Risoluzione grafica delle equazioni esponenziali: metodo, bisezione ed esercizi

Le equazioni esponenziali viste finora si risolvevano con l’algebra: stessa base, sostituzione o logaritmi. Ma basta mescolare un esponenziale con un polinomio, come in $2^x = 3 - x$, e nessuno di questi metodi funziona più: sono equazioni trascendenti, e si risolvono con i grafici. All’esame compaiono come «quante soluzioni ha l’equazione…?» o «discuti al variare di $k$». In questa pagina vediamo perché l’algebra non basta, il metodo dei due grafici, come contare e isolare le soluzioni, tre esempi con una, due e tre soluzioni, il metodo di bisezione, le disequazioni, le equazioni con parametro, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Perché l’algebra non basta

Guarda queste tre equazioni:

$$\begin{gathered} 2^x = 3 - x \\ e^x = x + 2 \\ 2^x = x^2 \end{gathered}$$

L’incognita sta sia all’esponente sia «fuori». Prendendo i logaritmi nella prima ottieni $x \ln 2 = \ln(3 - x)$: la $x$ è ancora dentro e fuori. Qualunque passaggio fai, il problema si sposta ma non sparisce.

In senso stretto è trascendente ogni equazione con funzioni non algebriche, anche $2^x = 8$; negli esercizi il nome indica soprattutto quelle miste come queste.

Non è un limite tuo. Le soluzioni di $e^x = x + k$ si scrivono con una funzione speciale, la funzione W di Lambert, ma nel 2008 è stato dimostrato che W non è elementare: nessuna formula fatta di radici, potenze, esponenziali e logaritmi risolve $e^x = x + k$ per ogni $k$.

Si cambia allora domanda:

1. quante soluzioni ci sono;
2. dove sono, cioè tra quali numeri cade ciascuna;
3. come approssimarle con la precisione che serve.

Il metodo dei due grafici

Il disegno serve a capire, $h$ a dimostrare: dove le curve si scambiano di posto, $h$ cambia segno. La scaletta:

1. Separa l’equazione in $f(x) = g(x)$, con due grafici noti. Di solito si lascia l’esponenziale da solo, e $2^x + x - 3 = 0$ diventa $2^x = 3 - x$. Ripassa i grafici delle funzioni elementari, i grafici di funzioni esponenziali e le trasformazioni dei grafici.
2. Disegna i due grafici nello stesso piano.
3. Conta i punti di incontro (QUANTE), giustificando il numero con monotonia e convessità.
4. Isola ogni soluzione tra due numeri con il teorema degli zeri su $h$ (DOVE).
5. Approssima con una tabella di valori e poi con la bisezione (COME).
6. Controlla: sostituisci le soluzioni «belle» e verifica di averne trovate tante quante ne avevi contate.

Quante soluzioni: monotonia e convessità

Il disegno suggerisce il numero delle soluzioni, ma non lo dimostra: curve che sembrano toccarsi possono incontrarsi due volte o mai. Per gli esponenziali bastano due argomenti.

Una sale e l’altra scende: al massimo una soluzione

Se su un intervallo $f$ è strettamente crescente e $g$ strettamente decrescente, i loro grafici si incontrano al massimo una volta.

Perché è vero. $h = f - g$, somma di $f$ e di $-g$, è strettamente crescente, quindi se $x_1 < x_2$ allora $h(x_1) < h(x_2)$: i due valori non possono essere entrambi zero.

Se invece crescono tutte e due, le soluzioni possono essere più di una.

Un esponenziale e una retta: al massimo due soluzioni

Il grafico di $a^x$, con $a > 0$ e $a \neq 1$, è convesso: il segmento che unisce due suoi punti sta sopra la curva, tranne negli estremi, come abbiamo visto nella funzione esponenziale. Quindi:

una retta incontra il grafico di un esponenziale al massimo in due punti.

Perché è vero. Se i punti di incontro fossero tre, $A$, $B$ e $C$ da sinistra a destra, $B$ starebbe sul segmento $AC$, mentre tra $A$ e $C$ il grafico sta strettamente sotto il segmento.

