Potenze con esponente frazionario e radicali: regole, razionalizzazione ed esercizi

Finora l’esponente è stato un numero intero, positivo o negativo. Ma nelle formule di Fisica, nelle funzioni e nelle derivate troverai scritture come $x^{1/2}$, $8^{2/3}$ o $t^{3/2}$. Cosa vogliono dire? La risposta è bellissima: le potenze con esponente frazionario sono le radici, scritte in un’altra forma. E questa forma ha un vantaggio enorme: tutte le regole dei radicali diventano conseguenze delle proprietà delle potenze, che conosci già. Ti serviranno in tutto il corso: nel dominio di una funzione, per derivare e integrare le radici, nelle equazioni esponenziali e nei limiti. In questa pagina vediamo la definizione e perché la radice esiste, perché la base deve essere positiva, le proprietà dei radicali, gli indici diversi e il confronto tra radicali, la radice di $x^2$, come portare fattori dentro e fuori dalla radice, la radice di una somma, la razionalizzazione, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Da dove nasce: quanto vale 9 elevato a 1/2?

Supponiamo che le proprietà delle potenze valgano anche per gli esponenti frazionari. Allora, con la regola della potenza di potenza:

$$\left(9^{1/2}\right)^2 = 9^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^1 = 9$$

Quindi $9^{1/2}$ deve essere un numero che, elevato al quadrato, dà 9. I candidati sono due, $3$ e $-3$: si sceglie $3$, perché vogliamo che le potenze di una base positiva restino positive, come succede con gli esponenti interi. Quindi $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$. Allo stesso modo $8^{1/3}$ deve essere un numero che elevato al cubo dà 8, cioè $\sqrt[3]{8} = 2$.

E $8^{2/3}$? Con la stessa regola possiamo leggerlo in due modi, e i conti tornano:

$$\begin{gathered} 8^{2/3} = \left(8^{1/3}\right)^2 = 2^2 = 4 \\ 8^{2/3} = \left(8^2\right)^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4 \end{gathered}$$

In generale, elevare a $\frac{1}{n}$ significa fare la radice $n$-esima:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

Non è una regola inventata: è l’unica scelta compatibile con le proprietà delle potenze, lo stesso ragionamento che ha portato a definire $a^0 = 1$ e $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Il significato geometrico

In geometria, $\sqrt{A}$ è il lato di un quadrato di area $A$, perché l’area è il lato al quadrato; $\sqrt[3]{V}$ è lo spigolo di un cubo di volume $V$. Nella figura, il quadrato inclinato è formato da quattro mezzi quadratini di lato 1: ha area 2, quindi il suo lato, che è la diagonale di un quadratino, misura $\sqrt{2} \approx 1{,}41$. E per raddoppiare il volume di un cubo di spigolo 1 non basta raddoppiare lo spigolo, che darebbe volume 8: serve uno spigolo di $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$.

La radice n-esima

Definizione. Siano $n \geq 2$ un numero naturale e $a \geq 0$. La radice $n$-esima di $a$, $\sqrt[n]{a}$, è l’unico numero $b \geq 0$ tale che $b^n = a$.

Per esempio $\sqrt[4]{81} = 3$, perché $3^4 = 81$ e 3 non è negativo. Allo stesso modo $\sqrt[5]{32} = 2$ e $\sqrt{0} = 0$. Per $n = 2$ l’indice non si scrive.

Perché la radice esiste ed è unica

Teorema. Se $a > 0$ e $n \geq 1$ è un numero naturale, l’equazione $x^n = a$ ha esattamente una soluzione positiva.

Perché è vero. L’esistenza non è scontata: nessuna frazione elevata al quadrato dà 2, perché √2 è irrazionale. Il numero esiste tra i reali, e lo garantisce il teorema degli zeri: la funzione $f(x) = x^n - a$ è continua su $[0, 1 + a]$, con $f(0) = -a < 0$ e $f(1 + a) = (1 + a)^n - a \geq 1$, quindi si annulla in almeno un punto. In alternativa si usa la completezza di $\mathbb{R}$: la radice è l’estremo superiore dei numeri $x \geq 0$ con $x^n \leq a$. L’unicità viene dalla monotonia: se $0 \leq x_1 < x_2$, moltiplicando membro a membro $n$ copie della disuguaglianza, tra numeri non negativi, si ottiene $x_1^n < x_2^n$. Due numeri positivi diversi non possono avere la stessa potenza $n$-esima.

