Archi associati: formule, regola pratica, riduzione al primo quadrante ed esercizi

Nei valori notevoli abbiamo visto che angoli come $\frac{2\pi}{3}$ o $\frac{7\pi}{6}$ hanno gli stessi valori di un angolo del primo quadrante, a meno del segno. Il motivo sono le simmetrie della circonferenza goniometrica, e le formule che le descrivono si chiamano archi associati (o angoli associati). Le userai di continuo: per ridurre qualsiasi angolo al primo quadrante, per semplificare espressioni, nelle equazioni goniometriche e nei triangoli con un angolo ottuso. Sembrano tante formule da imparare a memoria, ma si ricavano tutte da un disegno. In questa pagina vediamo le simmetrie della circonferenza e le formule per angoli opposti, supplementari, esplementari, complementari e che differiscono di $\pi$, $\frac{\pi}{2}$ o $\frac{3\pi}{2}$, per seno, coseno, tangente e cotangente; poi la regola pratica e il disegno per ricostruirle, i gradi, la riduzione al primo quadrante, semplificazioni e identità, come trasformare una funzione nell’altra, a cosa servono, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: otto punti con le stesse coordinate

Ripartiamo dalla definizione delle funzioni goniometriche. Il numero reale $x$ individua sulla circonferenza goniometrica il punto $P(x)$, raggiunto partendo da $A = (1, 0)$ con un arco lungo $|x|$, in senso antiorario se $x > 0$ e orario se $x < 0$, e

$$P(x) = (\cos x,\ \sin x)$$

Come in quella pagina, chiamiamo $X$ e $Y$ gli assi del piano, per non confondere l’angolo $x$ con un’ascissa.

Se ribalti $P$ rispetto a un asse, o gli fai fare mezzo giro, ottieni un punto della circonferenza con le stesse coordinate, a meno del segno. Se lo ribalti rispetto alla bisettrice $Y = X$, o lo ruoti di un quarto di giro, le coordinate in più si scambiano. In tutto, contando $P$, si ottengono otto punti, ciascuno legato a un angolo costruito con $x$. Nella figura vedi i primi quattro, vertici di un rettangolo; gli archi colorati sono tutti lunghi $x$.

Per tangente e cotangente basta dividere seno e coseno: da $\sin(\pi - x) = \sin x$ e $\cos(\pi - x) = -\cos x$ segue $\tan(\pi - x) = \frac{\sin x}{-\cos x} = -\tan x$.

Angoli opposti: −x

Il punto di $-x$ si raggiunge da $A$ con lo stesso arco, percorso nel verso opposto: è il simmetrico di $P$ rispetto all’asse $X$. Questa simmetria lascia fermo $A$, inverte il verso e manda $(a, b)$ in $(a, -b)$. Stessa ascissa, ordinata opposta:

$$\begin{gathered} \sin(-x) = -\sin x \\ \cos(-x) = \cos x \\ \tan(-x) = -\tan x \\ \cot(-x) = -\cot x \end{gathered}$$

Sono le proprietà di parità dei grafici delle funzioni goniometriche: coseno pari; seno, tangente e cotangente dispari. Servono a togliere il meno dall’argomento: $\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

Angoli supplementari: π − x

Due angoli sono supplementari se la loro somma è $\pi$, cioè 180°. Il punto di $\pi - x$ è il simmetrico di $P$ rispetto all’asse $Y$, e questa simmetria manda $(a, b)$ in $(-a, b)$.

Perché è vero. La simmetria rispetto all’asse $Y$ manda $A = (1, 0)$ in $(-1, 0)$, che è il punto di $\pi$, e inverte il verso: l’arco lungo $x$ che parte da $A$ in senso antiorario diventa un arco lungo $x$ che parte da $(-1, 0)$ in senso orario. Partire da $\pi$ e tornare indietro di $x$ porta nel punto di $\pi - x$ (archi blu e arancione). Il ragionamento vale per ogni $x$, anche negativo o più lungo di un giro. Stessa ordinata, ascissa opposta:

$$\begin{gathered} \sin(\pi - x) = \sin x \\ \cos(\pi - x) = -\cos x \\ \tan(\pi - x) = -\tan x \\ \cot(\pi - x) = -\cot x \end{gathered}$$

Per esempio $\sin\frac{4\pi}{5} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{5}\right) = \sin\frac{\pi}{5} \approx 0{,}588$: l’angolo non è notevole, ma l’abbiamo riportato nel primo quadrante.