Lo stesso vale con una curva concava al posto della retta, come la parabola $y = 4 - x^2$: la differenza $h$ è ancora strettamente convessa, e il ragionamento si ripete con tre zeri allineati sull’asse $x$.

Segno e limitatezza

Guarda anche dove le soluzioni non possono essere. Un esponenziale è sempre positivo: $e^x = 4 - x^2$ può avere soluzioni solo dove $4 - x^2 > 0$, cioè per $-2 < x < 2$.

Dove sono: il teorema degli zeri

Esponenziali, polinomi e le loro somme sono continui su tutto $\mathbb{R}$; con le frazioni, come $\frac{1}{x}$, controlla che l’intervallo non contenga punti esclusi. La dimostrazione è nella pagina sul teorema degli zeri.

In pratica si fa una tabella di valori di $h$ e si guarda dove cambia segno. Insieme al conteggio si ha la risposta completa: se le soluzioni sono al massimo due e trovi due cambi di segno, sono esattamente due.

Esempio 1: 2ˣ = 3 − x, una soluzione

$2^x$ è strettamente crescente e $3 - x$ strettamente decrescente: al massimo una soluzione.

Con $h(x) = 2^x - 3 + x$:

$$\begin{gathered} h(0) = 1 - 3 + 0 = -2 < 0 \\ h(2) = 4 - 3 + 2 = 3 > 0 \end{gathered}$$

quindi una soluzione c’è, tra 0 e 2. Proviamo il valore in mezzo: $h(1) = 2 - 3 + 1 = 0$. L’unica soluzione è $x = 1$, ed è esatta: i grafici si incontrano nel punto $(1, 2)$. Provare i valori interi conviene sempre; ma senza la monotonia non sapresti che non ce ne sono altre.

Esempio 2: eˣ = x + 2, due soluzioni

La retta $y = x + 2$ passa per $(0, 2)$, sopra il punto $(0, 1)$ del grafico di $e^x$, e il disegno mostra due incontri, uno per lato.

Quante. $e^x$ è convesso: una retta lo taglia al massimo in due punti.

Dove. Una tabella di $h(x) = e^x - x - 2$:

$x$	$h(x)$
$-2$	$+0{,}135$
$-1$	$-0{,}632$
$0$	$-1$
$1$	$-0{,}282$
$2$	$+3{,}389$

Due cambi di segno: una soluzione $\alpha \in (-2, -1)$ e una $\beta \in (1, 2)$. Le soluzioni sono quindi esattamente due.

Più vicino. Con i decimi: $h(-1{,}9) \approx +0{,}050$ e $h(-1{,}8) \approx -0{,}035$, quindi $\alpha \in (-1{,}9;\ -1{,}8)$; $h(1{,}1) \approx -0{,}096$ e $h(1{,}2) \approx +0{,}120$, quindi $\beta \in (1{,}1;\ 1{,}2)$. Restringendo ancora, per esempio con la bisezione:

$$\alpha \approx -1{,}8414 \qquad \beta \approx 1{,}1462$$

Arrotondando, $x \approx -1{,}84$ e $x \approx 1{,}15$.

Esempio 3: 2ˣ = x², tre soluzioni

Questo esempio sorprende sempre. Due soluzioni si trovano a mano:

$$\begin{gathered} x = 2: \ 2^2 = 4 = 2^2 \\ x = 4: \ 2^4 = 16 = 4^2 \end{gathered}$$

Ma il grafico ne mostra una terza, negativa.

A sinistra di 0, una. Per $x < 0$ la parabola scende verso 0, mentre $2^x$ sale restando tra 0 e 1: al massimo un incontro. Con $h(x) = 2^x - x^2$:

$$\begin{gathered} h(-1) = \tfrac{1}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2} < 0 \\ h(0) = 1 - 0 = 1 > 0 \end{gathered}$$

quindi c’è una soluzione $\alpha \in (-1, 0)$, che stimeremo con la bisezione: $\alpha \approx -0{,}767$. Lo zero invece non è soluzione.