Indice pari e indice dispari

• Indice pari. Per $a > 0$ l’equazione $x^n = a$ ha due soluzioni reali, $\pm\sqrt[n]{a}$, ma il simbolo indica solo quella positiva: $x^2 = 9$ ha soluzioni $\pm 3$, mentre $\sqrt{9} = 3$. Per $a < 0$ non ci sono soluzioni reali: $\sqrt{-4}$ non esiste in $\mathbb{R}$.
• Indice dispari. L’equazione $x^n = a$ ha una sola soluzione reale per ogni $a$, anche negativo, e si pone $\sqrt[n]{a}$ uguale a quella: $\sqrt[3]{-8} = -2$ perché $(-2)^3 = -8$. In generale $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$.

La definizione di potenza con esponente frazionario

Definizione. Per $a > 0$, $m \in \mathbb{Z}$ e $n \in \mathbb{N}$ con $n \geq 1$:

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Per $n = 1$ si ritrovano le potenze con esponente intero. Per la base zero si pone $0^{m/n} = 0$ se l’esponente è positivo; con esponente negativo $0^{m/n}$ non esiste, perché sarebbe un reciproco di zero.

Il denominatore è l’indice della radice, il numeratore è l’esponente.

Perché le due scritture coincidono. Il numero $b = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ è positivo e, per le proprietà delle potenze con esponente intero:

$$b^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{mn} = \left[\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right]^m = a^m$$

Quindi $b$ è proprio la radice $n$-esima positiva di $a^m$.

Nei calcoli conviene quasi sempre fare prima la radice e poi la potenza, così i numeri restano piccoli:

$$\begin{gathered} 16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8 \\ 25^{3/2} = \left(\sqrt{25}\right)^3 = 5^3 = 125 \end{gathered}$$

Nel secondo, partendo dalla potenza avresti dovuto calcolare $\sqrt{15\,625}$. Dalla definizione segue anche $\sqrt{10^n} = 10^{n/2}$, la regola che hai usato per le radici in notazione scientifica: $\sqrt{10^6} = 10^3$, mentre per $n$ dispari l’esponente resta frazionario, $\sqrt{10^7} = 10^{7/2} \approx 3162$.

Esponenti negativi e decimali

Un esponente frazionario negativo si tratta come quelli interi: si capovolge la base e l’esponente cambia segno.

$$\begin{gathered} 32^{-3/5} = \frac{1}{\left(\sqrt[5]{32}\right)^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \\ \left(\frac{4}{9}\right)^{-1/2} = \left(\frac{9}{4}\right)^{1/2} = \frac{3}{2} \end{gathered}$$

Un esponente decimale si trasforma prima in frazione:

$$\begin{gathered} 4^{1{,}5} = 4^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 8 \\ 32^{0{,}4} = 32^{2/5} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = 4 \end{gathered}$$

La frazione si può scrivere in tanti modi

La stessa frazione ha infinite scritture: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Con una base positiva il risultato non cambia:

$$\begin{gathered} 64^{2/3} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^2 = 4^2 = 16 \\ 64^{4/6} = \left(\sqrt[6]{64}\right)^4 = 2^4 = 16 \end{gathered}$$

Il motivo generale: se $\frac{m}{n} = \frac{p}{q}$, cioè $mq = np$, i numeri $\sqrt[n]{a^m}$ e $\sqrt[q]{a^p}$ sono positivi e hanno la stessa potenza $nq$-esima, $a^{mq} = a^{np}$. Per l’unicità della radice positiva sono uguali. Ecco il punto in cui serve davvero che la base sia positiva.

