Formule di bisezione, parametriche, prostaferesi e Werner: dimostrazioni ed esercizi

Le formule di bisezione, parametriche e di prostaferesi sono le formule goniometriche «di secondo livello». Non vanno imparate come un elenco a parte: si ricavano tutte in una o due righe dalle formule di addizione e duplicazione. Le userai in tanti punti del corso: per calcolare valori esatti come $\sin 15^\circ$, per risolvere equazioni goniometriche scomponendo in fattori, per integrare $\sin^2 x$ o le frazioni con seno e coseno, e in Fisica per capire i battimenti. In questa pagina vediamo, per ogni formula, da dove viene, quando vale e a cosa serve: la linearizzazione, la bisezione con la scelta del segno, le formule parametriche con il loro significato geometrico, la prostaferesi, le formule di Werner con la loro storia, una tabella riassuntiva, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Una mappa: tutto nasce da due formule

Ripassiamo le formule di duplicazione, che useremo di continuo:

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \\ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \end{gathered}$$

Da qui, e dalle formule di addizione, nasce tutto il resto:

• la duplicazione del coseno, letta al contrario, dà la linearizzazione; con l’angolo metà, la bisezione;
• la duplicazione, divisa per $\sin^2 + \cos^2 = 1$, dà le formule parametriche;
• le formule di addizione, sommate e sottratte tra loro, danno le formule di Werner e la prostaferesi.

Se all’esame non ricordi una formula, con questa mappa la ricostruisci in un minuto: è più sicuro che fidarsi della memoria, soprattutto per i segni.

Le formule di linearizzazione

L’idea. Un quadrato come $\sin^2\alpha$ è scomodo: negli integrali, nello studio del segno, nel calcolo del periodo. Le formule di linearizzazione lo sostituiscono con un’espressione di primo grado, al prezzo di raddoppiare l’angolo.

Teorema (formule di linearizzazione). Per ogni angolo $\alpha$:

Perché è vero. Parti da $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$: porti il $-1$ a sinistra, ottieni $2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$ e dividi per 2. Allo stesso modo, da $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ ricavi $\sin^2\alpha$. La terza è la duplicazione del seno divisa per 2. Sono identità: valgono per ogni $\alpha$, senza condizioni.

Un controllo veloce per non scambiare i segni: con $\alpha = 0$ deve venire $\sin^2 0 = 0$, e infatti $\frac{1 - \cos 0}{2} = 0$. Con il segno sbagliato verrebbe 1.

Cosa ci dicono. Leggi la seconda formula come una funzione: $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$. È una sinusoide che oscilla tra 0 e 1 attorno al valore medio $\frac{1}{2}$, con periodo $\pi$, metà di quello del seno.

Abbassare le potenze. La linearizzazione si può applicare più volte. Per esempio, con $\sin^4 x$:

$$\begin{gathered} \sin^4 x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 \\ {} = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} \end{gathered}$$

Ora linearizzi anche $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$, cioè la stessa formula con $2x$ al posto di $\alpha$:

$$\begin{gathered} \sin^4 x = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}\right) \\ \sin^4 x = \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8} \end{gathered}$$

Una potenza quarta è diventata una somma di coseni al primo grado. Controllo con $x = 0$: a sinistra 0, a destra $\frac{3 - 4 + 1}{8} = 0$.

Negli integrali. È l’uso più importante. $\int \sin^2 x\,dx$ non è un integrale immediato, ma dopo la linearizzazione lo diventa:

$$\begin{gathered} \int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx \\ {} = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c \end{gathered}$$

Con la formula di $\sin^4 x$ si integra allo stesso modo una potenza quarta. Trovi tutti i dettagli negli integrali di funzioni goniometriche.

Le formule di bisezione

L’idea. Conosci il coseno di un angolo e vuoi seno e coseno della sua metà. Per esempio: conosci $\cos 45^\circ$ e vuoi $\cos 22{,}5^\circ$.

Da dove vengono. Scrivi la linearizzazione con $\frac{\alpha}{2}$ al posto di $\alpha$. Il doppio di $\frac{\alpha}{2}$ è $\alpha$, quindi:

$$\begin{gathered} \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} \\ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} \end{gathered}$$

Ora estrai la radice. Ricorda che $\sqrt{a^2} = |a|$, non $a$: la radice ti dà il seno dell’angolo metà solo a meno del segno.

Teorema (formule di bisezione). Per ogni angolo $\alpha$:

Sotto radice non c’è mai un numero negativo: siccome $-1 \le \cos\alpha \le 1$, le due frazioni sono sempre comprese tra 0 e 1.

La scelta del segno: la scaletta.

1. Scrivi l’intervallo in cui si trova $\alpha$.
2. Dividi tutto per 2: ottieni l’intervallo di $\frac{\alpha}{2}$.
3. Guarda i segni nei quadranti per $\frac{\alpha}{2}$ e scegli i segni.
4. Applica le formule e controlla il risultato con la duplicazione.

Esempio 1: angolo nel III quadrante, metà nel II. Sapendo che $\cos\alpha = -\frac{7}{25}$ con $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, trova seno e coseno di $\frac{\alpha}{2}$.

Dividendo per 2: $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. L’angolo metà è nel II quadrante: seno positivo, coseno negativo.

$$\begin{gathered} \sin\frac{\alpha}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \\ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{7}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} \\ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{3}{5} \end{gathered}$$

Controllo con la duplicazione: $2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = -\frac{7}{25}$, il valore di partenza.

La tangente dell’angolo metà

Dividendo le due formule si ottiene $\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$. Ma per la tangente c’è di meglio: due formule senza radice e senza $\pm$.

Teorema (tangente dell’angolo metà).

Perché è vero. Scrivi $\tan\frac{\alpha}{2}$ come seno fratto coseno e moltiplica sopra e sotto per $2\cos\frac{\alpha}{2}$:

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$$

Al numeratore c’è la duplicazione del seno, al denominatore la linearizzazione: $2\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 + \cos\alpha$. Serve $\cos\frac{\alpha}{2} \neq 0$, cioè $\alpha \neq \pi + 2k\pi$: proprio dove $\tan\frac{\alpha}{2}$ non esiste. Moltiplicando invece per $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$$

Qui serve anche $\sin\frac{\alpha}{2} \neq 0$, quindi si escludono tutti gli $\alpha = k\pi$. Per $\alpha = 0$, per esempio, $\tan 0 = 0$ esiste, ma la seconda formula dà $\frac{0}{0}$.

Perché non serve il segno. Lo porta già $\sin\alpha$. Il denominatore $1 + \cos\alpha$ non è mai negativo, quindi la prima formula dice che $\tan\frac{\alpha}{2}$ ha sempre lo stesso segno di $\sin\alpha$. Nell’esempio 1, $\sin\alpha = -\frac{24}{25}$ (III quadrante) e infatti $\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{-24/25}{18/25} = -\frac{4}{3}$, uguale a $\frac{4}{5} : \left(-\frac{3}{5}\right)$.

Valori esatti con la bisezione

Dai valori notevoli la bisezione ne ricava di nuovi. $22{,}5^\circ$ è metà di $45^\circ$ e sta nel primo quadrante, quindi i segni sono positivi:

$$\begin{gathered} \cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\ \sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \\ \tan 22{,}5^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} - 1 \end{gathered}$$

cioè circa 0,924, 0,383 e 0,414. Allo stesso modo $15^\circ$ è metà di $30^\circ$:

$$\begin{gathered} \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \\ \tan 15^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \end{gathered}$$

L’ultimo passaggio è una razionalizzazione: moltiplichi sopra e sotto per $2 - \sqrt{3}$, e al denominatore resta $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$. Quindi $\tan 15^\circ \approx 0{,}268$, lo stesso valore che si trova con la formula di sottrazione.

Una curiosità. Con la sottrazione si trova $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, con la bisezione $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$. Sembrano diversi, ma sono lo stesso numero, circa 0,259. Elevali al quadrato: in entrambi i casi ottieni $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$. Due numeri positivi con lo stesso quadrato sono uguali.

