g^{-1}(x)\big) = \left(\sqrt{x + 1}\right)^2 - 1 = x$. Al contrario, $g^{-1}\big(g(x)\big) = 1 + \sqrt{(x - 1)^2} = 1 + |x - 1|$, che vale $x$ solo per $x \geq 1$: per $x = 0$ si otterrebbe 2. Ecco perché la restrizione serve.

1. Per $f \circ g$ si mette $g(x)$ dentro la radice:

Serve $x^2 - 4x = x(x - 4) \geq 0$, cioè $x \leq 0$ oppure $x \geq 4$. Il dominio è $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

Per $g \circ f$ si mette $\sqrt{x}$ al posto di ogni $x$ nella formula di $g$:

Il dominio è quello della funzione interna, $[0, +\infty)$: la semplificazione $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ vale solo dove la radice esiste. Le due composte sono diverse, e lo sono anche i loro domini.

2. Raccogliamo $\sqrt{x}$:

Le soluzioni sono $x = 0$ e $x = 16$, entrambe nel dominio.

Verifica. $g(f(16)) = g(4) = 16 - 16 = 0$. E i domini sono davvero diversi: in $x = -1$ esiste $(f \circ g)(-1) = \sqrt{5}$, mentre $g(f(-1))$ non esiste, perché $\sqrt{-1}$ non è un numero reale.

1. Il dominio. Serve $\frac{1 + x}{1 - x} > 0$: numeratore e denominatore concordi, cioè $-1 < x < 1$. Il dominio $(-1, 1)$ è simmetrico rispetto a 0, quindi ha senso chiedersi se $f$ è pari o dispari.

La parità. Cambiando $x$ in $-x$ la frazione si capovolge, e il logaritmo del reciproco è l’opposto del logaritmo:

La funzione è dispari.

La monotonia. $f$ è la composta del logaritmo con la funzione interna $u(x) = \frac{1 + x}{1 - x}$, che conviene riscrivere:

Su $(-1, 1)$, quando $x$ cresce $1 - x$ diminuisce restando positivo, quindi $\frac{2}{1 - x}$ cresce: $u$ è strettamente crescente. Anche $\ln$ lo è, e crescente composta crescente dà una funzione strettamente crescente.

2. Per ogni $x$ vale $\sin(x + \pi) = -\sin x$, quindi

e $\pi$ è un periodo. Non ce n’è uno più piccolo: se $0 < T < \pi$ fosse un periodo, in $x = 0$ avremmo $|\sin T| = |\sin 0| = 0$, mentre $\sin T > 0$ per $0 < T < \pi$. Il periodo è $\pi$, metà di quello del seno: il valore assoluto ribalta sopra l’asse gli archi negativi, e il grafico si ripete due volte più spesso.

Verifica. $f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 3 \approx 1{,}099$ e $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\frac{1}{3} = -\ln 3$. E $\left|\sin\frac{7\pi}{6}\right| = \frac{1}{2} = \left|\sin\frac{\pi}{6}\right|$, con $\frac{7\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi$.

1. Il dominio è $\mathbb{R}$, simmetrico. Siccome $(-x)^2 = x^2$ e $|-x| = |x|$:

La funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$.

2. Per la parità basta disegnare il grafico per $x \geq 0$, dove $|x| = x$:

È un pezzo di parabola rivolta verso l’alto, con vertice in $x = 2$, dove vale $4 - 8 + 3 = -1$, radici 1 e 3 e valore 3 in $x = 0$. Lo si specchia rispetto all’asse $y$. In effetti $f$ è proprio $h(|x|)$ con $h(x) = x^2 - 4x + 3$: è il procedimento visto nelle trasformazioni dei grafici.

Il minimo è $-1$, in $x = \pm 2$; verso destra e verso sinistra la funzione cresce senza limiti. L’immagine è

3. Le soluzioni di $f(x) = k$ sono le intersezioni del grafico con la retta orizzontale $y = k$. Facendola salire dal basso:

Verifica. Per $k = 3$, con $x \geq 0$: $x^2 - 4x + 3 = 3$ dà $x(x - 4) = 0$, cioè $x = 0$ oppure $x = 4$; per simmetria si aggiunge $x = -4$. Per $k = 0$ le soluzioni sono $\pm 1$ e $\pm 3$: quattro, come dice la tabella.

1. Si parte dal ramo di $\frac{1}{x}$ con $x > 0$ e si applicano, nell’ordine dei calcoli:

1. $\frac{1}{x - 1}$: traslazione di 1 verso destra; l’asintoto verticale diventa $x = 1$;
2. $\frac{2}{x - 1}$: dilatazione verticale di un fattore 2;
3. $-\frac{2}{x - 1}$: simmetria rispetto all’asse $x$, il ramo ora sta sotto l’asse;
4. $3 - \frac{2}{x - 1}$: traslazione di 3 verso l’alto; l’asintoto orizzontale diventa $y = 3$.

La figura mostra l’ultimo passo: ogni punto del ramo tratteggiato sale di 3.

2. Per $x > 1$ la funzione $\frac{1}{x - 1}$ è strettamente decrescente; moltiplicandola per $-2$ diventa strettamente crescente, e sommare 3 non cambia la monotonia. Quindi $g$ è strettamente crescente, e in particolare iniettiva.

Quando $x$ si avvicina a 1 da destra, $\frac{2}{x - 1}$ diventa grandissimo e $g(x)$ scende sotto qualunque valore; quando $x$ cresce, $\frac{2}{x - 1}$ si avvicina a 0 restando positivo, e $g(x)$ si avvicina a 3 restando sotto. Ogni valore $y < 3$ è raggiunto, come conferma il punto 4. L’immagine è

3. Dall’immagine: $\sup g = 3$, ma non è un massimo, perché $g(x) = 3$ richiederebbe $\frac{2}{x - 1} = 0$, impossibile. La funzione non è limitata inferiormente: $\inf g = -\infty$, e il minimo non esiste.

4. Ricaviamo $x$ da $y = 3 - \frac{2}{x - 1}$, con $y < 3$:

Per $y < 3$ la frazione è positiva, quindi $x > 1$: l’equazione ha soluzione nel dominio. Scambiando i nomi:

Verifica. $g(3) = 3 - 1 = 2$ e $g^{-1}(2) = 1 + \frac{2}{1} = 3$. In generale: