Equazioni omogenee in seno e coseno: metodo, casi particolari ed esercizi svolti

Le equazioni omogenee in seno e coseno sono quelle in cui ogni termine ha lo stesso grado in $\sin x$ e $\cos x$, come $\sqrt{3}\sin^2 x - 2\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos^2 x = 0$. Hanno un metodo tutto loro, rapido: si divide per $\cos^2 x$ e resta un’equazione nella sola tangente. In Analisi 1 le trovi negli esercizi sulle equazioni goniometriche, con lo stesso metodo nelle disequazioni e, più avanti, quando cerchi gli zeri di una funzione nello studio di funzione goniometrica. In questa pagina vediamo cosa vuol dire «omogenea», perché dividendo per $\cos^2 x$ compare la tangente, quando la divisione è lecita e quando fa perdere soluzioni, il discriminante e il numero di soluzioni, i casi con un termine mancante e la cotangente, il trucco per il termine noto, la scaletta, le omogenee di primo e di terzo grado, il metodo alternativo con l’angolo doppio, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cosa vuol dire «omogenea»

Il grado di un termine è la somma degli esponenti di $\sin x$ e di $\cos x$. Per esempio $\sin^2 x$ ha grado 2, $\sin x\cos x$ ha grado $1 + 1 = 2$, $\sin^2 x\cos x$ ha grado 3, e un numero da solo ha grado 0.

Definizione. Un’equazione è omogenea di grado $n$ in seno e coseno se si può scrivere nella forma $P = 0$, dove $P$ è una somma di termini in $\sin x$ e $\cos x$ che hanno tutti grado $n$. Il caso più frequente è quello di secondo grado:

$$a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$$

con $a$, $b$, $c$ numeri reali non tutti nulli. Qualche esempio, e qualche controesempio:

Equazione	È omogenea?
${2\sin x - 3\cos x = 0}$	sì, di grado 1
${\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0}$	sì, di grado 2
${\sin^2 x\cos x = \cos^3 x}$	sì, di grado 3
${\sin^2 x + \cos x = 0}$	no: gradi 2 e 1
${\sin x\cos x = 1}$	non ancora: 1 ha grado 0
${\sin 2x = \cos^2 x}$	sì, perché $\sin 2x = 2\sin x\cos x$

L’equazione $\sin^2 x + \cos x = 0$ si risolve in un altro modo: con la relazione fondamentale diventa un’equazione di secondo grado nel coseno, come nelle equazioni goniometriche di secondo grado. Le ultime due righe, invece, diventano omogenee con due trucchi che vediamo più avanti.

Da dove viene il nome? Se moltiplichi seno e coseno per uno stesso numero $\lambda \neq 0$, ogni termine di grado $n$ si moltiplica per $\lambda^n$, e l’equazione resta vera o falsa come prima. Quindi conta solo il rapporto tra seno e coseno, cioè la tangente: è l’idea di tutto il metodo.

L’idea: dividere per cos² x

Prendi l’equazione $\sqrt{3}\sin^2 x - 2\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos^2 x = 0$ e supponi $\cos x \neq 0$. Dividendo ogni termine per $\cos^2 x$, ciascuno diventa una potenza della tangente, perché $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$:

$$\begin{gathered} \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \\ \frac{\sin x\cos x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \\ \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 1 \end{gathered}$$

Funziona proprio perché i gradi sono uguali: ogni termine ha due fattori tra seni e coseni, e dopo la divisione ogni seno si ritrova con un coseno sotto. In generale $\frac{\sin^j x\cos^{n-j} x}{\cos^n x} = \tan^j x$. Con un termine di grado diverso non succede: $\frac{\cos x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}$ non si esprime con la sola tangente.

L’equazione diventa

$$\sqrt{3}\tan^2 x - 2\tan x - \sqrt{3} = 0$$

Con $t = \tan x$ è un’equazione di secondo grado, $\sqrt{3}\,t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$, con $\Delta = 4 + 12 = 16$:

$$\begin{gathered} t = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}} \\ t_1 = \sqrt{3}, \quad t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Si torna alla $x$ con le equazioni goniometriche elementari della tangente, che ha periodo $\pi$:

$$\begin{gathered} \tan x = \sqrt{3} \iff x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ \tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \iff x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \end{gathered}$$

Resta un controllo: abbiamo diviso supponendo $\cos x \neq 0$. Per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ si ha $\cos x = 0$ e $\sin^2 x = 1$, e il primo membro vale $\sqrt{3} \neq 0$: quei valori non sono soluzioni, quindi non abbiamo perso nulla.

Il disegno spiega perché il periodo è $\pi$ e non $2\pi$. Il punto $(\cos x, \sin x)$ della circonferenza goniometrica ha tangente $t$ quando sta sulla retta per l’origine di pendenza $t$. Ogni retta per l’origine taglia la circonferenza in due punti opposti, i cui angoli differiscono di $\pi$: per questo ogni valore di $t$ dà una famiglia $x_0 + k\pi$, cioè due soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Verifica. Sostituiamo un valore per famiglia nel testo. Per $x = \frac{\pi}{3}$, con $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos x = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \sqrt{3} \cdot \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} \\ {} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = 0 \end{gathered}$$

Per $x = -\frac{\pi}{6}$, con $\sin x = -\frac{1}{2}$ e $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, i tre termini valgono $\frac{\sqrt{3}}{4}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$: la somma è 0.

Quando si può dividere: il controllo di cos x = 0

Per zero non si divide. Dove $\cos x = 0$, cioè per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, la divisione non è lecita, e quei valori vanno esaminati a parte nell’equazione di partenza. Il conto è sempre lo stesso: lì $\sin^2 x = 1$, e il primo membro si riduce ad $a$.

Teorema. Se $a \neq 0$, l’equazione $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ ha esattamente le stesse soluzioni di $a\tan^2 x + b\tan x + c = 0$.

Perché è vero. Per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ il primo membro vale $a \neq 0$: quei valori non risolvono l’equazione di partenza, e nemmeno quella con la tangente, che lì non esiste. Per tutti gli altri $x$ si ha $\cos^2 x \neq 0$, e dividere i due membri per un numero diverso da zero dà un’equazione equivalente. Quindi non si perde e non si aggiunge nessuna soluzione.

Se a = 0, si raccoglie. Quando manca il termine in $\sin^2 x$, per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ il primo membro vale 0: quei valori sono soluzioni, e dividendo per $\cos^2 x$ sparirebbero. Invece si raccoglie $\cos x$:

$$\cos x\,(b\sin x + c\cos x) = 0$$

Per esempio, in $\sin x\cos x + \sqrt{3}\cos^2 x = 0$ si raccoglie e si ottiene $\cos x\,(\sin x + \sqrt{3}\cos x) = 0$. Per la legge di annullamento del prodotto:

$$\begin{gathered} \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \tan x = -\sqrt{3} \iff x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{gathered}$$

La seconda riga viene da $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$: nel secondo fattore si può dividere per $\cos x$, perché $\cos x = 0$ darebbe $\sin x = \pm 1 \neq 0$. Chi avesse diviso subito per $\cos^2 x$ avrebbe trovato $\tan x + \sqrt{3} = 0$, cioè solo la seconda famiglia. Un campanello d’allarme: se dopo la divisione l’equazione in $t$ «perde grado», manca qualcosa.

Lo stesso metodo vale per le equazioni esponenziali omogenee, dove si divide per $b^{2x}$. Lì però $b^{2x}$ non è mai zero e non serve nessun controllo; qui $\cos^2 x$ si annulla in $\frac{\pi}{2} + k\pi$, ed è per questo che il controllo è obbligatorio.

Quante soluzioni: il discriminante

Con $a \neq 0$ tutto dipende dall’equazione $at^2 + bt + c = 0$ e dal suo discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$. A differenza di $\sin x$ e $\cos x$, la tangente assume qualsiasi valore reale: ogni radice in $t$ dà soluzioni, nessuna va scartata.

