Potenze con esponente reale e confronto tra potenze: definizione, regole ed esercizi

Sappiamo dare un significato a $2^5$, a $2^{-3}$ e anche a $2^{3/4}$. Ma cosa vuol dire $2^{\sqrt{2}}$? L’esponente $\sqrt{2}$ non è un intero e nemmeno una frazione: è irrazionale. Eppure ci serve: senza le potenze con esponente reale non esisterebbero la funzione esponenziale $2^x$ su tutta la retta, logaritmi come $\log_2 3$ e la derivata di $x^\alpha$ per ogni $\alpha$. E all’esame capita spesso di dover dire quale di due potenze è maggiore senza calcolatrice, il primo passo di ogni disequazione esponenziale. In questa pagina vediamo l’idea delle approssimazioni razionali, la definizione con l’estremo superiore, perché la base deve essere positiva, le proprietà e la monotonia delle potenze, il metodo per il confronto tra potenze con tanti esempi, il ruolo del numero $e$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: avvicinarsi con i razionali

Nelle potenze con esponente negativo abbiamo disegnato i punti $(n,\, 2^n)$ con $n$ intero. Con le potenze con esponente frazionario possiamo aggiungere i punti con esponente $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$, poi $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, e così via. Più frazioni aggiungiamo, più i punti si infittiscono e sembrano disegnare una curva continua.

Però i punti non riempiono tutto: tra loro restano i «buchi» degli esponenti irrazionali, come $\sqrt{2}$. Per tapparli usiamo un’idea semplice. $\sqrt{2} = 1{,}414\,213\ldots$ non è una frazione, ma possiamo approssimarlo quanto vogliamo con decimali finiti, che sono frazioni: $1{,}41 = \frac{141}{100}$. Prendiamo le approssimazioni per difetto, che troncano le cifre di $\sqrt{2}$, e quelle per eccesso, che aumentano di 1 l’ultima cifra, e calcoliamo le potenze di 2:

Esponenti	Per difetto	Per eccesso
$1{,}4$ e $1{,}5$	$2{,}6390$	$2{,}8284$
$1{,}41$ e $1{,}42$	$2{,}6574$	$2{,}6759$
$1{,}414$ e $1{,}415$	$2{,}6647$	$2{,}6666$
$1{,}4142$ e $1{,}4143$	$2{,}66512$	$2{,}66530$
$1{,}41421$ e $1{,}41422$	$2{,}665138$	$2{,}665156$

Le potenze per difetto salgono, quelle per eccesso scendono, e la distanza tra le due colonne si riduce a ogni riga: nell’ultima le prime cinque cifre ormai coincidono. I valori sono stretti come in una morsa attorno a un unico numero, circa $2{,}66514$. Quel numero, per definizione, è $2^{\sqrt{2}}$.

Perché le approssimazioni convergono

Chiamiamo $d_n$ l’approssimazione per difetto di $\sqrt{2}$ con $n$ cifre decimali: $d_1 = 1{,}4$, $d_2 = 1{,}41$, e così via. La successione delle potenze $2^{d_n}$ ha due proprietà:

• è crescente: aggiungendo cifre $d_n$ non diminuisce mai, e con base 2 un esponente razionale più grande dà una potenza più grande (lo dimostriamo più avanti);
• è limitata superiormente: ogni $d_n$ è minore di $1{,}5$, quindi $2^{d_n} < 2^{1{,}5} \approx 2{,}83$.

Per il teorema delle successioni monotone, una successione crescente e limitata superiormente ha limite finito, uguale al suo estremo superiore. Quel limite è $2^{\sqrt{2}}$. Il teorema si regge sulla completezza dei numeri reali: nei razionali non funzionerebbe, tanto che le stesse $d_n$ salgono verso $\sqrt{2}$, che razionale non è.

La definizione di potenza con esponente reale

Il tuo professore ti chiederà la versione rigorosa. Invece di una successione particolare si usano tutti gli esponenti razionali che non superano $x$.

Definizione. Sia $a > 1$ e sia $x$ un numero reale. Si pone

$$a^x = \sup\left\{ a^r : r \in \mathbb{Q},\ r \leq x \right\}$$

cioè $a^x$ è l’estremo superiore delle potenze di $a$ con esponente razionale minore o uguale a $x$.

Perché l’estremo superiore esiste. L’assioma di completezza garantisce il sup di ogni insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente. Il nostro insieme ha entrambe le proprietà:

• non è vuoto: c’è sempre un intero $n \leq x$, e $a^n$ sta nell’insieme;
• è limitato superiormente: preso un intero $m > x$, ogni razionale $r \leq x$ è minore di $m$, quindi $a^r < a^m$, perché con base maggiore di 1 le potenze con esponente razionale crescono con l’esponente. Così $a^m$ è un maggiorante.

Nei razionali un insieme così potrebbe non avere sup: è la completezza di $\mathbb{R}$ a garantirlo. Ecco un esempio concreto di quanto sia importante quell’assioma.

La definizione non cambia quello che sapevi. Se $x$ è già razionale, nell’insieme c’è anche $a^x$, ed è il più grande di tutti, sempre per la monotonia: il sup è proprio il vecchio $a^x$. La definizione riempie solo i buchi. Anche la strada della sezione precedente porta allo stesso numero: ogni $2^{d_n}$ sta nell’insieme, e ogni elemento $2^r$ dell’insieme è superato da qualche $2^{d_n}$, perché $r < \sqrt{2}$ e le $d_n$ si avvicinano quanto vogliamo a $\sqrt{2}$.

Base tra 0 e 1, base 1 e base 0

Base tra 0 e 1. Si passa al reciproco $\frac{1}{a}$, che è maggiore di 1, e si pone

$$\begin{gathered} a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x} \\ (0 < a < 1) \end{gathered}$$

Per esempio $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} = 2^{-\sqrt{2}}$. Per gli esponenti razionali è un’uguaglianza che conosci già, quindi di nuovo non cambia nulla. Si dimostra che, equivalentemente, $a^x$ è l’estremo inferiore delle potenze $a^r$ con $r$ razionale e $r \leq x$: con una base minore di 1, quando l’esponente sale la potenza scende.

Base 1. Si pone $1^x = 1$ per ogni $x$ reale.

Base 0. $0^x = 0$ per ogni $x > 0$. Per $x < 0$ non è definita, perché sarebbe $\frac{1}{0^{-x}} = \frac{1}{0}$. Per $x = 0$, in Analisi, $0^0$ di solito non si definisce, come spiegato in cosa sono le potenze.

Perché la base non può essere negativa

Con una base negativa le cose si rompono già con gli esponenti frazionari: $(-2)^{1/2}$ dovrebbe essere $\sqrt{-2}$, che nei reali non esiste. E con un esponente irrazionale le approssimazioni non aiutano. Anche chiudendo un occhio e usando le radici di indice dispari, per $(-2)^{\sqrt{2}}$ l’approssimazione $1{,}4 = \frac{7}{5}$ darebbe $\sqrt[5]{(-2)^7}$, un numero negativo, mentre $1{,}41 = \frac{141}{100}$ richiederebbe la radice centesima di $(-2)^{141}$, che è negativo: impossibile. Non c’è nessun valore a cui avvicinarsi.

Per questo le potenze con esponente reale si definiscono solo con base positiva, più la base 0 con esponente positivo. Con base negativa restano valide, naturalmente, le potenze con esponente intero, come $(-2)^3 = -8$. Occhio a una sottigliezza della nostra convenzione: la radice cubica $\sqrt[3]{-8} = -2$ esiste, la potenza $(-8)^{1/3}$ no. Il perché, già per gli esponenti frazionari, è nelle potenze con esponente frazionario; i grafici di $\sqrt[3]{x}$ e di $x^\alpha$ li trovi nei grafici delle funzioni elementari.

Le proprietà valgono ancora

Per $a, b > 0$ e $x, y$ reali qualsiasi valgono le stesse cinque proprietà delle potenze che conosci per gli esponenti interi:

$$\begin{gathered} a^x \cdot a^y = a^{x+y} \\ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \\ \left(a^x\right)^y = a^{xy} \\ a^x \cdot b^x = (ab)^x \\ \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \end{gathered}$$

La dimostrazione è lunga e la saltiamo: si parte dalle proprietà per gli esponenti razionali e si passa ai reali per approssimazione, con successioni di esponenti razionali come le $d_n$. Le conseguenze da ricordare:

• $a^0 = 1$ e $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$;
• $a^x > 0$ per ogni $x$: una potenza con base positiva è sempre positiva, qualunque sia l’esponente. Per $a > 1$ il sup di un insieme di numeri positivi è positivo, e per $0 < a < 1$ ci si riporta a questo caso. Tornerà nelle equazioni esponenziali, dove $2^x = -4$ non ha soluzioni;
• la terza proprietà permette conti sorprendenti, come un irrazionale elevato a un irrazionale che dà un intero:

$$\begin{gathered} \left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\ {} = 2^2 = 4 \end{gathered}$$

La monotonia delle potenze

Tutti i confronti tra potenze si basano su due teoremi: come cambia una potenza quando cresce l’esponente e quando cresce la base.

Rispetto all’esponente

Teorema. Siano $a > 0$ e $x < y$ due numeri reali.

• Se $a > 1$, allora $a^x < a^y$.
• Se $0 < a < 1$, allora $a^x > a^y$.
• Se $a = 1$, allora $a^x = a^y = 1$.

Perché è vero, per gli esponenti razionali. Prendi $a > 1$. Con esponenti naturali è il passo $a^{n+1} = a^n \cdot a > a^n$: moltiplicare un numero positivo per $a > 1$ lo fa crescere. Per due razionali $r < s$ scrivi $a^s = a^r \cdot a^{s-r}$: basta mostrare che $a^h > 1$ quando $h = \frac{p}{q}$ è una frazione positiva.

• $a^p > 1$, perché è un prodotto di $p$ fattori maggiori di 1.
• $a^{1/q} > 1$: se fosse $a^{1/q} \leq 1$, elevando alla $q$ otterremmo $a \leq 1$.
• Quindi $a^{p/q} = \left(a^{1/q}\right)^p > 1$.

Il caso reale. Se $x < y$ sono reali, tra loro ci sono infiniti razionali, perché i razionali sono densi: prendine due, $x < r < s < y$. Ogni razionale $q \leq x$ è minore di $r$, quindi $a^q < a^r$: $a^r$ è un maggiorante dell’insieme che definisce $a^x$, e allora $a^x \leq a^r$. D’altra parte $a^s$ sta nell’insieme che definisce $a^y$, quindi $a^s \leq a^y$. Mettendo insieme:

$$a^x \leq a^r < a^s \leq a^y$$

Per $0 < a < 1$ basta scrivere $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$: da $x < y$ segue $-x > -y$, e la base $\frac{1}{a}$ è maggiore di 1.

La monotonia è stretta, quindi si può leggere anche al contrario: per $a > 1$, $a^x < a^y$ vale se e solo se $x < y$.

Rispetto alla base

Teorema. Siano $0 < a < b$ e $x$ un numero reale.

• Se $x > 0$, allora $a^x < b^x$.
• Se $x < 0$, allora $a^x > b^x$.
• Se $x = 0$, allora $a^x = b^x = 1$.

Perché è vero. Dividendo, con la quinta proprietà:

$$\frac{b^x}{a^x} = \left(\frac{b}{a}\right)^x$$

La base $\frac{b}{a}$ è maggiore di 1. Se $x > 0$, per il teorema precedente $\left(\frac{b}{a}\right)^x > \left(\frac{b}{a}\right)^0 = 1$, quindi $b^x > a^x$. Se $x < 0$ il rapporto è minore di 1, e $b^x < a^x$.

Una conseguenza che userai sempre: elevare due numeri positivi alla stessa potenza positiva non cambia quale dei due è più grande. È il trucco per confrontare le radici.

Confronto tra potenze: il metodo

Per stabilire quale di due potenze con base positiva è maggiore, segui questa scaletta.

1. Stessa base? Confronta gli esponenti. Se la base è maggiore di 1 l’ordine resta lo stesso; se è tra 0 e 1 si inverte; se è 1 le potenze sono uguali.
2. Stesso esponente? Confronta le basi. Se l’esponente è positivo l’ordine resta lo stesso; se è negativo si inverte; se è 0 le potenze valgono entrambe 1.
3. Né l’una né l’altra? Riscrivi le potenze con una base comune, se le basi sono potenze dello stesso numero, come 4 e 8, oppure con un esponente comune, se gli esponenti hanno un fattore comune o se ci sono radici.
4. Ancora niente? Confronta entrambe con 1 o con un numero intermedio comodo: se $A < c$ e $c < B$, allora $A < B$.

I casi speciali dei primi due passi sono i più facili, ma all’esame si dimenticano: $1^{\sqrt{7}} = 1^{-3} = 1$ e $7^0 = 0{,}2^0 = 1$.

Per il confronto con 1 ricorda che $a^x > 1$ quando base ed esponente stanno «dalla stessa parte»: $a > 1$ e $x > 0$, oppure $0 < a < 1$ e $x < 0$. Per esempio $0{,}8^{-0{,}5} > 1$, mentre $1{,}2^{-3} < 1$.

Stessa base

Con base maggiore di 1 vince l’esponente più grande: $5^{\sqrt{3}} < 5^{1{,}8}$, perché $\sqrt{3} < 1{,}8$ (infatti $3 < 1{,}8^2 = 3{,}24$). E $2^{-3} < 2^{-1}$, perché $-3 < -1$.

Con base tra 0 e 1 c’è la trappola classica: vince l’esponente più piccolo. Prendi $0{,}3^{-2}$ e $0{,}3^{-3}$. Viene istintivo dire che la prima è più grande, perché $-2 > -3$; ma la base $0{,}3$ è minore di 1, e l’ordine si inverte:

$$\begin{gathered} -2 > -3 \\ 0{,}3^{-2} < 0{,}3^{-3} \end{gathered}$$

Controllo: $0{,}3^{-2} = \frac{100}{9} \approx 11{,}1$ e $0{,}3^{-3} = \frac{1000}{27} \approx 37{,}0$. Se hai dubbi, riscrivi la base come reciproco di un numero maggiore di 1, $0{,}3^{x} = \left(\frac{10}{3}\right)^{-x}$, e torni al caso facile. La figura mostra lo stesso fatto con gli esponenti $-1$ e $1$.

Stesso esponente

Ora decide la base, insieme al segno dell’esponente. Con esponente positivo vince la base più grande: $2^{\pi} < 3^{\pi}$. Con esponente negativo vince la più piccola: $2^{-\sqrt{2}} > 3^{-\sqrt{2}}$. Il motivo si vede subito: $2^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\sqrt{2}}}$, e dividendo 1 per un numero più piccolo si ottiene un risultato più grande.

Basi ed esponenti diversi

Base comune. Chi è più grande tra $8^5$ e $4^7$? Riportiamo tutto in base 2:

$$\begin{gathered} 8^5 = \left(2^3\right)^5 = 2^{15} \\ 4^7 = \left(2^2\right)^7 = 2^{14} \end{gathered}$$

Base maggiore di 1 ed esponente più grande: $8^5 > 4^7$.