A destra di 0, esattamente due. Qui le curve crescono entrambe. Il modo standard usa le derivate, che vedrai più avanti, ma basta un trucco: per $x > 0$ i due membri sono positivi, e due numeri positivi sono uguali se e solo se lo sono le loro radici quadrate:

$$2^x = x^2 \iff 2^{x/2} = x \quad (x > 0)$$

A sinistra c’è l’esponenziale $\left(\sqrt{2}\right)^x$, convesso, a destra una retta: al massimo due incontri, e sono $x = 2$ e $x = 4$.

Le soluzioni sono esattamente tre. Tra 2 e 4 sta sopra la parabola ($2^3 = 8 < 9$); dopo 4 l’esponenziale, per sempre, perché non ci sono altri incontri e $2^5 = 32 > 25$. La lezione: anche quando trovi soluzioni «a occhio», fai sempre il grafico.

Approssimare: il metodo di bisezione

Per stringere $\alpha$, che sta tra $-1$ e 0, si dimezza l’intervallo e si tiene la metà in cui $h$ cambia segno.

L’algoritmo

Si parte da $[a, b]$, con $h$ continua e $h(a)$, $h(b)$ di segni opposti.

1. Calcola $h$ nel punto medio $m = \frac{a + b}{2}$; se $h(m) = 0$ hai finito.
2. Altrimenti sostituisci con $m$ l’estremo in cui $h$ ha lo stesso segno di $h(m)$: il nuovo intervallo è lungo la metà, e i segni agli estremi restano opposti.
3. Ripeti finché l’intervallo è abbastanza corto; come stima prendi il suo punto medio.

La soluzione negativa di 2ˣ = x²

Con $h(x) = 2^x - x^2$ su $[-1, 0]$, dove $h(-1) = -0{,}5$ e $h(0) = 1$:

Intervallo	$m$	$h(m)$
$[-1;\ 0]$	$-0{,}5$	$+0{,}457$
$[-1;\ -0{,}5]$	$-0{,}75$	$+0{,}032$
$[-1;\ -0{,}75]$	$-0{,}875$	$-0{,}220$
$[-0{,}875;\ -0{,}75]$	$-0{,}8125$	$-0{,}091$
$[-0{,}8125;\ -0{,}75]$	$-0{,}78125$	$-0{,}028$
$[-0{,}78125;\ -0{,}75]$	$-0{,}765625$	$+0{,}002$

Al primo passo $h(-0{,}5)$ è positivo, come $h(0)$: è lo 0 a essere sostituito. Al terzo $h(-0{,}875)$ è negativo, come $h(-1)$: viene sostituito il $-1$. Dopo sei passi $\alpha$ sta in $[-0{,}78125;\ -0{,}765625]$, lungo $\frac{1}{64}$.

Dopo dieci passi l’intervallo è circa $[-0{,}76758;\ -0{,}76660]$, lungo $\frac{1}{1024}$: $\alpha \approx -0{,}767$ con un errore minore di un millesimo (con più cifre, $\alpha \approx -0{,}76666$).

Quanti passi servono

Dopo $n$ passi l’intervallo è lungo $\frac{b - a}{2^n}$ e contiene la soluzione: ogni suo punto la approssima con un errore al massimo uguale a questa lunghezza, il punto medio con un errore al massimo $\frac{b - a}{2^{n+1}}$. Per un errore non superiore a $\varepsilon$:

$$\begin{gathered} \frac{b - a}{2^n} \leq \varepsilon \iff 2^n \geq \frac{b - a}{\varepsilon} \\ \iff n \geq \log_2 \frac{b - a}{\varepsilon} \end{gathered}$$

Per $\alpha$, con $b - a = 1$ ed $\varepsilon = 0{,}001$, serve $2^n \geq 1000$: siccome $2^9 = 512$ e $2^{10} = 1024$, servono 10 passi (9 se prendi il punto medio). Ogni dieci passi l’errore cala di circa mille volte: circa 3,3 passi per ogni cifra decimale, qualunque sia la funzione.