Angoli che differiscono di π: π + x

Aggiungere $\pi$ vuol dire fare mezzo giro in più: il punto di $\pi + x$ è il simmetrico di $P$ rispetto all’origine, cioè il punto diametralmente opposto, e $(a, b)$ va in $(-a, -b)$. Entrambe le coordinate cambiano segno:

$$\begin{gathered} \sin(\pi + x) = -\sin x \\ \cos(\pi + x) = -\cos x \\ \tan(\pi + x) = \tan x \\ \cot(\pi + x) = \cot x \end{gathered}$$

Tangente e cotangente non cambiano, perché nei rapporti i due segni meno si semplificano: per questo hanno periodo $\pi$. Questa simmetria è la composizione delle due precedenti: $\pi + x = \pi - (-x)$. Esempi: $\cos\frac{6\pi}{5} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{5}\right) = -\cos\frac{\pi}{5} \approx -0{,}809$ e $\cot\frac{5\pi}{4} = \cot\frac{\pi}{4} = 1$.

Angoli esplementari e giri interi: 2π − x

Due angoli sono esplementari se la loro somma è $2\pi$, cioè 360°. Siccome $2\pi - x$ e $-x$ differiscono di un giro, portano nello stesso punto e valgono le formule degli angoli opposti:

$$\begin{gathered} \sin(2\pi - x) = -\sin x \\ \cos(2\pi - x) = \cos x \\ \tan(2\pi - x) = -\tan x \\ \cot(2\pi - x) = -\cot x \end{gathered}$$

Per esempio $\cos(2\pi - 1) = \cos 1 \approx 0{,}540$: $x$ può essere un numero qualsiasi, anche senza $\pi$.

Non confondere $2\pi - x$ con $2\pi + x$: aggiungere giri interi non cambia il punto. È la periodicità; per ogni $k \in \mathbb{Z}$:

$$\begin{gathered} \sin(x + 2k\pi) = \sin x \\ \cos(x + 2k\pi) = \cos x \\ \tan(x + k\pi) = \tan x \\ \cot(x + k\pi) = \cot x \end{gathered}$$

Quindi $2\pi + x$ ha le funzioni di $x$, mentre $2\pi - x$ ha quelle di $-x$. Un angolo negativo come $-\frac{\pi}{6}$ corrisponde a $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$, non a $2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Angoli complementari: π/2 − x

Due angoli sono complementari se la loro somma è $\frac{\pi}{2}$, cioè 90°. Qui succede qualcosa di nuovo: il punto di $\frac{\pi}{2} - x$, arancione nella figura, è il simmetrico di $P$ rispetto alla bisettrice $Y = X$, e questa simmetria scambia le coordinate: $(a, b)$ va in $(b, a)$.

Perché la bisettrice scambia le coordinate. Il segmento che unisce $(a, b)$ e $(b, a)$ ha il punto medio $\left(\frac{a + b}{2}, \frac{a + b}{2}\right)$, che sta sulla bisettrice, e pendenza $\frac{a - b}{b - a} = -1$: è perpendicolare alla bisettrice, che ha pendenza 1. Quindi i due punti sono simmetrici (se $a = b$ coincidono, sulla bisettrice).

Perché il simmetrico è proprio il punto di π/2 − x. Come per l’asse $Y$: la simmetria manda $A = (1, 0)$ in $B = (0, 1)$, il punto di $\frac{\pi}{2}$, e inverte il verso. L’arco lungo $x$ che parte da $A$ in senso antiorario diventa un arco lungo $x$ che parte da $B$ in senso orario, e arriva nel punto di $\frac{\pi}{2} - x$. Le sue coordinate sono quindi $(\sin x, \cos x)$:

$$\begin{gathered} \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x \\ \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x \end{gathered}$$

Per questo, nella tabella dei valori notevoli, il coseno ha i valori del seno in ordine inverso; e da qui viene il nome: il coseno è il seno del complementare. In gradi: $\sin 72^\circ = \cos 18^\circ$ e $\tan 50^\circ = \cot 40^\circ$. In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari, quindi il seno dell’uno è il coseno dell’altro, come nella trigonometria dei triangoli rettangoli.

