Numero di Nepero: cos'è il numero e, quanto vale, perché è speciale ed esercizi

Accanto a $\pi$, c’è un’altra costante che in Analisi compare ovunque: il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$, detto anche numero e. È la base dell’esponenziale $e^x$ e del logaritmo naturale $\ln x$, e lo ritroverai in limiti, derivate, integrali e quasi ogni esercizio d’esame con un esponenziale. In questa pagina vediamo quanto vale e perché è irrazionale, come nasce dall’interesse composto, le sue due definizioni e quale arriva prima, perché $e^x$ è l’unico esponenziale con pendenza 1 nel punto $(0, 1)$, la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$, il logaritmo naturale, la notazione exp, dove lo incontrerai, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

È un’introduzione intuitiva, adatta anche se non hai ancora studiato i limiti. Le dimostrazioni rigorose sono nell’articolo sulle successioni monotone e il numero di Nepero.

Quanto vale il numero e

$$e = 2{,}718\,281\,828\,459\,045\,235\ldots$$

Il numero $e$ sta tra 2 e 3, più vicino a 3. Negli esercizi di solito basta $e \approx 2{,}718$; per i conti a mente servono anche $e^2 \approx 7{,}39$, $e^3 \approx 20{,}1$ e $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$.

Un trucco per ricordare le prime cifre: dopo $2{,}7$ viene due volte 1828, poi gli angoli di una squadra, 45, 90, 45. Cioè $2{,}7\ 1828\ 1828\ 45\ 90\ 45$.

Irrazionale e trascendente

• Teorema (Eulero, 1737). Il numero $e$ è irrazionale: non si può scrivere come frazione $\frac{p}{q}$ di due interi. Per questo le sue cifre non finiscono e non sono periodiche. La dimostrazione più famosa, attribuita a Fourier, è cortissima: la vediamo più avanti.
• Teorema (Hermite, 1873). Il numero $e$ è trascendente: non è soluzione di nessuna equazione $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ con coefficienti $a_k$ interi non tutti nulli.

Anche $\sqrt{2}$ è irrazionale, ma risolve $x^2 - 2 = 0$: è un numero algebrico. Il numero $e$ no. È stato il primo numero dimostrato trascendente senza essere costruito apposta; per $\pi$ si dovette aspettare Lindemann, nel 1882. I vari tipi di numeri li trovi negli insiemi numerici.

Da dove nasce: l’interesse composto

Immagina di depositare 1 euro in una banca generosissima, che paga un interesse del 100% all’anno.

• Pagato una volta, a fine anno: hai $1 + 1 = 2$ euro.
• Pagato due volte, il 50% ogni sei mesi: a metà anno hai $1{,}50$ euro, e il secondo 50% si calcola su questi. A fine anno hai $1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$ euro: anche gli interessi hanno fruttato interessi.
• Pagato quattro volte, il 25% ogni tre mesi: $1{,}25^4 \approx 2{,}44$ euro.

Con $n$ pagamenti, il capitale viene moltiplicato $n$ volte per $1 + \frac{1}{n}$. A fine anno hai

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \text{ euro}$$

Nella figura vedi il capitale durante l’anno: con 12 pagamenti sale a gradini bassi e fitti, che si stringono attorno a una curva liscia.

Più spesso si capitalizza, più si guadagna. Ma si diventa ricchi senza limiti? Ecco i conti, fatti al computer:

Capitalizzazione	$n$	Capitale finale (€)
annuale	1	2
semestrale	2	2,25
trimestrale	4	2,441406
mensile	12	2,613035
giornaliera	365	2,714567
oraria	8760	2,718127
continua	$\to +\infty$	$e = 2{,}718282$

I valori crescono, ma sempre più piano: da mensile a giornaliera guadagni circa 10 centesimi, da giornaliera a oraria meno di mezzo centesimo. E si avvicinano a un numero preciso, proprio $e$. Con l’interesse pagato «in ogni istante», cioè con capitalizzazione continua, il tuo euro diventerebbe esattamente $e$ euro: il 100% annuo rende al massimo il 171,8%, tanto ma non infinito.

La formula generale

Ora un tasso realistico. Un capitale $C_0$ al tasso annuo $r$ (per il 3%, $r = 0{,}03$), capitalizzato $n$ volte all’anno, a ogni periodo viene moltiplicato per $1 + \frac{r}{n}$. In $t$ anni i periodi sono $nt$:

$$C = C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Quando $n$ diventa grandissimo si ottiene la formula della capitalizzazione continua:

$$C = C_0\, e^{rt}$$

Perché. Con $r > 0$ e $m = \frac{n}{r}$ si ha $\frac{r}{n} = \frac{1}{m}$ e $nt = m \cdot rt$, quindi

$$\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} = \left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{rt}$$

Quando $n$ cresce, cresce anche $m$: la parentesi quadra si avvicina a $e$ e tutto si avvicina a $e^{rt}$ (che funzioni anche con $m$ non intero è dimostrato nell’articolo sulle successioni monotone).

Esempio: 1000 euro al 3% annuo per 10 anni.

Capitalizzazione	Capitale dopo 10 anni
annuale	1343,92 €
mensile	1349,35 €
giornaliera	1349,84 €
continua	1349,86 €

L’ultima riga è $1000 \cdot e^{0{,}3}$. Tra annuale e continua ci sono circa 6 euro, tra giornaliera e continua appena 2 centesimi: con tanti periodi la formula con $e$ è un’ottima approssimazione, ed è molto più comoda. Il caso annuale lo ritrovi nella crescita esponenziale.

Due definizioni dello stesso numero

Prima definizione: il limite dell’interesse composto

Quel numero esiste perché $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è crescente e non supera mai 3: una quantità che sale sempre, ma ha un tetto, deve avvicinarsi a un valore preciso. Le dimostrazioni sono nelle successioni monotone; qui basta la figura, con $n$ su scala logaritmica.

Attenzione: la base $1 + \frac{1}{n}$ si avvicina a 1, ma l’esponente cresce senza fine, e le due tendenze si contrastano. Il risultato non è 1 e nemmeno infinito: è $e$.

Il difetto di questa definizione è che è lentissima: l’errore $e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è circa $\frac{e}{2n}$. Con $n = 1000$ si ottiene $2{,}7169$, solo due decimali giusti.

Seconda definizione: la somma dei reciproci dei fattoriali

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots$$

cioè $1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$ È una somma di infiniti addendi, una serie: il suo valore è il numero a cui si avvicinano le somme parziali

$$s_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$$

Che sia lo stesso $e$ del limite è un teorema, mostrato da Eulero e dimostrato nello stesso articolo sulle successioni monotone. Confronta le due definizioni:

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$	$s_n$
1	2	2
2	2,25	2,5
3	2,370370	2,666667
4	2,441406	2,708333
5	2,488320	2,716667
6	2,521626	2,718056
8	2,565785	2,718279
10	2,593742	2,718282

Con gli 11 addendi fino a $\frac{1}{10!}$ la somma ha sette decimali giusti, $2{,}718\,281\,8$, mentre $\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10}$ non ha giusto nemmeno il primo. Per calcolare $e$ si usa la somma; per definirlo, di solito, il limite.

Perché la somma è così veloce

Ogni addendo è il precedente diviso per un numero sempre più grande. Se ti fermi a $\frac{1}{n!}$, trascuri

$$\begin{gathered} \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{1}{(n + 2)!} + \dots \\ {} = \frac{1}{(n + 1)!}\left(1 + \frac{1}{n + 2} + \dots\right) \end{gathered}$$

Nella parentesi, dopo $\frac{1}{n + 2}$, vengono $\frac{1}{(n + 2)(n + 3)}$ e così via: ogni fattore al denominatore supera $n + 1$, quindi la parentesi è minore di $1 + q + q^2 + \dots$ con $q = \frac{1}{n + 1}$. È una progressione geometrica: le sue somme, con quanti addendi vuoi, restano sotto $\frac{1}{1 - q} = \frac{n + 1}{n}$. Quindi:

$$0 < e - s_n < \frac{1}{(n + 1)!} \cdot \frac{n + 1}{n} = \frac{1}{n!\,n}$$

Con $n = 6$ l’errore è minore di $\frac{1}{4320} \approx 0{,}00023$ (quello vero è $0{,}000226$).

Perché e è irrazionale

Con questa stima la dimostrazione di Fourier sta in poche righe.

Perché è vero. Supponi per assurdo che $e = \frac{p}{q}$, con $p$ e $q$ interi positivi, e moltiplica $e - s_q$ per $q!$:

• $q!\,e = q! \cdot \frac{p}{q} = (q - 1)!\,p$ è un intero;
• $q!\,s_q = q! + q! + \frac{q!}{2!} + \dots + \frac{q!}{q!}$ è una somma di interi, perché $k!$ divide $q!$ per ogni $k \leq q$.

Quindi $N = q!\,(e - s_q)$ è un intero. Ma per la stima, con $n = q$:

$$0 < N < q! \cdot \frac{1}{q!\,q} = \frac{1}{q} \leq 1$$

Un intero strettamente compreso tra 0 e 1 non esiste: l’ipotesi era falsa, e $e$ è irrazionale.

Perché il numero e è speciale

Tra tutte le funzioni esponenziali $a^x$, con $a > 0$ e $a \neq 1$, viste nella funzione esponenziale, perché proprio $e^x$? Tutte passano per $(0, 1)$, perché $a^0 = 1$. La differenza sta in quanto sono ripide in quel punto.

La pendenza nel punto (0, 1)

Se ingrandisci molto il grafico di una funzione «liscia» attorno a un punto, la curva sembra una retta: la retta tangente. La sua pendenza si stima con la retta che passa per $(0, 1)$ e per un punto vicino $(h, a^h)$:

$$\text{pendenza} \approx \frac{a^h - 1}{h}$$

e la stima migliora quanto più $h$ è piccolo:

Base $a$	Stime con $h = 0{,}1$; $0{,}01$; $0{,}001$	Pendenza
2	0,7177; 0,6956; 0,6934	0,6931…
$e$	1,0517; 1,0050; 1,0005	1
3	1,1612; 1,1047; 1,0992	1,0986…

Per $2^x$ la pendenza è circa 0,69, per $3^x$ circa 1,10, per $e^x$ esattamente 1. Ripetendo il conto per ogni base si ottiene la curva della figura: la pendenza cresce con la base, è negativa per le basi tra 0 e 1 (esponenziali decrescenti), vale 0 per $a = 1$ e raggiunge il valore 1 una volta sola, per $a = e$.

È uno dei limiti notevoli, che lì si dimostra partendo dalla definizione di $e$. Il perché dell’unicità lo vediamo con il logaritmo.

La pendenza è uguale all’altezza

Stima ora la pendenza in un punto qualsiasi $x$, con un punto vicino $x + h$. Siccome $e^{x + h} = e^x \cdot e^h$:

$$\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}$$

Per $h$ piccolo il secondo fattore è quasi 1: la pendenza nel punto $x$ è $e^x$, proprio l’altezza del grafico. In $x = 2$, per esempio, la curva sale con pendenza $e^2 \approx 7{,}39$. Nel linguaggio delle derivate, la derivata di $e^x$ è $e^x$: la trovi nella tabella delle derivate delle funzioni elementari.

Con un’altra base lo stesso conto dà $a^x$ moltiplicato per la pendenza in 0: per $2^x$, circa $0{,}69 \cdot 2^x$. Inoltre le uniche funzioni derivabili su $\mathbb{R}$ uguali alla propria derivata sono le $C\,e^x$, con $C$ costante (lo dimostrerai con le derivate). Ecco perché $e$ compare ogni volta che una grandezza cresce tanto più in fretta quanto più è grande.

La tangente y = x + 1 e la disuguaglianza

La tangente a $e^x$ in $(0, 1)$ ha pendenza 1: è la retta $y = x + 1$. Nella figura il grafico di $e^x$ sta tutto sopra questa retta, e la tocca solo in $(0, 1)$.

Per esempio $e^{0{,}1} \approx 1{,}1052 > 1{,}1$ ed $e^{-0{,}1} \approx 0{,}9048 > 0{,}9$.

Perché è vera. Se $x \leq -1$ è ovvia: a destra c’è un numero negativo o nullo, a sinistra uno positivo. Se $x > -1$, la disuguaglianza di Bernoulli $(1 + h)^n \geq 1 + nh$, valida per $h \geq -1$ (è nelle successioni monotone), con $h = \frac{x}{n}$ dà

$$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + x \quad \text{per ogni } n$$

Quando $n$ cresce, il primo membro si avvicina a $e^x$, per ogni $x$ reale (è il limite di $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ dimostrato nelle successioni monotone), quindi $e^x \geq 1 + x$. Che sia stretta per $x \neq 0$ lo vedi nell’esercizio 6.

Vicino a 0 la disuguaglianza diventa un’approssimazione: $e^x \approx 1 + x$, come $e^{0{,}05} \approx 1{,}05$ (il valore vero è $1{,}05127$). Ecco perché la base con pendenza 1 è il numero dell’interesse composto: $e^{1/n} \approx 1 + \frac{1}{n}$, ed elevando alla $n$ si trova $e \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, tanto meglio quanto più $n$ è grande. Non è una dimostrazione, ma è l’idea giusta.

Il logaritmo naturale

La funzione $e^x$ è crescente e assume tutti i valori positivi, ciascuno una volta sola. Quindi per ogni $y > 0$ l’equazione $e^x = y$ ha una e una sola soluzione.

Quindi $\ln$ è la funzione inversa di $e^x$, e:

• $\ln 1 = 0$, perché $e^0 = 1$, e $\ln e = 1$, perché $e^1 = e$;
• $e^{\ln y} = y$ per ogni $y > 0$, e $\ln\left(e^x\right) = x$ per ogni $x$ reale;
• $\ln y$ non esiste per $y \leq 0$, perché un esponenziale non è mai zero né negativo.

Per esempio $\ln 2 \approx 0{,}6931$ e $\ln 3 \approx 1{,}0986$: sono le pendenze di $2^x$ e $3^x$ della tabella, e non è un caso. I logaritmi in ogni base li studierai nel capitolo sul logaritmo; sulla calcolatrice il logaritmo naturale è il tasto ln.

Ogni esponenziale si scrive in base e

Siccome $a = e^{\ln a}$ per ogni $a > 0$, per le proprietà delle potenze:

$$a^x = \left(e^{\ln a}\right)^x = e^{x \ln a}$$

Per esempio $2^x = e^{x \ln 2} \approx e^{0{,}693\,x}$. Basta una sola base: ogni esponenziale è $e^{kx}$, con $k = \ln a$.

Ora l’unicità. Per $k \neq 0$ la pendenza di $e^{kx}$ in $(0, 1)$ si stima con

$$\frac{e^{kh} - 1}{h} = k \cdot \frac{e^{kh} - 1}{kh}$$

e per $h$ piccolo il secondo fattore è quasi 1: la pendenza è $k$. Quindi la pendenza di $a^x$ in $(0, 1)$ è $\ln a$, e la curva della figura è il grafico del logaritmo naturale. Il logaritmo è crescente, quindi vale 1 per una sola base: $a = e$. Per lo stesso motivo la derivata di $a^x$ è $a^x \ln a$.

La notazione exp

$$\exp(x) = e^x$$

Le due scritture sono identiche, ma con un esponente lungo la prima è più leggibile: $\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$ invece di $e^{-x^2/2}$. È anche il nome usato dai programmi: in Python math.exp(1) restituisce 2.718281828459045, in Excel si scrive =EXP(1). Le proprietà delle potenze diventano $\exp(a + b) = \exp(a) \cdot \exp(b)$ ed $\exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)}$.

Dove incontrerai il numero e

• Crescita e decadimento. Una grandezza che cambia con velocità proporzionale a quanta ce n’è segue la legge $N(t) = N_0\, e^{kt}$: crescita per $k > 0$, decadimento per $k < 0$, come i nuclei radioattivi. Lo vediamo in crescita e decadimento esponenziale.
• Fisica. Un’oscillazione frenata da un attrito viscoso ha un’ampiezza che si spegne come $A_0\, e^{-\gamma t}$: è l’oscillatore smorzato. In Fisica 2 vedrai la scarica di un condensatore, con tensione $V_0\, e^{-t/(RC)}$: dopo un tempo $RC$ ne resta il 36,8%, cioè $\frac{1}{e}$.
• Statistica. La distribuzione normale standard, la curva a campana, ha densità $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^2/2}$. Come si disegnano curve di questo tipo lo vediamo nei grafici di funzioni esponenziali.
• Funzioni iperboliche. $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ e $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ descrivono, per esempio, la forma di una catena appesa: le trovi nelle funzioni iperboliche.
• Una curiosità: l’identità di Eulero. La formula $e^{i\pi} + 1 = 0$ lega cinque numeri famosi: $0$, $1$, $e$, $\pi$ e l’unità immaginaria $i$, con $i^2 = -1$. Una potenza con esponente immaginario ha senso solo con i numeri complessi: qui la citiamo come curiosità.

Un po’ di storia

• 1614. John Napier, in italiano Nepero, pubblica le prime tavole dei logaritmi. Il numero $e$ c’è solo in modo implicito. Nel 1618 un’appendice a un’edizione della sua opera, probabilmente di William Oughtred, contiene una tavola di logaritmi naturali, ma nessuno ne riconosce la base.
• 1683. Jacob Bernoulli, studiando l’interesse composto, si chiede a cosa tenda $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ e dimostra che il limite sta tra 2 e 3.
• 1731. Eulero usa la lettera $e$ in una lettera a Christian Goldbach (l’aveva già usata in un manoscritto del 1727 o 1728). Nel 1737 dimostra che $e$ è irrazionale; nel 1748, nell’Introductio in analysin infinitorum, mostra che il limite coincide con la somma dei reciproci dei fattoriali e calcola $e$ con 23 decimali.
• 1873. Charles Hermite dimostra che $e$ è trascendente.

Perché proprio la $e$? Non si sa: forse era solo la vocale dopo la $a$. Che stia per «Eulero» è poco probabile.

Gli errori più comuni

• Dire che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ tende a 1 perché la base tende a 1. L’esponente cresce e compensa: il limite è $e$, non 1 e non infinito.
• Pensare che $e$ sia periodico per via del «1828 1828». È una coincidenza delle prime cifre: $e$ è irrazionale.
• Scrivere $e = 2{,}718$. È un’approssimazione: $e \approx 2{,}718$. Nei risultati esatti si lascia $e$, come in $e^2$ o $\frac{1}{e}$.
• Confondere $e^x$ con $x^e$. Nel primo la variabile è all’esponente, nel secondo alla base: per $x = 2$ valgono $e^2 \approx 7{,}39$ e $2^e \approx 6{,}58$.
• Credere che anche la derivata di $2^x$ sia $2^x$. Solo $e^x$ coincide con la propria derivata; la derivata di $a^x$ è $a^x \ln a$.
• Sbagliare tasso e periodi nell’interesse composto. Con $n$ capitalizzazioni all’anno il tasso di ogni periodo è $\frac{r}{n}$ e i periodi in $t$ anni sono $nt$: non $(1 + r)^{nt}$, né $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^t$.
• Confondere $\ln$ con il $\log$ della calcolatrice. Lì $\log$ è in base 10: $\log 10 = 1$, mentre $\ln 10 \approx 2{,}303$.
• Scrivere $e^{a + b} = e^a + e^b$. L’esponenziale trasforma le somme in prodotti: $e^{a + b} = e^a \cdot e^b$.

Esercizi svolti

1. Stime senza il tasto e

Testo. Sapendo che $2{,}718 < e < 2{,}719$, e usando solo moltiplicazioni, stabilisci: (a) se $e^2$ è maggiore o minore di 7,4; (b) se $e^3$ è maggiore o minore di 20; (c) tra quali due decimi consecutivi sta $\sqrt{e}$.

Tra numeri positivi, elevare al quadrato o al cubo non cambia il verso delle disuguaglianze.

(a) Dalle due stime:

$$\begin{gathered} 2{,}718^2 < e^2 < 2{,}719^2 \\ 7{,}3875 < e^2 < 7{,}3930 \end{gathered}$$

Quindi $e^2 < 7{,}4$ (il valore vero è $7{,}389$).

(b) Basta la stima dal basso: $e^3 > 2{,}718^3 \approx 20{,}079$, quindi $e^3 > 20$.

(c) Servono due decimi i cui quadrati comprendano $e$: $1{,}6^2 = 2{,}56$ e $1{,}7^2 = 2{,}89$. Da $2{,}56 < e < 2{,}89$ segue $1{,}6 < \sqrt{e} < 1{,}7$ (il valore vero è $1{,}6487$).

2. Interesse composto al 5%

Testo. Investi 1000 euro al tasso annuo del 5% per 2 anni. Quanto ottieni con capitalizzazione annuale, trimestrale e continua?

Annuale. Due periodi al 5%:

$$C = 1000 \cdot 1{,}05^2 = 1102{,}50 \text{ €}$$

Trimestrale. Il tasso di ogni periodo è $\frac{0{,}05}{4} = 0{,}0125$ e i periodi sono $4 \cdot 2 = 8$:

$$C = 1000 \cdot 1{,}0125^8 \approx 1104{,}49 \text{ €}$$

Continua. Con $r = 0{,}05$ e $t = 2$, l’esponente è $rt = 0{,}1$:

$$C = 1000 \cdot e^{0{,}1} \approx 1105{,}17 \text{ €}$$

La continua dà circa 2,67 euro più dell’annuale, ed è il massimo possibile con un tasso nominale del 5%: in un anno moltiplica il capitale per $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$, cioè rende il 5,13% effettivo.

3. Calcolare e con la somma

Testo. (a) Calcola come frazione $s_5 = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!}$ e usa la stima dell’errore per trovare un intervallo che contiene $e$. (b) A quale addendo bisogna fermarsi per avere un errore minore di $\frac{1}{10\,000}$?

(a) Il denominatore comune è $5! = 120$:

$$\begin{gathered} s_5 = \frac{120 + 120 + 60 + 20 + 5 + 1}{120} \\ {} = \frac{326}{120} = \frac{163}{60} \approx 2{,}71667 \end{gathered}$$

La stima dice che $0 < e - s_5 < \frac{1}{5! \cdot 5} = \frac{1}{600} \approx 0{,}00167$. Quindi

$$\begin{gathered} \frac{163}{60} < e < \frac{163}{60} + \frac{1}{600} \\ 2{,}7166 < e < 2{,}7184 \end{gathered}$$

e le cifre 2,71 sono sicure.

(b) Serve $\frac{1}{n!\,n} < \frac{1}{10\,000}$, cioè $n!\,n > 10\,000$. Con $n = 6$ si ha $720 \cdot 6 = 4320$, non basta; con $n = 7$ si ha $5040 \cdot 7 = 35\,280$, basta. Ci si ferma a $\frac{1}{7!}$, dopo 8 addendi: $s_7 \approx 2{,}718254$, con errore circa $0{,}000028$. E il 6 non bastava davvero: $e - s_6 \approx 0{,}000226$.

Con la prima definizione servirebbe $n \geq 13\,591$: 8 addendi contro più di tredicimila fattori.

4. La tangente a 10 alla x

Testo. Scrivi $10^x$ come potenza di $e$, trova l’equazione della tangente al grafico di $y = 10^x$ nel punto $(0, 1)$ e usala per stimare $10^{0{,}01}$. Confronta con il valore vero.

Con $a^x = e^{x \ln a}$ e $\ln 10 \approx 2{,}3026$:

$$10^x = e^{x \ln 10} \approx e^{2{,}3026\,x}$$

È un esponenziale $e^{kx}$ con $k = \ln 10$, quindi la tangente in $(0, 1)$ ha pendenza $\ln 10$:

$$y = 1 + x \ln 10 \approx 1 + 2{,}3026\,x$$

Con $x = 0{,}01$:

$$10^{0{,}01} \approx 1 + 0{,}023026 \approx 1{,}0230$$

Il valore vero è $1{,}02329$: l’errore è di circa tre decimillesimi. La stima è sempre per difetto, perché da $e^u \geq 1 + u$ con $u = x \ln 10$ segue $10^x \geq 1 + x \ln 10$ per ogni $x$. Lontano da 0 peggiora: per $x = 0{,}1$ dà $1{,}2303$, contro $1{,}2589$.

5. Quanto tempo per raddoppiare

Testo. Un capitale è investito al 2,5% annuo. Quanti anni servono per raddoppiarlo con capitalizzazione continua? E con capitalizzazione annuale?

Continua. Si vuole $C_0\, e^{0{,}025\,t} = 2\,C_0$, cioè $e^{0{,}025\,t} = 2$. Per la definizione di logaritmo naturale:

$$\begin{gathered} 0{,}025\,t = \ln 2 \\ t = \frac{\ln 2}{0{,}025} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}025} \approx 27{,}7 \text{ anni} \end{gathered}$$

Annuale. Si vuole $1{,}025^t = 2$. Riscrivendo $1{,}025^t = e^{t \ln 1{,}025}$:

$$\begin{gathered} t \ln 1{,}025 = \ln 2 \\ t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}025} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}02469} \approx 28{,}07 \end{gathered}$$

Però gli interessi arrivano solo a fine anno: dopo 28 anni il capitale è $1{,}025^{28} \approx 1{,}996$ volte quello iniziale, appena sotto il doppio, dopo 29 anni $1{,}025^{29} \approx 2{,}046$ volte. Il raddoppio si vede alla fine del 29° anno.