Perché funziona

A ogni passo $h$ è continua e ha segni opposti agli estremi: per il teorema degli zeri l’intervallo contiene una soluzione. Gli intervalli sono uno dentro l’altro e la loro lunghezza tende a zero, quindi si stringono attorno a una soluzione. È la stessa costruzione della dimostrazione del teorema degli zeri.

Se però le soluzioni nell’intervallo sono più di una, la bisezione ne trova una, non per forza quella cercata. Per $2^x = x^2$ su $[-1, 6]$ i segni agli estremi sono opposti ($h(6) = 28$), ma $h(2{,}5) \approx -0{,}59$ e il metodo converge a 4. Per questo prima si separano le soluzioni.

Bisezione o tabulazione?

La tabulazione calcola $h$ con passo 0,1 finché cambia segno, poi con passo 0,01, poi 0,001. Per $\alpha$ servono 3 valori per il primo decimale, 4 per il secondo e 4 per il terzo ($h(-0{,}767) < 0 < h(-0{,}766)$): 11 contro i 10 della bisezione. Ma nel caso peggiore la tabulazione richiede 9 valori per cifra, la bisezione sempre circa 3,3.

Le due si completano: la tabulazione su un intervallo ampio mostra tutti i cambi di segno e serve a separare le soluzioni; la bisezione rifinisce una soluzione già isolata. Metodi molto più veloci, come quello di Newton, usano le derivate: li incontrerai più avanti.

Le disequazioni con i grafici

$f(x) > g(x)$ vale dove il grafico di $f$ sta sopra quello di $g$, cioè dove $h$ è positiva. Tra due soluzioni consecutive dell’equazione $h$ non cambia segno, altrimenti per il teorema degli zeri ci sarebbe un’altra soluzione: basta un valore di prova per tratto. Per $2^x < x^2$, con le soluzioni $\alpha$, 2 e 4:

Tratto	Prova	Segno di $h$
$x < \alpha$	$h(-1) = -0{,}5$	$-$
$\alpha < x < 2$	$h(0) = 1$	$+$
$2 < x < 4$	$h(3) = -1$	$-$
$x > 4$	$h(5) = 7$	$+$

La disequazione chiede $h(x) < 0$:

$$x < \alpha \quad \text{oppure} \quad 2 < x < 4$$

con $\alpha \approx -0{,}767$: sono i tratti in cui la parabola sta sopra l’esponenziale. Le tecniche algebriche sono nelle disequazioni esponenziali; un altro esempio grafico, $e^x \geq x + 2$, è nelle disequazioni esponenziali fratte.

Contare le soluzioni al variare di un parametro

Quante soluzioni ha l’equazione al variare del numero $k$? Si tiene fermo l’esponenziale e si guarda come si muove l’altro membro.

Rette parallele: eˣ = x + k

Le rette $y = x + k$ hanno tutte pendenza 1: cambiando $k$ salgono o scendono. Il caso di confine è la tangente. Nel numero di Nepero abbiamo dimostrato che

$$e^x \geq x + 1 \quad \text{per ogni } x$$

con l’uguaglianza solo per $x = 0$: la retta $y = x + 1$ tocca il grafico di $e^x$ in $(0, 1)$ e per il resto gli sta sotto.

• Per $k < 1$, nessuna soluzione: $e^x \geq x + 1 > x + k$.
• Per $k = 1$, una: $x = 0$, il punto di tangenza.
• Per $k > 1$, due. Con $h(x) = e^x - x - k$ si ha $h(0) = 1 - k < 0$ e $h(-k) = e^{-k} > 0$: una soluzione tra $-k$ e 0. Per $x \geq 0$, poi, $e^x = \left(e^{x/2}\right)^2 \geq \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2$, quindi $h(x) \geq 1 + \frac{x^2}{4} - k$, che in $x = 2k$ vale $k^2 - k + 1 > 0$: una soluzione tra 0 e $2k$. Per la convessità non ce ne sono altre.

Per $k = 2$ ritroviamo l’esempio 2.

Rette per l’origine: 2ˣ = kx

Ora la retta $y = kx$ ruota attorno all’origine. Se $k \geq 0$ e $x \leq 0$ si ha $kx \leq 0 < 2^x$: con $k \geq 0$ le eventuali soluzioni sono positive.

La tangente si trova senza derivate. In $e^t \geq t + 1$ mettiamo $t - 1$ al posto di $t$: $e^{t - 1} \geq t$, cioè $e^t \geq e\,t$, con l’uguaglianza solo per $t = 1$. Scriviamo poi $2^x = e^{x \ln 2}$, come si fa con ogni esponenziale (vedi potenze con base ed esponente variabili), e poniamo $t = x \ln 2$:

$$2^x \geq (e \ln 2)\,x \quad \text{per ogni } x$$

con l’uguaglianza solo per $x = \frac{1}{\ln 2} = \log_2 e \approx 1{,}443$. La retta di pendenza $e \ln 2 \approx 1{,}884$ tocca il grafico nel punto $(\log_2 e,\ e)$ e per il resto gli sta sotto.

Valore di $k$	Soluzioni
$k < 0$	una, negativa
$0 \leq k < e \ln 2$	nessuna
$k = e \ln 2$	una: $x = \log_2 e$
$k > e \ln 2$	due, positive

Perché. Per $k < 0$ la retta scende e $2^x$ sale: al massimo una soluzione, e $h(x) = 2^x - kx$ cambia segno, perché $h(0) = 1$ e $h\left(\frac{1}{k}\right) = 2^{1/k} - 1 < 0$. Per $k = 0$ l’equazione è impossibile; per $0 < k < e \ln 2$ e $x > 0$ si ha $2^x \geq (e \ln 2)\,x > kx$. Per $k > e \ln 2$:

$$\begin{gathered} h(\log_2 e) = e - k \log_2 e \\ {} = e - \frac{k}{\ln 2} < 0 \end{gathered}$$

mentre $h(0) = 1 > 0$; e per $x > 4$ si ha $2^x > x^2$ (esempio 3), con $x^2 \geq kx$ appena $x \geq k$: quindi $h(x) > 0$ per ogni $x$ maggiore sia di 4 sia di $k$. Due cambi di segno e la convessità danno esattamente due soluzioni.

Con la base $e$ la pendenza critica diventa $e \ln e = e$: $e^x = kx$ ha due soluzioni per $k > e$, come trovi, con le derivate, nello studio di funzione esponenziale.

Lo stesso metodo oltre gli esponenziali

Prendi $x^x = 2$, con $x > 0$ perché le potenze a esponente reale chiedono la base positiva. Per $0 < x < 1$ si ha $x^x < 1$. Per $x \geq 1$, $x^x = e^{x \ln x}$ è strettamente crescente, perché $x \ln x$ è prodotto di due funzioni strettamente crescenti e non negative; e $1^1 = 1 < 2 < 4 = 2^2$. Quindi c’è una sola soluzione, tra 1 e 2: la bisezione dà $x \approx 1{,}5596$. Con i logaritmi lo schema è identico: lo ritrovi nella risoluzione grafica delle equazioni logaritmiche.

Gli errori più comuni

• Fidarsi del disegno a occhio. $y = x + 0{,}99$ e $y = x + 1{,}01$ sembrano entrambe tangenti a $e^x$, ma la prima non lo incontra e la seconda lo taglia due volte.
• Fermarsi alle soluzioni trovate a mano. In $2^x = x^2$ si vedono 2 e 4 e si perde $\alpha \approx -0{,}767$.
• Prendere i logaritmi sperando di isolare la $x$. Da $2^x = 3 - x$ si arriva a $x \ln 2 = \ln(3 - x)$: la $x$ è ancora dentro e fuori.
• Dedurre l’unicità da un cambio di segno. Il teorema degli zeri dà «almeno una» soluzione; «una sola» viene dalla monotonia.
• Dedurre che non ci sono soluzioni da segni uguali. Per $e^x = x + 2$ la differenza è positiva in $-2$ e in $2$, ma in mezzo ci sono due soluzioni.
• Usare la monotonia quando crescono entrambe. Due funzioni crescenti possono incontrarsi più volte, come $2^x$ e $x^2$ per $x > 0$.
• Sbagliare la bisezione. Dopo $n$ passi la lunghezza è $\frac{b - a}{2^n}$, non $\frac{b - a}{2n}$; e si tiene la metà con segni opposti agli estremi.
• Confondere ascissa e ordinata. Per $2^x = x^2$ il punto di incontro è circa $(-0{,}767;\ 0{,}588)$: la soluzione è $-0{,}767$, non $0{,}588$.

Esercizi svolti

1. Una sola soluzione

Testo. Quante soluzioni ha l’equazione $3^x = 5 - x$? Trova un intervallo tra due decimi consecutivi che le contiene.

$3^x$ è strettamente crescente e $5 - x$ strettamente decrescente: al massimo una soluzione. Con $h(x) = 3^x - 5 + x$, continua:

$$\begin{gathered} h(1) = 3 - 5 + 1 = -1 < 0 \\ h(2) = 9 - 5 + 2 = 6 > 0 \end{gathered}$$

quindi la soluzione esiste ed è in $(1, 2)$. Restringiamo con i decimi, confrontando i due membri:

$x$	$3^x$	$5 - x$
$1{,}2$	$3{,}737$	$3{,}8$
$1{,}3$	$4{,}171$	$3{,}7$

In 1,2 l’esponenziale sta ancora sotto la retta, in 1,3 l’ha già superata. L’equazione ha una sola soluzione, in $(1{,}2;\ 1{,}3)$; vale circa $1{,}212$.

2. Esponenziale contro parabola

Testo. Quante soluzioni ha $e^x = 4 - x^2$? Separale tra due interi consecutivi, poi chiudi quella negativa tra due centesimi.

Dove cercare. $e^x > 0$, quindi serve $4 - x^2 > 0$, cioè $-2 < x < 2$.

Quante. $h(x) = e^x + x^2 - 4$ è somma di due funzioni strettamente convesse (anche $x^2$ curva verso l’alto), quindi è strettamente convessa e si annulla al massimo due volte.

Dove.

$x$	$h(x) = e^x + x^2 - 4$
$-2$	$+0{,}135$
$-1$	$-2{,}632$
$0$	$-3$
$1$	$-0{,}282$
$2$	$+7{,}389$

Due cambi di segno: una soluzione in $(-2, -1)$ e una in $(1, 2)$, quindi esattamente due.

La negativa. $h(-2) = e^{-2}$ è appena positivo, quindi la soluzione è vicina a $-2$: infatti $h(-1{,}97) \approx +0{,}020$ e $h(-1{,}96) \approx -0{,}018$. Sta in $(-1{,}97;\ -1{,}96)$ e vale circa $-1{,}9646$; l’altra vale circa $1{,}0580$.

3. Esponenziale contro iperbole, con la bisezione

Testo. Dimostra che $x \cdot 2^x = 1$ ha una e una sola soluzione, approssimala con quattro passi di bisezione partendo da $[0{,}5;\ 1]$ e trova quanti passi servono per avere un intervallo lungo meno di $0{,}001$.

Per $x \leq 0$ il primo membro è negativo o nullo: nessuna soluzione. Per $x > 0$ dividiamo per $x$:

$$2^x = \frac{1}{x}$$

Un esponenziale strettamente crescente contro un’iperbole strettamente decrescente: al massimo una soluzione. $h(x) = 2^x - \frac{1}{x}$ è continua su $[0{,}5;\ 1]$, perché lo 0 è fuori, con $h(0{,}5) = \sqrt{2} - 2 \approx -0{,}586$ e $h(1) = 2 - 1 = 1$:

Intervallo	$m$	$h(m)$
$[0{,}5;\ 1]$	$0{,}75$	$+0{,}348$
$[0{,}5;\ 0{,}75]$	$0{,}625$	$-0{,}058$
$[0{,}625;\ 0{,}75]$	$0{,}6875$	$+0{,}156$
$[0{,}625;\ 0{,}6875]$	$0{,}65625$	$+0{,}052$