Angoli che differiscono di π/2: π/2 + x

Aggiungere $\frac{\pi}{2}$ vuol dire ruotare $P$ di un quarto di giro in senso antiorario (il punto verde). La rotazione di 90° manda $(1, 0)$ in $(0, 1)$ e $(0, 1)$ in $(-1, 0)$; siccome $(a, b) = a\,(1, 0) + b\,(0, 1)$, il punto $(a, b)$ va in $a\,(0, 1) + b\,(-1, 0) = (-b, a)$. Quindi:

$$\begin{gathered} \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \\ \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cot x \\ \cot\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\tan x \end{gathered}$$

Come composizione di due simmetrie. Le stesse formule si ottengono senza rotazioni, perché $\frac{\pi}{2} + x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$: prima il complementare (bisettrice), poi il supplementare (asse $Y$). Il seno resta quello del complementare, $\cos x$; il coseno cambia segno: $-\sin x$. In coordinate, $(a, b) \to (b, a) \to (-b, a)$: due ribaltamenti fanno una rotazione.

La cosinusoide è una sinusoide traslata. La prima formula, letta da destra a sinistra, dice che per ogni $x$

$$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$

cioè il grafico del coseno è quello del seno traslato di $\frac{\pi}{2}$ verso sinistra, come anticipato nei grafici. Un esempio: $\cos\frac{7\pi}{10} = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) = -\sin\frac{\pi}{5}$.

Gli angoli con 3π/2

Gli angoli $\frac{3\pi}{2} \pm x$ si ottengono aggiungendo mezzo giro a quelli con $\frac{\pi}{2}$: $\frac{3\pi}{2} - x = \pi + \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ e $\frac{3\pi}{2} + x = \pi + \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$. Mezzo giro cambia segno a seno e coseno e lascia invariate tangente e cotangente:

$$\begin{gathered} \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x \\ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x \\ \tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot x \\ \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \tan x \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x \\ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x \\ \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cot x \\ \cot\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\tan x \end{gathered}$$

Geometricamente, $\frac{3\pi}{2} - x$ è il simmetrico di $P$ rispetto all’altra bisettrice, $Y = -X$, che manda $(a, b)$ in $(-b, -a)$; $\frac{3\pi}{2} + x$ è $P$ ruotato di un quarto di giro in senso orario: $(a, b)$ va in $(b, -a)$. Con $\frac{3\pi}{2}$, come con $\frac{\pi}{2}$, seno e coseno si scambiano.

La tabella degli archi associati

Ecco tutte le formule: seno e coseno, poi tangente e cotangente.

Angolo	Seno	Coseno
$-x$	$-\sin x$	$\cos x$
$\pi - x$	$\sin x$	$-\cos x$
$\pi + x$	$-\sin x$	$-\cos x$
$2\pi - x$	$-\sin x$	$\cos x$
$\frac{\pi}{2} - x$	$\cos x$	$\sin x$
$\frac{\pi}{2} + x$	$\cos x$	$-\sin x$
$\frac{3\pi}{2} - x$	$-\cos x$	$-\sin x$
$\frac{3\pi}{2} + x$	$-\cos x$	$\sin x$

Angolo	Tangente	Cotangente
$-x$	$-\tan x$	$-\cot x$
$\pi - x$	$-\tan x$	$-\cot x$
$\pi + x$	$\tan x$	$\cot x$
$2\pi - x$	$-\tan x$	$-\cot x$
$\frac{\pi}{2} - x$	$\cot x$	$\tan x$
$\frac{\pi}{2} + x$	$-\cot x$	$-\tan x$
$\frac{3\pi}{2} - x$	$\cot x$	$\tan x$
$\frac{3\pi}{2} + x$	$-\cot x$	$-\tan x$

Non serve impararle a memoria: la regola pratica le riassume.

La regola pratica

Proviamo con $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$. C’è $\frac{3\pi}{2}$: il coseno diventa seno. Con $x$ piccolo l’angolo è nel IV quadrante, dove il coseno, la funzione di partenza, è positivo. Quindi $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$.

Ora $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$: il seno diventa coseno, e l’angolo è nel II quadrante, dove il seno è positivo: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$. Con il segno del coseno nel II quadrante, negativo, otterresti $-\cos x$: sbagliato.

Perché funziona, e perché «$x$ piccolo» è solo un trucco. Dalle simmetrie sappiamo già che ogni formula è «più o meno» la stessa funzione o quella scambiata, con un segno fisso, uguale per tutti gli $x$. Per trovarlo basta un valore comodo: con $x$ piccolo e positivo $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ e $\cot x$ sono positivi, quindi il secondo membro ha il segno del primo. Ma le formule valgono per ogni $x$: con $x = \frac{4\pi}{3}$ si ha $\pi - x = -\frac{\pi}{3}$, e infatti $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Il secondo metodo: rifare il disegno

Se la memoria ti tradisce, in dieci secondi ricostruisci qualsiasi formula. Disegna la circonferenza con $x$ piccolo e positivo: $P(x) = (\cos x, \sin x)$ è vicino ad $A$, con la prima coordinata vicina a 1 e la seconda piccola. Segna il punto dell’angolo che ti interessa e leggi le coordinate: quella vicina a $\pm 1$ è $\pm\cos x$, quella vicina a 0 è $\pm\sin x$, con i segni del quadrante.

Esempio: $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$. Il punto è appena prima del punto più basso $(0, -1)$, un po’ a sinistra. L’ordinata è vicina a $-1$, quindi è $-\cos x$; l’ascissa è piccola e negativa, quindi è $-\sin x$. Allora $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$ e $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x$.

Gli archi associati in gradi

Le formule valgono identiche in gradi: basta sostituire $\pi$ con 180°, $\frac{\pi}{2}$ con 90°, $\frac{3\pi}{2}$ con 270° e $2\pi$ con 360°. Le più usate:

$$\begin{gathered} \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \\ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha \\ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha \end{gathered}$$

Gli angoli associati a 20° sono 70°, 110°, 160°, 200°, 250°, 290° e 340°, e le loro funzioni si scrivono con $\sin 20^\circ \approx 0{,}342$ e $\cos 20^\circ \approx 0{,}940$:

• $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$;
• $\cos 200^\circ = \cos(180^\circ + 20^\circ) = -\cos 20^\circ$;
• $\cos 250^\circ = \cos(270^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ$;
• $\tan 290^\circ = \tan(270^\circ + 20^\circ) = -\cot 20^\circ$;
• $\sin 340^\circ = \sin(360^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ$.

L’importante è non mescolare le unità nella stessa formula. Nei triangoli si lavora quasi sempre in gradi: lo vediamo in «A cosa servono».

Ridurre al primo quadrante

Con gli archi associati qualsiasi angolo si riconduce a un angolo tra 0 e $\frac{\pi}{2}$: è la riduzione al primo quadrante. È il metodo dell’angolo di riferimento dei valori notevoli, ma ora ogni passaggio è una formula, valida anche per angoli non notevoli.

Come contare i giri con il quoziente è spiegato in angoli e radianti.

Esempio 1. $\sin\frac{29\pi}{6}$. Un giro è $2\pi = \frac{12\pi}{6}$; togliamo due giri, $\frac{24\pi}{6}$, e resta $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$, nel II quadrante, dove il seno è positivo:

$$\begin{gathered} \sin\frac{29\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) \\ {} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Esempio 2. $\cos\frac{22\pi}{3}$. Un giro è $\frac{6\pi}{3}$; tre giri sono $\frac{18\pi}{3}$ e resta $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$, nel III quadrante, dove il coseno è negativo:

$$\begin{gathered} \cos\frac{22\pi}{3} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) \\ {} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Esempio 3, un angolo negativo. $\tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right)$. La tangente è dispari e ha periodo $\pi$: da $\frac{11\pi}{4}$ togliamo $2\pi = \frac{8\pi}{4}$ e resta $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$, nel II quadrante, dove la tangente è negativa:

$$\begin{gathered} \tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = -\tan\frac{3\pi}{4} \\ {} = -\left(-\tan\frac{\pi}{4}\right) = 1 \end{gathered}$$

Esempio 4, in gradi. $\sin 1140^\circ$ e $\cos(-870^\circ)$. Siccome $1140^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 60^\circ$, si ha $\sin 1140^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Il coseno è pari, quindi $\cos(-870^\circ) = \cos 870^\circ$, e $870^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 150^\circ$, con $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ nel II quadrante, dove il coseno è negativo:

$$\begin{gathered} \cos(-870^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) \\ {} = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Esempio 5, il riferimento più vicino. $\frac{11\pi}{8}$ è nel III quadrante, dove il seno è negativo, e si può scrivere $\pi + \frac{3\pi}{8}$ oppure, con il riferimento più vicino, $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$ (e il seno diventa coseno):

$$\begin{gathered} \sin\frac{11\pi}{8} = -\sin\frac{3\pi}{8} \\ \sin\frac{11\pi}{8} = -\cos\frac{\pi}{8} \end{gathered}$$

Sono giuste entrambe, perché $\frac{3\pi}{8}$ e $\frac{\pi}{8}$ sono complementari, e valgono circa $-0{,}924$. Con il riferimento più vicino l’angolo che resta è sempre tra 0 e $\frac{\pi}{4}$.

Semplificare espressioni e dimostrare identità

Per semplificare: trasforma ogni termine in una funzione di $x$, controlla i segni uno alla volta e semplifica, ricordando dove esistono tangente e cotangente. Un primo esempio:

$$\begin{gathered} \sin(\pi - x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \sin(-x) \\ {} = \sin x - \sin x + \sin x = \sin x \end{gathered}$$

Con la tangente bisogna dire dove l’espressione ha senso:

$$\begin{gathered} \frac{\cos(\pi + x)\tan(\pi - x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} \\ {} = \frac{(-\cos x)(-\tan x)}{\cos x} = \tan x \end{gathered}$$

per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, dove la tangente esiste e il denominatore non si annulla.

Dimostrare un’identità. Si parte da un membro, di solito il più complicato, e lo si trasforma fino a ottenere l’altro, senza «portare termini» dall’altra parte come in un’equazione: l’uguaglianza è proprio ciò che va dimostrato. Un controllo con un valore di $x$ può scoprire un errore, ma non dimostra niente. Due esempi sono nell’esercizio 4.

Trasformare una funzione nell’altra

Nelle formule $x$ è un numero reale qualsiasi, quindi al suo posto puoi mettere qualsiasi espressione: gli archi associati valgono anche per $2x$, $x - \frac{\pi}{4}$ o $3x + 1$. Per esempio, con la parità, $\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, perché $\frac{\pi}{4} - x$ è l’opposto di $x - \frac{\pi}{4}$.

È così che si trasforma un coseno in un seno. Per scrivere $\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ come un seno si usa $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$, oppure $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$, con $\theta = 2x + \frac{\pi}{3}$:

$$\begin{gathered} \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) \\ \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2x + \frac{5\pi}{6}\right) \end{gathered}$$

Sono corrette entrambe: i due argomenti sono supplementari. Allo stesso modo un segno meno entra nella funzione: $-\sin\theta = \sin(-\theta)$ e $-\cos\theta = \cos(\pi - \theta)$. È il primo passo nelle equazioni con due funzioni diverse, come $\sin 4x = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$: le vediamo nelle equazioni goniometriche riconducibili a elementari.

A cosa servono

• Nei triangoli. Gli angoli interni hanno somma 180°, quindi $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$ e $\sin(\beta + \gamma) = \sin\alpha$. Un angolo ottuso e il suo supplementare hanno lo stesso seno: per questo il teorema dei seni a volte ammette due triangoli, e l’area $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ vale anche con $\gamma$ ottuso. Nel triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari e $\sin\beta = \cos\gamma$.
• In fisica. Nel moto parabolico, con partenza e arrivo alla stessa quota, la gittata è proporzionale a $\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta)$: due angoli di lancio complementari, come 25° e 65°, danno la stessa gittata, perché $\sin 50^\circ = \sin 130^\circ$.
• Nelle equazioni. $\sin x = \sin\alpha$ ha due famiglie di soluzioni, $x = \alpha + 2k\pi$ e $x = \pi - \alpha + 2k\pi$: la seconda viene dal supplementare.
• Nei limiti. Quando $x \to \pi$, con la sostituzione $t = x - \pi$ si usa $\sin(\pi + t) = -\sin t$ per tornare a un limite per $t \to 0$, come negli esercizi svolti sui limiti.

Gli errori più comuni

• Mettere il segno della funzione nuova. Conta la funzione di partenza: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$, perché nel II quadrante il seno è positivo, anche se il coseno è negativo.
• Scrivere $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x$. Manca il segno meno: vale $-\sin x$. Con $x = \frac{\pi}{6}$ si ha $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, non $\frac{1}{2}$.
• Scrivere $\tan(\pi + x) = -\tan x$. Seno e coseno cambiano segno entrambi, il loro rapporto no: $\tan(\pi + x) = \tan x$, perché la tangente ha periodo $\pi$.
• Confondere complementari e supplementari. Complementari: somma 90°, seno e coseno si scambiano. Supplementari: somma 180°, il seno resta. Quindi $\sin 130^\circ = \sin 50^\circ$, non $\cos 50^\circ$.
• Trattare $\frac{3\pi}{2}$ come $\pi$. Con $\frac{3\pi}{2}$ la funzione si scambia: $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$, non $-\cos x$.
• Mescolare gradi e radianti. Scritture come $\pi - 30^\circ$ o $180 - \frac{\pi}{6}$ sono sbagliate: scegli un’unità, $\sin(180^\circ - 30^\circ)$ oppure $\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)$.
• Pensare che le formule valgano solo per $x$ acuto. Valgono per ogni $x$ reale, anche negativo o maggiore di $2\pi$, e per qualsiasi espressione al posto di $x$: $\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x$.
• Ridurre $-x$ come se fosse $2\pi + x$. $-\frac{\pi}{6}$ corrisponde a $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$, nel IV quadrante: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, mentre $\sin\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Esercizi svolti

1. Ridurre al primo quadrante

Testo. Calcola senza calcolatrice $\sin\left(-\frac{20\pi}{3}\right)$, $\cos\frac{37\pi}{4}$, $\cot\left(-\frac{10\pi}{3}\right)$, $\tan 600^\circ$ e $\cos(-1050^\circ)$.

Il primo. Il seno è dispari, quindi $\sin\left(-\frac{20\pi}{3}\right) = -\sin\frac{20\pi}{3}$. Un giro è $\frac{6\pi}{3}$: tre giri sono $\frac{18\pi}{3}$ e resta $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$, nel II quadrante, dove il seno è positivo:

$$\begin{gathered} \sin\left(-\frac{20\pi}{3}\right) = -\sin\frac{2\pi}{3} \\ {} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Il secondo. Un giro è $\frac{8\pi}{4}$: quattro giri sono $\frac{32\pi}{4}$ e resta $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$, nel III quadrante, dove il coseno è negativo. Quindi $\cos\frac{37\pi}{4} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Il terzo. La cotangente è dispari e ha periodo $\pi$: da $\frac{10\pi}{3}$ togliamo $3\pi = \frac{9\pi}{3}$ e resta $\frac{\pi}{3}$:

$$\cot\left(-\frac{10\pi}{3}\right) = -\cot\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Il quarto. La tangente ha periodo 180°: $600^\circ - 3 \cdot 180^\circ = 60^\circ$, quindi $\tan 600^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Con un giro intero si arriva allo stesso risultato: $600^\circ - 360^\circ = 240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$, nel III quadrante, dove la tangente è positiva.

Il quinto. Il coseno è pari: $\cos(-1050^\circ) = \cos 1050^\circ$. Poi $1050^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 330^\circ$, e $330^\circ = 360^\circ - 30^\circ$ è nel IV quadrante, dove il coseno è positivo: $\cos(-1050^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

I cinque valori sono $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Un’espressione con tanti archi associati

Testo. Semplifica l’espressione, indicando per quali $x$ ha senso:

$$\begin{gathered} E = \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\tan(2\pi - x) \\ {} - \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \\ {} + \sin(\pi - x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \end{gathered}$$

Dove ha senso. $\tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ esiste se $\frac{\pi}{2} + x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, cioè $x \neq k\pi$; $\tan(2\pi - x)$ esiste se $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Insieme: $x \neq \frac{k\pi}{2}$.

Un termine alla volta.

• $\tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cot x$: con $\frac{\pi}{2}$ si scambia, e nel II quadrante la tangente è negativa. Poi $\tan(2\pi - x) = -\tan x$.
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$, quindi il suo quadrato è $\sin^2 x$.
• $\sin(\pi - x) = \sin x$ e $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$.

Mettendo insieme, con $\cot x \cdot \tan x = 1$:

$$\begin{gathered} E = (-\cot x)(-\tan x) - \sin^2 x \\ {} + \sin x\,(-\sin x) \\ E = 1 - \sin^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{6}$: il primo prodotto è $\tan\frac{2\pi}{3}\tan\frac{11\pi}{6} = (-\sqrt{3})\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 1$, il quadrato $\cos^2\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{4}$, l’ultimo prodotto $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$; totale $\frac{1}{2}$, come $1 - 2 \cdot \frac{1}{4}$. Il risultato è $E = 1 - 2\sin^2 x$ per $x \neq \frac{k\pi}{2}$, che nelle formule di duplicazione riconoscerai come $\cos 2x$.

3. Da una funzione all’altra

Testo. Scrivi con funzioni goniometriche di $x$: a) $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$; b) $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$; c) $\tan\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$; d) $\cot\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)$. Poi, e), scrivi $-\sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$ come un coseno.

a) Con $\frac{3\pi}{2}$ la tangente diventa cotangente. Con $x$ piccolo l’angolo è nel III quadrante, dove la tangente è positiva: $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot x$.

b) Qui $x$ viene prima. Si raccoglie il segno meno, $x - \frac{\pi}{2} = -\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, e si usa la parità:

$$\begin{gathered} \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ {} = -\cos x \end{gathered}$$

Con la regola: l’angolo è nel IV quadrante, dove il seno è negativo, e diventa coseno.

c) La tangente ha periodo $\pi$, quindi possiamo aggiungere $2\pi$: $x - \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + x$. Allora $\tan\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cot x$.

d) $\frac{5\pi}{2} + x = 2\pi + \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$: tolto un giro, $\cot\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\tan x$.

e) Un seno con il segno meno davanti è il coseno di un angolo che differisce di $\frac{\pi}{2}$: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta$. Con $\theta = x + \frac{\pi}{8}$:

$$-\sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(x + \frac{5\pi}{8}\right)$$

I risultati sono $\cot x$, $-\cos x$, $-\cot x$, $-\tan x$ e $\cos\left(x + \frac{5\pi}{8}\right)$.

4. Due identità

Testo. Dimostra che: a) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$; b) $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 1$, dicendo per quali $x$ vale.

a) La chiave è accorgersi che i due argomenti sono complementari: $\left(\frac{\pi}{3} + x\right) + \left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{\pi}{2}$. Quindi $\frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + x\right)$ e, partendo dal secondo membro,

$$\begin{gathered} \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) \\ {} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + x\right)\right) \\ {} = \sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) \end{gathered}$$

che è il primo membro, per ogni $x$.

b) Anche qui gli argomenti sono complementari: $\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\pi}{2}$. Con $\theta = \frac{\pi}{4} + x$ il primo membro diventa

$$\tan\theta\,\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta\cot\theta = 1$$

Le condizioni: $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ esiste per $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$, e $\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ per $x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi$. Insieme escludono un punto ogni $\frac{\pi}{2}$: l’identità vale per $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, dove $\tan\theta$ e $\cot\theta$ esistono e non sono nulle. Controllo con $x = \frac{\pi}{12}$: $\tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$. Con le formule di addizione si arriva allo stesso risultato, ma qui bastano due righe.

5. Gli angoli di un triangolo

Testo. $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo. Dimostra che $\sin(\alpha + \beta) = \sin\gamma$, $\cos(\alpha + \beta) = -\cos\gamma$, $\tan(\alpha + \beta) = -\tan\gamma$ (se $\gamma$ non è retto) e $\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$. Poi: se $\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$, quanto vale $\gamma$? E se $\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$?

La somma degli angoli è 180°, quindi $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$: gli angoli $\alpha + \beta$ e $\gamma$ sono supplementari. Con le formule $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$, $\cos(180^\circ - \gamma) = -\cos\gamma$ e $\tan(180^\circ - \gamma) = -\tan\gamma$:

$$\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) = \sin\gamma \\ \cos(\alpha + \beta) = -\cos\gamma \\ \tan(\alpha + \beta) = -\tan\gamma \end{gathered}$$

L’ultima richiede $\gamma \neq 90^\circ$, cioè anche $\alpha + \beta \neq 90^\circ$. Dividendo per 2, invece, $\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$: gli angoli $\frac{\alpha + \beta}{2}$ e $\frac{\gamma}{2}$ sono complementari, e

$$\begin{gathered} \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) \\ {} = \cos\frac{\gamma}{2} \end{gathered}$$

Le due domande. Se $\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$, allora $\cos\gamma = -\frac{1}{2}$; tra 0° e 180° il coseno è decrescente e assume ogni valore una volta sola, quindi $\gamma = 120^\circ$. Se invece $\sin(\alpha + \beta) = \sin\gamma = \frac{1}{2}$, tra 0° e 180° gli angoli con questo seno sono due, supplementari: $\gamma = 30^\circ$ oppure $\gamma = 150^\circ$, possibili entrambi (per esempio con $\alpha = \beta = 75^\circ$ o con $\alpha = \beta = 15^\circ$). In un triangolo il coseno individua l’angolo, il seno no: è l’ambiguità del teorema dei seni.

6. Da esame: somme e prodotti a coppie

Testo. Calcola senza calcolatrice

$$\begin{gathered} S = \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{2\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{10} \\ {} + \dots + \cos\frac{9\pi}{10} \end{gathered}$$ $$P = \tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdots \tan 80^\circ$$

Quasi nessuno di questi angoli è notevole (solo $\frac{5\pi}{10}$, $30^\circ$ e $60^\circ$): il trucco è raggruppare i termini a coppie. Le frazioni come $\frac{2\pi}{10}$ si potrebbero semplificare, ma così le coppie si vedono meglio.

La somma. Gli angoli $\frac{k\pi}{10}$ e $\frac{(10 - k)\pi}{10} = \pi - \frac{k\pi}{10}$ sono supplementari, quindi hanno coseni opposti. Per esempio

$$\cos\frac{9\pi}{10} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\frac{\pi}{10}$$

e allo stesso modo $\cos\frac{8\pi}{10} = -\cos\frac{2\pi}{10}$, $\cos\frac{7\pi}{10} = -\cos\frac{3\pi}{10}$ e $\cos\frac{6\pi}{10} = -\cos\frac{4\pi}{10}$. Le quattro coppie si annullano, e il termine centrale, senza compagno, vale $\cos\frac{5\pi}{10} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. Quindi $S = 0$: sulla circonferenza i nove punti sono simmetrici rispetto all’asse $Y$, e le ascisse si compensano.

Il prodotto. Le coppie 10° e 80°, 20° e 70°, 30° e 60°, 40° e 50° sono di angoli complementari, e per $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$$\tan\alpha \cdot \tan(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha\cot\alpha = 1$$

Riordinando gli otto fattori in quattro coppie, $P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

I risultati sono $S = 0$ e $P = 1$. Quando gli angoli sono disposti simmetricamente, cerca le coppie di supplementari o di complementari. Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• Gli archi associati a $x$ sono $-x$, $\pi \pm x$, $2\pi - x$, $\frac{\pi}{2} \pm x$ e $\frac{3\pi}{2} \pm x$: i simmetrici di $P(x)$ rispetto ad assi, origine e bisettrici, o $P(x)$ ruotato di quarti di giro.
• Opposti ed esplementari: $\sin(-x) = -\sin x$ e $\cos(-x) = \cos x$. Supplementari: $\sin(\pi - x) = \sin x$ e $\cos(\pi - x) = -\cos x$.
• Con $\pi + x$ seno e coseno cambiano segno, tangente e cotangente no: hanno periodo $\pi$.
• Complementari: $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$, $\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x$. Con $\frac{\pi}{2} + x$: $\cos x$ e $-\sin x$.
• La regola: con $\pi$ e $2\pi$ la funzione resta, con $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$ si scambia; il segno è quello della funzione di partenza nel quadrante dell’angolo, pensando $x$ piccolo e positivo.
• Riduzione al primo quadrante: parità per gli angoli negativi, via i giri interi, poi $\pi \pm \alpha$ o $2\pi - \alpha$ con $\alpha$ acuto.
• Le formule valgono per ogni $x$ e per qualsiasi espressione al posto di $x$; in gradi, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ e $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

Le formule degli archi associati sono casi particolari di formule più generali, che danno seno e coseno di una somma qualsiasi di angoli: le formule di addizione e duplicazione.