Esponente comune. Chi è più grande tra $5^{30}$ e $3^{45}$? Gli esponenti 30 e 45 hanno il fattore comune 15:

$$\begin{gathered} 5^{30} = \left(5^2\right)^{15} = 25^{15} \\ 3^{45} = \left(3^3\right)^{15} = 27^{15} \end{gathered}$$

Stesso esponente positivo e $25 < 27$: quindi $5^{30} < 3^{45}$, anche se 5 è la base più grande.

Le radici. Chi è più grande tra $\sqrt{2}$ e $\sqrt[3]{3}$? Scriviamoli come $2^{1/2}$ e $3^{1/3}$ ed eleviamo entrambi alla sesta, il minimo comune multiplo degli indici. Per la monotonia rispetto alla base l’ordine non cambia:

$$\begin{gathered} \left(2^{1/2}\right)^6 = 2^3 = 8 \\ \left(3^{1/3}\right)^6 = 3^2 = 9 \end{gathered}$$

Quindi $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}$. Con la calcolatrice: $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ e $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442$.

Un numero intermedio

Chi è più grande tra $3^{\sqrt{2}}$ e $2^{\sqrt{3}}$? Basi diverse ed esponenti irrazionali diversi: nessuna riscrittura aiuta. Però si può infilare un numero in mezzo.

• Da una parte $\sqrt{3} < 2$, quindi $2^{\sqrt{3}} < 2^2 = 4$.
• Dall’altra $\sqrt{2} > 1{,}4$, perché $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2$; quindi $3^{\sqrt{2}} > 3^{1{,}4}$.

Resta da capire se $3^{1{,}4} = 3^{7/5}$ supera 4. Eleviamo entrambi alla quinta, che non cambia l’ordine tra numeri positivi:

$$\begin{gathered} \left(3^{7/5}\right)^5 = 3^7 = 2187 \\ 4^5 = 1024 \end{gathered}$$

Quindi $3^{1{,}4} > 4$ e, mettendo insieme, $2^{\sqrt{3}} < 4 < 3^{\sqrt{2}}$. Con la calcolatrice: $2^{\sqrt{3}} \approx 3{,}32$ e $3^{\sqrt{2}} \approx 4{,}73$. Come numero intermedio conviene cercare una potenza intera, come qui il 4.

Il numero e e perché questa definizione conta

La base più importante dell’Analisi è il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$, irrazionale. Grazie a questa pagina $e^x$ ha senso per ogni $x$ reale e valgono tutte le regole viste: per esempio $e^{\sqrt{2}} \approx 4{,}11$, e $e^{-1} < 1 < e^{\pi}$ perché $e > 1$.

La definizione ti servirà in tutto il corso:

• nei logaritmi: l’equazione $2^x = 3$ ha come soluzione $x = \log_2 3 \approx 1{,}585$, che è irrazionale. Senza esponenti reali non avrebbe soluzione, e il logaritmo esisterebbe solo per pochissimi numeri;
• nella funzione esponenziale $a^x$, definita su tutto $\mathbb{R}$, che è il tema del prossimo capitolo;
• nelle derivate: la regola $\left(x^\alpha\right)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}$, per $x > 0$, vale per ogni esponente reale $\alpha$, come vedrai nelle derivate delle funzioni elementari.

Un po’ di storia

Il numero $2^{\sqrt{2}}$ ha una storia illustre. Nel 1900 David Hilbert lo citò come esempio nel settimo dei suoi 23 famosi problemi: è un numero trascendente, cioè non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti interi? La risposta, sì, arrivò nel 1930 da Rodion Kuzmin; nel 1934 Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider, indipendentemente, dimostrarono un teorema molto più generale. Oggi $2^{\sqrt{2}}$ si chiama anche costante di Gelfond-Schneider.