Perché la base deve essere positiva

Potresti chiederti: perché non definire anche $(-8)^{1/3}$, visto che $\sqrt[3]{-8} = -2$ esiste? Il problema è che una frazione si può scrivere in infiniti modi, e con una base negativa i risultati non tornano:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \\ \text{ma}\;\; (-8)^{1/3} \stackrel{?}{=} -2 \\ \text{mentre}\;\; \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2 \end{gathered}$$

La stessa potenza avrebbe due valori diversi, a seconda di come scrivi l’esponente. E smetterebbero di valere le proprietà: con la potenza di potenza si arriverebbe a dimostrare che $-1 = 1$.

$$\begin{gathered} -1 = (-1)^1 = (-1)^{2/2} \\ {} = \left[(-1)^2\right]^{1/2} = \sqrt{1} = 1 \end{gathered}$$

Con gli indici pari, poi, la radice di un numero negativo non esiste proprio: $(-4)^{1/2}$ sarebbe $\sqrt{-4}$.

Per evitare tutto questo, le potenze con esponente frazionario si definiscono solo per basi positive; per base zero vale $0^{m/n} = 0$ se l’esponente è positivo. Con una base negativa la potenza non è definita, nemmeno quando la radice di indice dispari esiste.

Le radici di indice dispari di numeri negativi esistono comunque, come abbiamo visto nei grafici delle funzioni elementari: si scrivono con il simbolo di radice, $\sqrt[3]{-8} = -2$, e non come potenza. È per questo che $\sqrt[3]{x}$ ha dominio $\mathbb{R}$, mentre $x^{1/3}$ ha dominio $[0, +\infty)$ (alcuni testi escludono anche lo $0$).

Le proprietà delle potenze con esponente razionale

Teorema. Per $a, b > 0$ e $r, s \in \mathbb{Q}$ valgono le stesse proprietà delle potenze che conosci per gli esponenti interi:

$$\begin{gathered} a^r \cdot a^s = a^{r+s} \qquad a^r : a^s = a^{r-s} \\ \left(a^r\right)^s = a^{rs} \\ (ab)^r = a^r\, b^r \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r} \end{gathered}$$

Perché è vero (la prima). Scriviamo i due esponenti con lo stesso denominatore, $r = \frac{p}{n}$ e $s = \frac{q}{n}$, e chiamiamo $c = \sqrt[n]{a}$. Per la definizione e per la regola con esponenti interi:

$$a^r \cdot a^s = c^p \cdot c^q = c^{p+q} = a^{\frac{p+q}{n}} = a^{r+s}$$

Le altre si dimostrano allo stesso modo, riportandosi agli esponenti interi. Scrivendo le radici come potenze, le regole dei radicali si ricavano in una riga. Per $a, b > 0$:

Proprietà dei radicali	Perché vale
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}$	$(ab)^{1/n} = a^{1/n} b^{1/n}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$\left(\frac{a}{b}\right)^{1/n} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$	entrambe sono $a^{m/n}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$	$\left(a^{1/n}\right)^{1/m} = a^{\frac{1}{mn}}$
$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$	$\frac{mk}{nk} = \frac{m}{n}$

Un esempio per ciascuna delle prime quattro:

$$\begin{gathered} \sqrt{12} = \sqrt{4}\,\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \qquad \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \\ \left(\sqrt{5}\right)^4 = 5^2 = 25 \qquad \sqrt{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[6]{7} \end{gathered}$$

Le ipotesi contano: con radicandi negativi la prima regola può fallire. Infatti $\sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6$, mentre $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$ non esiste in $\mathbb{R}$. Per allenarti con calcoli più lunghi ci sono gli esercizi svolti sulle potenze.

Semplificare un radicale

L’ultima riga della tabella si chiama proprietà invariantiva: si possono dividere indice ed esponente del radicando per lo stesso numero, proprio come si semplifica una frazione. Per esempio $\sqrt[10]{32} = \sqrt[10]{2^5} = \sqrt{2}$.