Discriminante	Valori di $\tan x$	Soluzioni in $[0, 2\pi)$
$\Delta > 0$	due	quattro
$\Delta = 0$	uno	due
$\Delta < 0$	nessuno	nessuna

Discriminante nullo. In $3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$ si ha $\Delta = 12 - 12 = 0$. Il primo membro è un quadrato, $(\sqrt{3}\sin x - \cos x)^2$, e l’equazione si riduce a $\sqrt{3}\sin x = \cos x$, cioè $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$: una sola famiglia, $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$.

Discriminante negativo. In $2\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$ si ha $\Delta = 4 - 8 = -4$: nessun valore di $t$, quindi nessuna soluzione. È coerente? Sì, e lo si vede scrivendo il primo membro come somma di quadrati:

$$\begin{gathered} 2\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x \\ {} = (\sin x + \cos x)^2 + \sin^2 x \end{gathered}$$

Una somma di due quadrati è zero solo se lo sono entrambi: servirebbero $\sin x = 0$ e $\sin x + \cos x = 0$, quindi anche $\cos x = 0$. Ma seno e coseno non si annullano mai insieme, perché $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

In generale, con $\Delta < 0$ il trinomio $at^2 + bt + c$ ha sempre il segno di $a$. Il primo membro vale $\cos^2 x\,(a\tan^2 x + b\tan x + c)$ dove $\cos x \neq 0$ e vale $a$ dove $\cos x = 0$: ha sempre il segno di $a$ e non si annulla mai. La figura mostra i tre casi: in alto l’equazione dell’esempio iniziale, al centro quella con $\Delta = 0$, in basso quella con $\Delta < 0$.

Nota che le tre curve si ripetono ogni $\pi$: cambiando $x$ in $x + \pi$, seno e coseno cambiano entrambi segno, e i termini di grado 2 restano uguali.

Quando manca cos² x, e la cotangente

Se $c = 0$ l’equazione è $a\sin^2 x + b\sin x\cos x = 0$, e la strada più rapida è raccogliere $\sin x$. Per esempio:

$$\begin{gathered} \sin^2 x + \sin x\cos x = 0 \\ \sin x\,(\sin x + \cos x) = 0 \end{gathered}$$

Il primo fattore dà $x = k\pi$, il secondo $\tan x = -1$, cioè $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$. Si può anche dividere per $\cos^2 x$, perché $a = 1 \neq 0$: si ottiene $\tan x\,(\tan x + 1) = 0$, con lo stesso risultato. Quello che non si può fare è dividere per $\sin^2 x$: per $x = k\pi$ il seno è zero, e quei valori, che sono soluzioni, andrebbero persi.

La cotangente. Dividere per $\sin^2 x$ serve invece nel caso opposto. Per $x = k\pi$ si ha $\sin x = 0$ e $\cos^2 x = 1$, e il primo membro vale $c$. Se $c \neq 0$ quei valori non sono soluzioni, e dividendo per $\sin^2 x$ si ottiene un’equazione nella cotangente:

$$a + b\cot x + c\cot^2 x = 0$$

Nell’equazione $\sin x\cos x + \sqrt{3}\cos^2 x = 0$ di prima, con $a = 0$ e $c = \sqrt{3}$, si ottiene $\cot x\,(1 + \sqrt{3}\cot x) = 0$. Da $\cot x = 0$ viene $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, da $\cot x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ viene $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$: le stesse soluzioni, senza raccogliere.

Con il termine noto

L’equazione $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d$, con $d \neq 0$, non è omogenea: il numero $d$ ha grado 0. La relazione fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ permette però di dargli grado 2:

$$d = d \cdot 1 = d\sin^2 x + d\cos^2 x$$

Portando tutto a sinistra l’equazione diventa omogenea:

$$\begin{gathered} (a - d)\sin^2 x + b\sin x\cos x \\ {} + (c - d)\cos^2 x = 0 \end{gathered}$$

Esempio. $4\sin^2 x - \sin x\cos x + \cos^2 x = 3$. Scriviamo $3 = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$ e sottraiamo:

$$\sin^2 x - \sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0$$

Il coefficiente di $\sin^2 x$ è $1 \neq 0$: per $x = \frac{\pi}{2}$ il testo darebbe $4 = 3$, falso. Si divide per $\cos^2 x$ e si ottiene $\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$, con radici $2$ e $-1$ (somma 1, prodotto $-2$):

$$\begin{gathered} x = \arctan 2 + k\pi \approx 1{,}107 + k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \end{gathered}$$

Qui $\arctan 2$ è l’arcotangente di 2: un angolo non notevole, che si calcola con la calcolatrice impostata in radianti.

