Serie numeriche: cosa sono, somme parziali, convergenza ed esercizi svolti

Che cosa vuol dire sommare infiniti numeri? Una serie numerica è proprio questo: una somma con infiniti addendi, $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$, a cui si dà un senso preciso con un limite. Allo scritto di Analisi 1 c’è quasi sempre un esercizio sul carattere di una serie, e con le serie si scrivono come somme infinite numeri come $\pi$ e funzioni come $e^x$. In questa pagina vediamo l’idea di sommare un pezzo alla volta, la definizione con le somme parziali, il simbolo di sommatoria e l’indice iniziale, il resto, tre esempi, il legame con le successioni, la condizione necessaria, la linearità, cosa non si può fare con le somme infinite, la mappa dei criteri, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: sommare un pezzo alla volta

Hai una torta. Ne mangi metà. Poi metà di quello che resta, cioè un quarto. Poi un ottavo, e così via, senza fermarti mai. Quanta torta mangi in tutto?

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$$

Infinite addizioni non si possono fare. Ma si possono fare le prime due, le prime tre, le prime venti, e guardare dove si va a finire:

Bocconi	Mangiata	Rimasta
1	${0{,}5}$	${0{,}5}$
2	${0{,}75}$	${0{,}25}$
3	${0{,}875}$	${0{,}125}$
10	${0{,}99902\ldots}$	${0{,}000976\ldots}$
20	${0{,}99999904\ldots}$	${0{,}00000095\ldots}$

La torta rimasta si dimezza a ogni boccone e i totali si avvicinano a 1. È questo che intendiamo dicendo che la somma infinita vale 1: il valore a cui si avvicinano le somme dei primi termini. È la stessa idea che dà la risposta matematica al paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone, raccontato nell’articolo sulla serie geometrica, il prossimo del capitolo.

Non sempre va così bene: con $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ i totali saltano tra 1 e 0 senza fermarsi. Serve una definizione precisa.

La definizione: somme parziali e carattere

Stabilire in quale dei tre casi si trova una serie si dice studiarne il carattere.

Il $+\infty$ in alto non è un numero da sostituire: scrivere $\sum a_n = s$ vuol dire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} s_n = s$, niente di più. È lo stesso simbolo delle somme finite dell’integrale definito, ma qui la somma non si ferma mai.

L’indice è muto: $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ e $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$ sono la stessa serie. E può partire da qualunque intero: se parte da 1, la somma parziale è $s_n = a_1 + \dots + a_n$.

Tre esempi, tre comportamenti

Esempio 1: una serie convergente. La torta: $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$. Dopo $n$ bocconi resta $\frac{1}{2^n}$ di torta, quindi

$$\begin{gathered} s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n} \\ {} = 1 - \frac{1}{2^n} \longrightarrow 1 \end{gathered}$$

La serie converge e la sua somma è 1.

Esempio 2: una serie divergente. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n = 1 + 2 + 3 + \dots$ Con la formula di Gauss delle progressioni aritmetiche,

$$\begin{gathered} s_n = 1 + 2 + \dots + n \\ {} = \frac{n(n + 1)}{2} \longrightarrow +\infty \end{gathered}$$

La serie diverge a $+\infty$: sommando si supera qualunque numero. Lo stesso fa $\sum_{n=1}^{+\infty} 1$, con $s_n = n$.

Esempio 3: una serie irregolare. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ Le somme parziali sono

$$s_0 = 1,\; s_1 = 0,\; s_2 = 1,\; s_3 = 0,\; \dots$$

cioè 1 per $n$ pari e 0 per $n$ dispari. Saltano per sempre tra due valori e non hanno limite: la serie è irregolare.

Ecco le prime due serie a confronto (valori calcolati con un breve programma in Python):

$n$	$s_n$ di ${\sum \frac{1}{2^k}}$	$s_n$ di ${\sum k}$
1	${0{,}5}$	1
2	${0{,}75}$	3
5	${0{,}96875}$	15
10	${0{,}99902\ldots}$	55
100	${0{,}99999\ldots}$	5050

L’indice iniziale: il carattere resta, la somma cambia

Che succede se togli i primi termini? Confronta

$$\begin{gathered} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2 \\ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 1 \end{gathered}$$

Togliendo il primo termine, 1, la somma scende di 1, ma la serie converge ancora. Succede sempre.

Perché è vero. Se togli i termini $a_0, \dots, a_{m - 1}$, per ogni $n \geq m$ la nuova somma parziale è

$$s'_n = a_m + \dots + a_n = s_n - C$$

con $C = a_0 + \dots + a_{m - 1}$ fisso. Due successioni che differiscono per una costante si comportano allo stesso modo: se $s_n \to s$ allora $s'_n \to s - C$, se $s_n \to \pm\infty$ anche $s'_n$, se $s_n$ non ha limite neanche $s'_n$. Cambiando un numero finito di termini il ragionamento è lo stesso.

Il carattere dipende solo dai termini definitivamente, cioè da un certo indice in poi.

Il resto di una serie convergente

Se una serie converge alla somma $s$, la differenza

$$R_n = s - s_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k$$

si chiama resto $n$-esimo: è la somma di tutti i termini dopo $a_n$ (la serie che parte da $n + 1$, convergente per il teorema appena visto). Nella torta, è la torta rimasta. Siccome $s_n \to s$, il resto tende sempre a 0:

$$\lim_{n \to +\infty} R_n = s - s = 0$$

In pratica $R_n$ è l’errore che commetti usando $s_n$ al posto della somma, ed è così che si calcolano le somme al computer. Per la torta $R_n = \frac{1}{2^n}$: per un errore sotto un milionesimo serve $2^n > 10^6$, cioè $n \geq 20$, perché $2^{19} = 524\,288$ e $2^{20} = 1\,048\,576$. Per una serie divergente il resto non ha senso: non c’è una somma da cui sottrarre.

Serie e successioni: due facce della stessa medaglia

In ogni serie compaiono due successioni da non confondere: i termini $a_n$, che si sommano, e le somme parziali $s_n$, i totali accumulati. Nella torta i termini tendono a 0, le somme parziali a 1: il carattere dipende dalle seconde.

Le due si ricavano l’una dall’altra. I termini sono le differenze tra due somme parziali consecutive:

$$a_n = s_n - s_{n - 1}$$

per ogni $n$ dopo quello iniziale, mentre il primo termine è la prima somma parziale.

Ne segue un fatto sorprendente: ogni successione è la successione delle somme parziali di una serie. Data $(b_n)_{n \geq 0}$, basta prendere $a_0 = b_0$ e $a_n = b_n - b_{n - 1}$: sommando, tutto si cancella a catena e resta $s_n = b_n$. Per esempio da $b_n = \frac{n}{n + 1}$, con $n \geq 1$:

$$\begin{gathered} a_n = \frac{n}{n + 1} - \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n(n + 1)} \\ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n + 1} = 1 \end{gathered}$$

(la formula vale anche per $a_1 = b_1 = \frac{1}{2}$). È la serie di Mengoli, una serie telescopica.

Serie e successioni sono quindi due linguaggi per la stessa teoria. Perché studiare le serie a parte? Perché di solito conosciamo $a_n$ e non una formula per $s_n$: i criteri del capitolo lavorano sui termini.

La condizione necessaria: i termini devono tendere a zero

Dimostrazione. Sia $s$ la somma della serie. Per ogni $n$ dopo quello iniziale vale $a_n = s_n - s_{n - 1}$, e sia $s_n$ sia $s_{n - 1}$ (la stessa successione, spostata di un posto) tendono a $s$. Quindi

$$a_n = s_n - s_{n - 1} \longrightarrow s - s = 0$$

Se il totale deve stabilizzarsi, i pezzi che aggiungi devono diventare piccolissimi. Il teorema si usa quasi sempre al contrario: se $a_n$ non tende a 0, o non ha limite, la serie non converge. In $\sum n$ i termini vanno a $+\infty$, in $\sum (-1)^n$ non hanno limite: nessuna delle due converge.

Attenzione: la condizione non basta

Il viceversa è falso. L’esempio più famoso è la serie armonica:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

I termini tendono a 0, eppure la serie diverge a $+\infty$: la dimostrazione è nella condizione necessaria e serie armonica. Qui guardiamo i numeri. Le somme parziali $H_n$ crescono senza fine, ma con una lentezza incredibile:

Per superare	servono
2	4 termini
3	11 termini
5	83 termini
10	12 367 termini
20	272 400 600 termini

Con un miliardo di termini si arriva appena a 21,3. $H_n$ cresce come il logaritmo: la differenza $H_n - \ln n$ si avvicina a $0{,}577\ldots$, la costante di Eulero-Mascheroni. E il logaritmo, per quanto lento, supera qualunque numero.

Linearità: sommare serie e moltiplicare per una costante

Perché è vero. La somma parziale di $\sum (a_n + b_n)$ è la somma delle due somme parziali, e quella di $\sum c\,a_n$ è $c$ volte quella di $\sum a_n$. Si passa al limite con i teoremi sulle operazioni con i limiti.

E se le serie non convergono entrambe?

• Costante $c \neq 0$: $\sum c\,a_n$ ha lo stesso carattere di $\sum a_n$ (con $c < 0$ il segno dell’infinito si inverte).
• Convergente più non convergente: non converge. Se $\sum (a_n + b_n)$ convergesse, anche $\sum b_n = \sum (a_n + b_n) - \sum a_n$ convergerebbe. Per esempio $\sum \left(\frac{1}{2^n} + 1\right)$ diverge.
• Due divergenti a $+\infty$: la somma diverge a $+\infty$ (lo stesso con $-\infty$).
• Divergenti di segno opposto: può succedere di tutto. È la forma $+\infty - \infty$. Con $n \geq 1$, $\sum 1$ più $\sum \left(\frac{1}{2^n} - 1\right)$ dà $\sum \frac{1}{2^n} = 1$, convergente. Con $n \geq 0$, $\sum 2$ più $\sum (-1)$ dà $\sum 1$, divergente; $\sum \left(1 + (-1)^n\right)$, con somme parziali $2, 2, 4, 4, \dots$, più $\sum (-1)$ dà $\sum (-1)^n$, irregolare.

Cosa non si può fare con le somme infinite

Con le somme finite sposti parentesi e cambi l’ordine degli addendi come vuoi. Con le serie no, e lo mostra un paradosso.

Il paradosso di 1 − 1 + 1 − 1 + …

Chiamiamo $S$ la somma $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ e calcoliamola in tre modi.

• Vale 0. A coppie: $S = (1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0 + 0 + \dots = 0$.
• Vale 1. Lasciando fuori il primo termine: $S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \dots = 1$.
• Vale $\frac{1}{2}$. Raccogliendo un meno dopo il primo termine:

$$\begin{gathered} S = 1 - (1 - 1 + 1 - \dots) = 1 - S \\ 2S = 1 \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Tre risposte, tutte sbagliate per lo stesso motivo: la serie è irregolare, quindi il numero $S$ non esiste. Aggiungere parentesi vuol dire guardare solo alcune somme parziali: le coppie della prima danno $s_1, s_3, s_5, \dots$, tutte 0; la seconda prende $s_0, s_2, s_4, \dots$, tutte 1. Ognuna vede metà della storia. La terza fa algebra con $S$ prima di sapere che esiste: lo stesso trucco su $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$ darebbe $S = 1 + 2S$, cioè $S = -1$, una somma di numeri positivi negativa! Quanto a $\frac{1}{2}$, è la media delle somme parziali: esistono teorie che assegnano un valore anche a serie come questa (la più nota è la somma di Cesàro), ma non è una somma nel senso della nostra definizione.

Le parentesi si possono aggiungere, non togliere

Perché è vero. Le somme parziali della serie raggruppata sono alcune delle $s_n$, in ordine: una sottosuccessione di $(s_n)$, che ha lo stesso limite.

Il viceversa è falso: $(1 - 1) + (1 - 1) + \dots$ converge a 0, ma togliendo le parentesi si ottiene una serie irregolare. Le parentesi si tolgono solo quando sai già che la serie senza parentesi converge.

L’ordine dei termini può contare

Ci sono serie convergenti che cambiano somma se cambi l’ordine dei termini. La serie $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ converge (lo garantisce il criterio di Leibniz) e la sua somma è $\ln 2$, ma riordinando gli stessi termini come «un positivo, due negativi» la somma si dimezza. Il teorema di Riemann, nella convergenza assoluta, dice che per le serie convergenti ma non assolutamente un riordinamento può dare qualunque somma. Per le serie a termini positivi l’ordine non conta.

Le due domande e la mappa dei criteri

Davanti a una serie ci si fanno due domande:

1. Converge? È la domanda sul carattere.
2. Se converge, quanto vale la somma?

La seconda ha una risposta esatta solo in pochi casi fortunati: serie geometriche, telescopiche, alcune serie che vengono dalla formula di Taylor. Già una serie dall’aspetto innocente come

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$

resistette per decenni ai migliori matematici d’Europa, finché Eulero la sommò nel 1734. Di solito ci si accontenta di sapere se la serie converge: è il compito dei criteri di convergenza, che non calcolano $s_n$.

Un’osservazione divide le serie in due famiglie. Se $a_n \geq 0$, le somme parziali possono solo crescere: $s_n = s_{n - 1} + a_n \geq s_{n - 1}$. Una successione crescente ha sempre limite (teorema delle successioni monotone), quindi una serie a termini positivi o converge o diverge a $+\infty$, mai irregolare. Ecco la scaletta:

1. Condizione necessaria. Se $a_n$ non tende a 0, la serie non converge e hai finito.
2. Somma esatta. Se è geometrica o telescopica, calcola $s_n$ e fai il limite.
3. Termini positivi (almeno definitivamente): confronto e confronto asintotico, criterio del rapporto (fattoriali, esponenziali), della radice (potenze $n$-esime), dell’integrale (logaritmi).
4. Segno variabile: studia $\sum \lvert a_n \rvert$ con i criteri del punto 3. Se converge, la serie converge assolutamente, e quindi converge.
5. Se $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge e i segni si alternano, prova il criterio di Leibniz.

Un po’ di storia

Verso il 1350 il filosofo francese Nicola d’Oresme dimostrò che la serie armonica diverge. Nel 1650 il bolognese Pietro Mengoli ne diede un’altra dimostrazione, sommò la serie che porta il suo nome e si chiese quanto valesse $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots$ Nel 1689 Jakob Bernoulli pubblicò a Basilea un trattato sulle serie infinite, con una nuova dimostrazione della divergenza che attribuì al fratello Johann, e scrisse che la somma di una serie il cui ultimo termine svanisce «forse è finita, forse infinita».

Nel 1703 il monaco camaldolese Guido Grandi sostenne che $1 - 1 + 1 - \dots$ valesse $\frac{1}{2}$, e la discussione coinvolse anche Leibniz ed Eulero. La chiarezza arrivò con Augustin-Louis Cauchy: nel Cours d’analyse del 1821 definì convergente una serie le cui somme parziali tendono a un limite, la somma della serie, e osservò che la condizione che i termini tendano a zero è necessaria, ma non sufficiente. È la definizione che usiamo ancora.

Il capitolo, passo dopo passo

Ecco l’ordine consigliato per leggere gli articoli del capitolo:

1. Serie geometrica e serie telescopiche: le serie di cui si sa calcolare la somma.
2. Condizione necessaria e serie armonica: il primo controllo e la dimostrazione di Oresme.
3. Serie a termini positivi e criteri del confronto: il confronto con le serie campione.
4. Il criterio dell’integrale: serie e integrali impropri.
5. Il criterio del rapporto e della radice: fattoriali, esponenziali e potenze $n$-esime.
6. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz: quando i segni si alternano.
7. Convergenza assoluta: segno qualunque, riordinamenti e lo schema completo.
8. Serie di potenze e serie di Taylor: le funzioni come somme infinite.
9. Gli esercizi svolti sulle serie, su tutto il capitolo.

Gli errori più comuni

• Confondere termini e somme parziali. Nella serie della torta i termini tendono a 0, ma la somma è 1, non 0.
• Pensare che $a_n \to 0$ basti per convergere. È solo necessario: la serie armonica diverge.
• Dimenticare l’indice iniziale nella somma. $\sum \frac{1}{2^n}$ vale 1 partendo da $n = 1$ e 2 partendo da $n = 0$: stesso carattere, somma diversa.
• Usare $a_n = s_n - s_{n - 1}$ anche per il primo termine. Il primo termine è la prima somma parziale, e spesso non segue la formula degli altri (esercizio 2).
• Spezzare una serie convergente in due divergenti. $\sum \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right)$ converge a 1, ma $\sum \frac{1}{n} - \sum \frac{1}{n + 1}$ è $+\infty - \infty$.
• Fare algebra con la somma prima di sapere che esiste. Da $S = 1 - S$ non segue niente, se $S$ non è un numero.
• Togliere parentesi o riordinare i termini. Le parentesi si tolgono senza rischi solo se i termini sono positivi o se sai già che la serie senza parentesi converge: $(1 - 1) + (1 - 1) + \dots$ converge, eppure non si possono togliere. Riordinare si può solo con serie a termini positivi o assolutamente convergenti.

Esercizi svolti

1. Dalla somma parziale alla somma

Testo. Le somme parziali di una serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ sono $s_n = \dfrac{4n}{2n + 1}$. Calcola $s_1$, $s_2$, $s_3$ e $s_{10}$, stabilisci il carattere della serie e calcolane la somma. Quanti termini servono perché il resto $R_n$ sia minore di $0{,}01$?

Sostituendo:

$$s_1 = \frac{4}{3}, \quad s_2 = \frac{8}{5}, \quad s_3 = \frac{12}{7}$$

e $s_{10} = \frac{40}{21} \approx 1{,}905$. Le somme parziali sembrano avvicinarsi a 2. Infatti, dividendo numeratore e denominatore per $n$,

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n}{2n + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{2 + \frac{1}{n}} = 2$$

La serie converge e la sua somma è 2. Il resto è

$$\begin{gathered} R_n = 2 - \frac{4n}{2n + 1} \\ {} = \frac{2(2n + 1) - 4n}{2n + 1} = \frac{2}{2n + 1} \end{gathered}$$

e $R_n < 0{,}01$ quando $2n + 1 > 200$, cioè $n > 99{,}5$. Servono almeno 100 termini: $R_{100} = \frac{2}{201} \approx 0{,}00995$, mentre $R_{99} = \frac{2}{199} \approx 0{,}01005$. La serie converge a 2, ma lentamente.

2. Dalla somma parziale ai termini

Testo. Di una serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ si sa che $s_n = \dfrac{3n + 1}{n + 1}$. Trova $a_1$, $a_2$, $a_3$, il termine generale e la somma, e controlla la condizione necessaria.

Il primo termine è la prima somma parziale: $a_1 = s_1 = \frac{4}{2} = 2$. Per $n \geq 2$ si usa $a_n = s_n - s_{n - 1}$, con $s_{n - 1} = \frac{3(n - 1) + 1}{n} = \frac{3n - 2}{n}$:

$$\begin{gathered} a_n = \frac{3n + 1}{n + 1} - \frac{3n - 2}{n} \\ {} = \frac{n(3n + 1) - (3n - 2)(n + 1)}{n(n + 1)} \end{gathered}$$

Al numeratore $n(3n + 1) = 3n^2 + n$ e $(3n - 2)(n + 1) = 3n^2 + n - 2$, quindi la differenza è 2:

$$a_n = \frac{2}{n(n + 1)} \qquad \text{per } n \geq 2$$

Così $a_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ e $a_3 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Attenzione: per $n = 1$ la formula darebbe 1, mentre $a_1 = 2$. La somma è

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 1}{n + 1} = 3$$

e infatti $a_n \to 0$, come deve essere. Controllo: $a_1 + a_2 = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, proprio $s_2$. La serie converge a 3.

3. La condizione necessaria per dimostrare la divergenza

Testo. Dimostra che non convergono: (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$; (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{n^3}$. Divergono o sono irregolari?

(a) Con il limite notevole $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x$, con $x = -1$,

$$\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e} \neq 0$$

I termini non tendono a 0: la serie non converge. Sono positivi o nulli, quindi le somme parziali crescono e la serie non può essere irregolare: diverge a $+\infty$.

(b) L’esponenziale batte qualunque potenza (la gerarchia degli infiniti), quindi $\frac{2^n}{n^3} \to +\infty$. Termini positivi che non tendono a 0: la serie diverge a $+\infty$. I primi termini, $2, \frac{1}{2}, \frac{8}{27}, \frac{1}{4}, \dots$, scendono, ma conta il comportamento definitivo.