Dopo quattro passi la soluzione sta in $[0{,}625;\ 0{,}65625]$, lungo $\frac{0{,}5}{16} = 0{,}03125$; il punto medio $0{,}640625$ sbaglia al massimo di circa $0{,}016$. Per un intervallo lungo meno di $0{,}001$ serve $\frac{0{,}5}{2^n} < 0{,}001$, cioè $2^n > 500$: siccome $2^8 = 256$ e $2^9 = 512$, servono 9 passi. La soluzione è unica e vale circa $0{,}6412$.

4. Una disequazione con i grafici

Testo. Risolvi la disequazione $2^x < x + 3$.

L’equazione associata. $2^x = x + 3$ confronta una retta e un esponenziale convesso: al massimo due incontri. Con $h(x) = 2^x - x - 3$:

$x$	$h(x)$
$-3$	$+0{,}125$
$0$	$-2$
$3$	$+2$

Due cambi di segno: esattamente due soluzioni, $\alpha \in (-3, 0)$ e $\beta \in (0, 3)$. Restringendo, $h(-2{,}9) \approx +0{,}034$ e $h(-2{,}8) \approx -0{,}056$, quindi $\alpha \in (-2{,}9;\ -2{,}8)$; $h(2{,}4) \approx -0{,}122$ e $h(2{,}5) \approx +0{,}157$, quindi $\beta \in (2{,}4;\ 2{,}5)$. Con qualche passo di bisezione, $\alpha \approx -2{,}86$ e $\beta \approx 2{,}44$.

Il segno. Tra $\alpha$ e $\beta$ la differenza ha il segno di $h(0) = -2$, cioè è negativa; fuori è positiva, come dicono $h(-3)$ e $h(3)$. Quindi:

$$\begin{gathered} \alpha < x < \beta \\ \alpha \approx -2{,}86 \qquad \beta \approx 2{,}44 \end{gathered}$$

È il tratto in cui la retta sta sopra l’esponenziale: sono soluzioni, per esempio, tutti gli interi da $-2$ a 2.

5. Un parametro con una soluzione sempre

Testo. Dimostra che per ogni numero reale $k$ l’equazione $\left(\frac{1}{2}\right)^x = x + k$ ha esattamente una soluzione. Per quali $k$ è positiva? Per quali sta tra 0 e 1? Per $k = 2$, chiudila tra due decimi.

Sia $h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - x - k$, somma di due funzioni strettamente decrescenti: è strettamente decrescente, quindi ha al massimo uno zero.

Esiste sempre. Per $x \leq 0$ si ha $\left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 1$, per $x \geq 0$ si ha $\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1$. Quindi:

$$\begin{gathered} h(-|k|) \geq 1 + |k| - k \geq 1 \\ h(|k| + 2) \leq 1 - |k| - 2 - k \leq -1 \end{gathered}$$

perché $|k| - k \geq 0$ e $|k| + k \geq 0$. Per il teorema degli zeri $h$ si annulla tra $-|k|$ e $|k| + 2$: una e una sola soluzione, per ogni $k$. Graficamente, la curva decrescente e le rette crescenti $y = x + k$ si incontrano sempre, una volta.

Quando è positiva. $h$ è decrescente e vale 0 nella soluzione, quindi la soluzione è positiva se e solo se $h(0) = 1 - k > 0$, cioè per $k < 1$.

Quando sta tra 0 e 1. Serve anche $h(1) = \frac{1}{2} - 1 - k < 0$, cioè $k > -\frac{1}{2}$: la soluzione sta in $(0, 1)$ per $-\frac{1}{2} < k < 1$.

Per k = 2. $h(0) = -1 < 0$, quindi la soluzione è negativa; $h(-0{,}6) \approx +0{,}116$ e $h(-0{,}5) \approx -0{,}086$. Sta in $(-0{,}6;\ -0{,}5)$ e vale circa $-0{,}543$.

