Esercizi svolti sulle funzioni goniometriche: archi associati, formule e sinusoidi

1. Si moltiplica per $\frac{\pi}{180}$, semplificando prima la frazione:

2. Se l’angolo contiene $\pi$, basta sostituirlo con 180°: $\frac{7\pi}{12} = \frac{7 \cdot 180°}{12} = 105°$. In 2 rad il $\pi$ non c’è, e serve la calcolatrice:

cioè circa $114°\,35'\,30''$: un angolo ottuso. Due radianti non sono due gradi.

3. Le formule del settore valgono con l’angolo in radianti. Prima $40° = \frac{2\pi}{9}$, poi $\ell = r\alpha$:

4. Dall’area del settore, $A = \frac{1}{2}r^2\alpha$, si ricava l’angolo:

L’arco è $\ell = r\alpha = 6 \cdot \frac{5}{6} = 5$ cm.

Verifica. Punto 3: 40° è $\frac{1}{9}$ di giro, e $\frac{1}{9}$ della circonferenza, lunga $12\pi$ cm, è proprio $\frac{4\pi}{3}$ cm. Punto 4: con l’altra formula del settore, $A = \frac{1}{2}r\ell = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ cm².

Per ogni termine: quadrante, angolo di riferimento (quello con l’asse $x$) e segno della funzione in quel quadrante.

Il numeratore vale $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} + \frac{2}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$. Al denominatore il meno davanti a un seno negativo diventa un più: $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$. Quindi, razionalizzando:

Verifica. Con la calcolatrice il denominatore vale circa $0{,}366$ e $\frac{2}{0{,}366} \approx 5{,}46$, come $2\sqrt{3} + 2 \approx 5{,}464$.

Il metodo: prima i segni dal quadrante, poi il quadrato della funzione che manca, infine la radice con il segno giusto.

1. II quadrante: coseno e tangente negativi.

2. Il quadrante non è scritto: si ricava dai segni. La tangente è negativa nel II e nel IV quadrante, il seno è negativo nel III e nel IV: l’unico compatibile è il IV, dove il coseno è positivo. Da $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$:

Verifica. $\frac{4}{25} + \frac{21}{25} = 1$ e $1089 + 3136 = 4225 = 65^2$. Con la calcolatrice: $x = 2\pi - \arctan\frac{33}{56} \approx 5{,}751$ ha $\sin x \approx -0{,}5077 = -\frac{33}{65}$.

I punti di riferimento sono $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, $\pi \approx 3{,}14$ e $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$.

1. 4 sta tra $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$, nel III quadrante: $\sin 4$ è negativo, quindi il più piccolo. Gli altri tre sono positivi. Il grafico del seno è simmetrico rispetto alla retta $x = \frac{\pi}{2}$, perché $\sin(\pi - x) = \sin x$:

Su $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ il seno è strettamente crescente e $0{,}14 < 1 < 1{,}14$, quindi $\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$. L’ordine è

2. Il seno è strettamente crescente su $\left[1, \frac{\pi}{2}\right]$ e strettamente decrescente su $\left[\frac{\pi}{2}, 4\right]$, perché $4 < \frac{3\pi}{2}$. Il massimo è quindi $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, in $x = \frac{\pi}{2}$. Il minimo sta in uno dei due estremi, e dal punto 1 sappiamo che $\sin 4 < \sin 1$: è $\sin 4$, in $x = 4$.

3. La tangente ha periodo $\pi$, quindi $\tan 4 = \tan(4 - \pi)$, con $4 - \pi \approx 0{,}86$. I numeri 0,86 e 1 stanno sullo stesso ramo, $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, dove la tangente è strettamente crescente: $\tan 4 < \tan 1$, anche se $4 > 1$.

Verifica. In radianti $\sin 4 \approx -0{,}757$, $\sin 3 \approx 0{,}141$, $\sin 1 \approx 0{,}841$, $\sin 2 \approx 0{,}909$; $\tan 4 \approx 1{,}158$ e $\tan 1 \approx 1{,}557$.

La regola pratica: con $\pi$ o $2\pi$ la funzione resta la stessa, con $\frac{\pi}{2}$ o $\frac{3\pi}{2}$ si scambia (seno con coseno, tangente con cotangente). Il segno è quello della funzione di partenza nel quadrante in cui cade l’angolo, immaginando $x$ piccolo e positivo.

1.

Esistenza. $\tan(\pi - x)$ esiste per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ e $\tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ per $x \neq k\pi$; dove esistono entrambe, il loro prodotto non è zero. Quindi $E$ esiste per $x \neq \frac{k\pi}{2}$, con $k \in \mathbb{Z}$.

Il calcolo.

per ogni $x \neq \frac{k\pi}{2}$: il valore è costante, ma i punti esclusi restano esclusi.

2. Quando la $x$ viene prima, conviene riscrivere l’angolo. Il coseno è pari, quindi $\cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x$. Aggiungendo un giro, $\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$. Quindi

Verifica. Con $x = \frac{\pi}{6}$: $N = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1$ e $D = \tan\frac{5\pi}{6}\tan\frac{2\pi}{3} = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(-\sqrt{3}\right) = 1$. Con $x = 1$: $F \approx -0{,}540 + 0{,}540 + 0{,}540 = 0{,}540 \approx \cos 1$.

Il metodo: dividi l’angolo per un giro e prendi il più grande intero $k$ minore o uguale al quoziente. Togli $k$ giri e usa i valori notevoli.

Primo. $\frac{29}{6} \approx 4{,}83$, quindi $k = 4$ e si tolgono $8\pi = \frac{24\pi}{3}$:

perché $\frac{5\pi}{3}$ è nel IV quadrante, dove il coseno è positivo, con riferimento $\frac{\pi}{3}$. In $(-\pi, \pi]$: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$.

Secondo. $-\frac{13}{8} = -1{,}625$, e il più grande intero minore o uguale è $-2$, non $-1$. Si aggiungono $4\pi = \frac{16\pi}{4}$:

Terzo. La tangente ha periodo 180°: si aggiungono $7 \cdot 180° = 1260°$ e resta 30°.

Quarto. $1590° = 4 \cdot 360° + 150°$, e 150° è nel II quadrante: $\sin 1590° = \sin 150° = \frac{1}{2}$.

Verifica. Calcolatrice in RAD: $\cos\frac{29\pi}{3} = 0{,}5$ e $\sin\left(-\frac{13\pi}{4}\right) \approx 0{,}707$. In DEG: $\tan(-1230°) \approx 0{,}577$ e $\sin 1590° = 0{,}5$. Anche con i giri interi, $-1230° + 4 \cdot 360° = 210°$, e $\tan 210° = \tan 30°$.

Servono prima seno e coseno di entrambi gli angoli, come nell’esercizio 3. $\alpha$ è nel II quadrante, quindi il coseno è negativo:

$\beta$ è nel IV quadrante, dove il coseno è positivo: $\cos\beta = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$. Ora le formule:

e quindi $\tan(\alpha + \beta) = -\frac{77}{36}$.

Il quadrante. Sommando gli intervalli, $2\pi < \alpha + \beta < 3\pi$: un giro più un angolo del I o del II quadrante. Decide il coseno, negativo: II quadrante, con $\frac{5\pi}{2} < \alpha + \beta < 3\pi$.

Verifica. $77^2 + 36^2 = 5929 + 1296 = 7225 = 85^2$. Con la formula della tangente, e $\tan\beta = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4}$:

Con la calcolatrice $\alpha \approx 151{,}93°$, $\beta \approx 323{,}13°$ e $\alpha + \beta \approx 475{,}06°$: un giro più 115,06°.

1. Nel II quadrante il seno è positivo: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Poi le duplicazioni; per il coseno conviene la versione con il solo coseno:

e $\tan 2\alpha = \frac{-3\sqrt{7}/8}{1/8} = -3\sqrt{7}$. Raddoppiando l’intervallo si ottiene $\pi < 2\alpha < 2\pi$: III o IV quadrante. Seno negativo e coseno positivo: IV quadrante. Il motivo: $-\frac{3}{4}$ è minore di $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}707$, quindi $\alpha$ ha già superato $\frac{3\pi}{4}$ e $2\alpha$ ha superato $\frac{3\pi}{2}$.

2. Dividendo $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ per $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$, che vale 1, e poi sopra e sotto per $\cos^2\alpha$, compare solo la tangente. Lo stesso per il coseno:

Sono le formule parametriche, con $\alpha$ al posto di $\frac{x}{2}$. Seno e coseno negativi: III quadrante. È coerente: $\tan\alpha < -1$ nel IV quadrante significa $\frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4}$, quindi $3\pi < 2\alpha < \frac{7\pi}{2}$, un angolo del III quadrante più un giro.

Verifica. $\frac{63}{64} + \frac{1}{64} = 1$ e $\frac{24}{49} + \frac{25}{49} = 1$. Con la calcolatrice: $\alpha = \arccos(-0{,}75) \approx 2{,}419$, quindi $2\alpha \approx 4{,}838$, tra $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$ e $2\pi$, e $\cos 4{,}838 \approx 0{,}125$.

Prima le condizioni, poi un membro alla volta. Si può trasformare un membro fino all’altro, oppure i due membri separatamente fino alla stessa espressione. Non si lavora sui due membri insieme, come in un’equazione: sarebbe usare l’uguaglianza che si vuole dimostrare.

1. Condizioni. Il primo membro richiede $\sin x \neq 0$ e $\cos x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{k\pi}{2}$; il secondo esiste per ogni $x$.

Primo membro. Con il denominatore comune $\sin x\cos x$, al numeratore compare il seno di una somma, $\sin(3x + x)$. Poi $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ e $\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x$:

Semplificare è lecito: $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ non è zero. L’identità vale per $x \neq \frac{k\pi}{2}$: in $x = \frac{\pi}{2}$, per esempio, il secondo membro vale $4\cos\pi = -4$, ma il primo non esiste.

2. È una differenza di quadrati, valida per ogni $x$:

perché il secondo fattore vale 1.

Verifica. Con le formule di triplicazione, $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 3 - 4\sin^2 x$ e $\frac{\cos 3x}{\cos x} = 4\cos^2 x - 3$: la somma è $4\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right) = 4\cos 2x$. Con $x = \frac{\pi}{6}$ nella seconda: $\frac{1}{16} - \frac{9}{16} = -\frac{1}{2} = -\cos\frac{\pi}{3}$.

1. $\frac{5\pi}{8}$, cioè 112,5°, è metà di $\frac{5\pi}{4}$, dove seno e coseno valgono $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Il segno si sceglie dal quadrante dell’angolo metà: $\frac{5\pi}{8}$ è nel II quadrante, seno positivo e coseno negativo, anche se $\frac{5\pi}{4}$ è nel III.

Per la tangente c’è la formula senza segno da scegliere, $\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$; poi si razionalizza:

cioè circa $0{,}924$, $-0{,}383$ e $-2{,}414$.

2. Gli angoli non sono notevoli, ma le formule di Werner trasformano un prodotto in una somma. Chiamiamo $P$ il prodotto. Prima i due seni, con $\cos(-20°) = \cos 20°$:

Poi si moltiplica per $\sin 80°$, e di nuovo Werner: $\sin 80°\cos 20° = \frac{\sin 100° + \sin 60°}{2}$, con $\sin 100° = \sin 80°$ perché gli angoli sono supplementari. Quindi

Verifica. Punto 1: $\frac{5\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$, e con gli archi associati $\sin\frac{5\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{8} = \cos 22{,}5°$, che è proprio $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$. Punto 2: in DEG, $0{,}3420 \cdot 0{,}6428 \cdot 0{,}9848 \approx 0{,}2165$, come $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

1. Nessuno dei due vale $\frac{7\pi}{6}$: l’arcoseno restituisce angoli in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, l’arcocoseno in $[0, \pi]$, e $\frac{7\pi}{6}$ non sta in nessuno dei due. Prima si calcola la funzione, poi l’inversa:

perché $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ e $\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Due risultati diversi per lo stesso angolo di partenza.