Quando un quadrato si cancella. Se $a = d$ il termine in $\sin^2 x$ sparisce, come nel caso con $a = 0$: si raccoglie $\cos x$, e $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sono soluzioni. Se $c = d$ sparisce il termine in $\cos^2 x$: si raccoglie $\sin x$, e $x = k\pi$ sono soluzioni. Te ne accorgi anche prima dei conti: sostituendo nel testo, $x = \frac{\pi}{2}$ dà l’uguaglianza $a = d$ e $x = 0$ dà $c = d$; se è vera, quei valori sono soluzioni. Lo vedi all’opera nell’esercizio 4.

La scaletta

1. Porta l’equazione nella forma giusta. Se compaiono $\sin 2x$ o $\cos 2x$, sviluppali con le formule di duplicazione: $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ e, tra le tre forme di $\cos 2x$, scegli $\cos^2 x - \sin^2 x$, che ha già grado 2. Se c’è un termine noto $d$, scrivilo come $d(\sin^2 x + \cos^2 x)$ e porta tutto a sinistra.
2. Guarda il coefficiente $a$ di $\sin^2 x$. Se $a = 0$, raccogli $\cos x$: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ è una famiglia di soluzioni.
3. Se $a \neq 0$, dividi per $\cos^2 x$: i valori $\frac{\pi}{2} + k\pi$ non sono soluzioni e non perdi nulla.
4. Risolvi $at^2 + bt + c = 0$, con $t = \tan x$: due, una o nessuna radice secondo il segno di $\Delta$.
5. Torna alla $x$: $\tan x = t_0$ dà $x = \arctan t_0 + k\pi$, con periodo $\pi$.
6. Verifica sostituendo nel testo un valore per famiglia e, se richiesto, elenca le soluzioni nell’intervallo.

Omogenee di primo e di terzo grado

Primo grado. L’equazione $a\sin x + b\cos x = 0$, con $a \neq 0$, si risolve allo stesso modo. Per $\cos x = 0$ si avrebbe $\sin x = \pm 1$ e il primo membro varrebbe $\pm a \neq 0$, quindi si divide per $\cos x$ e si ottiene $\tan x = -\frac{b}{a}$. Per esempio $2\sin x - 3\cos x = 0$ dà $\tan x = \frac{3}{2}$, cioè $x = \arctan\frac{3}{2} + k\pi$. In un’equazione si può dividere anche per $\cos x$ senza quadrato: conta solo che non sia zero. È il caso senza termine noto delle equazioni lineari in seno e coseno. Con un termine noto, come in $\sin x + 2\cos x = 1$, il trucco della relazione fondamentale non funziona: $\sin^2 x + \cos^2 x$ ha grado 2, non 1, e servono l’angolo aggiunto o le formule parametriche.

Terzo grado. In $\sin^3 x + \sin^2 x\cos x - 3\sin x\cos^2 x - 3\cos^3 x = 0$ tutti i termini hanno grado 3. Il controllo: per $\cos x = 0$ resta $\sin^3 x = \pm 1 \neq 0$, quindi si divide per $\cos^3 x$. Con $t = \tan x$ e un raccoglimento parziale:

$$\begin{gathered} t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0 \\ t^2(t + 1) - 3(t + 1) = 0 \\ (t + 1)(t^2 - 3) = 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $t = -1$ e $t = \pm\sqrt{3}$: tre famiglie, $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$ e $x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi$, cioè sei soluzioni in $[0, 2\pi)$. Lo stesso raccoglimento si poteva fare su seno e coseno: il primo membro è $(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - 3\cos^2 x)$.

Nelle disequazioni, invece, si può dividere solo per quantità di segno noto, come $\cos^2 x$; per $\cos x$ o $\cos^3 x$, il cui segno cambia lungo il giro, non si divide senza distinguere i casi: lo vedi nelle disequazioni lineari e omogenee in seno e coseno.

Un’altra strada: l’angolo doppio

Ogni omogenea di secondo grado si può trasformare in un’equazione nell’angolo doppio. Si usano $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ e le formule di linearizzazione:

$$\begin{gathered} \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \\ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \end{gathered}$$

Sostituendo in $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d$ e moltiplicando per 2:

$$\begin{gathered} b\sin 2x + (c - a)\cos 2x \\ {} = 2d - a - c \end{gathered}$$

È un’equazione lineare in $\sin 2x$ e $\cos 2x$, che si risolve con l’angolo aggiunto delle equazioni lineari.

Un esempio risolto nei due modi. $4\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x + \cos^2 x = 4$.

Con la tangente. Scriviamo $4 = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$: il termine in $\sin^2 x$ si cancella, perché $a = d$, e resta

$$\begin{gathered} \sqrt{3}\sin x\cos x - 3\cos^2 x = 0 \\ \sqrt{3}\cos x\,(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0 \end{gathered}$$

Si raccoglie: $\cos x = 0$ dà $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, e $\sin x = \sqrt{3}\cos x$ dà $\tan x = \sqrt{3}$, cioè $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

Con l’angolo doppio. Con $a = 4$, $b = \sqrt{3}$, $c = 1$ e $d = 4$ la formula dà $\sqrt{3}\sin 2x - 3\cos 2x = 3$. L’angolo aggiunto ha $R = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}$, $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ e $\sin\varphi = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi $\varphi = -\frac{\pi}{3}$:

$$\begin{gathered} 2\sqrt{3}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 3 \\ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Le due famiglie dell’equazione elementare sono:

$$\begin{gathered} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{gathered}$$

Lo stesso risultato. E nota un vantaggio: questo metodo non divide per niente, quindi trova $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ senza bisogno di controlli. Di solito la tangente è più rapida; l’angolo doppio conviene quando le radici in $t$ sono scomode ma $R$ e $\varphi$ sono notevoli, oppure per controllare il risultato.

Da qui si ritrova il discriminante. Con $d = 0$ e $R = \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$, che supponiamo diverso da zero, l’equazione diventa $R\sin(2x + \varphi) = -(a + c)$, che ha soluzioni se e solo se $(a + c)^2 \leq R^2$. Sviluppando i quadrati, $a^2 + 2ac + c^2 \leq b^2 + a^2 - 2ac + c^2$, cioè $4ac \leq b^2$: è proprio $\Delta \geq 0$, la condizione trovata con la tangente.

Gli errori più comuni

• Dividere per cos² x senza controllare. La divisione è lecita solo dove $\cos x \neq 0$: i valori $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ vanno sempre provati a parte nel testo.
• Dividere anche quando a = 0. Se manca $\sin^2 x$, magari dopo il trucco del termine noto, l’equazione in $t$ perde grado e sparisce la famiglia $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Si raccoglie $\cos x$.
• Lasciare il termine noto com’è. Dividendo per $\cos^2 x$ va diviso anche $d$, e $\frac{d}{\cos^2 x} = d(1 + \tan^2 x)$, non $d$. Il modo più sicuro è scrivere subito $d = d(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
• Sostituire il termine noto solo in parte. $3$ diventa $3\sin^2 x + 3\cos^2 x$, non $3\sin^2 x + \cos^2 x$; e i due termini vanno sottratti da entrambi i coefficienti, $a$ e $c$.
• Elevare al quadrato. Passare da $\sin x = \sqrt{3}\cos x$ a $\sin^2 x = 3\cos^2 x$ aggiunge le soluzioni di $\sin x = -\sqrt{3}\cos x$: non è un passaggio equivalente, e se lo fai devi verificare ogni famiglia.
• Usare 2kπ con la tangente. $\tan x = t_0$ dà $x = \arctan t_0 + k\pi$: con $2k\pi$ perdi metà delle soluzioni, quelle nel punto opposto della circonferenza.
• Sbagliare con l’arcotangente di un numero negativo. $\arctan(-2) = -\arctan 2 \approx -1{,}107$: per le soluzioni in $[0, 2\pi)$ si aggiungono $\pi$ e $2\pi$, ottenendo circa 2,034 e 5,176. Scrivere $\pi - \arctan(-2)$ dà un angolo con tangente $+2$.
• Non riconoscere l’omogenea dopo la duplicazione. $\sin 2x$ e $\cos 2x$ nascondono $2\sin x\cos x$ e $\cos^2 x - \sin^2 x$: un’equazione come $\sin 2x = 3\cos^2 x$ è omogenea, ma lo vedi solo dopo averla sviluppata.

Esercizi svolti

1. Due tangenti notevoli

Testo. Risolvi $3\sin^2 x - (3 - \sqrt{3})\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos^2 x = 0$.

Il coefficiente di $\sin^2 x$ è $a = 3 \neq 0$: per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ il primo membro vale 3, quindi quei valori non sono soluzioni. Dividiamo per $\cos^2 x$ e poniamo $t = \tan x$:

$$3t^2 - (3 - \sqrt{3})\,t - \sqrt{3} = 0$$

Dividendo per 3, cerchiamo due numeri con somma $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ e prodotto $-\frac{\sqrt{3}}{3}$: sono $1$ e $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, e infatti $(t - 1)(3t + \sqrt{3}) = 3t^2 - (3 - \sqrt{3})t - \sqrt{3}$. Quindi $\tan x = 1$ oppure $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \end{gathered}$$

Verifica con $x = \frac{\pi}{4}$, dove $\sin^2 x$, $\sin x\cos x$ e $\cos^2 x$ valgono tutti $\frac{1}{2}$: $\frac{3}{2} - \frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono quattro: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{6}$.

2. Tangenti non notevoli

Testo. Risolvi $2\sin^2 x - 5\sin x\cos x - 3\cos^2 x = 0$ e trova le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Qui $a = 2 \neq 0$, quindi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ non sono soluzioni (il primo membro vale 2). Dividendo per $\cos^2 x$, con $t = \tan x$:

$$\begin{gathered} 2t^2 - 5t - 3 = 0 \\ \Delta = 25 + 24 = 49 \\ t = \frac{5 \pm 7}{4} \end{gathered}$$

cioè $t = 3$ oppure $t = -\frac{1}{2}$. I valori non sono notevoli: serve l’arcotangente, con la calcolatrice in radianti.

$$\begin{gathered} x = \arctan 3 + k\pi \approx 1{,}249 + k\pi \\ x = -\arctan\frac{1}{2} + k\pi \approx -0{,}464 + k\pi \end{gathered}$$

Per l’intervallo $[0, 2\pi)$: dalla prima famiglia, con $k = 0$ e $k = 1$, vengono circa 1,249 e 4,391. Nella seconda il valore con $k = 0$ è negativo, quindi si prendono $k = 1$ e $k = 2$: circa 2,678 e 5,820. In tutto quattro soluzioni, circa 1,249, 2,678, 4,391 e 5,820.

Verifica. Con $\tan x = 3$ si ha $\cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{10}$, quindi $\sin^2 x = \frac{9}{10}$ e $\sin x\cos x = \tan x \cdot \cos^2 x = \frac{3}{10}$. Nel testo: $\frac{18}{10} - \frac{15}{10} - \frac{3}{10} = 0$.

3. Con il termine noto

Testo. Risolvi $4\sin^2 x - 5\sin x\cos x - \cos^2 x = 1$.

Il termine noto ha grado 0: scriviamo $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ e portiamo tutto a sinistra.

$$\begin{gathered} 4\sin^2 x - 5\sin x\cos x - \cos^2 x \\ {} - \sin^2 x - \cos^2 x = 0 \\ 3\sin^2 x - 5\sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0 \end{gathered}$$

Ora $a = 3 \neq 0$: per $x = \frac{\pi}{2}$ il testo darebbe $4 = 1$, falso. Dividiamo per $\cos^2 x$:

$$\begin{gathered} 3t^2 - 5t - 2 = 0 \\ \Delta = 25 + 24 = 49 \\ t = \frac{5 \pm 7}{6} \end{gathered}$$

cioè $t = 2$ oppure $t = -\frac{1}{3}$. Le soluzioni sono

$$\begin{gathered} x = \arctan 2 + k\pi \approx 1{,}107 + k\pi \\ x = -\arctan\frac{1}{3} + k\pi \approx -0{,}322 + k\pi \end{gathered}$$

Verifica. Con $\tan x = 2$ si ha $\cos^2 x = \frac{1}{5}$, $\sin^2 x = \frac{4}{5}$ e $\sin x\cos x = \frac{2}{5}$. Nel testo: $\frac{16}{5} - \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

4. Il quadrato che si cancella

Testo. Risolvi $2\sin^2 x + 2\sin x\cos x + 5\cos^2 x = 2$. Poi risolvi l’equazione con lo stesso primo membro e secondo membro uguale a 5.

Prima equazione. Con $2 = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$:

$$\begin{gathered} 2\sin x\cos x + 3\cos^2 x = 0 \\ \cos x\,(2\sin x + 3\cos x) = 0 \end{gathered}$$

Il termine in $\sin^2 x$ si è cancellato, perché $a = d = 2$: non si divide, si raccoglie. Infatti per $x = \frac{\pi}{2}$ il testo diventa $2 = 2$, vero. Dai due fattori:

$$\begin{gathered} \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \tan x = -\frac{3}{2} \iff x = -\arctan\frac{3}{2} + k\pi \end{gathered}$$

con $\arctan\frac{3}{2} \approx 0{,}983$. Chi avesse diviso per $\cos^2 x$ avrebbe ottenuto solo $2\tan x + 3 = 0$, perdendo la prima famiglia.

Seconda equazione. Con $5 = 5\sin^2 x + 5\cos^2 x$ si cancella invece il termine in $\cos^2 x$, perché $c = d = 5$:

$$\begin{gathered} -3\sin^2 x + 2\sin x\cos x = 0 \\ \sin x\,(2\cos x - 3\sin x) = 0 \end{gathered}$$

Il fattore $\sin x$ dà $x = k\pi$ (infatti per $x = 0$ il testo diventa $5 = 5$), e $3\sin x = 2\cos x$ dà $\tan x = \frac{2}{3}$:

$$x = k\pi \ \text{ oppure } \ x = \arctan\frac{2}{3} + k\pi$$

con $\arctan\frac{2}{3} \approx 0{,}588$. Qui dividere per $\cos^2 x$ era lecito, perché il coefficiente di $\sin^2 x$ è $-3 \neq 0$, e avrebbe dato $\tan x\,(2 - 3\tan x) = 0$, con lo stesso risultato. La morale: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ è soluzione solo quando $a = d$, e $x = k\pi$ solo quando $c = d$.

5. Un’omogenea travestita

Testo. Risolvi $\sin 2x + \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Così com’è non sembra omogenea. Sviluppiamo con la duplicazione, scegliendo per $\cos 2x$ la forma $\cos^2 x - \sin^2 x$, che ha grado 2 come gli altri termini:

$$\begin{gathered} 2\sin x\cos x + \cos^2 x - \sin^2 x \\ {} = 2\sin^2 x \\ 3\sin^2 x - 2\sin x\cos x - \cos^2 x = 0 \end{gathered}$$

Ora è omogenea con $a = 3 \neq 0$ (per $x = \frac{\pi}{2}$ il testo darebbe $-1 = 2$, falso). Dividendo per $\cos^2 x$:

$$\begin{gathered} 3t^2 - 2t - 1 = 0 \\ t = \frac{2 \pm 4}{6} \end{gathered}$$

cioè $t = 1$ oppure $t = -\frac{1}{3}$:

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = -\arctan\frac{1}{3} + k\pi \end{gathered}$$

con $\arctan\frac{1}{3} \approx 0{,}322$. Verifica con $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1$ e $2\sin^2\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Con $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ sarebbe comparso un 1 da trasformare di nuovo: si arriva allo stesso punto, con un passaggio in più. La strada dell’angolo doppio porta invece a $\sin 2x + 2\cos 2x = 1$, con $R = \sqrt{5}$ e un angolo $\varphi$ non notevole: qui la tangente è più comoda.

6. Da esame: un parametro

Testo. Considera l’equazione $\sin^2 x + m\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$, con $m$ parametro reale. Per quali valori di $m$ ha soluzioni? Quante ne ha in $[0, 2\pi)$? Risolvila per $m = -\frac{10}{3}$.

Con la tangente. Il coefficiente di $\sin^2 x$ è 1, quindi i valori $\frac{\pi}{2} + k\pi$ non sono mai soluzioni (il primo membro vale 1) e si divide per $\cos^2 x$:

$$\begin{gathered} t^2 + m\,t + 1 = 0 \\ \Delta = m^2 - 4 \end{gathered}$$

Ci sono soluzioni se e solo se $\Delta \geq 0$, cioè $m^2 \geq 4$: $m \leq -2$ oppure $m \geq 2$.

Controllo con un’altra strada. Nel testo c’è $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, quindi l’equazione è $1 + m\sin x\cos x = 0$, cioè $\frac{m}{2}\sin 2x = -1$. Per $m = 0$ è impossibile; altrimenti diventa $\sin 2x = -\frac{2}{m}$, che ha soluzioni se e solo se $\left|\frac{2}{m}\right| \leq 1$, cioè $|m| \geq 2$. Le due strade concordano.

Quante soluzioni. Contiamo le radici in $t$; ognuna dà due soluzioni in $[0, 2\pi)$:

Valore di $m$	Valori di $\tan x$	Soluzioni
$-2 < m < 2$	nessuno	nessuna
$m = 2$	$-1$	$\frac{3\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$
$m = -2$	$1$	$\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$
$\lvert m \rvert > 2$	due	quattro

Per $m = \pm 2$ il trinomio è un quadrato, $(t \pm 1)^2$, e la radice è doppia.

Per m = −10/3. Moltiplicando per 3: $3t^2 - 10t + 3 = 0$, con $\Delta = 100 - 36 = 64$ e $t = \frac{10 \pm 8}{6}$, cioè $t = 3$ oppure $t = \frac{1}{3}$:

$$\begin{gathered} x = \arctan 3 + k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \arctan\frac{1}{3} + k\pi \end{gathered}$$

In $[0, 2\pi)$ sono circa 0,322, 1,249, 3,463 e 4,391. Le due radici hanno prodotto 1, cioè sono una il reciproco dell’altra, e infatti $\arctan 3 + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{2}$. Controllo con l’altra strada: con $\tan x = 3$ si ha $\sin 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, ed è proprio $-\frac{2}{m} = \frac{3}{5}$.

Altri esercizi, mescolati con le altre tecniche del capitolo, li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche.

In sintesi

• Un’equazione è omogenea di grado $n$ se tutti i suoi termini hanno grado $n$ in seno e coseno; il caso tipico è $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$.
• Se $a \neq 0$, i valori $\frac{\pi}{2} + k\pi$ non sono soluzioni e dividendo per $\cos^2 x$ si ottiene l’equazione equivalente $a\tan^2 x + b\tan x + c = 0$.
• Se $a = 0$ si raccoglie $\cos x$ e $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sono soluzioni; se $c = 0$ si raccoglie $\sin x$ e $x = k\pi$ sono soluzioni. Si divide per $\sin^2 x$, ottenendo la cotangente, solo se $c \neq 0$.
• Con $\Delta = b^2 - 4ac$: due famiglie se $\Delta > 0$, una se $\Delta = 0$, nessuna se $\Delta < 0$. Ogni famiglia è del tipo $x_0 + k\pi$.
• Il termine noto $d$ si scrive $d(\sin^2 x + \cos^2 x)$; se $a = d$, o $c = d$, un quadrato si cancella e si raccoglie.
• Primo grado: $a\sin x + b\cos x = 0$ dà $\tan x = -\frac{b}{a}$. Terzo grado: si divide per $\cos^3 x$ dopo il controllo, oppure si raccoglie.
• In alternativa, con duplicazione e linearizzazione si ottiene $b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c$, un’equazione lineare nell’angolo doppio.

Con le omogenee si chiudono i metodi algebrici. Restano le equazioni che mescolano funzioni goniometriche e polinomi, come $\sin x = \frac{x}{2}$, che si risolvono solo con i grafici: risoluzione grafica delle equazioni goniometriche.