Grafici di funzioni esponenziali: come disegnarli, trasformazioni ed esercizi

Conoscere a memoria il grafico di $a^x$ serve soprattutto perché da quel solo grafico, con poche mosse, se ne ottengono moltissimi altri: $2^x - 3$, $e^{-x}$, $|2^x - 4|$, fino alla curva a campana $e^{-x^2}$. Disegnare a mano i grafici di funzioni esponenziali ti serve per equazioni e disequazioni esponenziali, per il grafico «qualitativo» di molti esercizi d’esame e per controllare uno studio di funzione. In questa pagina vediamo il metodo dei segnaposto, traslazioni, simmetrie e valore assoluto, più mosse in fila, gli esponenziali composti come $e^{-x^2}$ ed $e^{1/x}$, la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni, una tabella riassuntiva, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il punto di partenza: aˣ e i tre segnaposto

Tutto parte dal grafico della funzione esponenziale $a^x$, con $a > 0$ e $a \neq 1$: è definita su tutto $\mathbb{R}$, è sempre positiva, con immagine $(0, +\infty)$, ed è strettamente crescente se $a > 1$, strettamente decrescente se $0 < a < 1$. Per disegnare con precisione ogni grafico che ne deriva bastano tre segnaposto:

1. il punto $(0, 1)$, perché $a^0 = 1$;
2. il punto $(1, a)$; per $e^x$ è $(1, e)$, con $e \approx 2{,}72$, il numero di Nepero;
3. l’asintoto orizzontale $y = 0$, con il lato da cui la curva gli si avvicina: a sinistra se $a > 1$, a destra se $0 < a < 1$.

Il metodo: la scaletta

Le regole generali delle mosse e del loro ordine sono nelle trasformazioni dei grafici; qui le applichiamo all’esponenziale.

1. Riconosci la funzione di partenza e, se serve, riscrivila: $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$, $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$.
2. Metti in ordine le mosse: prima quelle sulla $x$, dalla più vicina all’esponenziale; poi quelle sulla $y$, nell’ordine dei calcoli; un valore assoluto esterno per ultimo.
3. Sposta i segnaposto a ogni mossa. L’asintoto si muove con le mosse verticali; la simmetria rispetto all’asse $y$ lo porta dall’altra parte.
4. Disegna la curva per i punti, verso l’asintoto dal lato giusto.
5. Leggi dominio, immagine, monotonia, segno, zeri, asintoto e intersezione con l’asse $y$, che si calcola sempre come $f(0)$.
6. Controlla la formula in un altro punto.

La forma che ritorna sempre: A·aˣ + k

Traslazioni, simmetrie e dilatazioni verticali di $a^x$ danno sempre una funzione del tipo $A \cdot b^x + k$, con $b = a$ oppure $b = \frac{1}{a}$: anche le traslazioni orizzontali, come vediamo tra poco, diventano un fattore davanti.

Proprietà. Se $f(x) = A \cdot a^x + k$, con $a > 0$, $a \neq 1$ e $A \neq 0$:

• il dominio è $\mathbb{R}$ e l’asintoto orizzontale è $y = k$, da una parte sola;
• l’immagine è $(k, +\infty)$ se $A > 0$, $(-\infty, k)$ se $A < 0$;
• l’intersezione con l’asse $y$ è $(0, A + k)$;
• $f$ ha la monotonia di $a^x$ se $A > 0$, quella opposta se $A < 0$.

Perché è vero. $a^x$ assume tutti e soli i valori positivi. Moltiplicati per $A > 0$ restano tutti i positivi; per $A < 0$ diventano tutti i negativi, in ordine rovesciato. Infine $k$ sposta tutto di $k$.

Gli zeri. $A \cdot a^x + k = 0$ equivale ad $a^x = -\frac{k}{A}$. Se $-\frac{k}{A} \leq 0$ non ci sono zeri. Se $-\frac{k}{A} > 0$ lo zero è uno solo, perché $a^x$ assume ogni valore positivo una volta sola; se è una potenza di $a$ lo trovi a mano: $3 \cdot 2^x - 12 = 0$ dà $2^x = 4$, cioè $x = 2$. Altrimenti lo chiudi tra due interi e lo calcoli con i logaritmi, come nelle equazioni esponenziali con i logaritmi.

