Derivata della funzione inversa e derivate successive: teorema, formule ed esercizi

Sai già derivare somme, prodotti, quozienti e funzioni composte con le regole di derivazione. Restano due strumenti che userai in tutto il corso. La derivata della funzione inversa serve per arcoseno, arcocoseno e arcotangente, che tornano negli integrali e negli studi di funzione. Le derivate successive danno la derivata seconda, che decide concavità e flessi, e le derivate di ordine $n$, su cui è costruita la formula di Taylor. In questa pagina vediamo il teorema della derivata dell’inversa con la dimostrazione e il significato geometrico, le derivate di logaritmo, radice e funzioni goniometriche inverse, la derivata dell’inversa in un punto, le derivate successive e le classi $C^n$, le derivate $n$-esime da sapere, la formula di Leibniz, il significato della derivata seconda, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: le pendenze diventano reciproche

Il grafico della funzione inversa $f^{-1}$ è il simmetrico di quello di $f$ rispetto alla bisettrice $y = x$. La simmetria scambia le coordinate, $(a, b)$ diventa $(b, a)$, e quindi scambia gli spostamenti: un passo di $\Delta x$ in orizzontale e $\Delta y$ in verticale sul grafico di $f$ diventa un passo di $\Delta y$ in orizzontale e $\Delta x$ in verticale. La pendenza $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ diventa $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{m}$.

Lo stesso vale per le tangenti, che sono limiti di secanti. Prendi $e^x$ e la sua inversa $\ln x$. Nel punto $(1, e)$ la tangente all’esponenziale ha pendenza $e^1 = e$; nel punto simmetrico $(e, 1)$ la tangente al logaritmo ha pendenza $\frac{1}{e}$, il reciproco.

Una pendenza ripida diventa dolce, e viceversa. Una tangente orizzontale, con pendenza 0, diventa invece verticale: il reciproco di zero non esiste, e questo caso andrà escluso.

Il teorema della derivata della funzione inversa

Attento ai punti: l’inversa si deriva in $y_0$, mentre $f$ si deriva in $x_0 = f^{-1}(y_0)$. Sono le due coordinate dello stesso punto del grafico. La stretta monotonia garantisce che l’inversa esista, la continuità su un intervallo che sia continua; $f'(x_0) \neq 0$ esclude la tangente orizzontale.

Se $f$ è derivabile in tutto $I$ con $f' \neq 0$ ovunque, il teorema vale in ogni punto e si scrive tutto in funzione di $y$:

$$\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}$$

Con la notazione di Leibniz, dove $y = f(x)$ e $x = f^{-1}(y)$, la formula è facile da ricordare:

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\;\dfrac{dy}{dx}\;}$$

Sembra una regola delle frazioni, ma è un teorema, con le sue ipotesi.

Dimostrazione

Chiamiamo $g = f^{-1}$. Per il teorema sulla continuità della funzione inversa, $g$ è continua sull’intervallo $f(I)$. Prendiamo un incremento $k \neq 0$ con $y_0 + k \in f(I)$ e poniamo $h = g(y_0 + k) - g(y_0)$. Allora:

1. $h \neq 0$, perché $g$ è iniettiva e $y_0 + k \neq y_0$;
2. $g(y_0 + k) = x_0 + h$, quindi $f(x_0 + h) = y_0 + k$, cioè $k = f(x_0 + h) - f(x_0)$;
3. se $k \to 0$ allora $h \to 0$, perché $g$ è continua in $y_0$.

Il rapporto incrementale di $g$ diventa il reciproco di quello di $f$:

$$\begin{gathered} \frac{g(y_0 + k) - g(y_0)}{k} = \frac{h}{f(x_0 + h) - f(x_0)} \\ {} = \frac{1}{\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}} \end{gathered}$$

Quando $k \to 0$, anche $h \to 0$ restando diverso da zero, e il denominatore tende a $f'(x_0)$. Poiché $f'(x_0) \neq 0$, il rapporto tende a $\frac{1}{f'(x_0)}$.

Un modo per ricordarla. Se sai già che $g$ è derivabile, la formula si ritrova con la regola della catena: derivando l’identità $f\big(g(y)\big) = y$ si ottiene $f'\big(g(y)\big) \cdot g'(y) = 1$. Il conto mostra anche che $f'(x_0) \neq 0$ è necessaria: se fosse zero, il primo membro varrebbe 0. Non è però una dimostrazione, perché dà per scontato che $g$ sia derivabile.

Perché serve ogni ipotesi

La derivata non nulla. $f(x) = x^3$ è strettamente crescente e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, ma $f'(0) = 0$. La sua inversa è $\sqrt[3]{y}$, e in 0 il suo rapporto incrementale è

$$\frac{\sqrt[3]{k}}{k} = \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} \to +\infty$$

La tangente orizzontale di $x^3$ nell’origine è diventata la tangente verticale di $\sqrt[3]{x}$, un flesso a tangente verticale. L’inversa esiste ed è continua: manca solo la derivabilità.

Intervallo e monotonia. Rendono $g$ iniettiva e continua, i passi 1 e 3 della dimostrazione. Se il dominio di $f$ ha un buco, l’inversa può avere un salto: un esempio è nell’articolo sulla continuità dell’inversa.

Come si usa: la scaletta

1. Scrivi $y = f(x)$ e controlla su quale intervallo $f$ è continua e strettamente monotona.
2. Calcola $f'(x)$ e trova dove si annulla: nei punti corrispondenti l’inversa non è derivabile.
3. Scrivi $\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)}$.
4. Esprimi $f'(x)$ in funzione di $y$, usando $f(x) = y$ (spesso serve un’identità, come $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).
5. Se vuoi la derivata come funzione di $x$, rinomina la variabile: scrivi $x$ al posto di $y$.

Logaritmo e radice quadrata

Il logaritmo. $f(x) = e^x$ è continua e strettamente crescente su $\mathbb{R}$, con $f'(x) = e^x > 0$. L’inversa è $\ln y$, definita per $y > 0$. Con $y = e^x$:

$$(\ln y)' = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y}$$

Rinominando la variabile, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$: lo stesso risultato che si ottiene con la definizione e i limiti notevoli, per un’altra strada.

La radice quadrata. $x^2$ non è invertibile su $\mathbb{R}$, ma lo è su $[0, +\infty)$, dove è continua e strettamente crescente; l’inversa è $\sqrt{y}$. Con $y = x^2$ e $x \geq 0$ si ha $x = \sqrt{y}$, quindi

$$\begin{gathered} (\sqrt{y})' = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{y}} \\ (y > 0) \end{gathered}$$

In $y = 0$ la formula non vale, perché $f'(0) = 0$: il rapporto incrementale $\frac{\sqrt{k}}{k} = \frac{1}{\sqrt{k}}$ tende a $+\infty$ per $k \to 0^+$, e la tangente è verticale.

Le derivate delle funzioni goniometriche inverse

Le funzioni goniometriche inverse nascono restringendo seno, coseno, tangente e cotangente a un intervallo dove sono strettamente monotone: è il caso ideale per il teorema.

Arcoseno

Il seno, ristretto a $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, è continuo e strettamente crescente, con immagine $[-1, 1]$; la sua inversa è l’arcoseno. La derivata del seno, $\cos x$, si annulla agli estremi $x = \pm\frac{\pi}{2}$, cioè per $y = \pm 1$. Per $-1 < y < 1$, con $y = \sin x$, il teorema dà

$$(\arcsin y)' = \frac{1}{\cos x}$$

Da $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ si ha $\cos x = \pm\sqrt{1 - y^2}$. Quale segno? Qui $x$ sta in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, dove il coseno è positivo: va preso il $+$, cioè $\cos(\arcsin y) = \sqrt{1 - y^2}$. Rinominando la variabile:

L’arcoseno è definito su $[-1, 1]$, ma è derivabile solo su $(-1, 1)$. Negli estremi il seno ha tangente orizzontale e l’arcoseno tangente verticale: il rapporto incrementale tende a $+\infty$ in $1$ (da sinistra) e in $-1$ (da destra). Lo vedi nella figura, con le tangenti in arancione.

Arcocoseno

Il coseno, ristretto a $[0, \pi]$, è strettamente decrescente con immagine $[-1, 1]$, e la sua derivata $-\sin x$ si annulla in $0$ e in $\pi$, cioè per $y = \pm 1$. Per $-1 < y < 1$, con $y = \cos x$:

$$(\arccos y)' = \frac{1}{-\sin x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$$

perché per $x \in (0, \pi)$ il seno è positivo: $\sin x = +\sqrt{1 - \cos^2 x}$. Il segno meno c’è perché l’arcocoseno è decrescente. Le derivate di arcoseno e arcocoseno sono opposte perché $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ per ogni $x \in [-1, 1]$, e una costante ha derivata zero.

Arcotangente

La tangente, ristretta a $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, è strettamente crescente con immagine $\mathbb{R}$, e la sua derivata $1 + \tan^2 x$ non si annulla mai: vale sempre almeno 1. Con $y = \tan x$:

$$(\arctan y)' = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2}$$

Nessun problema di segno e nessun punto escluso: $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ per ogni $x$ reale. La ritroverai negli integrali.

Arcocotangente

La cotangente, ristretta a $(0, \pi)$, è strettamente decrescente con immagine $\mathbb{R}$ e derivata $-\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$, mai nulla. L’arcocotangente va quindi da $\mathbb{R}$ a $(0, \pi)$. Con $y = \cot x$:

$$(\operatorname{arccot} y)' = -\frac{1}{1 + \cot^2 x} = -\frac{1}{1 + y^2}$$

È l’opposta della derivata dell’arcotangente perché, con questa convenzione, $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ per ogni $x$.

Funzione	Derivata	Dove vale
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$-1 < x < 1$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$-1 < x < 1$
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	ogni $x$
$\operatorname{arccot} x$	$-\frac{1}{1 + x^2}$	ogni $x$

Insieme alla regola della catena, per esempio:

$$\begin{gathered} \big(\arctan 2x\big)' = \frac{2}{1 + 4x^2} \\ \big(\arcsin x^2\big)' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} \end{gathered}$$

dove la seconda vale per $-1 < x < 1$, cioè dove $x^2 < 1$.

La derivata dell’inversa in un punto

Il teorema ha un grande vantaggio: per calcolare $\left(f^{-1}\right)'(y_0)$ non serve conoscere l’inversa. Basta trovare $x_0$ tale che $f(x_0) = y_0$.

Esempio. Sia $f(x) = x^3 + x + 1$; vogliamo $\left(f^{-1}\right)'(3)$, senza risolvere un’equazione di terzo grado.

1. $f$ è continua e $f'(x) = 3x^2 + 1 \geq 1 > 0$, quindi è strettamente crescente su $\mathbb{R}$ e invertibile.
2. Cerchiamo $x_0$ con $f(x_0) = 3$: si vede a occhio che $f(1) = 1 + 1 + 1 = 3$, quindi $x_0 = 1$.
3. $f'(1) = 4 \neq 0$, e quindi

$$\left(f^{-1}\right)'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$$

Controllo numerico: risolvendo $f(x) = 3{,}04$ al computer si trova $f^{-1}(3{,}04) \approx 1{,}00993$, e il rapporto incrementale vale $\frac{1{,}00993 - 1}{0{,}04} \approx 0{,}248$, già vicino a $0{,}25$. La retta tangente al grafico di $f^{-1}$ nel punto $(3, 1)$ è $y = 1 + \frac{1}{4}(x - 3)$.

Le derivate successive

Definizione e notazioni

La derivata $f'$ è a sua volta una funzione, e possiamo provare a derivarla con la stessa definizione di derivata.

Gli apici sono la notazione resa popolare da Lagrange, le $d$ vengono da Leibniz, il punto da Newton.

Esempio. Per $f(x) = x^3 - 2x$:

$$\begin{gathered} f'(x) = 3x^2 - 2 \\ f''(x) = 6x \\ f'''(x) = 6 \\ f^{(4)}(x) = 0 \end{gathered}$$

A ogni derivata il grado scende di 1, finché resta una costante e poi zero.

Le classi C¹, C² e C∞

Le classi $C^n$ dicono quanto è «liscia» una funzione. Su un intervallo $I$:

• $C^0(I)$ sono le funzioni continue su $I$;
• $C^1(I)$ sono le funzioni derivabili con derivata $f'$ continua;
• $C^n(I)$ sono le funzioni derivabili $n$ volte con $f^{(n)}$ continua;
• $C^\infty(I)$ sono le funzioni derivabili infinite volte.

Ogni classe è contenuta nella precedente: se $f$ è derivabile $n$ volte, le derivate fino a $f^{(n-1)}$ sono derivabili, quindi continue. Polinomi, $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$ sono di classe $C^\infty$ su $\mathbb{R}$; $\ln x$ lo è su $(0, +\infty)$.

