Equazioni esponenziali con sostituzione e raccoglimento: metodo ed esercizi svolti

Le equazioni esponenziali con sostituzione e quelle con il raccoglimento sono le equazioni con l’incognita all’esponente in cui compaiono più termini, come $3^{x+2} - 3^x = 72$ oppure $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Qui non si possono «togliere le basi»: il metodo delle equazioni esponenziali elementari funziona solo con una potenza per membro. Servono due idee: raccogliere una potenza comune, oppure porre $t = a^x$ e trasformare l’equazione in un’equazione algebrica. Sono gli esercizi più frequenti nel precorso e negli scritti di Analisi 1, e tornano nelle disequazioni, nei domini e nello studio di funzione. In questa pagina vediamo il raccoglimento e come scegliere la potenza da raccogliere, la sostituzione $t = a^x$ con la sua scaletta e il perché della condizione $t > 0$, le equazioni con $a^x$ e $a^{-x}$, le equazioni omogenee, quelle con un parametro, una tabella per riconoscere il metodo giusto, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il raccoglimento

Perché funziona

Prendi $3^{x+2} - 3^x = 72$. A sinistra ci sono due potenze diverse, ma sono «parenti». Per le proprietà delle potenze, un esponente somma si spezza in un prodotto:

$$a^{x+k} = a^k \cdot a^x$$

e questo vale per ogni base $a > 0$ e per ogni $x$ e $k$ reali. Quindi $3^{x+2} = 9 \cdot 3^x$: i due termini sono multipli dello stesso $3^x$, che si raccoglie come si raccoglie una lettera in algebra.

$$\begin{gathered} 9 \cdot 3^x - 3^x = 72 \\ {} \iff 8 \cdot 3^x = 72 \\ {} \iff 3^x = 9 = 3^2 \\ {} \iff x = 2 \end{gathered}$$

Verifica: $3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72$. Nell’ultimo passaggio abbiamo usato la regola di base: due potenze della stessa base, positiva e diversa da 1, sono uguali solo se hanno lo stesso esponente.

Nota una cosa: chiamando $t = 3^x$, l’equazione diventa $9t - t = 72$, di primo grado in $t$. Il raccoglimento è già una piccola sostituzione, il caso più semplice di quello che vedremo tra poco.

Quale potenza raccogliere

Il raccoglimento funziona quando tutti gli esponenti hanno la stessa parte con la $x$ e differiscono solo per una costante, come $x + 2$, $x$ e $x - 1$.

Regola pratica. Si raccoglie la potenza con l’esponente più piccolo. Così ogni altro termine diventa quella potenza moltiplicata per $a^k$ con $k$ positivo, e nella parentesi restano numeri interi. Raccogliere un’altra potenza non è sbagliato, porta solo a delle frazioni: è una scelta di comodità, non una regola matematica.

Con esponenti come $x$ e $2x$, invece, il raccoglimento non basta: dentro la parentesi resterebbe una $x$ all’esponente. Lì serve la sostituzione.

Tre esempi svolti

Esempio 1: un esponente con il meno. $2^{x+2} + 2^x - 2^{x-1} = 36$.

L’esponente più piccolo è $x - 1$. Ogni termine si scrive come $2^{x-1}$ per una potenza di 2: $2^{x+2} = 2^3 \cdot 2^{x-1}$, perché $(x + 2) - (x - 1) = 3$, e $2^x = 2 \cdot 2^{x-1}$.

$$\begin{gathered} 2^{x-1}\left(2^3 + 2 - 1\right) = 36 \\ {} \iff 9 \cdot 2^{x-1} = 36 \\ {} \iff 2^{x-1} = 4 = 2^2 \\ {} \iff x - 1 = 2 \iff x = 3 \end{gathered}$$

Verifica: $2^5 + 2^3 - 2^2 = 32 + 8 - 4 = 36$. Se avessi raccolto $2^x$, nella parentesi avresti trovato $4 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$: stesso risultato, $2^x = 8$, ma con una frazione in più da gestire.

Esempio 2: con le frazioni. $5^{x+1} + 5^{x-1} = \frac{26}{25}$.

Si raccoglie $5^{x-1}$, e $5^{x+1} = 5^2 \cdot 5^{x-1}$:

$$\begin{gathered} 5^{x-1}\left(25 + 1\right) = \frac{26}{25} \\ {} \iff 5^{x-1} = \frac{1}{25} = 5^{-2} \\ {} \iff x - 1 = -2 \iff x = -1 \end{gathered}$$

Le frazioni non devono spaventare: $\frac{1}{25}$ è una potenza di 5 con esponente negativo, come visto con le potenze con esponente negativo. Verifica: $5^0 + 5^{-2} = 1 + \frac{1}{25} = \frac{26}{25}$.

Esempio 3: due basi, una per membro. $2^{x+1} + 2^x = 3^x + 3^{x-1}$.

Le basi 2 e 3 non si possono rendere uguali, ma ogni membro ha una base sola. Si raccoglie separatamente: a sinistra $2^x$, a destra $3^{x-1}$.

$$\begin{gathered} 2^x\,(2 + 1) = 3^{x-1}\,(3 + 1) \\ {} \iff 3 \cdot 2^x = 4 \cdot 3^{x-1} \end{gathered}$$

Ora si scrive $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$ e si divide per $3 \cdot 3^x$, che è positivo. Siccome $\frac{2^x}{3^x} = \left(\frac{2}{3}\right)^x$:

$$\begin{gathered} 3 \cdot 2^x = \frac{4}{3} \cdot 3^x \\ {} \iff \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ {} \iff x = 2 \end{gathered}$$

Verifica: $2^3 + 2^2 = 12$ e $3^2 + 3^1 = 12$. Se il numero finale non fosse stato una potenza di $\frac{2}{3}$, sarebbe servito un logaritmo.

La trappola: sommare gli esponenti

La sostituzione t = aˣ

L’idea

Guarda $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Raccogliere non basta: scrivendo $4^x = 2^{2x}$ gli esponenti diventano $2x$ e $x$, che non differiscono per una costante. Però $2^{2x} = \left(2^x\right)^2$: l’equazione contiene $2^x$ e il suo quadrato. È un’equazione di secondo grado travestita. Ponendo $t = 2^x$ diventa $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Il lavoro vero sta nel riconoscere i termini. Con $t = 2^x$:

Termine	Diventa	Perché
$4^x$	$t^2$	$\left(2^2\right)^x = \left(2^x\right)^2$
$8^x$	$t^3$	$\left(2^3\right)^x = \left(2^x\right)^3$
$2^{x+3}$	$8t$	$2^3 \cdot 2^x$
$2^{2x+1}$	$2t^2$	$2 \cdot \left(2^x\right)^2$
$4^{x+1}$	$4t^2$	$4 \cdot 4^x$
$2^{-x}$	$\frac{1}{t}$	$\frac{1}{2^x}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$\frac{1}{t}$	$\left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}$

Allo stesso modo, con $t = 3^x$ si ha $9^x = t^2$ e $27^x = t^3$; con $t = 5^x$ si ha $25^x = t^2$. L’obiettivo: tutti i termini devono diventare espressioni in $t$, senza nessuna $x$ rimasta.

Perché si scartano i valori t ≤ 0

Una volta risolta l’equazione in $t$, bisogna tornare alla $x$. Il punto chiave è questo.

Teorema. Sia $a > 0$ con $a \neq 1$. Per ogni numero $t > 0$ esiste uno e un solo $x$ reale con $a^x = t$. Per $t \leq 0$ non ne esiste nessuno.

Perché è vero. Una potenza con base positiva è sempre positiva, quindi i valori $t \leq 0$ non si raggiungono mai. La funzione esponenziale è strettamente monotona, quindi a valori diversi di $x$ corrispondono valori diversi di $t$: c’è al massimo una soluzione. Infine ogni $t > 0$ viene raggiunto, perché l’immagine di $a^x$ è tutto l’intervallo $(0, +\infty)$; questa parte si dimostra con la continuità, e la ritroviamo nella pagina sui logaritmi.

