Sinusoidi: ampiezza, periodo e fase di y = A sin(ωx + φ) + k, grafico ed esercizi

Un pendolo che oscilla, la corrente alternata, una nota musicale, le ore di luce che crescono e calano durante l’anno: il modello matematico di questi fenomeni è quasi sempre una sinusoide, cioè una funzione del tipo

$$y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$$

È il semplice $\sin x$ con quattro «manopole»: $A$ regola l’altezza dell’onda, $\omega$ quanto è fitta, $\varphi$ dove parte e $k$ attorno a quale livello oscilla. Le sinusoidi tornano nello studio di funzione goniometrica e negli esercizi d’esame su massimi, minimi e periodo; in Fisica sono la legge del moto armonico. In questa pagina vediamo cosa fa ogni parametro sul grafico di $\sin x$, periodo, frequenza e fase, come si disegna una sinusoide passo passo, come si ricava l’equazione da un grafico, il periodo di somme e di altre funzioni, il metodo dell’angolo aggiunto, il moto armonico e un modello delle ore di luce, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Che cos’è una sinusoide

Il grafico di $\sin x$, che conosci dai grafici delle funzioni goniometriche, è un’onda che oscilla tra $-1$ e $1$, si ripete ogni $2\pi$ e in $x = 0$ parte da zero salendo. Le oscillazioni vere possono essere più alte, più rapide, sfasate o spostate in su.

Definizione. Si chiama sinusoide il grafico di una funzione

$$y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$$

dove $A$, $\omega$, $\varphi$ e $k$ sono numeri reali, con $A \neq 0$ e $\omega \neq 0$. Come sempre in Analisi, l’argomento del seno è in radianti. Due osservazioni:

• anche $y = A\cos(\omega x + \varphi) + k$ è una sinusoide, perché $\cos u = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)$;
• si può sempre supporre $\omega > 0$: se è negativo, $\sin(-u) = -\sin u$ sposta il segno su $A$, come in $\sin(1 - 2x) = -\sin(2x - 1)$. Da qui in avanti $\omega > 0$.

I quattro parametri, uno alla volta

Ogni parametro corrisponde a una delle trasformazioni dei grafici applicata a $\sin x$, che nella figura è tratteggiata.

L’ampiezza: un allungamento verticale

In $y = A\sin x$ ogni ordinata di $\sin x$ viene moltiplicata per $A$. Gli zeri restano dove sono, i massimi e i minimi si allontanano dall’asse $x$ (o si avvicinano, se $|A| < 1$). Il grafico oscilla tra $-|A|$ e $|A|$, e il numero $|A|$, sempre positivo, si chiama ampiezza.

Se $A < 0$ c’è anche un ribaltamento rispetto all’asse $x$: dove $\sin x$ ha un massimo, $A\sin x$ ha un minimo. Per esempio $-2\sin x$ ha ampiezza 2 e in $x = \frac{\pi}{2}$ vale $-2$. Per una sinusoide ribaltare equivale a spostare di mezzo periodo, perché $-\sin x = \sin(x + \pi)$.

La pulsazione: una compressione orizzontale

In $y = \sin(\omega x)$ l’argomento corre $\omega$ volte più in fretta di $x$. Con $\omega = 2$, quando $x$ arriva a $\pi$ l’argomento ha già fatto un giro completo: il grafico di $\sin x$ è compresso orizzontalmente di un fattore 2. Se $0 < \omega < 1$, invece, il grafico si allarga.

Teorema (periodo della sinusoide). La funzione $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$, con $A \neq 0$ e $\omega \neq 0$, è periodica di periodo

Perché è vero. Un numero $T > 0$ è un periodo se il grafico si ripete dopo $T$, cioè se per ogni $x$

$$\sin(\omega x + \varphi + \omega T) = \sin(\omega x + \varphi)$$

L’argomento $u = \omega x + \varphi$, al variare di $x$, assume tutti i valori reali: serve quindi $\sin(u + \omega T) = \sin u$ per ogni $u$. I periodi del seno sono esattamente i multipli interi di $2\pi$, quindi deve essere $\omega T = 2n\pi$. Il più piccolo $T > 0$ si ha con $|\omega|\,T = 2\pi$, cioè $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$.