6. Da esame: contare, separare, approssimare

Testo. Quante soluzioni reali ha l’equazione $e^x = 3x^2$? Separale tra interi consecutivi e approssima quella negativa con un errore minore di $0{,}01$.

Sia $h(x) = e^x - 3x^2$. Lo zero non è soluzione, perché $h(0) = 1$.

Per x negativo, una. Per $x < 0$, $e^x$ cresce e $3x^2$ decresce: al massimo una soluzione. E c’è, perché $h(-1) = e^{-1} - 3 \approx -2{,}63$ e $h(0) = 1$: sta in $(-1, 0)$.

Per x positivo, due. Crescono entrambi i membri, ma sono positivi: come nell’esempio 3 estraiamo la radice quadrata,

$$e^x = 3x^2 \iff e^{x/2} = \sqrt{3}\,x \quad (x > 0)$$

L’esponenziale $e^{x/2}$ è convesso e $y = \sqrt{3}\,x$ è una retta: al massimo due soluzioni positive.

$x$	$h(x)$
$0$	$+1$
$1$	$-0{,}282$
$3$	$-6{,}914$
$4$	$+6{,}598$

Cambi di segno in $(0, 1)$ e in $(3, 4)$: esattamente due. In tutto le soluzioni sono tre, una in ciascuno degli intervalli $(-1, 0)$, $(0, 1)$ e $(3, 4)$.

La negativa. Con i decimi, $h(-0{,}5) \approx -0{,}143$ e $h(-0{,}4) \approx +0{,}190$: sta in $[-0{,}5;\ -0{,}4]$, lungo $0{,}1$. Basta un intervallo più corto di $0{,}01$: $\frac{0{,}1}{2^n} < 0{,}01$, cioè $2^n > 10$, quindi 4 passi di bisezione.

Intervallo	$m$	$h(m)$
$[-0{,}5;\ -0{,}4]$	$-0{,}45$	$+0{,}030$
$[-0{,}5;\ -0{,}45]$	$-0{,}475$	$-0{,}055$
$[-0{,}475;\ -0{,}45]$	$-0{,}4625$	$-0{,}012$
$[-0{,}4625;\ -0{,}45]$	$-0{,}45625$	$+0{,}009$

La soluzione negativa sta in $[-0{,}4625;\ -0{,}45625]$, lungo $0{,}00625$, e tutti i punti di questo intervallo arrotondati ai centesimi danno $-0{,}46$: la soluzione è circa $-0{,}46$, con errore minore di $0{,}01$ (con più cifre, $-0{,}4590$). Le altre due valgono circa $0{,}910$ e $3{,}733$.

In sintesi

• Quando la $x$ sta sia all’esponente sia fuori, l’algebra non basta: si confrontano i grafici di $f$ e $g$ e si studia $h = f - g$.
• Tre domande: quante soluzioni (monotonia e convessità), dove (teorema degli zeri su $h$), come approssimarle (tabulazione e bisezione).
• Una funzione strettamente crescente e una strettamente decrescente si incontrano al massimo una volta; un esponenziale e una retta, o una curva concava, al massimo due.
• $2^x = 3 - x$ ha la sola soluzione $x = 1$; $e^x = x + 2$ ne ha due, $x \approx -1{,}84$ e $x \approx 1{,}15$; $2^x = x^2$ ne ha tre, $x \approx -0{,}767$, 2 e 4.
• Bisezione: dopo $n$ passi l’errore è al massimo $\frac{b - a}{2^n}$; per un errore $\varepsilon$ bastano $n \geq \log_2 \frac{b - a}{\varepsilon}$ passi.
• Disequazioni: tra due soluzioni consecutive $h$ ha segno costante, quindi basta un valore di prova per tratto.
• $e^x = x + k$ non ha soluzioni per $k < 1$, ne ha una per $k = 1$ e due per $k > 1$; in $2^x = kx$ la pendenza critica è $e \ln 2 \approx 1{,}884$.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle equazioni esponenziali.