Verso la funzione esponenziale

Ora che $a^x$ ha senso per ogni $x$ reale, possiamo fissare la base e far variare l’esponente: otteniamo la funzione $f(x) = a^x$, la funzione esponenziale. Le regole di confronto di questa pagina diventano proprietà del suo grafico: crescente se $a > 1$, decrescente se $0 < a < 1$, sempre sopra l’asse $x$. È il tema del prossimo capitolo, la funzione esponenziale.

Gli errori più comuni

• Dimenticare di invertire l’ordine con la base tra 0 e 1. $0{,}5^3 < 0{,}5^2$: con base minore di 1 vince l’esponente più piccolo.
• Ignorare il segno dell’esponente quando cambia la base. $2^{-1} > 3^{-1}$: con esponente negativo vince la base più piccola.
• Guardare solo le basi o solo gli esponenti quando cambiano entrambi. $5^{30}$ ha la base più grande di $3^{45}$, eppure è più piccolo: prima serve una base o un esponente comune.
• Usare una base negativa con esponente non intero. $(-8)^{1/3}$ e $(-2)^{\sqrt{2}}$ non sono definite; con base negativa vanno bene solo gli esponenti interi.
• Pensare che un esponente negativo renda negativa la potenza. Con base positiva la potenza è sempre positiva: $3^{-\sqrt{2}} > 0$.
• Scrivere $0^x = 0$ per ogni $x$. Vale solo per $x > 0$: $0^{-2}$ non esiste.
• Confrontare usando valori arrotondati. Se gli esponenti sono vicini, un arrotondamento può ingannarti: servono disuguaglianze sicure, come $\sqrt{2} > 1{,}41$ perché $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2$.

Esercizi svolti

1. Stessa base

Testo. Senza calcolatrice, stabilisci quale dei due numeri è maggiore: (a) $3^{\sqrt{5}}$ e $3^{2{,}2}$; (b) $0{,}6^{\pi}$ e $0{,}6^{3}$; (c) $\left(\frac{2}{5}\right)^{-\sqrt{2}}$ e $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1{,}5}$.

(a) La base 3 è maggiore di 1, quindi vince l’esponente più grande. Per confrontare $\sqrt{5}$ e $2{,}2$, due numeri positivi, eleviamoli al quadrato: $5 > 2{,}2^2 = 4{,}84$, quindi $\sqrt{5} > 2{,}2$ e

$$3^{\sqrt{5}} > 3^{2{,}2}$$

(b) La base $0{,}6$ è minore di 1, quindi l’ordine si inverte. Siccome $\pi > 3$:

$$0{,}6^{\pi} < 0{,}6^{3}$$

(c) Anche $\frac{2}{5}$ è minore di 1. Gli esponenti: $\sqrt{2} < 1{,}5$, perché $2 < 2{,}25$, e cambiando segno $-\sqrt{2} > -1{,}5$. La base minore di 1 inverte l’ordine:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^{-\sqrt{2}} < \left(\frac{2}{5}\right)^{-1{,}5}$$

Con la calcolatrice: $11{,}66 > 11{,}21$, $0{,}201 < 0{,}216$ e $3{,}65 < 3{,}95$. Nella (c) ci sono due trappole insieme, il segno meno e la base minore di 1: scrivi sempre prima il confronto tra gli esponenti, poi quello tra le potenze.

2. Stesso esponente

Testo. Stabilisci quale dei due numeri è maggiore: (a) $\left(\frac{3}{4}\right)^{\sqrt{2}}$ e $\left(\frac{4}{5}\right)^{\sqrt{2}}$; (b) $0{,}4^{-\sqrt{3}}$ e $0{,}5^{-\sqrt{3}}$; (c) $7^{-1/2}$ e $5^{-1/2}$.