Derivabile una volta, ma non due. Prendi $f(x) = x\lvert x \rvert$, cioè $x^2$ per $x \geq 0$ e $-x^2$ per $x < 0$. La derivata è $2x$ a destra e $-2x$ a sinistra; in 0 il rapporto incrementale $\frac{h\lvert h \rvert}{h} = \lvert h \rvert$ tende a 0. Quindi $f'(x) = 2\lvert x \rvert$ ovunque, continua: $f$ è di classe $C^1$. Ma $2\lvert x \rvert$ ha un punto angoloso in 0, con rapporto incrementale $\frac{2\lvert h \rvert}{h}$ uguale a $2$ a destra e $-2$ a sinistra: $f''(0)$ non esiste. Il grafico sembra liscio, ma in 0 passa di colpo da concavo ($f'' = -2$) a convesso ($f'' = 2$).

Derivabile, ma non di classe C¹. $f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}$, con $f(0) = 0$, ha $f'(0) = 0$, perché il rapporto incrementale $h \sin\frac{1}{h}$ è, in valore assoluto, al più $\lvert h \rvert$. Ma per $x \neq 0$ si ha $f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$, e vicino a 0 il termine $-\cos\frac{1}{x}$ assume infinite volte i valori $1$ e $-1$: $f'$ non ha limite in 0.

Le derivate n-esime da sapere

Per trovare una derivata $n$-esima:

1. calcola le prime tre o quattro derivate, senza semplificare troppo, per vedere la struttura;
2. indovina la formula generale;
3. dimostrala per induzione: verifica che vale per $n = 1$, poi mostra che, se vale per $n$, derivando ancora vale per $n + 1$. Come una fila di tessere del domino: la prima cade e ognuna fa cadere la successiva.

Esponenziale

Per $e^{ax}$ ogni derivata fa uscire un fattore $a$, per la regola della catena:

$$\left(e^{ax}\right)^{(n)} = a^n e^{ax}$$

Perché è vero. Per $n = 1$ è la regola della catena. Se vale per $n$, derivando $a^n e^{ax}$ si ottiene $a^n \cdot a\,e^{ax} = a^{n+1}e^{ax}$, la formula per $n + 1$. Con $a = 1$ tutte le derivate di $e^x$ sono $e^x$; con $a = 2$ la derivata quarta di $e^{2x}$ è $16\,e^{2x}$.

Seno e coseno

Le derivate del seno si ripetono ogni quattro:

$$\begin{gathered} \sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \\ {} \to \sin x \to \dots \end{gathered}$$

Per scriverle con una sola formula osserva che derivare il seno equivale a spostarlo di $\frac{\pi}{2}$, perché $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Quindi

$$\begin{gathered} (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + n\tfrac{\pi}{2}\right) \\ (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + n\tfrac{\pi}{2}\right) \end{gathered}$$

Perché è vero. Se la formula vale per $n$, derivando ancora si ottiene

$$\begin{gathered} \cos\left(x + n\tfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + n\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2}\right) \\ {} = \sin\left(x + (n + 1)\tfrac{\pi}{2}\right) \end{gathered}$$

Per il coseno si usa allo stesso modo $-\sin\alpha = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$. Per esempio $(\sin x)^{(102)} = \sin(x + 51\pi) = -\sin x$: conta solo il resto della divisione per 4, e $102 = 4 \cdot 25 + 2$.

Potenze e polinomi

Per $x^k$, con $k$ naturale, ogni derivata porta davanti l’esponente e lo abbassa di 1:

$$\begin{gathered} (x^k)' = k\,x^{k-1} \\ (x^k)'' = k(k - 1)\,x^{k-2} \\ (x^k)^{(n)} = k(k - 1)\cdots(k - n + 1)\,x^{k-n} \end{gathered}$$

per $n \leq k$. Il prodotto ha $n$ fattori e si scrive anche $\frac{k!}{(k - n)!}$. Perché è vero. Se la formula vale per un $n < k$, derivando si ottiene

$$\begin{gathered} \frac{k!}{(k - n)!}\,(k - n)\,x^{k-n-1} \\ {} = \frac{k!}{(k - n - 1)!}\,x^{k-n-1} \end{gathered}$$

cioè la formula per $n + 1$. Per $n = k$ resta la costante $k!$, e da lì in poi tutte le derivate sono zero. Per $x^5$: $5x^4$, $20x^3$, $60x^2$, $120x$, $120$, poi $0$. Di conseguenza un polinomio di grado $k$ ha la derivata $(k + 1)$-esima identicamente nulla.

Reciproco e logaritmo

Per $\frac{1}{x} = x^{-1}$, con $x \neq 0$, l’esponente è negativo e non arriva mai a zero:

$$\begin{gathered} f'(x) = -\frac{1}{x^2}, \quad f''(x) = \frac{2}{x^3} \\ f'''(x) = -\frac{6}{x^4}, \quad f^{(4)}(x) = \frac{24}{x^5} \end{gathered}$$

I segni si alternano, al numeratore compaiono i fattoriali $1, 2, 6, 24$ e l’esponente del denominatore è $n + 1$:

$$\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n\,n!}{x^{n+1}}$$

Perché è vero. Scritta la formula come $(-1)^n\,n!\,x^{-(n+1)}$, la sua derivata è

$$\begin{gathered} (-1)^n\,n!\,\big(-(n + 1)\big)\,x^{-(n+2)} \\ {} = \frac{(-1)^{n+1}\,(n + 1)!}{x^{n+2}} \end{gathered}$$

cioè la formula per $n + 1$. Per $\ln x$, con $x > 0$, la derivata prima è $\frac{1}{x}$ e si prosegue con la formula precedente, con un ordine in meno. Per $n \geq 1$:

$$(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}\,(n - 1)!}{x^n}$$

Per esempio $(\ln x)''' = \frac{2}{x^3}$.

Argomento lineare. Se l’argomento è $ax + b$, per la regola della catena ogni derivata fa uscire un fattore $a$: la derivata $n$-esima di $f(ax + b)$ è $a^n f^{(n)}(ax + b)$. Per esempio

$$\left(\frac{1}{2x + 1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n\,n!\,2^n}{(2x + 1)^{n+1}}$$

La tabella da ricordare

Funzione	Derivata n-esima
$e^{ax}$	$a^n e^{ax}$
$\sin x$	$\sin\left(x + n\frac{\pi}{2}\right)$
$\cos x$	$\cos\left(x + n\frac{\pi}{2}\right)$
$x^k$, con $n \leq k$	$\frac{k!}{(k - n)!}\,x^{k-n}$
$\frac{1}{x}$	$\frac{(-1)^n\,n!}{x^{n+1}}$
$\ln x$, con $n \geq 1$	$\frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{x^n}$

La formula di Leibniz

Per la derivata seconda di un prodotto basta applicare due volte la regola del prodotto:

$$\begin{gathered} (fg)' = f'g + fg' \\ (fg)'' = f''g + 2f'g' + fg'' \end{gathered}$$

I coefficienti $1, 2, 1$ sono quelli di $(a + b)^2$, e in generale si ritrovano quelli del binomio di Newton.

Si dimostra per induzione, come il binomio di Newton; qui la saltiamo. È comoda quando un fattore è un polinomio, perché le sue derivate si annullano presto.

Esempio. Per $x\,e^x$, con $f = x$ e $g = e^x$: $f' = 1$, le derivate successive di $f$ sono zero e tutte quelle di $g$ valgono $e^x$. Restano i termini con $k = 0$ e $k = 1$:

$$\begin{gathered} (x\,e^x)^{(n)} = x\,e^x + n \cdot 1 \cdot e^x \\ {} = (x + n)\,e^x \end{gathered}$$

Cosa significa la derivata seconda

La derivata prima dice quanto è ripido il grafico; la seconda dice come cambia la pendenza.

In Fisica: l’accelerazione

Se $s(t)$ è la posizione di un oggetto lungo una retta, $s'(t)$ è la velocità e $s''(t)$ è l’accelerazione, cioè quanto in fretta cambia la velocità. Nel moto uniformemente accelerato, con $s(t) = 5t^2$ (metri e secondi), la velocità è $10t$ e l’accelerazione è costante, $10\ \text{m/s}^2$. Un esempio più ricco è $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ per $0 \leq t \leq 4$; derivando:

$$\begin{gathered} v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) \\ a(t) = 6t - 12 \end{gathered}$$

Nella figura i tre grafici sono uno sotto l’altro. La velocità si annulla in $t = 1$ e $t = 3$: l’oggetto si ferma e torna indietro, e la posizione ha un massimo e un minimo relativi. L’accelerazione si annulla in $t = 2$, dove la velocità è minima, $v(2) = -3$. Prima di $t = 2$ l’accelerazione è negativa e il grafico di $s$ è curvato verso il basso; dopo è positiva e il grafico è curvato verso l’alto.