Conseguenza. Se un’equazione si scrive come $P(a^x) = 0$, con $P$ un polinomio, le sue soluzioni sono tante quante le soluzioni positive di $P(t) = 0$: ognuna di queste dà una e una sola $x$, le altre non danno niente.

Il grafico lo fa vedere. Ogni retta orizzontale $t = c$ con $c > 0$ taglia la curva $t = 2^x$ in un solo punto; quelle con $c \leq 0$ non la toccano mai. Le due rette disegnate sono le soluzioni in $t$ dell’esempio 5 qui sotto.

La scaletta

1. Riscrivi tutti i termini come potenze della stessa base $a$, con esponenti del tipo $x + k$, $2x + k$, $-x + k$. Per esempio $4^x = 2^{2x}$.
2. Sostituisci $t = a^x$, scrivendo accanto la condizione $t > 0$. Usa la tabella: deve sparire ogni $x$.
3. Risolvi l’equazione in $t$: di secondo grado con la formula o con la scomposizione, di grado più alto con Ruffini. Se ci sono termini come $\frac{1}{t}$, moltiplica per $t$, che non è zero.
4. Scarta le soluzioni $t \leq 0$: non corrispondono a nessuna $x$, perché $t = a^x$ è sempre positivo.
5. Torna alla $x$: risolvi $a^x = t$ per ogni $t$ positivo rimasto. Se $t$ è una potenza della base, $x$ è il suo esponente. Altrimenti la soluzione esiste comunque ed è unica, e si scrive con il logaritmo.
6. Verifica sostituendo nell’equazione di partenza.

Esempi svolti

Esempio 4: due soluzioni. $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Con $t = 2^x$, $t > 0$:

$$\begin{gathered} t^2 - 5t + 4 = 0 \\ (t - 1)(t - 4) = 0 \\ t = 1 \ \text{ oppure } \ t = 4 \end{gathered}$$

Entrambe positive, quindi entrambe buone: $2^x = 1 = 2^0$ dà $x = 0$, e $2^x = 4 = 2^2$ dà $x = 2$. Verifica per $x = 2$: $16 - 20 + 4 = 0$. Con il segno di minore al posto dell’uguale, questa è la disequazione da cui partono le disequazioni esponenziali con sostituzione.

Esempio 5: una radice da scartare. $4^x - 2^x - 2 = 0$.

Con $t = 2^x$, $t > 0$:

$$\begin{gathered} t^2 - t - 2 = 0 \\ (t - 2)(t + 1) = 0 \\ t = 2 \ \text{ oppure } \ t = -1 \end{gathered}$$

La radice $t = -1$ si scarta: nessun $x$ dà $2^x = -1$. Resta $2^x = 2$, cioè $x = 1$. Verifica: $4 - 2 - 2 = 0$. L’equazione in $t$ ha due soluzioni, quella in $x$ una sola: è esattamente la situazione della figura.

Esempio 6: nessuna soluzione. $4^x + 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.

Con $t = 2^x$ si ottiene $t^2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2) = 0$, con soluzioni $t = -1$ e $t = -2$: entrambe da scartare, e l’equazione è impossibile. Si poteva vedere anche subito: il primo membro è una somma di tre numeri positivi, e non può fare zero.

Esempio 7: una radice doppia. $4^x - 2^{x+3} + 16 = 0$.

Qui $2^{x+3} = 8 \cdot 2^x = 8t$:

$$\begin{gathered} t^2 - 8t + 16 = 0 \\ (t - 4)^2 = 0 \\ t = 4 \end{gathered}$$

Il discriminante è zero, e la radice è una sola, contata due volte. Una radice doppia in $t$ dà comunque una sola $x$: $2^x = 4$, cioè $x = 2$. Infatti il primo membro è il quadrato $\left(2^x - 4\right)^2$: non è mai negativo e si annulla solo in $x = 2$.