(a) L’esponente $\sqrt{2}$ è positivo: vince la base più grande. Con denominatore comune, $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ e $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$, quindi

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{\sqrt{2}} < \left(\frac{4}{5}\right)^{\sqrt{2}}$$

(b) L’esponente $-\sqrt{3}$ è negativo: vince la base più piccola. Siccome $0{,}4 < 0{,}5$:

$$0{,}4^{-\sqrt{3}} > 0{,}5^{-\sqrt{3}}$$

(c) Esponente negativo e $5 < 7$, quindi $5^{-1/2} > 7^{-1/2}$. Lo vedi anche così: $7^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{7}}$ e $5^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$, e la frazione con il denominatore più piccolo è la più grande. Valori: $0{,}666 < 0{,}729$, $4{,}89 > 3{,}32$ e $0{,}378 < 0{,}447$.

3. Riportare alla stessa base

Testo. Confronta (a) $8^{\sqrt{2}}$ e $4^{2}$; (b) $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\sqrt{3}}$ e $8^{1{,}2}$; (c) $27^{0{,}4}$ e $9^{0{,}6}$.

(a) Tutto in base 2, con la potenza di potenza:

$$\begin{gathered} 8^{\sqrt{2}} = \left(2^3\right)^{\sqrt{2}} = 2^{3\sqrt{2}} \\ 4^2 = \left(2^2\right)^2 = 2^4 \end{gathered}$$

Confrontiamo $3\sqrt{2}$ e 4 elevando al quadrato: $18 > 16$. Base 2 maggiore di 1, quindi $8^{\sqrt{2}} > 4^2 = 16$; infatti $8^{\sqrt{2}} \approx 18{,}9$.

(b) Siccome $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ e $8 = 2^3$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\sqrt{3}} = \left(2^{-2}\right)^{-\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3}} \\ 8^{1{,}2} = \left(2^3\right)^{1{,}2} = 2^{3{,}6} \end{gathered}$$

Al quadrato: $\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 12$ e $3{,}6^2 = 12{,}96$, quindi $2\sqrt{3} < 3{,}6$ e $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\sqrt{3}} < 8^{1{,}2}$. Valori: circa $11{,}04$ e $12{,}13$.

(c) Tutto in base 3:

$$\begin{gathered} 27^{0{,}4} = \left(3^3\right)^{0{,}4} = 3^{1{,}2} \\ 9^{0{,}6} = \left(3^2\right)^{0{,}6} = 3^{1{,}2} \end{gathered}$$

Sorpresa: i due numeri sono uguali. Riportare alla stessa base trasforma il confronto tra potenze in un confronto tra esponenti, che spesso si chiude elevando al quadrato.

4. Riportare allo stesso esponente

Testo. Senza calcolatrice: (a) chi è più grande tra $2^{70}$ e $5^{30}$? (b) E tra $\sqrt[4]{3}$ e $\sqrt[6]{5}$?

(a) Gli esponenti 70 e 30 hanno il fattore comune 10:

$$\begin{gathered} 2^{70} = \left(2^7\right)^{10} = 128^{10} \\ 5^{30} = \left(5^3\right)^{10} = 125^{10} \end{gathered}$$

Stesso esponente positivo e $128 > 125$: quindi $2^{70} > 5^{30}$. I due numeri sono vicinissimi, circa $1{,}18 \cdot 10^{21}$ e $9{,}31 \cdot 10^{20}$: a occhio non avresti potuto deciderlo.

(b) Scriviamoli come $3^{1/4}$ e $5^{1/6}$ ed eleviamo alla dodicesima, il minimo comune multiplo di 4 e 6. L’esponente 12 è positivo, quindi l’ordine non cambia:

$$\begin{gathered} \left(3^{1/4}\right)^{12} = 3^3 = 27 \\ \left(5^{1/6}\right)^{12} = 5^2 = 25 \end{gathered}$$

Quindi $\sqrt[4]{3} > \sqrt[6]{5}$: circa $1{,}316$ contro $1{,}308$.