2. Sia $\alpha = \arctan 2$: è l’angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$ con tangente 2, positivo perché 2 è positivo. Lì il coseno è positivo, e da $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

3. Tre condizioni:

• l’arcocoseno richiede $-1 \leq \frac{x - 1}{2} \leq 1$, cioè $-1 \leq x \leq 3$;
• l’arcoseno richiede $-1 \leq x \leq 1$;
• la radice richiede $\arcsin x \geq 0$, cioè $0 \leq x \leq 1$, perché l’arcoseno è strettamente crescente e $\arcsin 0 = 0$.

Intersecando, il dominio è $[0, 1]$.

Verifica. Punto 1: $-\frac{\pi}{6}$ e $\frac{7\pi}{6}$ sono simmetrici rispetto all’asse $y$ (stesso seno), $\frac{5\pi}{6}$ e $\frac{7\pi}{6}$ rispetto all’asse $x$ (stesso coseno). Punto 2: $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$. Punto 3: $f(1) = \frac{\pi}{2} + \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 2{,}82$ esiste, mentre per $x = -\frac{1}{2}$ si ha $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, e la radice non esiste.

1. La cabina gira con velocità angolare costante $\omega = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ rad al minuto: dopo $t$ minuti ha percorso l’angolo $\frac{\pi t}{6}$ a partire dal punto più basso. Rispetto al centro, la sua quota è $-25\cos\frac{\pi t}{6}$: vale $-25$ in basso, 0 a metà salita, $+25$ in cima. Quindi, con $-\cos u = \sin\left(u - \frac{\pi}{2}\right)$:

Ampiezza 25 m, periodo 12 minuti, linea media 27 m (la quota del centro), fase iniziale $-\frac{\pi}{2}$. L’altezza va da 2 m a 52 m. È la proiezione verticale di un moto circolare uniforme.

2. Sei in cima quando $\cos\frac{\pi t}{6} = -1$, cioè $\frac{\pi t}{6} = \pi + 2k\pi$: per $t = 6 + 12k$, a 52 m. Stai sopra il centro quando $\cos\frac{\pi t}{6} < 0$, cioè quando l’argomento è tra $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$: per $3 < t < 9$, metà del giro, 6 minuti. Dopo 2 minuti:

La velocità è $v = \omega r$, con $\omega$ in radianti al secondo: un giro in 720 s, quindi $v = \frac{2\pi \cdot 25}{720} \approx 0{,}218$ m/s, circa 0,79 km/h.

3. Q ha 4 minuti di ritardo, cioè un angolo di ritardo $4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$. Con $u = \frac{\pi t}{6}$:

Nella differenza i 27 si cancellano. Con la formula di sottrazione, $\cos\left(u - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\cos u + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin u$:

Ora l’angolo aggiunto, con $a = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ e $b = -\frac{75}{2}$:

quindi $\varphi = -\frac{\pi}{3}$, nel IV quadrante, e

La distanza verticale è $|d(t)|$, massima quando il seno vale $\pm 1$: $25\sqrt{3} \approx 43{,}3$ m. Con l’argomento uguale a $\frac{\pi}{2}$ si ha $t = 5$ minuti: P è a $27 + \frac{25\sqrt{3}}{2} \approx 48{,}65$ m e Q a circa 5,35 m. Con $\frac{3\pi}{2}$ si ha $t = 11$, con Q sopra P: la distanza massima torna ogni 6 minuti.

Verifica. La distanza verticale tra due cabine è al massimo la corda che le unisce, e la raggiunge quando la corda è verticale. Con il teorema della corda, la corda di un terzo di giro, cioè di 120°, è lunga $2 \cdot 25 \cdot \sin 60° = 25\sqrt{3}$. Inoltre $d(2) = 0$: dopo 2 minuti anche Q è a $27 - 25\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 14{,}5$ m.