Quando l’esponente è 2x + 1

Se compare $a^{2x+1}$ lo si spezza con le proprietà delle potenze: $a^{2x+1} = a \cdot a^{2x} = a\,t^2$. Allo stesso modo $a^{2x-1} = \frac{t^2}{a}$.

Esempio 8. $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Con $t = 2^x$ diventa $2t^2 - 9t + 4 = 0$. Il discriminante è $\Delta = 81 - 32 = 49$:

$$\begin{gathered} t = \frac{9 \pm 7}{4} \\ t = 4 \ \text{ oppure } \ t = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Entrambe positive: $2^x = 4$ dà $x = 2$, e $2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ dà $x = -1$. Verifica di $x = -1$: $2^{-1} - 9 \cdot 2^{-1} + 4 = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 4 = 0$.

Una cubica in t

Esempio 9. $8^x - 7 \cdot 2^x + 6 = 0$.

Siccome $8^x = \left(2^x\right)^3$, con $t = 2^x$ si ottiene un’equazione di terzo grado:

$$t^3 - 7t + 6 = 0$$

Le radici intere vanno cercate tra i divisori del termine noto: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$. Con $t = 1$ funziona, perché $1 - 7 + 6 = 0$. Dividendo con Ruffini per $t - 1$:

$$\begin{gathered} (t - 1)\left(t^2 + t - 6\right) = 0 \\ (t - 1)(t - 2)(t + 3) = 0 \end{gathered}$$

Si scarta $t = -3$. Restano $2^x = 1$ e $2^x = 2$, cioè $x = 0$ e $x = 1$. Verifica per $x = 1$: $8 - 14 + 6 = 0$.

Equazioni con aˣ e a⁻ˣ

Quando compaiono $a^x$ e $a^{-x}$, o esponenti come $1 - x$, si usa $a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \frac{1}{t}$. Si ottiene un’equazione con $t$ al denominatore, e si moltiplica tutto per $t$. È un passaggio equivalente: $t = a^x$ è positivo, quindi non è mai zero e non si aggiungono soluzioni.

Esempio 10. $3^x + 3^{1-x} = 4$.

Si spezza $3^{1-x} = 3 \cdot 3^{-x} = \frac{3}{3^x}$. Con $t = 3^x$:

$$\begin{gathered} t + \frac{3}{t} = 4 \\ {} \iff t^2 - 4t + 3 = 0 \\ {} \iff t = 1 \ \text{ oppure } \ t = 3 \end{gathered}$$

Quindi $x = 0$ oppure $x = 1$. Verifica: per $x = 0$ si ha $1 + 3 = 4$, per $x = 1$ si ha $3 + 1 = 4$. I due termini si scambiano i ruoli: il primo membro non cambia se si sostituisce $x$ con $1 - x$, e per questo le soluzioni sono simmetriche rispetto a $x = \frac{1}{2}$.

Esempio 11: un’equazione impossibile. $5^x + 5^{-x} = 1$.

Con $t = 5^x$, moltiplicando per $t$ si arriva a $t^2 - t + 1 = 0$, con $\Delta = 1 - 4 = -3$. Nessuna soluzione reale in $t$, quindi nessuna in $x$. Il motivo profondo è una disuguaglianza: per ogni $t > 0$

$$\begin{gathered} t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^2}{t} \geq 0 \\ \text{cioè} \quad t + \frac{1}{t} \geq 2 \end{gathered}$$

con l’uguale solo per $t = 1$. Quindi $5^x + 5^{-x}$ vale sempre almeno 2, esattamente 2 solo in $x = 0$, e non può valere 1. Con la base $e$ questa somma è il doppio del coseno iperbolico, $e^x + e^{-x} = 2\cosh x$: è per questo che nelle funzioni iperboliche si trova $\cosh x \geq 1$.

Le equazioni omogenee

Un’equazione come $3 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0$ ha tre basi diverse, ma non scelte a caso: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Con $u = 2^x$ e $v = 3^x$ i tre termini sono $u^2$, $uv$, $v^2$: tutti «di secondo grado» in $u$ e $v$, come in un polinomio omogeneo.

Definizione. Si chiama equazione esponenziale omogenea un’equazione della forma

$$\alpha\,a^{2x} + \beta\,(ab)^x + \gamma\,b^{2x} = 0$$

con $a, b > 0$ diversi tra loro e $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (alfa, beta, gamma) numeri reali.

Il metodo è lo stesso delle equazioni omogenee in seno e coseno. Si divide tutto per $b^{2x}$, che è sempre positivo, quindi non si perdono soluzioni. Siccome $\frac{a^{2x}}{b^{2x}} = \left(\left(\frac{a}{b}\right)^x\right)^2$ e $\frac{(ab)^x}{b^{2x}} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, si pone $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, con $t > 0$:

$$\alpha\,t^2 + \beta\,t + \gamma = 0$$

La nuova base $\frac{a}{b}$ è positiva e diversa da 1, quindi il teorema sulla sostituzione vale anche qui, pure se $\frac{a}{b}$ è minore di 1.

Esempio 12. $3 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0$.

Dividendo per $9^x$:

$$\begin{gathered} 3\left(\frac{4}{9}\right)^x - 5\left(\frac{6}{9}\right)^x + 2 = 0 \\ 3t^2 - 5t + 2 = 0 \end{gathered}$$

con $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Con la formula, $\Delta = 25 - 24 = 1$ e $t = \frac{5 \pm 1}{6}$, cioè $t = 1$ oppure $t = \frac{2}{3}$. Entrambe positive:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \iff x = 0 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \iff x = 1 \end{gathered}$$

Verifica per $x = 1$: $12 - 30 + 18 = 0$. C’è anche una strada senza divisione: con $u = 2^x$ e $v = 3^x$ il primo membro si scompone come $(u - v)(3u - 2v)$. Quindi $2^x = 3^x$, che dà $x = 0$, oppure $3 \cdot 2^x = 2 \cdot 3^x$, cioè $2^{x-1} = 3^{x-1}$, che dà $x = 1$: stesso esponente con basi diverse, e l’uguaglianza vale solo se l’esponente è zero.

Equazioni con un parametro

Agli esami capita spesso una domanda come questa: per quali valori del parametro reale $k$ l’equazione

$$4^x - 10 \cdot 2^x + k = 0$$

ha soluzioni, e quante? Con $t = 2^x$ diventa $t^2 - 10t + k = 0$. Per il teorema sulla sostituzione, il numero di soluzioni in $x$ è il numero di soluzioni positive in $t$. Si contano in tre passi.

1. Discriminante. $\Delta = 100 - 4k$. Se $k > 25$ è negativo: nessuna radice reale, nessuna soluzione. Se $k = 25$ c’è la radice doppia $t = 5$, positiva: una soluzione.
2. Somma e prodotto. Per $k < 25$ le radici $t_1$ e $t_2$ sono due e distinte, con $t_1 + t_2 = 10$ e $t_1 \cdot t_2 = k$. Se $0 < k < 25$ il prodotto è positivo, quindi le radici hanno lo stesso segno, e la somma positiva dice che sono entrambe positive: due soluzioni. Se $k < 0$ il prodotto è negativo, quindi una radice è positiva e l’altra negativa: una soluzione.
3. Il caso di confine. Per $k = 0$ le radici sono $t = 0$, da scartare, e $t = 10$: una soluzione.

Riassumendo: l’equazione ha soluzioni se e solo se $k \leq 25$; ne ha due per $0 < k < 25$, una per $k = 25$ e per $k \leq 0$.