Con le lettere bisogna guardare il segno. $\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[3]{a^2}$ vale per ogni $a$ reale, perché $a^4$ e $a^2$ non sono mai negativi. Invece $\sqrt[6]{x^2}$ esiste per ogni $x$, mentre $\sqrt[3]{x}$ è negativa per $x < 0$: la semplificazione corretta è

$$\sqrt[6]{x^2} = \sqrt[3]{|x|} \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}$$

Per $x = -8$: $\sqrt[6]{64} = 2 = \sqrt[3]{8}$, mentre $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Radicali con indici diversi

Con le potenze basta sommare le frazioni. Con i radicali si fa la riduzione allo stesso indice:

1. Trova il minimo comune multiplo degli indici.
2. Trasforma ogni radicale con la proprietà invariantiva, moltiplicando indice ed esponente del radicando per lo stesso numero.
3. Ora gli indici sono uguali: moltiplica o dividi i radicandi.
4. Semplifica il risultato, portando fuori i fattori possibili.

Ecco lo stesso prodotto fatto nei due modi, e un quoziente:

$$\begin{gathered} \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{5/6} \\ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{32} \\ \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 2^{1/6} = \sqrt[6]{2} \end{gathered}$$

Confrontare due radicali

Si elevano i due radicali al minimo comune multiplo degli indici: per la monotonia vista sopra, elevare due numeri positivi alla stessa potenza $n$-esima non cambia quale dei due è più grande. Così $\sqrt{2}$ e $\sqrt[3]{3}$, alla sesta, diventano 8 e 9: vince $\sqrt[3]{3}$. Il metodo completo è nelle potenze con esponente reale.

La radice di x al quadrato è il valore assoluto

$\sqrt{x^2}$ è il numero non negativo che elevato al quadrato dà $x^2$. Anche $|x|$ è non negativo e $|x|^2 = x^2$: per l’unicità della radice, i due numeri coincidono.

$$\sqrt{x^2} = |x| \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}$$

Per $x = -3$: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$, non $-3$. Allo stesso modo $\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$. Più in generale, $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ se $n$ è pari e $\sqrt[n]{x^n} = x$ se $n$ è dispari: $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$. Invece $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ è vera, ma solo per $x \geq 0$. Ne parliamo anche nel valore assoluto.

Portare fattori fuori e dentro la radice

Fuori dalla radice

Per $a, b \geq 0$ vale $\sqrt[n]{a^n b} = a\sqrt[n]{b}$. In pratica si scompone il radicando in fattori primi e, per ogni fattore, si divide l’esponente per l’indice: il quoziente è l’esponente che esce, il resto quello che rimane dentro.

$$\begin{gathered} \sqrt{50} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \\ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \\ \sqrt[4]{2^9} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 2} = 4\sqrt[4]{2} \end{gathered}$$

Nell’ultimo, $9 = 2 \cdot 4 + 1$: esce $2^2 = 4$ e resta dentro $2^1$.

Fuori dalla radice, con le lettere

Con le lettere servono due attenzioni:

1. Scrivi prima le condizioni di esistenza: con indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
2. Con indice pari, un fattore che esce da una potenza pari va messo in valore assoluto, a meno che il suo segno sia già noto. Con indice dispari il valore assoluto non serve mai.

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2 y} = |x|\sqrt{y} \quad (y \geq 0) \\ \sqrt{x^4 y} = x^2\sqrt{y} \quad (y \geq 0) \\ \sqrt{x^3} = x\sqrt{x} \quad (x \geq 0) \\ \sqrt[3]{x^4} = x\sqrt[3]{x} \quad (x \in \mathbb{R}) \end{gathered}$$

Nel secondo il modulo non serve perché $x^2 \geq 0$; nel terzo perché $\sqrt{x^3}$ esiste solo per $x \geq 0$.

Dentro la radice

Si eleva il fattore all’indice della radice: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Con indice pari, però, la radice non è mai negativa: un fattore negativo non può entrare. Il segno meno resta fuori, $-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}$. Con le lettere, se il segno del fattore non è noto, si distinguono i casi (per $b \geq 0$):

$$a\sqrt{b} = \begin{cases} \sqrt{a^2 b} & \text{se } a \geq 0 \\ -\sqrt{a^2 b} & \text{se } a < 0 \end{cases}$$

Con indice dispari il segno entra senza problemi: $-2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{-24}$, e in generale $a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 b}$ per ogni $a$.