Da $\ln 2 \approx 0{,}69$ viene la «regola del 70» della finanza: il tempo di raddoppio è circa 70 diviso il tasso percentuale, qui $\frac{70}{2{,}5} = 28$ anni.

6. Una tenaglia per e

Testo. Sapendo che $e^x \geq 1 + x$ per ogni $x$ reale: (a) dimostra che la disuguaglianza è stretta per $x \neq 0$; (b) deduci che $e^x < \frac{1}{1 - x}$ per ogni $x < 1$ con $x \neq 0$; (c) ricava che, per ogni intero $n \geq 2$,

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)^n$$

e calcola le due stime per $n = 100$.

(a) Se $x < -2$, a destra c’è $1 + x < -1$, mentre $e^x > 0$. Se $x \geq -2$ e $x \neq 0$, applica la disuguaglianza a $\frac{x}{2}$:

$$e^{x/2} \geq 1 + \frac{x}{2} \geq 0$$

I due membri sono non negativi, quindi elevando al quadrato il verso resta:

$$\begin{gathered} e^x \geq \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 = 1 + x + \frac{x^2}{4} \\ {} > 1 + x \end{gathered}$$

perché $\frac{x^2}{4} > 0$ quando $x \neq 0$.

(b) Applica (a) a $-x$, che è diverso da 0: $e^{-x} > 1 - x$. Con $x < 1$ entrambi i membri sono positivi, e passando ai reciproci il verso si rovescia:

$$e^x = \frac{1}{e^{-x}} < \frac{1}{1 - x}$$

(c) Prendi $x = \frac{1}{n}$, positivo e minore di 1. Da (a) e (b):

$$\begin{gathered} 1 + \frac{1}{n} < e^{1/n} < \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} \\ \text{e} \quad \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1} \end{gathered}$$

Sono numeri positivi: elevando alla $n$ il verso resta, e $\left(e^{1/n}\right)^n = e$. Si ottiene la tenaglia del testo. Con $n = 100$:

$$\begin{gathered} \left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} \approx 2{,}7048 \\ \left(\frac{100}{99}\right)^{100} \approx 2{,}7320 \end{gathered}$$

Quindi $2{,}7048 < e < 2{,}7320$. A sinistra c’è la successione dell’interesse composto; a destra $\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m + 1}$ con $m = n - 1$, la successione decrescente che stringe $e$ dall’alto nelle successioni monotone. Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti sulla funzione esponenziale.

In sintesi

• $e = 2{,}718\,281\,828\ldots$ è irrazionale (Eulero, 1737) e trascendente (Hermite, 1873).
• Interesse composto: $C_0\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, che con capitalizzazione continua diventa $C_0\, e^{rt}$. 1 euro al 100% annuo diventa al massimo $e$ euro.
• Prima definizione: $e = \displaystyle\lim_{n \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, naturale ma lenta.
• Seconda definizione: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$, velocissima: fermandosi a $\frac{1}{n!}$ l’errore è minore di $\frac{1}{n!\,n}$.
• $e^x$ è l’unico esponenziale con pendenza 1 in $(0, 1)$, e in ogni punto la sua pendenza è uguale all’altezza: la derivata di $e^x$ è $e^x$.
• $e^x \geq 1 + x$ per ogni $x$ reale, con l’uguaglianza solo per $x = 0$.
• $\ln$ è l’inversa di $e^x$: $\ln e = 1$ ed $e^{\ln y} = y$ per $y > 0$; $a^x = e^{x \ln a}$, e la pendenza di $a^x$ in $(0, 1)$ è $\ln a$.
• $\exp(x)$ è un altro modo di scrivere $e^x$.

Ora che conosci la base più importante, impara a disegnare i grafici che ne derivano, come $e^{-x}$, $e^{|x|}$ e la curva a campana, nei grafici di funzioni esponenziali.