Le formule parametriche

L’idea. In un’espressione con seno e coseno ci sono due funzioni diverse dello stesso angolo, legate da $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Sarebbe comodo avere una sola variabile e solo operazioni algebriche. Le formule parametriche fanno proprio questo, con la variabile $t = \tan\frac{x}{2}$.

Teorema (formule parametriche). Posto $t = \tan\frac{x}{2}$, per ogni $x \neq \pi + 2k\pi$:

Perché è vero. Parti dalla duplicazione del seno con l’angolo $\frac{x}{2}$ e dividi per $\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$, che vale 1 e quindi non cambia nulla:

$$\sin x = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}}$$

Ora dividi numeratore e denominatore per $\cos^2\frac{x}{2}$, che non è zero proprio perché $x \neq \pi + 2k\pi$. Ogni rapporto tra seno e coseno di $\frac{x}{2}$ diventa $t$, e trovi $\sin x = \frac{2t}{t^2 + 1}$. Per il coseno fai lo stesso partendo da $\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$:

$$\begin{gathered} \cos x = \frac{\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}} \\ {} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \end{gathered}$$

La tangente è la duplicazione della tangente con l’angolo $\frac{x}{2}$, oppure il rapporto delle prime due.

Perché si esclude x = π + 2kπ. Lì $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ e la tangente non esiste: a quegli angoli non corrisponde nessun valore di $t$. Se $x$ si avvicina a $\pi$, $t$ va all’infinito, mentre $\frac{2t}{1 + t^2}$ tende a 0 e $\frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ tende a $-1$. Il punto $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1, 0)$ viene raggiunto solo «all’infinito».

Esempio 2. Se $\tan\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \sin x = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \\ \cos x = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{3}{5} \\ \tan x = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \end{gathered}$$

Sono numeri razionali, e 3, 4, 5 è una terna pitagorica. Non è un caso, come vedi subito.

Il significato geometrico

Sulla circonferenza goniometrica prendi il punto $A = (-1, 0)$ e il punto $P = (\cos x, \sin x)$, con $0 < x < \pi$. Il triangolo $AOP$ è isoscele, perché $OA = OP = 1$. L’angolo esterno in $O$ vale $x$ ed è la somma dei due angoli alla base, che sono uguali: ognuno vale $\frac{x}{2}$. Quindi la retta $AP$ ha pendenza $t = \tan\frac{x}{2}$ e, siccome passa per $(-1, 0)$, taglia l’asse verticale proprio nel punto $(0, t)$. In formule, la pendenza di $AP$ è $\frac{\sin x}{\cos x + 1}$: è la prima formula della tangente dell’angolo metà, che vale per ogni $x \neq \pi + 2k\pi$.

Al contrario, ogni retta per $A$ con pendenza $t$ taglia la circonferenza in un secondo punto, che è esattamente $\left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2}\right)$. Le formule parametriche sono quindi una parametrizzazione razionale della circonferenza: descrivono tutti i suoi punti, tranne $A$, con frazioni di polinomi. L’unica retta per $A$ che non dà un secondo punto è quella verticale, tangente alla circonferenza: è il caso $x = \pi$, con «pendenza infinita». E se $t$ è una frazione, il punto ha coordinate razionali: con $t = \frac{2}{3}$ ottieni $\left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right)$, cioè la terna pitagorica 5, 12, 13.

A cosa servono, e la trappola di x = π

Le parametriche trasformano ogni espressione razionale in seno e coseno in una frazione algebrica in $t$. Si usano nelle equazioni lineari in seno e coseno e negli integrali di frazioni con seno e coseno, dove si aggiunge $dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt$. Il prezzo da pagare: i valori $x = \pi + 2k\pi$ spariscono, e vanno controllati a parte.

Esempio 3: la soluzione che si perde. Risolvi $\sin x - \cos x = 1$.