L’errore classico: la radice di una somma

La radice di un prodotto è il prodotto delle radici, ma la radice di una somma non è la somma delle radici:

$$\begin{gathered} \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \\ \text{mentre}\;\; \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \end{gathered}$$

C’è un motivo geometrico. Per il teorema di Pitagora, in un triangolo rettangolo con cateti $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ l’ipotenusa è $\sqrt{a + b}$: i quadrati costruiti sui lati si sommano, i lati no. E andare lungo i due cateti è più lungo che tagliare per l’ipotenusa.

In formule, per $a, b > 0$:

$$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a + b + 2\sqrt{ab} > a + b$$

quindi $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$; se invece $a$ o $b$ è zero, i due membri sono uguali. È lo stesso errore di $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$: le potenze, e quindi le radici, «vanno d’accordo» con prodotti e quozienti, non con somme e sottrazioni.

Le radici simili (stesso indice e stesso radicando) invece si sommano come i monomi simili, spesso dopo aver portato fuori i fattori:

$$\begin{gathered} \sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \\ \sqrt{12} - \sqrt{27} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{3} \end{gathered}$$

Radici non simili come $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ restano così: valgono circa $3{,}15$, mentre $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.

La razionalizzazione

Razionalizzare significa trasformare una frazione in modo che al denominatore non ci siano radici. Si moltiplicano numeratore e denominatore per lo stesso fattore, scelto apposta, così il valore della frazione non cambia.

Perché si fa? Prima delle calcolatrici dividere per $1{,}414\ldots$ era scomodissimo, mentre dividere $1{,}414\ldots$ per 2 è facile: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Oggi serve soprattutto ad avere una forma standard, così riconosci subito che due risultati sono uguali, e a semplificare le somme: $\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. E il trucco del coniugato, come vedremo, è fondamentale nei limiti.

Una radice quadrata al denominatore

Si moltiplica sopra e sotto per quella radice:

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Una radice n-esima al denominatore

Se al denominatore c’è $\sqrt[n]{a^m}$ con $0 < m < n$, si moltiplica per $\sqrt[n]{a^{n-m}}$: al denominatore arriva $\sqrt[n]{a^n} = a$ e la radice sparisce.

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \\ \frac{10}{\sqrt[5]{8}} = \frac{10}{\sqrt[5]{2^3}} \cdot \frac{\sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^2}} \\ {} = \frac{10\sqrt[5]{4}}{2} = 5\sqrt[5]{4} \end{gathered}$$

Attenzione: moltiplicare per $\sqrt[3]{2}$ non basta, perché $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4}$ è ancora una radice.

Una somma o una differenza: il coniugato

Se al denominatore c’è una somma o una differenza con radici quadrate, si moltiplica per il coniugato, cioè la stessa espressione con il segno in mezzo cambiato. Il prodotto notevole fa sparire le radici:

$$\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = a - b$$

Due esempi:

$$\begin{gathered} \frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2\left(\sqrt{5} + 1\right)}{\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)} \\ {} = \frac{2\left(\sqrt{5} + 1\right)}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \\ {} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{gathered}$$

È lo stesso conto che dà la tangente di 15° nelle formule di addizione:

$$\begin{gathered} \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{\left(3 - \sqrt{3}\right)^2}{9 - 3} \\ {} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \end{gathered}$$

Con le radici cubiche il coniugato non basta: si usa la differenza di cubi, $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Per esempio $\frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}$ si moltiplica sopra e sotto per $\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1$: il denominatore diventa $2 - 1 = 1$ e la frazione vale $\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1$.

Il coniugato nei limiti

Il trucco del coniugato non è solo un esercizio di algebra: lo userai di continuo nel calcolo dei limiti. Per esempio, quando $x$ diventa molto grande, $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ è una differenza tra due numeri enormi. Moltiplicando e dividendo per il coniugato:

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$$

e ora è chiaro che il risultato tende a 0 per $x \to +\infty$.

Un po’ di storia

L’idea è molto antica. Già nel Trecento il filosofo e matematico francese Nicole Oresme, nel trattato Algorismus proportionum, lavorava con potenze frazionarie: indicava per esempio la radice cubica di 9 con una notazione sua, molto diversa dalla nostra, che però passò quasi inosservata. La scrittura moderna, con la frazione in alto a destra, compare secondo gli storici della notazione in una lettera che Isaac Newton scrisse nel giugno 1676 a Henry Oldenburg, segretario della Royal Society, per presentare il suo sviluppo del binomio. Lì Newton usa sia gli esponenti frazionari sia quelli negativi, come facciamo noi oggi.

Gli errori più comuni

• Scrivere $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. È falso: $\sqrt{9 + 16} = 5$, mentre $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. La radice si spezza solo sui prodotti e sui quozienti.
• Dimenticare il valore assoluto. $\sqrt{x^2} = |x|$, non $x$; e $\sqrt{x^2 y} = |x|\sqrt{y}$ per $y \geq 0$.
• Scambiare numeratore e denominatore. $8^{2/3}$ è $\sqrt[3]{8^2} = 4$, non $\sqrt{8^3} = \sqrt{512}$: il denominatore è l’indice.
• Pensare che l’esponente negativo renda negativo il risultato. $16^{-1/2} = \frac{1}{4}$, non $-4$.
• Usare la potenza con una base negativa. $(-8)^{1/3}$ non è definita; $\sqrt[3]{-8} = -2$ invece sì.
• Semplificare indice ed esponente senza guardare il segno. $\sqrt[6]{x^2} = \sqrt[3]{|x|}$, non $\sqrt[3]{x}$.
• Portare dentro una radice di indice pari un fattore negativo. $-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}$, non $\sqrt{12}$.
• Moltiplicare i radicandi con indici diversi. $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$ non è $\sqrt[5]{6}$ né $\sqrt[6]{6}$: si porta allo stesso indice e si ottiene $\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{72}$.

Esercizi svolti

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze.

1. Calcolare potenze con esponente frazionario

Testo. Calcola $27^{2/3}$, $16^{-3/4}$, $\left(\frac{8}{27}\right)^{-1/3}$ e $0{,}25^{-1{,}5}$.

Per la prima facciamo prima la radice cubica, poi il quadrato:

$$27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$

Nella seconda l’esponente è negativo: prendiamo il reciproco, poi la radice quarta e il cubo.

$$16^{-3/4} = \frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$

Nella terza capovolgiamo la frazione e facciamo la radice cubica di numeratore e denominatore:

$$\left(\frac{8}{27}\right)^{-1/3} = \left(\frac{27}{8}\right)^{1/3} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$$

Nell’ultima trasformiamo i decimali in frazioni, $0{,}25 = \frac{1}{4}$ e $-1{,}5 = -\frac{3}{2}$:

$$0{,}25^{-1{,}5} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} = 4^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 8$$

I risultati sono $9$, $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{2}$ e $8$.

2. Tutto come potenza di 2

Testo. Scrivi come un’unica potenza di 2 i numeri seguenti, poi risolvi l’equazione $2^x = A$ nei numeri reali.

$$\begin{gathered} A = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[3]{16}} \qquad B = \sqrt{8\sqrt[3]{2}} \\ C = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{8}} \end{gathered}$$

Ogni fattore diventa una potenza di 2: $4 = 2^2$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $\sqrt[3]{16} = 2^{4/3}$. Poi si sommano e si sottraggono gli esponenti:

$$\begin{gathered} A = \frac{2^2 \cdot 2^{1/2}}{2^{4/3}} = 2^{2 + \frac{1}{2} - \frac{4}{3}} \\ {} = 2^{\frac{12 + 3 - 8}{6}} = 2^{7/6} \end{gathered}$$

In $B$ la radice esterna è un esponente $\frac{1}{2}$ che si applica a tutto il radicando:

$$B = \left(2^3 \cdot 2^{1/3}\right)^{1/2} = \left(2^{10/3}\right)^{1/2} = 2^{5/3}$$

In $C$ il reciproco dà un esponente negativo, con $\sqrt[4]{8} = 2^{3/4}$:

$$C = \frac{1}{2^{1/2} \cdot 2^{3/4}} = \frac{1}{2^{5/4}} = 2^{-5/4}$$

Infine $2^x = 2^{7/6}$ se e solo se $x = \frac{7}{6}$. Quindi $A = 2^{7/6}$, $B = 2^{5/3}$, $C = 2^{-5/4}$: è proprio il primo passo delle equazioni esponenziali, riportare tutto alla stessa base.

3. Radicali con indici diversi

Testo. Scrivi come un unico radicale le espressioni seguenti, la seconda per $a > 0$.

$$E = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}} \qquad F = \frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$$

Per $E$ scriviamo tutto come potenza di 3, con $\sqrt[3]{9} = 3^{2/3}$:

$$E = 3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = 3^{\frac{3 + 4 - 1}{6}} = 3^1 = 3$$

Verifichiamo con la riduzione allo stesso indice, 6: $\sqrt{3} = \sqrt[6]{27}$ e $\sqrt[3]{9} = \sqrt[6]{81}$, quindi

$$E = \sqrt[6]{\frac{27 \cdot 81}{3}} = \sqrt[6]{729} = 3$$

perché $3^6 = 729$. Per $F$ il minimo comune denominatore degli esponenti è 12:

$$\begin{gathered} F = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{8 + 3 - 10}{12}} \\ {} = a^{1/12} = \sqrt[12]{a} \end{gathered}$$

La condizione $a > 0$ serve perché tutte le potenze siano definite e le proprietà valgano. Il risultato: $E = 3$ e $F = \sqrt[12]{a}$.

4. Fattori fuori e dentro la radice

Testo. Porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili, indicando le condizioni di esistenza: $\sqrt{18x^2}$, $\sqrt{8x^3}$, $\sqrt[3]{16a^4}$. Poi porta dentro la radice il fattore esterno di $(1 - x)\sqrt{x}$.

Prima. $18x^2 \geq 0$ per ogni $x$, quindi la radice esiste sempre. Il fattore $x$ esce da un quadrato con indice pari: serve il valore assoluto.

$$\sqrt{18x^2} = \sqrt{3^2 \cdot 2 \cdot x^2} = 3|x|\sqrt{2}$$

Seconda. $8x^3 \geq 0$ solo per $x \geq 0$. Con questa condizione $x$ non è negativo e il modulo non serve:

$$\sqrt{8x^3} = \sqrt{2^2 \cdot x^2 \cdot 2x} = 2x\sqrt{2x}$$

Terza. L’indice è dispari: la radice esiste per ogni $a$ e il modulo non serve mai.

$$\sqrt[3]{16a^4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot a^3 \cdot 2a} = 2a\sqrt[3]{2a}$$

Prova con $a = -1$: a sinistra $\sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$, a destra $-2\sqrt[3]{-2} = 2\sqrt[3]{2}$.

Quarta. $\sqrt{x}$ esiste per $x \geq 0$. Il fattore $1 - x$ è positivo o nullo per $0 \leq x \leq 1$ e negativo per $x > 1$: nel secondo caso il segno meno resta fuori. Quindi, per $x \geq 0$:

$$(1 - x)\sqrt{x} = \begin{cases} \sqrt{(1 - x)^2 x} & x \leq 1 \\ -\sqrt{(1 - x)^2 x} & x > 1 \end{cases}$$

Controllo con $x = 4$: $(1 - 4) \cdot 2 = -6$ e $-\sqrt{9 \cdot 4} = -6$. Il valore assoluto quando esce, il segno quando entra: sono le due facce della stessa regola.

5. Razionalizzare con il coniugato

Testo. Razionalizza $\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$. Poi semplifica $\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$, per $x \geq 0$ e $x \neq 4$.

Nella prima moltiplichiamo sopra e sotto per il coniugato del denominatore, $\sqrt{5} + \sqrt{3}$. Sopra c’è un quadrato di binomio, sotto una differenza di quadrati:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 \\ {} = 8 + 2\sqrt{15} \\ \left(\sqrt{5} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right) = 5 - 3 = 2 \end{gathered}$$

Quindi la frazione vale $\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} \approx 7{,}87$.

Nella seconda il coniugato del denominatore è $\sqrt{x} + 2$, e per $x \geq 0$ vale $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$:

$$\begin{gathered} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(x - 4)\left(\sqrt{x} + 2\right)}{x - 4} \\ {} = \sqrt{x} + 2 \end{gathered}$$

dove abbiamo semplificato $x - 4 \neq 0$. Il risultato è $4 + \sqrt{15}$ e $\sqrt{x} + 2$. La seconda è proprio la mossa che risolve il limite della stessa frazione per $x \to 4$, una forma $\frac{0}{0}$ che vale $\sqrt{4} + 2 = 4$.

6. Confrontare radicali senza calcolatrice

Testo. Senza calcolatrice, ordina dal più piccolo al più grande $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{5}$ e $\sqrt[6]{10}$. Poi stabilisci se $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ è maggiore o minore di $\sqrt{10}$.

Il minimo comune multiplo di 3, 4 e 6 è 12. Eleviamo i tre numeri alla dodicesima:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt[3]{3}\right)^{12} = 3^4 = 81 \\ \left(\sqrt[4]{5}\right)^{12} = 5^3 = 125 \\ \left(\sqrt[6]{10}\right)^{12} = 10^2 = 100 \end{gathered}$$

I numeri sono positivi e $x^{12}$ è crescente per $x \geq 0$, quindi l’ordine è lo stesso delle potenze: $\sqrt[3]{3} < \sqrt[6]{10} < \sqrt[4]{5}$. Con la calcolatrice: $1{,}442$, $1{,}468$ e $1{,}495$, molto vicini.

Per il secondo confronto entrambi i numeri sono positivi, quindi possiamo elevare al quadrato:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2 = 5 + 2\sqrt{6} \\ \left(\sqrt{10}\right)^2 = 10 \end{gathered}$$

Dobbiamo confrontare $5 + 2\sqrt{6}$ con $10$, cioè $2\sqrt{6}$ con $5$. Sono ancora positivi: al quadrato, $24$ contro $25$. Siccome $24 < 25$, si ha $\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}$ (circa $3{,}146$ contro $3{,}162$). Elevare al quadrato conserva l’ordine solo tra numeri non negativi: è la condizione da controllare ogni volta.

In sintesi

• Per $a > 0$: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ e $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$. Il denominatore è l’indice, il numeratore l’esponente; $a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}}$.
• Per $a > 0$ l’equazione $x^n = a$ ha esattamente una soluzione positiva, $\sqrt[n]{a}$: esiste per il teorema degli zeri, è unica per la monotonia.
• Le potenze con esponente frazionario si definiscono per basi positive, più $0^{m/n} = 0$ con esponente positivo: $\sqrt[3]{x}$ ha dominio $\mathbb{R}$, $x^{1/3}$ ha dominio $[0, +\infty)$.
• Le proprietà dei radicali sono le proprietà delle potenze per $a, b > 0$. Con indici diversi si passa al minimo comune multiplo, che serve anche per confrontare due radicali.
• $\sqrt{x^2} = |x|$. Con indice pari un fattore esce in valore assoluto ed entra solo se non è negativo: altrimenti il segno meno resta fuori.
• $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$: anzi, per $a, b > 0$ si ha $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Per razionalizzare si moltiplica per la radice, per $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ o per il coniugato.

Resta un ultimo caso: cosa significa $2^{\sqrt{2}}$, con un esponente che non è nemmeno una frazione? Lo vediamo in potenze con esponente reale e confronto tra potenze.