4. Cambiare l’indice iniziale

Testo. Sapendo che $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = 1$ e $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 1$, calcola: (a) $\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)}$; (b) $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$; (c) $\displaystyle\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$.

(a) Mancano i termini con $n = 1$ e $n = 2$, cioè $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{6}$:

$$\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$$

(b) Ponendo $m = n + 1$, quando $n$ parte da 0, $m$ parte da 1: è la stessa serie con l’indice spostato, $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots$, e vale 1.

(c) Mancano $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ e $\frac{1}{8}$:

$$\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$

Tutte convergono come le serie di partenza; cambia solo la somma, che in (c) è proprio il resto $R_3 = \frac{1}{2^3}$.

5. Linearità e una trappola

Testo. Studia: (a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{5}{2^n} - \frac{4}{n(n + 1)}\right)$; (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{n}\right)$; (c) cosa c’è di sbagliato nello scrivere $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n + 1}$?

(a) Le due serie convergono, con somma 1 ciascuna (esercizio 4). Per la linearità

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{5}{2^n} - \frac{4}{n(n + 1)}\right) = 5 - 4 = 1$$

(b) $\sum \frac{1}{2^n}$ converge, la serie armonica diverge a $+\infty$: la somma diverge a $+\infty$. Infatti le somme parziali sono $\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) + H_n \to +\infty$.

(c) L’uguaglianza $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ tra i termini è giusta, ma $\sum \frac{1}{n}$ e $\sum \frac{1}{n + 1}$ divergono entrambe: il secondo membro è $+\infty - \infty$, che non vuol dire niente. La strada giusta è sommare prima i termini: le somme parziali valgono $1 - \frac{1}{n + 1}$, e la serie converge a 1.

6. Quando la condizione necessaria non dice niente

Testo. Per (a) $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$ e (b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)$ verifica che i termini tendono a 0, poi stabilisci il carattere calcolando le somme parziali. In (a), da quale $n$ in poi $s_n$ supera 10?

(a) È una forma $+\infty - \infty$: razionalizzando,

$$\begin{gathered} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \longrightarrow 0 \end{gathered}$$

La condizione necessaria è soddisfatta: non dice niente. La somma parziale è

$$\begin{gathered} s_n = (\sqrt{1} - \sqrt{0}) + (\sqrt{2} - \sqrt{1}) \\ {} + \dots + (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \end{gathered}$$

Ogni radice compare una volta col più e una col meno, tranne $\sqrt{0} = 0$ e $\sqrt{n + 1}$. Resta $s_n = \sqrt{n + 1} \to +\infty$: la serie diverge. E $s_n > 10$ quando $n + 1 > 100$, cioè da $n = 100$ in poi: $s_{99} = \sqrt{100}$ vale esattamente 10.

(b) I termini tendono a $0 - 0 = 0$. Anche qui si cancella tutto tranne il primo e l’ultimo pezzo:

$$s_n = 1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \longrightarrow 1$$

La serie converge a 1. Termini che tendono a 0 in entrambi i casi, ma una serie diverge e l’altra converge.

In sintesi

• Una serie $\sum a_n$ è la successione delle somme parziali $s_n$: converge se $s_n$ tende a un numero $s$ (la somma), diverge se tende a $\pm\infty$, è irregolare se non ha limite.
• Un numero finito di termini non cambia il carattere, ma cambia la somma.
• Per una serie convergente il resto $R_n = s - s_n$ tende a 0.
• $a_n = s_n - s_{n - 1}$ dopo il primo termine, che è la prima somma parziale: ogni successione è la successione delle somme parziali di una serie.
• Condizione necessaria: se $\sum a_n$ converge, $a_n \to 0$. Non basta: la serie armonica diverge.
• Linearità: le serie convergenti si sommano e si moltiplicano per una costante.
• Le parentesi si possono aggiungere, non togliere; l’ordine può contare se la serie non converge assolutamente.
• Una serie a termini positivi converge o diverge, mai irregolare.

Si comincia dalle serie più semplici, quelle di cui si sa calcolare la somma: la serie geometrica e le serie telescopiche.