Per i segni c’è anche una scorciatoia, la regola dei segni di Cartesio, enunciata senza dimostrazione nella Géométrie del 1637 e completata più tardi da altri matematici: le radici positive di un polinomio, contate con la loro molteplicità, sono tante quanti i cambi di segno nella successione dei coefficienti, oppure di meno, con una differenza pari. In $t^2 - 10t + k$ i segni sono $+, -, +$ per $k > 0$, con due cambi (due radici positive o nessuna), e $+, -, -$ per $k < 0$, con un cambio (esattamente una).

Lo stesso conteggio si vede con un grafico. Si isola il parametro, $k = 10t - t^2$, e si disegna la parabola solo per $t > 0$. Le soluzioni corrispondono ai punti in cui la retta orizzontale all’altezza $k$ taglia l’arco con $t > 0$.

Il vertice è in $t = 5$, dove la parabola vale 25: sopra non c’è nessuna intersezione. Per $0 < k < 25$ la retta taglia l’arco due volte. Per $k \leq 0$ lo taglia una volta sola, perché l’altra intersezione, se c’è, cade in $t \leq 0$. L’origine è un pallino vuoto: $t = 0$ non è ammesso.

Un valore concreto: per $k = 16$ si ha $t^2 - 10t + 16 = (t - 2)(t - 8) = 0$, quindi $2^x = 2$ oppure $2^x = 8$, cioè $x = 1$ oppure $x = 3$. Per $k = 25$, invece, si arriva a $2^x = 5$: la soluzione esiste ed è unica, ma 5 non è una potenza intera di 2, quindi si scrive con il logaritmo. È il caso delle sostituzioni con soluzioni «brutte».

Come riconoscere il metodo giusto

Prima di fare conti, guarda basi ed esponenti. La tabella riassume i casi della pagina:

Se vedi…	Metodo	Esempio
una potenza per membro	stessa base	$4^x = 8$
esponenti $x + k$, stessa base	raccoglimento	$3^{x+2}$, $3^x$
$a^{2x}$ e $a^x$	$t = a^x$	$4^x$, $2^x$
$a^x$ e $a^{-x}$	$t = a^x$, moltiplica per $t$	$3^x$, $3^{1-x}$
basi $a^2$, $ab$, $b^2$	dividi per $b^{2x}$	$4^x$, $6^x$, $9^x$
$x$ anche fuori	grafico	$2^x = -x$

E questa è la scaletta per decidere, da seguire nell’ordine:

1. Una sola potenza per membro? Riporta alla stessa base e uguaglia gli esponenti.
2. Somme con la stessa base ed esponenti che differiscono per una costante? Raccogli la potenza con l’esponente più piccolo.
3. Compaiono $a^{2x}$, $a^{3x}$ o $a^{-x}$, anche nascosti come $4^x$ o $2^{2x+1}$? Poni $t = a^x$, con $t > 0$.
4. Tre basi del tipo $a^2$, $ab$, $b^2$? Dividi per $b^{2x}$ e poni $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$.
5. Alla fine $t$ è positivo ma non è una potenza della base? La soluzione esiste ed è unica: si scrive con il logaritmo.
6. La $x$ compare anche fuori dall’esponente? L’algebra non basta: si passa alla risoluzione grafica.

La stessa idea della sostituzione torna nelle equazioni logaritmiche con sostituzione, con $t = \ln x$. Lì però $t$ può essere qualsiasi numero reale, perché il logaritmo assume tutti i valori.

Gli errori più comuni

• Dimenticare la condizione $t > 0$. Accettare $t = -1$ vuol dire trattare come risolubile l’equazione $2^x = -1$, che non ha soluzioni.
• Sommare gli esponenti di una somma. $3^{x+1} + 3^x$ è $4 \cdot 3^x$, non $3^{2x+1}$: gli esponenti si sommano solo nei prodotti.
• «Togliere le basi» quando ci sono più termini. Da $3^{x+2} - 3^x = 72$ non si passa a un’equazione tra gli esponenti: prima si raccoglie.
• Fermarsi alla $t$. La soluzione è la $x$: trovato $t = 4$, bisogna ancora risolvere $2^x = 4$.
• Sbagliare la riscrittura dei termini. $2^{2x+1}$ è $2t^2$, non $(2t)^2 = 4t^2$; e $2^{x+3}$ è $8t$, non $t + 3$.
• Contare due soluzioni per una radice doppia. $(t - 4)^2 = 0$ dà una sola $t$, quindi una sola $x$.
• Moltiplicare o dividere per qualcosa che può annullarsi. Con $t = a^x$ o $b^{2x}$ si può fare, perché sono sempre positivi. Con un fattore come $2^x - 1$, che vale zero in $x = 0$, no.
• Scegliere male la base nell’omogenea. Dividendo per $9^x$ in un’equazione con $4^x$, $6^x$, $9^x$ si pone $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, non $t = 6^x$.

Esercizi svolti

1. Raccogliere dopo aver riscritto le basi

Testo. Risolvi $8^x - 2^{3x-2} = 48$.

Prima la stessa base: $8^x = \left(2^3\right)^x = 2^{3x}$. Gli esponenti $3x$ e $3x - 2$ differiscono di una costante, quindi si raccoglie la potenza con l’esponente più piccolo, $2^{3x-2}$, usando $2^{3x} = 4 \cdot 2^{3x-2}$:

$$\begin{gathered} 2^{3x} - 2^{3x-2} = 48 \\ 2^{3x-2}\,(4 - 1) = 48 \\ 2^{3x-2} = 16 = 2^4 \\ 3x - 2 = 4 \iff x = 2 \end{gathered}$$

Verifica: $8^2 - 2^4 = 64 - 16 = 48$. La soluzione è $x = 2$.

2. Una radice da scartare

Testo. Risolvi $4^{x+1} + 2^{x+2} - 3 = 0$.

Con $t = 2^x$, $t > 0$, si ha $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4t^2$ e $2^{x+2} = 4t$. Il discriminante è $\Delta = 16 + 48 = 64$:

$$\begin{gathered} 4t^2 + 4t - 3 = 0 \\ t = \frac{-4 \pm 8}{8} \end{gathered}$$

Quindi $t = \frac{1}{2}$ oppure $t = -\frac{3}{2}$. La seconda si scarta, perché è negativa. Resta $2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, cioè $x = -1$. Verifica: $4^0 + 2^1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. L’unica soluzione è $x = -1$: un $t$ positivo ma minore di 1 corrisponde a una $x$ negativa.

3. L’esponente 2x − 1

Testo. Risolvi $5^{2x-1} - 6 \cdot 5^x + 25 = 0$.

Con $t = 5^x$, $t > 0$: $5^{2x-1} = \frac{5^{2x}}{5} = \frac{t^2}{5}$. Si moltiplica tutto per 5 per togliere la frazione:

$$\begin{gathered} \frac{t^2}{5} - 6t + 25 = 0 \\ t^2 - 30t + 125 = 0 \\ (t - 5)(t - 25) = 0 \end{gathered}$$

Entrambe positive: $5^x = 5$ dà $x = 1$, e $5^x = 25 = 5^2$ dà $x = 2$. Verifica per $x = 2$: $5^3 - 6 \cdot 25 + 25 = 125 - 150 + 25 = 0$. Le soluzioni sono $x = 1$ e $x = 2$.

4. Con a alla x e a alla meno x

Testo. Risolvi $2^{x+1} + 2^{3-x} = 17$.

Si spezzano gli esponenti: con $t = 2^x > 0$ si ha $2^{x+1} = 2t$ e $2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{t}$. Si moltiplica per $t$, che non è zero. Il discriminante è $\Delta = 289 - 64 = 225 = 15^2$:

$$\begin{gathered} 2t + \frac{8}{t} = 17 \\ 2t^2 - 17t + 8 = 0 \\ t = \frac{17 \pm 15}{4} \end{gathered}$$

Quindi $t = 8$ oppure $t = \frac{1}{2}$: $2^x = 8$ dà $x = 3$, e $2^x = 2^{-1}$ dà $x = -1$. Verifica: per $x = 3$ si ha $16 + 1 = 17$, per $x = -1$ si ha $1 + 16 = 17$. Le due soluzioni sono simmetriche rispetto a $x = 1$: scambiando $x$ con $2 - x$ i due termini si scambiano tra loro.