Il moto armonico. Se un oggetto oscilla con posizione $x(t) = A\cos(\omega t)$, dove $\omega$ («omega») è la pulsazione, allora

$$\begin{gathered} x'(t) = -A\omega\sin(\omega t) \\ x''(t) = -A\omega^2\cos(\omega t) = -\omega^2\,x(t) \end{gathered}$$

L’accelerazione è proporzionale alla posizione, con segno opposto: è l’equazione del moto armonico.

Sul grafico: concavità e curvatura

Se $f'' > 0$ su un intervallo, la pendenza $f'$ cresce: andando verso destra le tangenti ruotano in senso antiorario e il grafico è convesso, curvato verso l’alto. Se $f'' < 0$ la pendenza diminuisce e il grafico è concavo. I punti in cui la concavità cambia sono i flessi: li studiamo in concavità, convessità e flessi.

Il valore di $f''$ dice anche quanto il grafico è curvo: $x^2$, con $f'' = 2$, si piega più di $\frac{x^2}{10}$, con $f'' = \frac{1}{5}$. È un’idea approssimata, buona dove la tangente è quasi orizzontale: la curvatura vera è $\frac{\lvert f'' \rvert}{\left(1 + f'^2\right)^{3/2}}$.

Verso Taylor

$f(x_0)$ dà l’altezza, $f'(x_0)$ la pendenza, $f''(x_0)$ la curvatura, e così via. La formula di Taylor mette insieme queste informazioni in un polinomio, in cui il coefficiente di $(x - x_0)^n$ è

$$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$

Per $e^x$ in $x_0 = 0$ tutte le derivate valgono 1, e si ottiene $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$. Le derivate $n$-esime sono gli ingredienti di Taylor.

Gli errori più comuni

• Confondere $f^{-1}$ con $\frac{1}{f}$. L’inversa scambia $x$ e $y$; il reciproco è un’altra funzione.
• Calcolare $f'$ nel punto sbagliato. $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$ con $x_0 = f^{-1}(y_0)$, non $\frac{1}{f'(y_0)}$. Con $f(x) = x^3 + x + 1$ la risposta è $\frac{1}{4}$, non $\frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{28}$.
• Dimenticare la condizione $f'(x_0) \neq 0$. Dove $f$ ha tangente orizzontale l’inversa non è derivabile: $\sqrt{x}$ in 0, arcoseno e arcocoseno in $\pm 1$.
• Sbagliare il segno della radice. $\cos(\arcsin x) = +\sqrt{1 - x^2}$, perché l’arcoseno sta in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, dove il coseno non è negativo.
• Scrivere $f^4$ per la derivata quarta. $f^4$ è la potenza; la derivata quarta è $f^{(4)}$.
• Derivare un prodotto due volte «fattore per fattore». $(fg)''$ non è $f''g''$, ma $f''g + 2f'g' + fg''$.
• Sbagliare segni e fattoriali nelle derivate $n$-esime. In $\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)}$ ci sono $(-1)^n$ e $n!$; nel logaritmo tutto è spostato di uno. Controlla la formula con $n = 1$ e $n = 2$.
• Credere che una funzione «liscia a vista» sia derivabile due volte. $x\lvert x \rvert$ ha derivata prima continua, ma non derivata seconda in 0.

Esercizi svolti

1. Arcoseno con la regola della catena

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \arcsin(2x)$, calcola $f'(x)$ e di’ in quali punti del dominio $f$ non è derivabile.

L’arcoseno accetta argomenti tra $-1$ e $1$:

$$-1 \leq 2x \leq 1 \iff -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$$

Il dominio è $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$. Dove l’argomento sta strettamente tra $-1$ e $1$, cioè per $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$, la regola della catena dà

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$

Per esempio $f'(0) = 2$. Negli estremi $x = \pm\frac{1}{2}$ l’argomento vale $\pm 1$: il rapporto incrementale di $f$ è il doppio di un rapporto incrementale dell’arcoseno in $\pm 1$ (con incremento $2h$), che tende a $+\infty$. Quindi $f$ è derivabile su $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ e ha tangente verticale nei due estremi.

2. La derivata dell’inversa in un punto

Testo. Sia $f(x) = x + e^x$. Mostra che $f$ è invertibile su $\mathbb{R}$, calcola $\left(f^{-1}\right)'(1)$ e scrivi l’equazione della retta tangente al grafico di $f^{-1}$ nel punto di ascissa 1.

$f$ è continua e $f'(x) = 1 + e^x > 0$: è strettamente crescente, quindi invertibile. L’inversa non si scrive con le funzioni che conosci, ma non serve. Cerchiamo $x_0$ con $f(x_0) = 1$: $f(0) = 0 + e^0 = 1$, quindi $x_0 = 0$ e $f^{-1}(1) = 0$. Poiché $f'(0) = 1 + 1 = 2 \neq 0$:

$$\left(f^{-1}\right)'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}$$

La tangente al grafico di $f^{-1}$ passa per $(1, 0)$ con pendenza $\frac{1}{2}$:

$$y = \frac{1}{2}(x - 1)$$

Un controllo numerico conferma: $\frac{f^{-1}(1{,}001) - 0}{0{,}001} \approx 0{,}4999$.

3. La derivata n-esima di una funzione razionale

Testo. Calcola la derivata $n$-esima di $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ e usala per trovare $f^{(10)}(0)$.

Derivare direttamente sarebbe un incubo: scomponiamo in fratti semplici, cercando $A$ e $B$ con

$$\frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$

cioè $1 = A(x + 1) + B(x - 1)$. Con $x = 1$ si trova $A = \frac{1}{2}$, con $x = -1$ si trova $B = -\frac{1}{2}$. Quindi

$$f(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$

Per ogni termine vale la formula del reciproco con argomento lineare ($a = 1$): la derivata $n$-esima di $\frac{1}{x - c}$ è $\frac{(-1)^n\,n!}{(x - c)^{n+1}}$. Quindi, per $x \neq \pm 1$:

$$\begin{gathered} f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n\,n!}{2} \cdot {} \\ \left[\frac{1}{(x - 1)^{n+1}} - \frac{1}{(x + 1)^{n+1}}\right] \end{gathered}$$

Con $n = 10$ il fattore $(-1)^{10}$ vale 1 e, in $x = 0$, $(0 - 1)^{11} = -1$ e $(0 + 1)^{11} = 1$:

$$\begin{gathered} f^{(10)}(0) = \frac{10!}{2} \cdot \left(\frac{1}{-1} - \frac{1}{1}\right) \\ {} = -10! = -3\,628\,800 \end{gathered}$$

Controllo con $n = 1$: la formula dà $f'(2) = -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{9}\right) = -\frac{4}{9}$, come $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$ calcolata direttamente. Per $n$ dispari, invece, $f^{(n)}(0) = 0$: la funzione è pari.

4. Leibniz con un polinomio

Testo. Calcola la derivata $n$-esima di $f(x) = x^2 e^{-x}$ e il valore $f^{(20)}(0)$.

Le derivate di $x^2$ sono $2x$, $2$ e poi zero; quelle di $e^{-x}$ sono $(-1)^m e^{-x}$ (esponenziale con $a = -1$). Nella formula di Leibniz restano solo i termini con $k = 0, 1, 2$:

$$\begin{gathered} f^{(n)}(x) = \binom{n}{0}\,x^2 \cdot (-1)^n e^{-x} \\ {} + \binom{n}{1}\,2x \cdot (-1)^{n-1} e^{-x} \\ {} + \binom{n}{2}\,2 \cdot (-1)^{n-2} e^{-x} \end{gathered}$$

Ora semplifichiamo: $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{2} \cdot 2 = n(n - 1)$, $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ e $(-1)^{n-2} = (-1)^n$. Raccogliendo $(-1)^n e^{-x}$:

$$\begin{gathered} f^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x} \cdot {} \\ \left[x^2 - 2nx + n(n - 1)\right] \end{gathered}$$

Controllo con $n = 1$: la formula dà $-e^{-x}(x^2 - 2x) = (2x - x^2)\,e^{-x}$, proprio la derivata di $x^2 e^{-x}$ col prodotto. In $x = 0$ resta $f^{(n)}(0) = (-1)^n\,n(n - 1)$, quindi

$$f^{(20)}(0) = 20 \cdot 19 = 380$$

5. Raccordare due funzioni fino alla derivata seconda

Testo. Trova $a$, $b$, $c$ reali in modo che la funzione

$$f(x) = \begin{cases} e^x & x \leq 0 \\ ax^2 + bx + c & x > 0 \end{cases}$$

sia derivabile due volte in $x = 0$. La funzione così ottenuta è derivabile tre volte in 0?

Continuità. Derivabile implica continua: il limite da destra, $c$, deve valere $f(0) = 1$.

Derivata prima. Il rapporto incrementale da sinistra è $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$; da destra, con $c = 1$, è $\frac{ah^2 + bh}{h} = ah + b \to b$. Serve $b = 1$, e allora $f'(0) = 1$. Ora $f'(x) = e^x$ per $x \leq 0$ e $f'(x) = 2ax + 1$ per $x > 0$.

Derivata seconda. Ripetiamo con $f'$: da sinistra $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$, da destra $\frac{(2ah + 1) - 1}{h} = 2a$. Serve $2a = 1$, cioè $a = \frac{1}{2}$. Il risultato è

$$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} \quad \text{per } x > 0$$

il polinomio di Taylor di ordine 2 di $e^x$: abbiamo imposto lo stesso valore e le stesse derivate prima e seconda in 0.

Derivata terza. Ora $f''(x) = e^x$ per $x \leq 0$ e $f''(x) = 1$ per $x > 0$: è continua, quindi $f$ è di classe $C^2$. Ma il rapporto incrementale di $f''$ tende a 1 da sinistra, $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$, e vale $\frac{1 - 1}{h} = 0$ da destra: $f$ non è derivabile tre volte in 0.

6. La derivata seconda dell’inversa

Testo. Sia $f(x) = x^3 + 3x$. Dimostra che $f$ è invertibile su $\mathbb{R}$, poi calcola $\left(f^{-1}\right)'(4)$ e $\left(f^{-1}\right)''(4)$.

$f$ è continua e $f'(x) = 3x^2 + 3 \geq 3 > 0$: è strettamente crescente, e poiché tende a $\pm\infty$ per $x \to \pm\infty$ la sua immagine è $\mathbb{R}$. Chiamiamo $g = f^{-1}$. Dato che $f'$ non si annulla mai, $g$ è derivabile in ogni $y$, con

$$g'(y) = \frac{1}{f'\big(g(y)\big)}$$

Cerchiamo $x_0$ con $f(x_0) = 4$: $f(1) = 1 + 3 = 4$, quindi $g(4) = 1$ e

$$g'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{6}$$

Per la derivata seconda deriviamo $g'(y) = \frac{1}{u(y)}$, con $u(y) = f'\big(g(y)\big)$. Si ha $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$ e, per la regola della catena, $u'(y) = f''\big(g(y)\big)\,g'(y)$. Sostituendo $g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}$:

$$\begin{gathered} g''(y) = -\frac{f''\big(g(y)\big)\,g'(y)}{\big[f'\big(g(y)\big)\big]^2} \\ {} = -\frac{f''\big(g(y)\big)}{\big[f'\big(g(y)\big)\big]^3} \end{gathered}$$

Con $f''(x) = 6x$, in $y = 4$ (quindi $x = 1$):

$$g''(4) = -\frac{f''(1)}{f'(1)^3} = -\frac{6}{216} = -\frac{1}{36}$$

Il segno ha un significato: $f$ in 1 è convessa ($f'' > 0$) e la sua inversa in 4 è concava ($g'' < 0$). Per le funzioni crescenti, la simmetria rispetto alla bisettrice scambia convessità e concavità.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle derivate.

In sintesi

• Se $f$ è continua e strettamente monotona su un intervallo e derivabile in $x_0$ con $f'(x_0) \neq 0$, allora $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$, con $y_0 = f(x_0)$.
• Le pendenze diventano reciproche; dove $f'(x_0) = 0$ l’inversa ha tangente verticale.
• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ e $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ per $-1 < x < 1$; $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ e $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.
• Per $\left(f^{-1}\right)'(y_0)$ basta trovare $x_0$ con $f(x_0) = y_0$.
• $f^{(n)}$ è la derivata di $f^{(n-1)}$; $C^n$ sono le funzioni con derivata $n$-esima continua.
• $\left(e^{ax}\right)^{(n)} = a^n e^{ax}$, $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + n\frac{\pi}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n\,n!}{x^{n+1}}$.
• Formula di Leibniz: $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$.
• La derivata seconda è l’accelerazione, decide la concavità e, con le altre derivate, dà i coefficienti $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ di Taylor.

Abbiamo sempre dato per scontato che la derivata esista. Ma non è sempre così: lo vediamo in derivabilità e continuità.