Il periodo dipende solo da $\omega$: per esempio $A\sin\left(\frac{x}{2} + \varphi\right) + k$ ha periodo $4\pi$, qualunque siano $A$, $\varphi$ e $k$.

La frequenza. Il periodo dice quanto dura un ciclo; la frequenza dice quanti cicli ci sono in un’unità di $x$:

$$\begin{gathered} f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \\ \omega = 2\pi f \end{gathered}$$

Se $x$ è un tempo in secondi, $f$ si misura in hertz (cicli al secondo) e $\omega$ in radianti al secondo. La corrente di casa in Europa ha $f = 50\ \text{Hz}$: periodo $T = 0{,}02\ \text{s}$ e pulsazione $\omega = 100\pi \approx 314\ \text{rad/s}$.

La fase: una traslazione orizzontale

Il numero $\varphi$ sposta il grafico in orizzontale, ma non di $\varphi$. Per vedere di quanto, raccogli $\omega$ nell’argomento:

$$\begin{gathered} \sin(\omega x + \varphi) = \sin\big(\omega(x - x_0)\big) \\ \text{con} \quad x_0 = -\frac{\varphi}{\omega} \end{gathered}$$

Sostituire $x$ con $x - x_0$ trasla il grafico in orizzontale: verso destra se $x_0 > 0$, verso sinistra se $x_0 < 0$. Quindi il grafico di $\sin(\omega x)$ si sposta di $\frac{|\varphi|}{\omega}$: a sinistra se $\varphi > 0$, a destra se $\varphi < 0$.

Il punto $x_0$ è dove l’argomento vale zero, $\omega x_0 + \varphi = 0$. Lì la sinusoide «parte» come $\sin x$ parte dall’origine: sulla linea media, salendo (se $A > 0$). Chiederti dove si annulla l’argomento è il modo più rapido per non sbagliare il segno.

Esempio. In $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ l’argomento si annulla per $x_0 = \frac{\pi}{6}$: il grafico di $\sin 2x$ si sposta di $\frac{\pi}{6}$ verso destra, non di $\frac{\pi}{3}$. Infatti $2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

La traslazione verticale

Aggiungere $k$ sposta tutto il grafico in verticale. La sinusoide oscilla attorno alla retta $y = k$, la linea media, e quindi il massimo $M$ e il minimo $m$ sono

$$\begin{gathered} M = k + |A|, \quad m = k - |A| \\ \text{immagine: } \big[k - |A|,\ k + |A|\big] \end{gathered}$$

Se $A > 0$ i massimi sono dove $\sin(\omega x + \varphi) = 1$; se $A < 0$ dove $\sin(\omega x + \varphi) = -1$. Viceversa, conoscendo $M$ e $m$, con $A > 0$:

$$A = \frac{M - m}{2} \qquad k = \frac{M + m}{2}$$

Sono le formule per scrivere l’equazione partendo da un grafico.

Fase, fase iniziale, spostamento: i nomi giusti

I libri non usano tutti le stesse parole. Ecco i nomi più diffusi, quelli della Fisica:

Nome	Formula	Cosa indica
ampiezza	$\lvert A\rvert$	metà dell’escursione
pulsazione	$\omega$	radianti per unità di $x$
periodo	$T = 2\pi/\omega$	durata di un ciclo
frequenza	$f = 1/T$	cicli per unità di $x$
fase	$\omega x + \varphi$	a che punto del ciclo sei
fase iniziale	$\varphi$	la fase in $x = 0$
spostamento	$x_0 = -\varphi/\omega$	dove parte il ciclo
linea media	$y = k$	il livello attorno a cui oscilla

Molti testi chiamano «fase» anche $\varphi$, che più precisamente è la fase iniziale; lo spostamento $x_0$, invece, è una lunghezza, non un angolo. Lo sfasamento tra due sinusoidi con la stessa pulsazione è la differenza tra le loro fasi iniziali.