Traslazione verticale: 2ˣ − 3

Sottrarre 3 dopo aver calcolato $2^x$ abbassa tutto il grafico di 3: $(0, 1)$ va in $(0, -2)$, $(1, 2)$ in $(1, -1)$ e l’asintoto scende a $y = -3$, sempre a sinistra. La funzione non arriva mai a $-3$.

Ora il grafico taglia l’asse $x$ dove $2^x = 3$: tra 1 e 2, perché $2^1 = 2$ e $2^2 = 4$; con i logaritmi, circa $1{,}58$. Gli zeri non si «ricopiano»: $2^x + 1$ non ne ha, perché $2^x = -1$ è impossibile.

In una riga: $D = \mathbb{R}$, $I = (-3, +\infty)$, asintoto $y = -3$ per $x \to -\infty$, intersezioni $(0, -2)$ e circa $(1{,}58;\ 0)$, crescente. Nella figura è in alto; in basso c’è la traslazione orizzontale.

Traslazione orizzontale: 2ˣ⁺²

Sostituire $x$ con $x + 2$ sposta il grafico di 2 verso sinistra, perché le mosse sulla $x$ vanno al contrario: $(0, 1)$ va in $(-2, 1)$. Ma per le proprietà delle potenze

$$2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x$$

quindi lo stesso grafico è anche $2^x$ dilatato in verticale di un fattore 4: passa sia per $(-2, 1)$ sia per $(0, 4)$.

Spostare un esponenziale in orizzontale equivale a moltiplicarlo per una costante positiva. Per ogni $h$ reale $a^{x+h} = a^h \cdot a^x$, e ogni numero $c > 0$ si scrive come $a^h$. Così $2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$ è $2^x$ spostato a destra di 1, ma anche dimezzato; e $3 \cdot 2^x$ è $2^x$ spostato a sinistra di circa 1,58, il numero $h$ per cui $2^h = 3$. I grafici di $2^x$, $3 \cdot 2^x$ e $4 \cdot 2^x$ sono la stessa curva, spostata.

Per una parabola non succede: $(x + 2)^2$ non è un multiplo di $x^2$. Anzi, si dimostra che tra le funzioni continue solo le $C \cdot a^x$, costanti comprese, hanno questa proprietà.

In una riga: $D = \mathbb{R}$, $I = (0, +\infty)$, asintoto $y = 0$ per $x \to -\infty$, intersezione $(0, 4)$, nessuno zero, crescente.

Le simmetrie: e⁻ˣ, −eˣ e −e⁻ˣ

Il segno meno nell’esponente agisce sulla $x$ e ribalta in orizzontale; il segno meno davanti agisce sulla $y$ e ribalta in verticale.

• $e^{-x}$ è il simmetrico di $e^x$ rispetto all’asse $y$: $(0, 1)$ resta, $(1, e)$ va in $(-1, e)$ e l’asintoto passa a destra. È $\left(\frac{1}{e}\right)^x$, un esponenziale con base minore di 1, quindi decrescente. $D = \mathbb{R}$, $I = (0, +\infty)$, asintoto $y = 0$ per $x \to +\infty$, intersezione $(0, 1)$.
• $-e^x$ è il simmetrico rispetto all’asse $x$: $(0, 1)$ va in $(0, -1)$, $(1, e)$ in $(1, -e)$, e l’asintoto resta a sinistra, raggiunto da sotto. È decrescente e sempre negativa: $I = (-\infty, 0)$, intersezione $(0, -1)$.
• $-e^{-x}$ è il simmetrico rispetto all’origine, cioè le due simmetrie insieme: $(1, e)$ va in $(-1, -e)$. Ogni simmetria inverte la monotonia, quindi due la rimettono com’era: è crescente, con $I = (-\infty, 0)$ e asintoto $y = 0$ per $x \to +\infty$.

Nessuna delle tre ha zeri.

Il valore assoluto: |2ˣ − 4|

Il valore assoluto esterno si applica per ultimo:

1. $2^x \to 2^x - 4$: giù di 4. Asintoto $y = -4$, intersezione $(0, -3)$, zero in $x = 2$ perché $2^2 = 4$; la funzione è negativa per $x < 2$.
2. $2^x - 4 \to |2^x - 4|$: la parte con $x < 2$ si ribalta sopra l’asse.

A sinistra ora vale $4 - 2^x$ e si avvicina a 4 dal basso: l’asintoto $y = -4$, ribaltato, è diventato $y = 4$, e $(0, -3)$ è diventato $(0, 3)$. In $x = 2$ c’è il minimo 0, con uno spigolo: il grafico arriva scendendo e riparte salendo. È un punto angoloso, che si riconosce con le derivate nello studio di funzione con valore assoluto.

In una riga: $D = \mathbb{R}$, $I = [0, +\infty)$, asintoto $y = 4$ per $x \to -\infty$, intersezioni $(0, 3)$ e $(2, 0)$; decrescente su $(-\infty, 2]$, crescente su $[2, +\infty)$.

Con il modulo all’esponente: e elevato |x|

Qui il valore assoluto agisce sulla $x$: per $x \geq 0$ la funzione è $e^x$, per $x < 0$ è $e^{-x}$. Si tiene la parte destra di $e^x$ e la si specchia a sinistra. Si ottiene una funzione pari, con il minimo 1 in $x = 0$, dove c’è un punto angoloso, che cresce senza limiti da entrambe le parti: $D = \mathbb{R}$, $I = [1, +\infty)$, nessun asintoto, intersezione $(0, 1)$.

Più trasformazioni in fila: 1 − e⁻ˣ

Mettiamo insieme le mosse su una funzione nuova, $y = 1 - e^{-x}$. La scriviamo come $-e^{-x} + 1$: prima la mossa sulla $x$, poi quelle sulla $y$ nell’ordine dei calcoli.

1. $e^x \to e^{-x}$: simmetria rispetto all’asse $y$. $(0, 1)$ resta, $(1, e)$ va in $(-1, e)$, l’asintoto passa a destra.
2. $e^{-x} \to -e^{-x}$: simmetria rispetto all’asse $x$. $(0, 1)$ va in $(0, -1)$, $(-1, e)$ in $(-1, -e)$.
3. $-e^{-x} \to 1 - e^{-x}$: su di 1. $(0, -1)$ va nell’origine, $(-1, -e)$ in circa $(-1;\ -1{,}72)$, e l’asintoto diventa $y = 1$.

Si legge tutto: $D = \mathbb{R}$, $I = (-\infty, 1)$, asintoto $y = 1$ per $x \to +\infty$; l’origine è l’unico zero e l’intersezione con l’asse $y$. È crescente (due simmetrie), negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$. Controllo: in $x = 1$ vale $1 - \frac{1}{e} \approx 0{,}63$. L’ordine conta: alzando di 1 prima di ribaltare otterresti $-e^{-x} - 1$, sempre negativa.

Dove la incontri. È la curva della saturazione: una grandezza che parte da 0 e sale verso un massimo, sempre più lentamente. La segue la tensione di un condensatore che si carica, $V_0\left(1 - e^{-t/(RC)}\right)$, al 63% circa dopo un tempo $RC$; la velocità di caduta in un fluido viscoso, come negli esercizi svolti di dinamica; la «curva di apprendimento». Crescita e decadimento puri sono in crescita e decadimento esponenziale.

Esponenziali composti: e elevato f(x)

Molte funzioni hanno la forma $e^{f(x)}$: sono funzioni composte con l’esponenziale all’esterno. Per disegnarle bastano il grafico di $f$ e tre osservazioni.

1. Il segno: $e^{f(x)}$ è sempre positivo, quindi non ha zeri; il dominio è quello di $f$.
2. La monotonia: $e^t$ è crescente, quindi $e^{f(x)}$ cresce dove cresce $f$ e decresce dove decresce $f$. Un massimo $M$ di $f$ diventa il massimo $e^M$, nello stesso punto; se $f$ è pari, lo è anche $e^f$.
3. I limiti: se $f(x) \to +\infty$, allora $e^{f(x)} \to +\infty$; se $f(x) \to -\infty$, allora $e^{f(x)} \to 0^+$; se $f(x) \to L$, allora $e^{f(x)} \to e^L$.

L’immagine si ottiene applicando l’esponenziale all’immagine di $f$. Con una base $a$ tra 0 e 1 la monotonia si inverte.

La curva a campana: e elevato −x²

L’esponente $-x^2$ è una parabola rivolta verso il basso, con il vertice nell’origine.

• Dominio $\mathbb{R}$; la funzione è pari, come $-x^2$.
• Monotonia: cresce per $x < 0$ e decresce per $x > 0$, con il massimo $e^0 = 1$ in $x = 0$.
• Limiti: per $x \to \pm\infty$ si ha $-x^2 \to -\infty$, quindi $e^{-x^2} \to 0^+$: l’asse $x$ è asintoto da entrambe le parti.
• Immagine: $-x^2$ assume tutti i valori di $(-\infty, 0]$, quindi $e^{-x^2}$ tutti quelli di $(0, 1]$.

Qualche valore: $e^{-1} \approx 0{,}37$ in $x = \pm 1$, $e^{-4} \approx 0{,}018$ in $x = \pm 2$. I due flessi si trovano con le derivate nello studio di funzione esponenziale.

È la curva a campana, o gaussiana. In statistica compare come $e^{-x^2/2} = e^{-(x/\sqrt{2})^2}$, cioè dilatata in orizzontale di un fattore $\sqrt{2}$. Moltiplicata per $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40$, che rende uguale a 1 l’area sotto la curva, è la densità della distribuzione normale, il modello delle grandezze che si addensano attorno a una media, come gli errori casuali di misura.

Un esponente con un buco: e elevato 1/x

L’esponente è l’iperbole $\frac{1}{x}$.

• Dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Monotonia: decrescente su $(-\infty, 0)$ e su $(0, +\infty)$, come $\frac{1}{x}$. Non su tutto il dominio, però: vale $\frac{1}{e}$ in $x = -1$ ed $e$ in $x = 1$.
• All’infinito $\frac{1}{x} \to 0$, quindi $e^{1/x} \to 1$: asintoto $y = 1$, raggiunto dall’alto a destra e dal basso a sinistra.
• Vicino a 0: da destra $\frac{1}{x} \to +\infty$ ed $e^{1/x} \to +\infty$, quindi $x = 0$ è asintoto verticale solo da destra; da sinistra $\frac{1}{x} \to -\infty$ ed $e^{1/x} \to 0^+$, e il grafico va verso l’origine, che è esclusa.
• Immagine: $\frac{1}{x}$ salta solo lo 0, quindi $e^{1/x}$ salta solo $e^0 = 1$: $I = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Due comportamenti opposti ai lati dello stesso punto: li ritroverai con i limiti destro e sinistro.

Un esponente fratto: e elevato x/(x − 1)

Un caso nuovo: $y = e^{x/(x-1)}$. Riscriviamo l’esponente:

$$\frac{x}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 1}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$$

e quindi, per le proprietà delle potenze,

$$\begin{gathered} e^{\frac{x}{x-1}} = e^{1 + \frac{1}{x-1}} \\ {} = e \cdot e^{\frac{1}{x-1}} \end{gathered}$$

È il grafico di $e^{1/x}$ spostato di 1 a destra e dilatato in verticale di un fattore $e$. Da qui si legge tutto:

• dominio $x \neq 1$; asintoto verticale $x = 1$ solo da destra; per $x \to 1^-$ la funzione tende a $0^+$ e il punto $(1, 0)$ è escluso;
• asintoto orizzontale $y = e \approx 2{,}72$ da entrambe le parti, perché l’esponente tende a 1;
• decrescente su $(-\infty, 1)$ e su $(1, +\infty)$, con immagine $(0, e) \cup (e, +\infty)$;
• passa per $(0, 1)$ e non ha zeri.

Equazioni e disequazioni con i grafici

Le soluzioni di $f(x) = g(x)$ sono le ascisse dei punti in cui i grafici si incontrano; quelle di $f(x) > g(x)$ sono le $x$ in cui il grafico di $f$ sta sopra. Il metodo generale, con la bisezione, è nella risoluzione grafica delle equazioni esponenziali; qui lo usiamo con la curva costruita sopra.

Esempio. Quante soluzioni ha $1 - e^{-x} = \frac{x}{2}$? Per quali $x$ vale $1 - e^{-x} \geq \frac{x}{2}$?

Una soluzione si vede subito: $x = 0$, dove entrambi i membri valgono 0.

A sinistra non ce ne sono altre. Nel numero di Nepero abbiamo visto che $e^t \geq 1 + t$ per ogni $t$. Con $t = -x$ diventa $1 - e^{-x} \leq x$, e per $x < 0$ si ha $x < \frac{x}{2}$: la curva sta sotto la retta.

A destra ce n’è un’altra. In $x = 1$ la curva vale circa $0{,}63$ e la retta $0{,}5$; ma la curva resta sotto 1, e da $x = 2$ in poi la retta vale almeno 1. Il segno della differenza $h(x) = 1 - e^{-x} - \frac{x}{2}$ restringe l’intervallo:

$x$	$h(x)$
$1$	$+0{,}13$
$1{,}5$	$+0{,}03$
$1{,}6$	$-0{,}002$
$2$	$-0{,}14$

La soluzione è $x \approx 1{,}59$.

Non ce ne sono altre. Il grafico di $1 - e^{-x}$ curva sempre verso il basso, come una cupola (è concavo). Se una retta lo tagliasse in tre punti, quello di mezzo starebbe sul segmento che unisce gli altri due, mentre in una cupola sta sopra. Lo verificherai con le derivate in concavità e flessi.

Le soluzioni sono due, $x = 0$ e $x \approx 1{,}59$, e la disequazione vale per $0 \leq x \leq 1{,}59$ circa: è il tratto verde della figura.

Tabella riassuntiva

Funzione	Come si ottiene	Immagine e asintoti
$2^x - 3$	giù di 3	$(-3, +\infty)$ $y = -3$
$2^{x+2}$	sinistra di 2, cioè per 4	$(0, +\infty)$ $y = 0$
$e^{-x}$	simmetria, asse $y$	$(0, +\infty)$ $y = 0$ a destra
$-e^x$	simmetria, asse $x$	$(-\infty, 0)$ $y = 0$ a sinistra
$-e^{-x}$	simmetria, origine	$(-\infty, 0)$ $y = 0$ a destra
$\lvert 2^x - 4 \rvert$	giù di 4, poi ribalto	$[0, +\infty)$ $y = 4$ a sinistra
$e^{\lvert x \rvert}$	destra specchiata	$[1, +\infty)$ nessuno
$1 - e^{-x}$	due simmetrie, su di 1	$(-\infty, 1)$ $y = 1$ a destra
$e^{-x^2}$	composta	$(0, 1]$ $y = 0$
$e^{1/x}$	composta	$(0, 1) \cup (1, +\infty)$ $y = 1$, e $x = 0$ da destra
$e^{x/(x-1)}$	$e^{1/x}$ a destra di 1, per $e$	$(0, e) \cup (e, +\infty)$ $y = e$, e $x = 1$ da destra

Gli errori più comuni

• Lasciare l’asintoto in $y = 0$ dopo una traslazione verticale. $2^x - 3$ ha asintoto $y = -3$ e immagine $(-3, +\infty)$.
• Ricopiare il punto $(0, 1)$. L’intersezione con l’asse $y$ si ricalcola come $f(0)$: per $2^{x+2}$ è $(0, 4)$, per $1 - e^{-x}$ è l’origine.
• Confondere $2^{x+2}$ con $2^x + 2$. Il primo è $4 \cdot 2^x$, con asintoto $y = 0$; il secondo ha asintoto $y = 2$.
• Spostare $2^{x+2}$ verso destra. Il «più» nell’esponente sposta a sinistra: il grafico passa per $(-2, 1)$.
• Scambiare $e^{-x}$ con $-e^x$. Il primo è positivo, il secondo negativo.
• Fare le mosse nell’ordine sbagliato. In $1 - e^{-x}$ prima si ribalta, poi si alza: al contrario si ottiene $-e^{-x} - 1$.
• Dare a ogni $e^{f(x)}$ l’immagine $(0, +\infty)$. Dipende dall’esponente: $e^{-x^2}$ ha immagine $(0, 1]$, $e^{1/x}$ salta il valore 1.
• Contare le soluzioni solo a occhio. Due curve vicine possono incrociarsi oppure no: controlla il segno della differenza.

Esercizi svolti

1. Un esponenziale spostato due volte

Testo. Disegna il grafico di $y = 2^{x+1} - 4$ partendo da quello di $2^x$. Trova asintoto, immagine, intersezioni con gli assi e segno.

Prima la mossa sulla $x$, poi quella sulla $y$:

1. $2^x \to 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$: a sinistra di 1, cioè raddoppiato. I segnaposto $(0, 1)$ e $(1, 2)$ vanno in $(-1, 1)$ e $(0, 2)$.
2. $2^{x+1} \to 2^{x+1} - 4$: giù di 4. I punti vanno in $(-1, -3)$ e $(0, -2)$, l’asintoto in $y = -4$.

L’intersezione con l’asse $y$ è $(0, -2)$: infatti $f(0) = 2 - 4$. Lo zero:

$$\begin{gathered} 2^{x+1} - 4 = 0 \\ 2^{x+1} = 2^2 \\ x + 1 = 2 \ \Rightarrow \ x = 1 \end{gathered}$$

perché due potenze di 2 sono uguali solo se hanno lo stesso esponente. Controllo: $f(2) = 8 - 4 = 4$.

Il grafico è crescente, con $D = \mathbb{R}$, $I = (-4, +\infty)$, asintoto $y = -4$ per $x \to -\infty$ e intersezioni $(0, -2)$ e $(1, 0)$: la funzione è negativa per $x < 1$ e positiva per $x > 1$.

2. Una punta verso l’alto

Testo. Disegna $y = 4 - 2^{|x|}$ partendo da $2^x$. Trova simmetrie, immagine, massimo, zeri, intersezione con l’asse $y$ e monotonia.

Scriviamo $y = -2^{|x|} + 4$: prima il valore assoluto, che agisce sulla $x$, poi le due mosse sulla $y$.

1. $2^x \to 2^{|x|}$: la parte con $x \geq 0$ si specchia a sinistra. Si ottiene una curva pari con il minimo 1 in $x = 0$ e un punto angoloso, come $e^{|x|}$.
2. $2^{|x|} \to -2^{|x|}$: simmetria rispetto all’asse $x$. Il minimo diventa il massimo $-1$.
3. $-2^{|x|} \to 4 - 2^{|x|}$: su di 4. Il massimo diventa $(0, 3)$.

Gli zeri:

$$\begin{gathered} 2^{|x|} = 4 = 2^2 \\ |x| = 2 \ \Rightarrow \ x = \pm 2 \end{gathered}$$

La funzione è pari, con il massimo 3 (una punta) in $(0, 3)$, che è anche l’intersezione con l’asse $y$. Cresce su $(-\infty, 0]$, decresce su $[0, +\infty)$ e scende senza limiti da entrambe le parti: nessun asintoto e immagine $(-\infty, 3]$. È positiva per $-2 < x < 2$.

3. Una carica due volte più veloce

Testo. Per $f(x) = 1 - e^{-2x}$ trova dominio, immagine, asintoti, segno e monotonia. Confronta con $1 - e^{-x}$: quale si avvicina più in fretta all’asintoto?

$f$ si ottiene da $1 - e^{-x}$ moltiplicando la $x$ per 2: è una contrazione orizzontale di fattore 2, che dimezza le ascisse e non tocca le ordinate. Quindi restano dominio $\mathbb{R}$, immagine $(-\infty, 1)$, asintoto $y = 1$ per $x \to +\infty$, zero e intersezione con l’asse $y$ nell’origine; la funzione è crescente.

Il segno si conferma con l’algebra, usando che $e^t$ è crescente:

$$\begin{gathered} 1 - e^{-2x} > 0 \iff e^{-2x} < e^0 \\ {} \iff -2x < 0 \iff x > 0 \end{gathered}$$

Quindi $f$ è negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$.

Il confronto: $f$ vale $1 - e^{-1} \approx 0{,}63$ già in $x = \frac{1}{2}$, mentre $1 - e^{-x}$ ci arriva in $x = 1$, dove $f$ vale $1 - e^{-2} \approx 0{,}86$. Fa tutto nella metà del tempo, come un condensatore con $RC$ dimezzato.

4. Dal grafico di f a quello di e elevato f

Testo. Descrivi il grafico di $g(x) = e^{\frac{1}{x^2 - 1}}$: dominio, simmetrie, comportamento vicino a $\pm 1$ e all’infinito, monotonia e immagine. Dell’esponente $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ sai che è pari, definito per $x \neq \pm 1$, positivo per $|x| > 1$ e negativo tra $-1$ e 1, dove ha il massimo $-1$ in $x = 0$.

Dominio e simmetria. $x \neq \pm 1$; $g$ è pari come l’esponente, e sempre positiva.

Vicino a 1. Da destra $x^2 - 1$ è positivo e piccolissimo: $f(x) \to +\infty$ e $g(x) \to +\infty$, asintoto verticale $x = 1$ solo da destra. Da sinistra è negativo e piccolissimo: $f(x) \to -\infty$ e $g(x) \to 0^+$, verso il punto escluso $(1, 0)$. In $x = -1$ succede lo stesso, a specchio.

All’infinito. $f(x) \to 0$, quindi $g(x) \to 1$: asintoto $y = 1$, raggiunto dall’alto, perché lì $f > 0$ e quindi $g > 1$.

Monotonia. Per $x \geq 0$ la parabola $x^2 - 1$ cresce e, dove non cambia segno, il suo reciproco decresce: $f$, e con lei $g$, decresce su $[0, 1)$ e su $(1, +\infty)$. Per simmetria $g$ cresce su $(-\infty, -1)$ e su $(-1, 0]$. In $x = 0$ c’è un massimo relativo, $g(0) = e^{-1} \approx 0{,}37$.

Immagine. Tra $-1$ e 1, $f$ assume tutti i valori di $(-\infty, -1]$, quindi $g$ quelli di $\left(0, \frac{1}{e}\right]$. Per $|x| > 1$, $f$ assume tutti i valori positivi, quindi $g$ tutti quelli maggiori di 1:

$$I = \left(0, \tfrac{1}{e}\right] \cup (1, +\infty)$$

Il grafico ha tre pezzi: una cupola bassa tra $-1$ e 1 e due rami esterni che scendono da $+\infty$ verso $y = 1$. Controllo: $g(2) = e^{1/3} \approx 1{,}40$.

5. Quante soluzioni? Grafici e numeri

Testo. Quante soluzioni ha l’equazione $2^{-x} = 3 - x^2$? Trova quelle esatte e stima le altre.

I grafici. $2^{-x}$ è decrescente, positivo, e passa per $(0, 1)$ e $(-1, 2)$. $3 - x^2$ è una parabola rivolta verso il basso, con vertice $(0, 3)$ e zeri $\pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73$. Il disegno mostra due intersezioni, una per lato.

Quella esatta. Il punto $(-1, 2)$ sta su entrambi i grafici: $2^{1} = 2$ e $3 - 1 = 2$. Quindi $x = -1$ è una soluzione.

I numeri. Il segno di $h(x) = 2^{-x} - 3 + x^2$ dice dove i grafici si scambiano:

$x$	$h(x)$
$-2$	$+5$
$-1$	$0$
$0$	$-2$
$1$	$-1{,}5$
$1{,}6$	$-0{,}11$
$1{,}7$	$+0{,}20$

La seconda soluzione sta tra 1,6 e 1,7; con la bisezione si trova $x \approx 1{,}64$.

Non ce ne sono altre.

• Per $|x| \geq \sqrt{3}$ la parabola è negativa o nulla, mentre $2^{-x} > 0$.
• Per $x \leq 0$ sia $2^{-x}$ sia $x^2 - 3$ decrescono, quindi $h$ è strettamente decrescente e si annulla una volta sola, in $x = -1$.
• Per $0 \leq x \leq 1$ si ha $2^{-x} \leq 1$ e $x^2 \leq 1$, quindi $h(x) \leq 1 + 1 - 3 = -1$.
• Tra 1 e $\sqrt{3}$ la soluzione è una sola: $h$ è somma di due funzioni che curvano verso l’alto, e una funzione così (strettamente convessa) non si annulla più di due volte: uno dei due zeri è $x = -1$.

Le soluzioni sono due: $x = -1$ e $x \approx 1{,}64$.

6. Da esame: quante soluzioni al variare di k

Testo. Disegna il grafico di $y = |e^x - 2|$ e determina, al variare del parametro reale $k$, il numero di soluzioni dell’equazione $|e^x - 2| = k$.

Il grafico. $e^x - 2$ è $e^x$ abbassato di 2: asintoto $y = -2$ a sinistra, intersezione $(0, -1)$, zero dove $e^x = 2$, tra 0 e 1 perché $e^0 = 1$ ed $e \approx 2{,}72$: con i logaritmi, lo zero si scrive $\ln 2 \approx 0{,}69$. Il valore assoluto ribalta la parte con $x < \ln 2$.

A sinistra la curva vale $2 - e^x$ e si avvicina da sotto all’asintoto $y = 2$; scende fino a 0 in $x = \ln 2$, con un punto angoloso, poi risale senza limiti. Passa per $(0, 1)$ e ha immagine $[0, +\infty)$.

Le soluzioni. Facciamo salire la retta orizzontale $y = k$ e contiamo le intersezioni:

Valori di $k$	Soluzioni
$k < 0$	nessuna
$k = 0$	una: $x = \ln 2$
$0 < k < 2$	due
$k \geq 2$	una

Per $0 < k < 2$ la retta taglia entrambi i rami; per $k \geq 2$ solo quello di destra, perché il ramo di sinistra resta sempre sotto il suo asintoto $y = 2$.

Verifica con l’algebra. Per $k \geq 0$ l’equazione equivale a $e^x - 2 = \pm k$, cioè

$$\begin{gathered} e^x = 2 + k \\ \text{oppure} \quad e^x = 2 - k \end{gathered}$$

La prima ha sempre una soluzione, perché $2 + k > 0$; la seconda solo se $2 - k > 0$, cioè $k < 2$, e per $k = 0$ coincide con la prima. Con $k = 1$, per esempio, $e^x = 3$ oppure $e^x = 1$: $x = \ln 3 \approx 1{,}10$ e $x = 0$. Infatti $|e^0 - 2| = 1$.

Dallo stesso grafico si legge anche che $|e^x - 2| < 1$ per $0 < x < \ln 3$, dove la curva sta sotto la retta $y = 1$.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulla funzione esponenziale.

In sintesi

• Si parte da $a^x$ e si seguono tre segnaposto: i punti $(0, 1)$ e $(1, a)$ e l’asintoto $y = 0$.
• Prima le mosse sulla $x$, poi quelle sulla $y$ nell’ordine dei calcoli; l’intersezione con l’asse $y$ è sempre $f(0)$.
• $A \cdot a^x + k$ ha asintoto $y = k$, immagine $(k, +\infty)$ se $A > 0$ e $(-\infty, k)$ se $A < 0$, e uno zero solo se $-\frac{k}{A} > 0$.
• $a^{x+h} = a^h \cdot a^x$: spostare un esponenziale in orizzontale equivale a moltiplicarlo per una costante positiva.
• $e^{-x}$, $-e^x$ e $-e^{-x}$ sono i simmetrici di $e^x$ rispetto all’asse $y$, all’asse $x$ e all’origine.
• $|2^x - 4|$ ed $e^{|x|}$ hanno un punto angoloso; nel grafico di $|f|$ un asintoto $y = L$ diventa $y = |L|$, dalla stessa parte.
• $e^{f(x)}$ è sempre positiva, ha la monotonia di $f$, e i limiti di $f$ diventano limiti di $e^f$: $-\infty$ diventa $0^+$, $L$ diventa $e^L$.

Dall’esponenziale nascono anche funzioni che somigliano sorprendentemente al seno e al coseno: le funzioni iperboliche.