Sostituisci e moltiplica per $1 + t^2$, che non è mai zero:

$$\begin{gathered} \frac{2t}{1 + t^2} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = 1 \\ 2t - 1 + t^2 = 1 + t^2 \\ 2t = 2 \\ t = 1 \end{gathered}$$

Da $\tan\frac{x}{2} = 1$ segue $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Sembra finita, ma prova $x = \pi$ nell’equazione di partenza: $\sin\pi - \cos\pi = 0 - (-1) = 1$. È una soluzione, e la sostituzione l’ha persa. Le soluzioni sono

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

L’indizio era che l’equazione in $t$ ha perso grado: i $t^2$ si sono cancellati. Non è un caso. Per le equazioni $a\sin x + b\cos x = c$, dopo la sostituzione il coefficiente di $t^2$ è $-(b + c)$, e si annulla esattamente quando $c = -b$, cioè quando $x = \pi$ è una soluzione.

Le formule di prostaferesi

L’idea. In un’equazione una somma è scomoda; un prodotto invece si annulla quando si annulla uno dei fattori. Le formule di prostaferesi trasformano somme e differenze di seni e coseni in prodotti.

Da dove vengono. Scrivi una sotto l’altra le formule di addizione e sottrazione del seno:

$$\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) \\ {} = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha - \beta) \\ {} = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \end{gathered}$$

Sommandole, i termini $\cos\alpha\sin\beta$ si cancellano:

$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$$

Ora chiama $p = \alpha + \beta$ e $q = \alpha - \beta$. Sommando e sottraendo queste due uguaglianze trovi $p + q = 2\alpha$ e $p - q = 2\beta$, cioè $\alpha = \frac{p + q}{2}$ e $\beta = \frac{p - q}{2}$. Sostituendo:

$$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$

Sottraendo le due righe, invece di sommarle, e ripetendo tutto con $\cos(\alpha + \beta)$ e $\cos(\alpha - \beta)$, si trovano le altre tre.

Teorema (formule di prostaferesi). Per ogni $p$ e $q$:

Regola pratica per ricordarle. La semisomma $\frac{p + q}{2}$ va sempre nella prima funzione. Seno più seno dà «seno coseno», seno meno seno dà «coseno seno», coseno più coseno dà «coseno coseno». Nell’ultima c’è un meno davanti: per non sbagliarlo, prova $p = \pi$ e $q = 0$. A sinistra $\cos\pi - \cos 0 = -2$, a destra $-2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} = -2$.

Uso 1: scomporre un’equazione

Risolvi $\sin 3x + \sin x = 0$. Con $p = 3x$ e $q = x$ hai $\frac{p + q}{2} = 2x$ e $\frac{p - q}{2} = x$, quindi:

$$\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x\cos x$$

Il prodotto si annulla quando si annulla un fattore:

• $\sin 2x = 0$ dà $2x = k\pi$, cioè $x = \frac{k\pi}{2}$;
• $\cos x = 0$ dà $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, valori già compresi nei precedenti.

Le soluzioni sono $x = \frac{k\pi}{2}$, con $k \in \mathbb{Z}$. Controllo con $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} = -1 + 1 = 0$. Altri casi simili li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche.

Uso 2: semplificare un’espressione

$$\begin{gathered} \frac{\sin 5x + \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} = \frac{2\sin 4x\cos x}{2\cos 4x\cos x} \\ {} = \tan 4x \end{gathered}$$

Attenzione alle condizioni. La frazione di partenza esiste dove $\cos 5x + \cos 3x = 2\cos 4x\cos x$ non è zero, cioè dove $\cos 4x \neq 0$ e $\cos x \neq 0$, e l’uguaglianza vale solo lì. Per esempio in $x = \frac{\pi}{2}$ la tangente esiste, $\tan 2\pi = 0$, mentre la frazione di partenza dà $\frac{0}{0}$ e non esiste.

Uso 3: i battimenti

In Fisica la prostaferesi spiega un fenomeno che puoi sentire. Suona insieme due note con frequenze vicine, per esempio due corde di chitarra quasi accordate: senti un unico suono il cui volume sale e scende lentamente, «uà-uà-uà». Sono i battimenti. Con la prima formula, ponendo $p = 11t$ e $q = 10t$:

$$\sin 10t + \sin 11t = 2\cos\frac{t}{2} \cdot \sin\frac{21t}{2}$$

Il fattore $\sin\frac{21t}{2}$ oscilla velocemente, con la frequenza media delle due onde. Il fattore $2\cos\frac{t}{2}$ cambia lentamente e fa da ampiezza variabile: il grafico resta chiuso tra le curve $y = 2\cos\frac{t}{2}$ e $y = -2\cos\frac{t}{2}$.

Il volume si annulla quando $\cos\frac{t}{2} = 0$, cioè per $t = \pi, 3\pi, \dots$: tra un silenzio e il successivo passa un tempo $2\pi$. In generale, con due frequenze $f_1$ e $f_2$ in hertz si sentono $|f_1 - f_2|$ battimenti al secondo. Con due note a 440 Hz e 442 Hz senti un suono a 441 Hz che pulsa due volte al secondo. È così che si accordano gli strumenti: si gira la chiave finché i battimenti rallentano e spariscono. Il fenomeno è studiato nella somma di moti armonici sullo stesso asse.

Le formule di Werner

Le uguaglianze intermedie della prostaferesi, divise per 2 e lette da destra a sinistra, trasformano un prodotto in una somma. Sono le formule di Werner.

Teorema (formule di Werner). Per ogni $\alpha$ e $\beta$:

Nell’ultima, attento all’ordine: prima $\alpha - \beta$, poi $\alpha + \beta$. Con $\beta = \alpha$ ritrovi la linearizzazione: $\sin^2\alpha = \frac{\cos 0 - \cos 2\alpha}{2} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.

A cosa servono. Prostaferesi e Werner sono la stessa uguaglianza usata in due direzioni. La prima serve a scomporre (equazioni, studio del segno); la seconda a spezzare un prodotto in una somma, che si tratta un pezzo alla volta. L’esempio tipico è un integrale:

$$\begin{gathered} \int 2\sin 3x\sin x\,dx \\ {} = \int (\cos 2x - \cos 4x)\,dx \\ {} = \frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin 4x}{4} + c \end{gathered}$$

Servono anche nei calcoli: $\sin 75^\circ\cos 15^\circ = \frac{\sin 90^\circ + \sin 60^\circ}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$.

Una storia: moltiplicare con i coseni

Le formule portano il nome di Johannes Werner, matematico di Norimberga, che le scrisse in un trattato di trigonometria sferica dei primi del Cinquecento, rimasto a lungo inedito. Intorno al 1580, nell’osservatorio di Tycho Brahe sull’isola di Hven, il matematico Paul Wittich e lo stesso Brahe le usarono per un’idea geniale: moltiplicare numeri usando solo somme. Ecco il trucco, con la formula di $\cos\alpha\cos\beta$. Per moltiplicare $0{,}6428$ per $0{,}9397$ si scopriva sulle tavole che sono i coseni di $50^\circ$ e $20^\circ$; poi si leggevano $\cos 30^\circ \approx 0{,}8660$ e $\cos 70^\circ \approx 0{,}3420$:

$$\begin{gathered} 0{,}6428 \cdot 0{,}9397 \approx \frac{\cos 30^\circ + \cos 70^\circ}{2} \\ {} \approx 0{,}6040 \end{gathered}$$

Una somma e una divisione per 2 al posto di una moltiplicazione: per gli astronomi, che facevano a mano conti lunghissimi, era un grande risparmio. Il metodo si chiamò prostaferesi, dalle parole greche per «addizione» e «sottrazione». Poco più di trent’anni dopo fu superato dai logaritmi, pubblicati da John Napier nel 1614, che trasformano i prodotti in somme in modo ancora più diretto.

Tabella riassuntiva

Linearizzazione, bisezione e parametriche (con $t = \tan\frac{x}{2}$ e $k$ intero):

espressione	è uguale a	vale per
$\cos^2\alpha$	$\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	ogni $\alpha$
$\sin^2\alpha$	$\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	ogni $\alpha$
$\sin\alpha\cos\alpha$	$\frac{\sin 2\alpha}{2}$	ogni $\alpha$
$\sin\frac{\alpha}{2}$	$\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$	segno dal quadrante di $\frac{\alpha}{2}$
$\cos\frac{\alpha}{2}$	$\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$	segno dal quadrante di $\frac{\alpha}{2}$
$\tan\frac{\alpha}{2}$	$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$	$\alpha \neq \pi + 2k\pi$
$\tan\frac{\alpha}{2}$	$\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$	$\alpha \neq k\pi$
$\sin x$	$\frac{2t}{1 + t^2}$	$x \neq \pi + 2k\pi$
$\cos x$	$\frac{1 - t^2}{1 + t^2}$	$x \neq \pi + 2k\pi$
$\tan x$	$\frac{2t}{1 - t^2}$	anche $t \neq \pm 1$

Prostaferesi, valide per ogni $p$ e $q$:

somma	prodotto
$\sin p + \sin q$	$2\sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$
$\sin p - \sin q$	$2\cos\frac{p + q}{2}\sin\frac{p - q}{2}$
$\cos p + \cos q$	$2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$
$\cos p - \cos q$	$-2\sin\frac{p + q}{2}\sin\frac{p - q}{2}$

Werner, valide per ogni $\alpha$ e $\beta$:

prodotto	somma
$\sin\alpha\cos\beta$	$\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}$
$\cos\alpha\cos\beta$	$\frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2}$
$\sin\alpha\sin\beta$	$\frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2}$

Gli errori più comuni

• Scegliere il segno della bisezione guardando il quadrante di α. Conta il quadrante di $\frac{\alpha}{2}$: se $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, l’angolo metà è nel II quadrante, dove il seno è positivo.
• Dimenticare il ±. $\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ è il valore assoluto di $\sin\frac{\alpha}{2}$, non il seno: se $\frac{\alpha}{2}$ cade dove il seno è negativo, serve il segno meno.
• Scambiare i segni nella linearizzazione. Scrivere $\sin^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ è un errore frequentissimo. Controlla con $\alpha = 0$: $\sin^2 0$ deve fare 0.
• Perdere x = π con le parametriche. La sostituzione $t = \tan\frac{x}{2}$ non vede $x = \pi + 2k\pi$: controllalo sempre nell’equazione di partenza, soprattutto se l’equazione in $t$ perde grado.
• Usare la seconda formula della tangente dove sin α = 0. Per $\alpha = 2k\pi$ la tangente dell’angolo metà vale 0, ma $\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ dà $\frac{0}{0}$; lì usa $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
• Dimenticare il meno in cos p − cos q. Prova con $p = \pi$ e $q = 0$: deve venire $-2$.
• Pensare che sin p + sin q sia sin(p + q). Seno e coseno non sono lineari: la somma diventa un prodotto, non il seno della somma.
• Semplificare senza condizioni. Nell’uguaglianza $\frac{\sin 5x + \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} = \tan 4x$ vanno esclusi anche i punti con $\cos x = 0$, dove la frazione di partenza non esiste.

Esercizi svolti

1. Coseno e tangente di 75 gradi

Testo. Calcola il valore esatto di $\cos 75^\circ$ e di $\tan 75^\circ$ con le formule di bisezione.

$75^\circ$ è metà di $150^\circ$ e sta nel primo quadrante, quindi il coseno è positivo. $150^\circ$ è il supplementare di $30^\circ$, e con gli archi associati $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 150^\circ}{2}} \\ {} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \\ {} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \end{gathered}$$

Per la tangente usi la formula senza radici, poi razionalizzi moltiplicando sopra e sotto per $2 + \sqrt{3}$:

$$\begin{gathered} \tan 75^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{1 + \cos 150^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \end{gathered}$$

Risultato: $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 0{,}259$ e $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732$. Controllo: $75^\circ$ e $15^\circ$ sono complementari, quindi $\cos 75^\circ = \sin 15^\circ$, lo stesso numero trovato sopra, e $\tan 75^\circ = \frac{1}{\tan 15^\circ} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.

2. Massimo, minimo e periodo

Testo. Trova il massimo, il minimo e il periodo della funzione $f(x) = \sin^2 x\cos^2 x$.

Così com’è, la funzione è un prodotto di quadrati e non si capisce dove sia massima. Usa prima la duplicazione del seno, poi la linearizzazione con $2x$ al posto di $\alpha$:

$$\begin{gathered} \sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 \\ {} = \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4} \\ {} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8} \end{gathered}$$

Ora è tutto chiaro. $\cos 4x$ varia tra $-1$ e $1$, quindi $1 - \cos 4x$ varia tra 0 e 2, e $f$ tra 0 e $\frac{1}{4}$:

• minimo 0, quando $\cos 4x = 1$, cioè per $x = \frac{k\pi}{2}$;
• massimo $\frac{1}{4}$, quando $\cos 4x = -1$, cioè per $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$;
• periodo $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, quello di $\cos 4x$.

Controllo in $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. La funzione ha massimo $\frac{1}{4}$, minimo 0 e periodo $\frac{\pi}{2}$, un quarto del periodo del seno.

3. Bisezione con la scelta del segno

Testo. Sapendo che $\tan\alpha = -\frac{4}{3}$ e $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, calcola seno, coseno e tangente di $\frac{\alpha}{2}$.

Passo 1: seno e coseno di α. $\alpha$ è nel IV quadrante: coseno positivo, seno negativo. Da $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$$\begin{gathered} \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{9}{25} \\ \cos\alpha = \frac{3}{5} \\ \sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha = -\frac{4}{5} \end{gathered}$$

Passo 2: il quadrante di α/2. Dividendo per 2: $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. È il II quadrante: seno positivo, coseno negativo.

Passo 3: le formule.

$$\begin{gathered} \sin\frac{\alpha}{2} = +\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{4}{5}} \\ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

Per la tangente, la formula senza segno:

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{8}{5}} = -\frac{1}{2}$$

Tre controlli: il rapporto tra $\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ dà ancora $-\frac{1}{2}$; la somma dei quadrati è $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$; e una tangente tra $-1$ e 0 è coerente con un angolo tra $\frac{3\pi}{4}$ e $\pi$. Nota l’errore da evitare: $\alpha$ è nel IV quadrante, ma il seno di $\frac{\alpha}{2}$ è positivo.

4. Un’equazione con le parametriche

Testo. Risolvi $3\sin x + \cos x + 1 = 0$ nell’intervallo $[0, 2\pi)$.

Con $t = \tan\frac{x}{2}$, per $x \neq \pi$, sostituisci e moltiplica per $1 + t^2$, che non è mai zero:

$$\begin{gathered} \frac{6t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 1 = 0 \\ 6t + 1 - t^2 + 1 + t^2 = 0 \\ 6t + 2 = 0 \\ t = -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Il $t^2$ è sparito: campanello d’allarme. Controlla subito $x = \pi$: $3\sin\pi + \cos\pi + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$. È una soluzione.

Ora $t = -\frac{1}{3}$. Con le parametriche trovi seno e coseno esatti:

$$\begin{gathered} \sin x = \frac{-\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = -\frac{3}{5} \\ \cos x = \frac{1 - \frac{1}{9}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{4}{5} \end{gathered}$$

Quindi $x$ è nel IV quadrante. Se $x$ sta in $[0, 2\pi)$, allora $\frac{x}{2}$ sta in $[0, \pi)$, e lì l’unico angolo con tangente $-\frac{1}{3}$ è $\pi - \arctan\frac{1}{3}$. Raddoppiando:

$$x = 2\pi - 2\arctan\frac{1}{3} \approx 5{,}640$$

Le soluzioni in $[0, 2\pi)$ sono $x = \pi$ e $x = 2\pi - 2\arctan\frac{1}{3} \approx 5{,}640$. Controllo della seconda: $3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{4}{5} + 1 = \frac{-9 + 4 + 5}{5} = 0$. Senza il controllo di $x = \pi$ avresti perso metà delle soluzioni.

5. Un’equazione con la prostaferesi

Testo. Risolvi $\cos 3x + \cos x = \cos 2x$.

A sinistra c’è una somma di coseni. Con la prostaferesi, $p = 3x$ e $q = x$, diventa $2\cos 2x\cos x$:

$$\begin{gathered} 2\cos 2x\cos x = \cos 2x \\ 2\cos 2x\cos x - \cos 2x = 0 \\ \cos 2x\,(2\cos x - 1) = 0 \end{gathered}$$

Attenzione: non dividere per $\cos 2x$, perderesti le soluzioni in cui vale zero. Si raccoglie e si annulla ciascun fattore:

• $\cos 2x = 0$ dà $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, cioè $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$;
• $\cos x = \frac{1}{2}$ dà $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Controllo con $x = \frac{\pi}{3}$: a sinistra $\cos\pi + \cos\frac{\pi}{3} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, a destra $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. Le soluzioni sono $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ oppure $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$: in $[0, 2\pi)$ sono sei, cioè $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{3}$ e $\frac{7\pi}{4}$.

6. Un’identità da esame

Testo. Dimostra l’identità seguente e indica per quali $x$ vale:

$$\frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x} = \tan 3x$$

L’idea è accoppiare i termini esterni, $x$ e $5x$, perché la loro semisomma è proprio $3x$:

$$\begin{gathered} \sin 5x + \sin x = 2\sin 3x\cos 2x \\ \cos 5x + \cos x = 2\cos 3x\cos 2x \end{gathered}$$

Poi raccogli $\sin 3x$ al numeratore e $\cos 3x$ al denominatore:

$$\begin{gathered} \frac{2\sin 3x\cos 2x + \sin 3x}{2\cos 3x\cos 2x + \cos 3x} \\ {} = \frac{\sin 3x\,(2\cos 2x + 1)}{\cos 3x\,(2\cos 2x + 1)} = \tan 3x \end{gathered}$$

Le condizioni. La frazione di partenza esiste dove il denominatore $\cos 3x\,(2\cos 2x + 1)$ non è zero:

• $\cos 3x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$;
• $\cos 2x \neq -\frac{1}{2}$, cioè $2x \neq \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, cioè $x \neq \pm\frac{\pi}{3} + k\pi$.

Per questi $x$ si può semplificare $2\cos 2x + 1$ e l’identità vale. Nei punti $x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi$, invece, $\tan 3x = 0$ esiste, ma il primo membro è $\frac{0}{0}$. Conclusione: l’identità vale per tutti gli $x$ diversi da $\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$ e da $\pm\frac{\pi}{3} + k\pi$.

Per allenarti su tutto il capitolo trovi altri problemi negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• Linearizzazione: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$, $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$, $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$. Abbassano il grado e servono negli integrali.
• Bisezione: $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ e $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$, con il segno dato dal quadrante di $\frac{\alpha}{2}$.
• Tangente dell’angolo metà, senza segno: $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ per $\alpha \neq \pi + 2k\pi$ e $\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ per $\alpha \neq k\pi$.
• Parametriche: con $t = \tan\frac{x}{2}$, $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$ e $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, per $x \neq \pi + 2k\pi$. Nelle equazioni controlla sempre $x = \pi$ a parte.
• Geometricamente, $t$ è la pendenza della retta che congiunge $(-1, 0)$ con il punto $(\cos x, \sin x)$.
• Prostaferesi: somme in prodotti, per scomporre. Werner: prodotti in somme, per integrare.
• Tutte si ricavano da addizione e duplicazione: se ne dimentichi una, ricostruiscila.

Abbiamo usato le funzioni goniometriche «in avanti», dall’angolo al valore. Per tornare indietro, dal valore all’angolo, come nell’esercizio 4 con l’arcotangente, servono le funzioni goniometriche inverse.