5. Un’equazione omogenea

Testo. Risolvi $10 \cdot 25^x + 10 \cdot 4^x = 29 \cdot 10^x$.

Le basi sono $25 = 5^2$, $10 = 5 \cdot 2$ e $4 = 2^2$: è omogenea. Si porta tutto a sinistra, si divide per $4^x > 0$ e si pone $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$, con $t > 0$. Siccome $\frac{25^x}{4^x} = t^2$ e $\frac{10^x}{4^x} = \left(\frac{5}{2}\right)^x = t$, con $\Delta = 841 - 400 = 441 = 21^2$:

$$\begin{gathered} 10t^2 - 29t + 10 = 0 \\ t = \frac{29 \pm 21}{20} \end{gathered}$$

Quindi $t = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$, che dà $x = 1$, oppure $t = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$, che dà $x = -1$. Verifica per $x = 1$: $250 + 40 = 290 = 29 \cdot 10$. Le soluzioni sono opposte, e non per caso: il coefficiente di $t^2$ e il termine noto sono uguali, quindi se $t$ è una radice lo è anche $\frac{1}{t}$.

6. Una cubica in t

Testo. Risolvi $2^{3x} + 7 \cdot 2^{x+1} = 7 \cdot 4^x + 8$.

Con $t = 2^x$, $t > 0$: $2^{3x} = t^3$, $2^{x+1} = 2t$ e $4^x = t^2$. Portando tutto a sinistra:

$$t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0$$

La somma dei coefficienti è $1 - 7 + 14 - 8 = 0$, quindi $t = 1$ è una radice. Con Ruffini:

$$\begin{gathered} (t - 1)\left(t^2 - 6t + 8\right) = 0 \\ (t - 1)(t - 2)(t - 4) = 0 \end{gathered}$$

Tre radici, tutte positive: $2^x = 1$, $2^x = 2$, $2^x = 4$, cioè $x = 0$, $x = 1$ e $x = 2$. Verifica per $x = 2$: $64 + 7 \cdot 8 = 120$ e $7 \cdot 16 + 8 = 120$. Un’equazione esponenziale può avere anche tre soluzioni: tante quante le radici positive del polinomio in $t$.

Altri esercizi, anche con i logaritmi e con i parametri, li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni esponenziali.

In sintesi

• Raccoglimento: con esponenti che differiscono per una costante si usa $a^{x+k} = a^k \cdot a^x$ e si raccoglie la potenza con l’esponente più piccolo.
• Sostituzione: se compaiono $a^{2x}$, $a^{3x}$ o $a^{-x}$ si pone $t = a^x$; per esempio $4^x = t^2$, $2^{2x+1} = 2t^2$, $2^{-x} = \frac{1}{t}$ con $t = 2^x$.
• Per $a > 0$, $a \neq 1$, ogni $t > 0$ corrisponde a una sola $x$ e ogni $t \leq 0$ a nessuna: le radici $t \leq 0$ si scartano sempre.
• Con $a^{-x}$ si moltiplica per $t$, che non è mai zero; $a^x + a^{-x} \geq 2$.
• Omogenee $\alpha\,a^{2x} + \beta\,(ab)^x + \gamma\,b^{2x} = 0$: si divide per $b^{2x}$ e si pone $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$.
• Con un parametro, le soluzioni in $x$ sono tante quante le radici positive in $t$: discriminante, somma e prodotto, oppure il grafico del parametro in funzione di $t$.
• Se $t > 0$ non è una potenza della base, la soluzione esiste ed è unica e si scrive con il logaritmo.

Non sempre le soluzioni in $t$ sono potenze «belle» della base: con $2^x = 5$ servono i logaritmi. Lo vediamo nel prossimo articolo, equazioni esponenziali con i logaritmi.