Come si disegna una sinusoide: la scaletta

Dividi un periodo in quattro quarti: nei cinque punti di divisione la sinusoide fa sempre la stessa cosa, linea media, massimo, linea media, minimo, linea media.

1. Scrivi la funzione nella forma $y = A\sin\big(\omega(x - x_0)\big) + k$, con $\omega > 0$.
2. Leggi la linea media $y = k$, l’ampiezza $|A|$, il periodo $T = \frac{2\pi}{\omega}$ e il punto di partenza $x_0$.
3. Dividi l’intervallo da $x_0$ a $x_0 + T$ in quattro parti uguali, lunghe $\frac{T}{4}$: ottieni cinque ascisse.
4. Assegna le ordinate $k$, $k + A$, $k$, $k - A$, $k$. Se $A > 0$ la curva parte salendo; se $A < 0$ parte scendendo e il secondo punto è un minimo.
5. Unisci i punti con un’onda morbida, arrotondata in cima e in fondo, e ripetila a destra e a sinistra ogni $T$.

Un esempio completo

Disegniamo

$$y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$$

Raccogliendo il 2, $y = 2\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 1$. Quindi linea media $y = 1$, ampiezza 2, periodo $\frac{2\pi}{2} = \pi$ e partenza $x_0 = \frac{\pi}{6}$. La funzione oscilla tra $1 - 2 = -1$ e $1 + 2 = 3$. Il passo è $\frac{T}{4} = \frac{\pi}{4}$:

$x$	$2x - \pi/3$	$y$
$\pi/6$	$0$	$1$
$5\pi/12$	$\pi/2$	$3$ (massimo)
$2\pi/3$	$\pi$	$1$
$11\pi/12$	$3\pi/2$	$-1$ (minimo)
$7\pi/6$	$2\pi$	$1$

La figura costruisce la stessa curva come catena di trasformazioni di $\sin x$; nell’ultimo riquadro ci sono i cinque punti della tabella.

Completiamo con i punti notevoli:

• massimi: $y = 3$ per $x = \frac{5\pi}{12} + n\pi$; minimi: $y = -1$ per $x = \frac{11\pi}{12} + n\pi$;
• intersezione con l’asse $y$: $y(0) = 2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 1 = 1 - \sqrt{3} \approx -0{,}73$;
• zeri: serve $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, un’equazione goniometrica elementare:

$$\begin{gathered} 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ {} \iff x = \frac{\pi}{12} + n\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \\ {} \iff x = \frac{3\pi}{4} + n\pi \end{gathered}$$

Lo zero in $\frac{\pi}{12}$ viene prima di $x_0$: lì la curva sta ancora salendo dal minimo che ha in $-\frac{\pi}{12}$.

Dal grafico all’equazione

Spesso l’esercizio va al contrario: c’è un grafico, o una tabella di dati, e bisogna scrivere l’equazione. La scaletta:

1. Leggi il massimo $M$ e il minimo $m$ e calcola $A = \frac{M - m}{2}$ e $k = \frac{M + m}{2}$.
2. Leggi il periodo $T$, per esempio come distanza tra due massimi consecutivi, e calcola $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
3. Trova un punto $x_0$ in cui il grafico attraversa la linea media salendo.
4. Scrivi $y = A\sin\big(\omega(x - x_0)\big) + k$; la fase iniziale è $\varphi = -\omega x_0$.
5. Controlla l’equazione su un punto del grafico, per esempio un massimo.

Nella figura il massimo è 5 e il minimo $-1$, quindi $A = \frac{5 - (-1)}{2} = 3$ e $k = \frac{5 + (-1)}{2} = 2$. Due massimi consecutivi sono in $x = 3$ e $x = 11$: $T = 8$ e $\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. La curva attraversa la linea media salendo in $x_0 = 1$:

$$\begin{gathered} y = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}(x - 1)\right) + 2 \\ {} = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \end{gathered}$$

Controllo: in $x = 3$ l’argomento vale $\frac{\pi}{2}$ e $y = 3 + 2 = 5$, il massimo.

L’equazione non è unica. Lo stesso grafico si scrive in più modi, tutti corretti:

• la fase è definita a meno di un giro: $\varphi$ e $\varphi + 2n\pi$ danno la stessa funzione, quindi qui vanno bene sia $-\frac{\pi}{4}$ sia $\frac{7\pi}{4}$. Di solito si sceglie $\varphi$ tra $-\pi$ e $\pi$;
• con il coseno: il coseno parte da un massimo, quindi si usa l’ascissa del massimo, $x = 3$, e si ottiene $y = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}(x - 3)\right) + 2$. È la stessa funzione, perché $\cos u = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)$ e $\frac{\pi}{4}(x - 3) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}(x - 1)$;
• con $A$ negativo: partendo dal punto $x = 5$, in cui la curva scende sulla linea media, si ottiene $y = -3\sin\left(\frac{\pi}{4}(x - 5)\right) + 2$.

Il periodo di altre funzioni

Tangente. La tangente ha periodo $\pi$, quindi, con lo stesso ragionamento del seno, $\tan(\omega x)$ ha periodo $\frac{\pi}{|\omega|}$: per esempio $\tan\frac{x}{3}$ ha periodo $3\pi$.

Valore assoluto e quadrato. $|\sin x|$ e $\sin^2 x$ hanno periodo $\pi$, la metà del seno, perché $\sin(x + \pi) = -\sin x$ e il valore assoluto e il quadrato cancellano il segno meno. Non esiste un periodo più piccolo: se $T$ è un periodo di $|\sin x|$, allora $|\sin T| = |\sin 0| = 0$, quindi $T$ è un multiplo di $\pi$. Per $\sin^2 x$ lo dice anche la linearizzazione delle formule di bisezione: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Non è una regola generale: $\sin^3 x$ ha periodo $2\pi$, perché il cubo conserva il segno.

Somme e prodotti. Se $f$ ha periodo $T_1$ e $g$ ha periodo $T_2$, la somma $f + g$ si ripete quando si ripetono entrambe: serve un multiplo intero di tutti e due i periodi.

Regola. Se $\frac{T_1}{T_2} = \frac{p}{q}$ è razionale, ridotto ai minimi termini, allora $T = q\,T_1 = p\,T_2$ è il più piccolo multiplo comune dei due periodi, ed è un periodo di $f + g$ e di $f \cdot g$.

Esempio. In $\sin 2x + \sin 3x$ i periodi sono $\pi$ e $\frac{2\pi}{3}$, con rapporto $\frac{3}{2}$. Il primo multiplo comune è $2\pi = 2 \cdot \pi = 3 \cdot \frac{2\pi}{3}$: la somma ha periodo $2\pi$. Il grafico non è più una sinusoide, perché l’ampiezza non è costante, ma si ripete ogni $2\pi$.

E se il rapporto è irrazionale? Allora non esiste un multiplo comune e la somma di due sinusoidi non è periodica. L’esempio classico è $\sin x + \sin(\sqrt{2}\,x)$, con periodi $2\pi$ e $\sqrt{2}\,\pi$ e rapporto $\sqrt{2}$: il grafico sembra quasi ripetersi, ma non si ripete mai esattamente. Per esempio, la somma varrebbe 2 solo se i due seni valessero 1 nello stesso punto, e questo renderebbe $\sqrt{2}$ una frazione; eppure si avvicina a 2 quanto si vuole (vicino a $x \approx 1547$ supera $1{,}9999999$). La dimostrazione completa si fa comodamente con le derivate e la saltiamo.

Il metodo dell’angolo aggiunto

Un caso speciale e utilissimo: la somma di un seno e di un coseno con lo stesso argomento,

$$a\sin x + b\cos x$$

con $a$ e $b$ non entrambi nulli. Il risultato è ancora una sinusoide di periodo $2\pi$, della forma $R\sin(x + \varphi)$. Per trovare $R$ e $\varphi$ sviluppiamo con la formula di addizione:

$$\begin{gathered} R\sin(x + \varphi) \\ {} = R\cos\varphi \cdot \sin x + R\sin\varphi \cdot \cos x \end{gathered}$$

e confrontiamo con $a\sin x + b\cos x$: servono $R\cos\varphi = a$ e $R\sin\varphi = b$. Elevando al quadrato e sommando, la relazione fondamentale dà $R^2 = a^2 + b^2$:

Il quadrante di φ. L’angolo $\varphi$ è fissato da due condizioni: è l’angolo che il punto $(a, b)$ del piano forma con l’asse $x$, e $R$ è la sua distanza dall’origine. Per questo la scorciatoia $\varphi = \arctan\frac{b}{a}$ è pericolosa: l’arcotangente dà sempre un angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, quindi è giusta solo se $a > 0$.

Esempio 1. $\sin x + \sqrt{3}\cos x$. Qui $a = 1$, $b = \sqrt{3}$ e $R = \sqrt{1 + 3} = 2$. L’angolo ha $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ e $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$: è $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

$$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Il massimo 2 si ha per $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$, cioè in $x = \frac{\pi}{6}$, come mostra la figura.

Esempio 2: la trappola. $-\sin x + \cos x$, con $a = -1$, $b = 1$ e $R = \sqrt{2}$. La scorciatoia darebbe $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, ma $\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ è uguale a $\sin x - \cos x$, la funzione opposta. Le condizioni giuste sono $\cos\varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$: secondo quadrante, $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

$$-\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{3\pi}{4}\right)$$

Controllo in $x = 0$: a sinistra vale 1, a destra $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$.

Esempio 3: un angolo non notevole. In $3\sin x + 4\cos x$ si ha $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ e, siccome $a > 0$, $\varphi = \arctan\frac{4}{3} \approx 0{,}927$ (circa 53°). Quindi la funzione è $5\sin(x + \varphi)$: massimo 5, per esempio in $x = \frac{\pi}{2} - \varphi \approx 0{,}644$, e minimo $-5$, senza bisogno di derivate.

Lo stesso vale con $\omega x$ al posto di $x$: $a\sin\omega x + b\cos\omega x = R\sin(\omega x + \varphi)$, con gli stessi $R$ e $\varphi$. Serve però lo stesso argomento: $\sin x + \cos 2x$ non è una sinusoide. Il metodo è anche il primo strumento per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno.

Il collegamento con la Fisica

Il moto armonico

In Fisica la variabile è il tempo $t$ e la sinusoide descrive una posizione che oscilla. Il moto armonico semplice si scrive, per tradizione, con il coseno:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

$A$ è l’ampiezza, la massima distanza dal centro; $\omega$ è la pulsazione in rad/s, con $T = \frac{2\pi}{\omega}$ e $f = \frac{\omega}{2\pi}$; $\varphi$ è la fase iniziale, che fissa la posizione all’istante zero, $x(0) = A\cos\varphi$. Manca la $k$ perché l’origine si mette nel centro dell’oscillazione. Così si muovono una massa attaccata a una molla e un pendolo semplice per piccole oscillazioni: per esempio $x(t) = 0{,}03\cos(10\pi t)$, in metri e secondi, oscilla di 3 cm con periodo $0{,}2\ \text{s}$.

Due oscillazioni con la stessa frequenza

Se un punto compie due oscillazioni sullo stesso asse con la stessa pulsazione, $x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ e $x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$, il moto risultante è ancora armonico con la stessa $\omega$: $x_1 + x_2 = A\cos(\omega t + \varphi)$, con

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)$$

È l’angolo aggiunto in versione fisica: sviluppando i due coseni, la somma diventa del tipo $a\cos\omega t + b\sin\omega t$. Con i fasori lo si vede a colpo d’occhio: ogni oscillazione è l’ombra sull’asse $x$ di un vettore lungo $A_i$ che ruota con velocità angolare $\omega$. I due vettori ruotano insieme, quindi ruota con la stessa $\omega$ anche il vettore somma, la cui lunghezza, per il teorema del coseno, è proprio $A$. In fase l’ampiezza è $A_1 + A_2$, in opposizione $|A_1 - A_2|$. I dettagli sono nella somma di moti armonici.

Un modello reale: le ore di luce

A Roma il giorno più lungo, intorno al 21 giugno, ha circa 15 h 14 min di luce (15,23 ore); il più corto, intorno al 21 dicembre, circa 9 h 08 min (9,13 ore). Con la scaletta del problema inverso:

• $k = \frac{15{,}23 + 9{,}13}{2} \approx 12{,}2$ ore e $A = \frac{15{,}23 - 9{,}13}{2} \approx 3{,}05$ ore;
• periodo $T = 365$ giorni, quindi $\omega = \frac{2\pi}{365}$;
• partenza all’equinozio di primavera, quando le ore di luce crescono e passano per la linea media: l’equinozio cade intorno al 20 marzo, ma per semplicità prendiamo il 21 marzo, giorno 80 dell’anno.

Con $t$ numero del giorno ($t = 1$ è il 1° gennaio), le ore di luce sono circa

$$L(t) \approx 12{,}2 + 3{,}05\sin\left(\frac{2\pi}{365}(t - 80)\right)$$

Prova: il 15 agosto è il giorno 227 e $L(227) \approx 12{,}2 + 3{,}05 \cdot 0{,}574 \approx 13{,}95$ ore, circa 13 h 57 min; le tabelle astronomiche danno 13 h 59 min. Quando ci sono almeno 13 ore di luce? Serve $\sin\left(\frac{2\pi}{365}(t - 80)\right) \geq \frac{0{,}8}{3{,}05} \approx 0{,}262$. L’angolo $\arcsin 0{,}262 \approx 0{,}265$ corrisponde a circa 15 giorni, quindi $t$ va da circa 95 a circa $80 + 182{,}5 - 15 \approx 247$: dal 5 aprile al 4 settembre. Le tabelle danno dal 10 aprile al 6 settembre.

Gli errori più comuni

• Spostare il grafico di φ invece che di φ/ω. In $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ lo spostamento è $\frac{\pi}{6}$: raccogli $\omega$, oppure chiediti dove l’argomento vale zero.
• Sbagliare il verso dello spostamento. $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ è spostata a sinistra, non a destra: il «più» anticipa la curva.
• Dire che l’ampiezza è A anche quando A è negativo. L’ampiezza è $|A|$, e con $A < 0$ i massimi sono dove il seno vale $-1$.
• Dimenticare la linea media. Il massimo è $k + |A|$ e il minimo $k - |A|$, non $\pm|A|$.
• Usare 2π/ω anche per la tangente. Il periodo di $\tan(\omega x)$ è $\frac{\pi}{|\omega|}$.
• Prendere φ = arctan(b/a) senza guardare il segno di a. Con $a < 0$ l’angolo è sbagliato di $\pi$ e la sinusoide trovata è l’opposta.
• Usare l’angolo aggiunto con argomenti diversi. $\sin x + \cos 2x$ non è una sinusoide.
• Credere periodica ogni somma di funzioni periodiche. Serve un rapporto razionale tra i periodi: $\sin x + \sin(\sqrt{2}\,x)$ non è periodica.

Esercizi svolti

1. Il periodo di quattro funzioni

Testo. Trova il periodo di: a) $5\sin(3x - 1)$; b) $\tan\frac{x}{3}$; c) $\cos^2(2x)$; d) $|\sin(\pi x)|$.

a) Conta solo il coefficiente della $x$, $\omega = 3$: il periodo è $\frac{2\pi}{3}$. Il 5 e il $-1$ non c’entrano.

b) Per la tangente il periodo è $\frac{\pi}{|\omega|}$, con $\omega = \frac{1}{3}$:

$$T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$$

c) Linearizza con $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ e $\alpha = 2x$:

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos 4x}{2}$$

È una sinusoide con $\omega = 4$, quindi il periodo è $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

d) $\sin(\pi x)$ ha periodo $\frac{2\pi}{\pi} = 2$, e il valore assoluto lo dimezza, come per $|\sin x|$: il periodo è 1.

I periodi sono $\frac{2\pi}{3}$, $3\pi$, $\frac{\pi}{2}$ e 1.

2. Leggere i parametri, con A negativo

Testo. Data $y = -3\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + 1$, trova ampiezza, periodo, frequenza, spostamento, immagine, massimi e minimi.

L’ampiezza è $|-3| = 3$, e il segno meno indica una curva ribaltata. Con $\omega = \frac{1}{2}$ il periodo è $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ e la frequenza $f = \frac{1}{4\pi}$. Per lo spostamento raccogli $\frac{1}{2}$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$

quindi $x_0 = -\frac{\pi}{2}$: la curva è spostata di $\frac{\pi}{2}$ verso sinistra. La linea media è $y = 1$ e l’immagine è $[1 - 3,\ 1 + 3] = [-2, 4]$.

Siccome $A < 0$, il massimo 4 si ha dove il seno vale $-1$:

$$\begin{gathered} \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \\ {} \iff x = -\frac{3\pi}{2} + 4n\pi \end{gathered}$$

e il minimo $-2$ dove il seno vale 1:

$$\begin{gathered} \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \\ {} \iff x = \frac{\pi}{2} + 4n\pi \end{gathered}$$

Controllo: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\sin\frac{\pi}{2} + 1 = -2$. Nota che i massimi in $-\frac{3\pi}{2} + 4n\pi$ (per esempio $\frac{5\pi}{2}$) sono dove il seno vale $-1$: con $A$ positivo sarebbero stati minimi.

3. Dall’informazione sul grafico all’equazione

Testo. Una sinusoide ha un massimo uguale a 7 in $x = \frac{\pi}{3}$ e il minimo successivo, uguale a $-1$, in $x = \frac{5\pi}{6}$. Scrivi la sua equazione nella forma $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$, con $A > 0$, $\omega > 0$ e $\varphi$ tra $-\pi$ e $\pi$; poi scrivila con il coseno.

Ampiezza e linea media:

$$\begin{gathered} A = \frac{7 - (-1)}{2} = 4 \\ k = \frac{7 + (-1)}{2} = 3 \end{gathered}$$

Da un massimo al minimo successivo passa mezzo periodo:

$$\frac{T}{2} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$

quindi $T = \pi$ e $\omega = \frac{2\pi}{\pi} = 2$. La curva attraversa la linea media salendo un quarto di periodo prima del massimo:

$$x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$$

Quindi $\varphi = -\omega x_0 = -\frac{\pi}{6}$ e

$$y = 4\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + 3$$

Controllo: in $x = \frac{\pi}{3}$ l’argomento vale $\frac{\pi}{2}$ e $y = 7$; in $x = \frac{5\pi}{6}$ vale $\frac{3\pi}{2}$ e $y = -1$. Con il coseno, che parte dal massimo, basta usare l’ascissa del massimo, $y = 4\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) + 3$, cioè

$$y = 4\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) + 3$$

4. Periodica o no?

Testo. Stabilisci se le funzioni sono periodiche e, se sì, trova il periodo: a) $f(x) = \sin\frac{2x}{3} + \cos\frac{x}{2}$; b) $g(x) = \sin x + \cos(\pi x)$.

a) I periodi dei due addendi sono

$$\begin{gathered} T_1 = \frac{2\pi}{2/3} = 3\pi \\ T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \end{gathered}$$

Il rapporto è $\frac{3}{4}$, razionale. I multipli di $3\pi$ sono $3\pi$, $6\pi$, $9\pi$, $12\pi$, …; quelli di $4\pi$ sono $4\pi$, $8\pi$, $12\pi$, … Il primo comune è $12\pi = 4 \cdot 3\pi = 3 \cdot 4\pi$, e siccome $f$ è una somma di sinusoidi con pulsazioni diverse, $12\pi$ è proprio il suo periodo.

b) I periodi sono $2\pi$ e $\frac{2\pi}{\pi} = 2$, con rapporto $\pi$, irrazionale. Non esiste un multiplo comune: $g$ non è periodica, pur essendo somma di due funzioni periodiche.

5. Angolo aggiunto con la trappola del quadrante

Testo. Scrivi $f(x) = -\sqrt{3}\sin x - \cos x$ nella forma $R\sin(x + \varphi)$, trova massimo e minimo con i punti in cui li assume e risolvi $f(x) = 1$ nell’intervallo $[0, 2\pi)$.

Qui $a = -\sqrt{3}$ e $b = -1$, quindi $R = \sqrt{3 + 1} = 2$ e

$$\cos\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi = -\frac{1}{2}$$

Entrambi negativi: terzo quadrante, $\varphi = -\frac{5\pi}{6}$ (oppure $\frac{7\pi}{6}$, che è lo stesso angolo). La scorciatoia $\arctan\frac{b}{a} = \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$ è sbagliata: $2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ è $\sqrt{3}\sin x + \cos x$, cioè $-f(x)$. Quindi

$$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{5\pi}{6}\right)$$

Il massimo 2 si ha per $x - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, cioè $x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$; il minimo $-2$ per $x - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$, cioè $x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$. Controllo sul massimo:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \\ {} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \end{gathered}$$

Ora l’equazione: $f(x) = 1$ diventa $\sin\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, quindi

$$\begin{gathered} x - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ {} \iff x = \pi + 2n\pi \\ x - \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \\ {} \iff x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi \end{gathered}$$

Nell’intervallo $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono $x = \pi$ e $x = \frac{5\pi}{3}$ (controllo: $f(\pi) = 0 - (-1) = 1$). Con l’angolo sbagliato $\frac{\pi}{6}$ avresti trovato massimi e minimi scambiati.

6. Da esame: prima le formule, poi la sinusoide

Testo. Data $f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x$, scrivila nella forma $A\sin(\omega x + \varphi) + k$; trova periodo, immagine, massimi, minimi e zeri.

Così com’è non si legge nulla. Usa la linearizzazione $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ e la duplicazione $\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$:

$$\begin{gathered} f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x \\ {} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ora applica l’angolo aggiunto con argomento $2x$: $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $b = -\frac{1}{2}$, $R = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$. Siccome $a > 0$, $\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$:

$$f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$$

Da qui si legge tutto:

• periodo $\frac{2\pi}{2} = \pi$; immagine $\left[\frac{1}{2} - 1,\ \frac{1}{2} + 1\right] = \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$;
• massimo $\frac{3}{2}$ per $2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, cioè $x = \frac{\pi}{3} + n\pi$;
• minimo $-\frac{1}{2}$ per $2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$, cioè $x = -\frac{\pi}{6} + n\pi$;
• zeri: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, cioè

$$\begin{gathered} 2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ {} \iff x = n\pi \\ 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \\ {} \iff x = \frac{2\pi}{3} + n\pi \end{gathered}$$

Controllo sul massimo: $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Controllo sugli zeri, per un’altra strada: $f(x) = \sin x\,(\sin x + \sqrt{3}\cos x)$ si annulla se $\sin x = 0$, cioè $x = n\pi$, oppure se $\tan x = -\sqrt{3}$, cioè $x = \frac{2\pi}{3} + n\pi$. Il grafico è una sinusoide di periodo $\pi$ attorno alla linea media $y = \frac{1}{2}$.

In sintesi

• $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ ha ampiezza $|A|$, periodo $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$, frequenza $f = \frac{1}{T}$ e immagine $[k - |A|, k + |A|]$, attorno alla linea media $y = k$.
• Lo spostamento orizzontale è $x_0 = -\frac{\varphi}{\omega}$, il punto in cui l’argomento vale zero: non $\varphi$.
• Per disegnarla: cinque punti a passo $\frac{T}{4}$ a partire da $x_0$, con ordinate $k$, $k + A$, $k$, $k - A$, $k$.
• Dal grafico: $A = \frac{M - m}{2}$, $k = \frac{M + m}{2}$, $\omega = \frac{2\pi}{T}$; la fase è definita a meno di $2n\pi$ e si può usare anche il coseno.
• $\tan(\omega x)$ ha periodo $\frac{\pi}{|\omega|}$; $|\sin x|$ e $\sin^2 x$ hanno periodo $\pi$; una somma è periodica se il rapporto tra i periodi è razionale.
• Angolo aggiunto: $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$ con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\varphi = \frac{a}{R}$, $\sin\varphi = \frac{b}{R}$, attenti al quadrante.
• In Fisica $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, e due oscillazioni con la stessa pulsazione danno ancora una sinusoide.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.