5. Ordinare quattro numeri

Testo. Ordina dal più piccolo al più grande questi quattro numeri:

$$2^{\sqrt{2}} \qquad 4^{0{,}7} \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{-1{,}5} \qquad \sqrt[3]{16}$$

Sono tutte potenze di 2 travestite. Riscriviamole:

$$\begin{gathered} 4^{0{,}7} = \left(2^2\right)^{0{,}7} = 2^{1{,}4} \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1{,}5} = \left(2^{-1}\right)^{-1{,}5} = 2^{1{,}5} \\ \sqrt[3]{16} = \left(2^4\right)^{1/3} = 2^{4/3} \end{gathered}$$

Ora basta ordinare gli esponenti, con disuguaglianze sicure:

• $\frac{4}{3} < 1{,}4$, perché moltiplicando per 3 si ha $4 < 4{,}2$;
• $1{,}4 < \sqrt{2}$, perché $1{,}96 < 2$;
• $\sqrt{2} < 1{,}5$, perché $2 < 2{,}25$.

La base 2 è maggiore di 1, quindi le potenze sono nello stesso ordine degli esponenti:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{16} < 4^{0{,}7} < 2^{\sqrt{2}} \\ 2^{\sqrt{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1{,}5} \end{gathered}$$

Valori: $2{,}520$, $2{,}639$, $2{,}665$ e $2{,}828$. Ritrovi i numeri della prima riga della tabella: $2^{1{,}4} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1{,}5}$.

6. Un confronto con il parametro

Testo. (a) Per quali valori reali di $a$ si ha $a^{\sqrt{5}} < a^{\sqrt{3}}$? (b) Per quali $x$ reali si ha $2^x < 3^x$?

(a) Gli esponenti sono irrazionali e positivi, quindi deve essere $a \geq 0$. Per $a = 0$ le due potenze valgono entrambe 0, e la disuguaglianza stretta è falsa. Per $a > 0$ confrontiamo gli esponenti: $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, perché $5 > 3$. Ora i tre casi della monotonia:

• se $a > 1$, l’esponente più grande dà la potenza più grande: $a^{\sqrt{5}} > a^{\sqrt{3}}$, no;
• se $a = 1$, le due potenze valgono 1: no;
• se $0 < a < 1$, l’ordine si inverte: $a^{\sqrt{5}} < a^{\sqrt{3}}$, sì.

La disuguaglianza vale per $0 < a < 1$. Per esempio, con $a = \frac{1}{2}$ si ha circa $0{,}21 < 0{,}30$.

(b) Dividiamo entrambi i membri per $2^x$, che è positivo, quindi il verso non cambia:

$$\begin{gathered} 2^x < 3^x \\ 1 < \frac{3^x}{2^x} = \left(\frac{3}{2}\right)^x \end{gathered}$$

La base $\frac{3}{2}$ è maggiore di 1 e $1 = \left(\frac{3}{2}\right)^0$, quindi la disuguaglianza vale se e solo se $x > 0$. È la monotonia rispetto alla base letta al contrario: con esponente positivo vince la base 3, con esponente negativo vince la base 2, e per $x = 0$ le due potenze sono uguali.

In sintesi

• Per $a > 1$, $a^x = \sup\left\{ a^r : r \in \mathbb{Q},\ r \leq x \right\}$: esiste per la completezza di $\mathbb{R}$ ed è il limite delle potenze con esponenti decimali che si avvicinano a $x$.
• Per $0 < a < 1$, $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$; $1^x = 1$; $0^x = 0$ solo per $x > 0$. Con base negativa servono esponenti interi.
• Per $a, b > 0$ valgono tutte le proprietà delle potenze, e $a^x > 0$ per ogni $x$.
• Stessa base: con $a > 1$ vince l’esponente più grande, con $0 < a < 1$ il più piccolo.
• Stesso esponente: se è positivo vince la base più grande, se è negativo la più piccola.
• Basi ed esponenti diversi: base comune, esponente comune, oppure confronto con 1 o con un numero intermedio.
• Elevare due numeri positivi alla stessa potenza positiva non cambia il loro ordine.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze.