Funzioni: definizione, dominio, codominio, immagine, controimmagine ed esercizi

Il prezzo di un parcheggio dipende da quante ore resti, il tuo compleanno da chi sei: ogni volta che una quantità ne determina un’altra senza ambiguità c’è una funzione. È l’oggetto più importante di Analisi 1: limiti, derivate e integrali parlano tutti di funzioni, e all’esame «trova l’immagine» è una domanda frequente. In questa pagina vediamo la definizione di funzione con esempi e controesempi, anche come insieme di coppie, dominio, codominio e immagine, come si calcola l’immagine, la controimmagine, il grafico e il test della retta verticale, cosa si legge da un grafico, le funzioni a tratti (con la parte intera e una tariffa), uguaglianza e restrizione di funzioni, le operazioni, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La definizione di funzione

Pensa a un distributore automatico: se lo stesso codice desse a volte una merendina e a volte una bibita, o non desse niente, sarebbe guasto; che due codici diano lo stesso prodotto, invece, va bene. È l’idea di funzione.

$f(x)$ si chiama immagine di $x$, o valore di $f$ in $x$; $x$ è la variabile indipendente, $y$ quella dipendente. Le richieste sono due, e una relazione che ne viola anche una sola non è una funzione:

1. ogni elemento di $A$ deve avere un corrispondente, nessuno escluso;
2. il corrispondente deve essere uno solo.

Due elementi diversi di $A$ possono invece avere lo stesso corrispondente, e qualche elemento di $B$ può non riceverne nessuno.

Esempi e controesempi

• Associare a ogni persona il suo compleanno è una funzione: ognuno è nato in un solo giorno, e che molti festeggino lo stesso giorno è permesso.
• Associare a ogni giorno «chi compie gli anni quel giorno» non lo è: il 25 dicembre li compiono moltissime persone.
• $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ è una funzione: ogni numero ha un solo quadrato.
• $x \mapsto \pm\sqrt{x}$, che associa a $x$ i numeri il cui quadrato è $x$, non lo è: a $4$ associa sia $2$ sia $-2$. Per questo $\sqrt{x}$ indica solo la radice non negativa: così la radice quadrata è una funzione da $[0, +\infty)$ in $\mathbb{R}$.
• $x \mapsto \frac{1}{x}$ non è una funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$, perché $0$ resta senza immagine; lo è da $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ in $\mathbb{R}$. Il dominio fa parte della funzione.

La definizione rigorosa: un insieme di coppie

In modo rigoroso, una funzione è l’elenco completo delle coppie «ingresso, uscita»: un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $A \times B$ tale che per ogni $x \in A$ esiste uno e un solo $y \in B$ con $(x, y) \in f$. Scrivere $y = f(x)$ significa che la coppia $(x, y)$ sta in $f$.

La funzione della figura, a sinistra, è $\{(1, a),\ (2, a),\ (3, c)\}$. La relazione di destra, $\{(1, a),\ (2, b),\ (2, c)\}$, sbaglia due volte: due coppie cominciano con 2 e nessuna con 3. La conseguenza importante è che la funzione non è la sua formula: la stessa funzione si può descrivere con formule diverse, come $\sqrt{x^2}$ e $|x|$, o anche con una tabella.

Un po’ di storia. La parola «funzione» risale a Leibniz, che la usò dal 1673 per segmenti legati a una curva, come la tangente. Nel 1718 Johann Bernoulli chiamò funzione una quantità «composta in qualunque modo» da una variabile e da costanti: una formula. La definizione come insieme di coppie si affermò nel Novecento, per esempio con Bourbaki (1939).

Dominio, codominio e immagine

Ogni funzione $f : A \to B$ porta con sé tre insiemi.

• Il dominio è l’insieme di partenza $A$: i valori che si possono dare a $x$. Si indica con $\operatorname{dom} f$ o $D_f$.
• Il codominio è l’insieme di arrivo $B$, in cui la funzione prende i suoi valori.
• L’immagine è l’insieme dei valori raggiunti davvero:

$$\operatorname{Im} f = f(A) = \{f(x) : x \in A\} \subseteq B$$

Il codominio è una scelta, l’immagine un risultato. Associa a ogni studente di un appello il suo voto, con codominio $\{18, 19, \dots, 30\}$: l’immagine contiene solo i voti dati davvero. Allo stesso modo $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ ha codominio $\mathbb{R}$, ma i quadrati non sono mai negativi, quindi l’immagine è $[0, +\infty)$. Quando immagine e codominio coincidono la funzione è suriettiva: lo vediamo in funzioni iniettive, suriettive e biiettive.

L’immagine di un sottoinsieme

Se $S \subseteq A$, l’immagine di $S$ è l’insieme dei valori che $f$ assume sui punti di $S$:

$$f(S) = \{f(x) : x \in S\}$$

Con $f(x) = x^2$ e $S = [-3, 1]$: mentre $x$ va da $-3$ a $0$ il quadrato scende da 9 a 0, poi risale fino a 1. Quindi $f(S) = [0, 9]$. Non basta guardare gli estremi, $f(-3) = 9$ e $f(1) = 1$: il valore 0 arriva da $x = 0$, che sta in mezzo.

Come si calcola l’immagine di una funzione

L’idea chiave: $y$ sta nell’immagine se e solo se l’equazione $f(x) = y$ ha almeno una soluzione nel dominio. La scaletta:

1. scrivi l’equazione $f(x) = y$, trattando $y$ come un parametro;
2. risolvila rispetto a $x$, distinguendo i casi su $y$ (divisioni per zero, discriminante, radici);
3. controlla che la soluzione stia nel dominio, o nell’insieme $S$ che ti interessa;
4. l’immagine è l’insieme degli $y$ con almeno una soluzione accettabile.

Esempio 1: una funzione fratta

Prendiamo $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Moltiplichiamo per $x + 2$, che nel dominio non è zero:

$$\begin{gathered} 3x - 1 = y\,(x + 2) \\ x\,(3 - y) = 2y + 1 \end{gathered}$$

Se $y \neq 3$ si trova $x = \dfrac{2y + 1}{3 - y}$, che non è mai $-2$: imponendolo si arriva a $2y + 1 = 2y - 6$, impossibile. Se $y = 3$ l’equazione diventa $0 = 7$: nessuna soluzione. Quindi

$$\operatorname{Im} f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$$

Controllo: $f(0) = -\frac{1}{2}$, e la formula con $y = -\frac{1}{2}$ dà proprio $x = 0$. Il valore escluso corrisponde all’asintoto orizzontale $y = 3$ della funzione omografica.

Esempio 2: una parabola su un intervallo

Cerchiamo l’immagine di $g(x) = x^2 + 2x$ su $S = [-2, 2]$. L’equazione $x^2 + 2x - y = 0$ ha soluzioni reali solo se $1 + y \geq 0$, cioè $y \geq -1$:

$$x = -1 \pm \sqrt{1 + y}$$

Ora il controllo su $S$:

• $x_1 = -1 + \sqrt{1 + y}$ è sempre $\geq -1$, e sta sotto 2 se $\sqrt{1 + y} \leq 3$, cioè $y \leq 8$;
• $x_2 = -1 - \sqrt{1 + y}$ è sempre $\leq -1$, e sta sopra $-2$ se $\sqrt{1 + y} \leq 1$, cioè $y \leq 0$.

C’è almeno una soluzione accettabile se e solo se $-1 \leq y \leq 8$:

$$g\big([-2, 2]\big) = [-1,\ 8]$$

Completando il quadrato si arriva allo stesso risultato: $g(x) = (x + 1)^2 - 1$ con $x + 1 \in [-1, 3]$, quindi $(x + 1)^2 \in [0, 9]$. La risposta $[g(-2), g(2)] = [0, 8]$ sarebbe sbagliata: perde i valori vicino al vertice $x = -1$.

Con la monotonia e la continuità

Se $f$ è continua e crescente su un intervallo chiuso $[a, b]$, allora $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$: i valori stanno tra $f(a)$ e $f(b)$ per la monotonia, e sono presi tutti per il teorema dei valori intermedi. Per esempio $x^3 + x$ è continua e crescente, quindi l’immagine di $[0, 2]$ è $[0, 10]$. Per funzioni più complicate si studiano il segno della derivata e i limiti agli estremi del dominio: è l’immagine con le derivate.

La controimmagine

Qui la domanda si rovescia: non dove va a finire $x$, ma da dove arriva un certo valore.

Per un solo valore $y$, $f^{-1}(\{y\})$ è l’insieme delle soluzioni di $f(x) = y$: con la funzione «compleanno», la controimmagine del 25 dicembre è l’insieme delle persone nate a Natale. Con $f(x) = x^2$:

• $f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\}$, $f^{-1}(\{0\}) = \{0\}$ e $f^{-1}(\{-1\}) = \varnothing$;
• $f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]$, perché $1 \leq x^2 \leq 4$ vale per $1 \leq |x| \leq 2$.

Quindi risolvere una disequazione è calcolare una controimmagine: le soluzioni di $f(x) > 0$ formano $f^{-1}\big((0, +\infty)\big)$. Anche il dominio di $\sqrt{h(x)}$ è una controimmagine, quella di $[0, +\infty)$ tramite $h$.

Immagine e controimmagine non si annullano a vicenda: con $f(x) = x^2$ e $S = [0, 1]$ si ha $f(S) = [0, 1]$, ma $f^{-1}([0, 1]) = [-1, 1]$, più grande di $S$. In generale vale solo $S \subseteq f^{-1}\big(f(S)\big)$.

Le funzioni reali di variabile reale

In Analisi 1 lavoreremo quasi sempre con funzioni con dominio contenuto in $\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$: le funzioni reali di variabile reale. Di solito vengono date solo con la formula, come $f(x) = \sqrt{x - 1}$; allora si sottintende che il dominio sia il più grande insieme di numeri reali in cui la formula ha senso, il dominio naturale o campo di esistenza. Qui serve $x - 1 \geq 0$, quindi il dominio è $[1, +\infty)$. Come si calcola in tutti i casi lo vediamo in dominio di una funzione.

Il grafico di una funzione

Il grafico di $f$ è l’insieme dei punti del piano che hanno come ascissa un elemento del dominio e come ordinata la sua immagine:

$$G_f = \{(x,\ f(x)) : x \in \operatorname{dom} f\} \subseteq \mathbb{R}^2$$

È l’insieme di coppie della definizione rigorosa, disegnato nel piano. Un punto $(a, b)$ sta sul grafico se e solo se $b = f(a)$: con $f(x) = x^2 - 1$, il punto $(2, 3)$ ci sta, perché $f(2) = 3$; il punto $(1, 1)$ no, perché $f(1) = 0$.

Il test della retta verticale

A ogni $x$ corrisponde un solo valore $f(x)$, quindi sopra ogni punto dell’asse $x$ il grafico ha al massimo un punto.

La circonferenza $x^2 + y^2 = 4$ non supera il test: per $x = 1{,}3$ ci sono due punti, con $y \approx \pm 1{,}52$. Le sue due metà, invece, sono grafici di funzioni: $y = \sqrt{4 - x^2}$ sopra e $y = -\sqrt{4 - x^2}$ sotto. Il test della retta orizzontale, invece, serve a capire se una funzione è iniettiva.

Cosa si legge da un grafico

Prendi la funzione della figura, definita su $[1, 9)$: il pallino pieno indica un punto incluso, quello vuoto un punto escluso.

• Il dominio è l’ombra del grafico sull’asse $x$: $[1, 9)$.
• L’immagine è l’ombra sull’asse $y$: $[-2, 3]$, tra il minimo $-2$, in $x = 6$, e il massimo $3$, in $x = 3$.
• Gli zeri, le soluzioni di $f(x) = 0$, sono dove il grafico incontra l’asse $x$: 2, 5 e 8.
• Il segno: $f(x) > 0$ dove il grafico sta sopra l’asse, in $(2, 5) \cup (8, 9)$; $f(x) < 0$ dove sta sotto, in $[1, 2) \cup (5, 8)$.
• La monotonia: $f$ cresce su $[1, 3]$, decresce su $[3, 6]$, cresce su $[6, 9)$ (le definizioni sono in funzioni monotone).
• Le soluzioni di $f(x) = k$ sono le ascisse delle intersezioni con la retta $y = k$: per $k = 1$ sono tre.

Il percorso inverso, dai conti al grafico, è quello degli studi di funzione; per disegnare un grafico partendo da uno noto servono le trasformazioni dei grafici.

Le funzioni definite a tratti

Una funzione può usare formule diverse in parti diverse del dominio:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{se } x \geq 1 \end{cases}$$

Per calcolare $f$ in un punto bisogna prima capire in quale tratto cade: $f(-2) = (-2)^2 = 4$, $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Sono definite a tratti anche il valore assoluto e la funzione segno:

$$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \text{se } x < 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \\ 1 & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

La parte intera

Quindi $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor 3 \rfloor = 3$, $\lfloor \pi \rfloor = 3$. Con i negativi attenzione: $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$ e $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$, perché $-2$ è più grande di $-2{,}3$. Alcuni libri scrivono $[x]$.

È una funzione a tratti con infiniti tratti: vale $n$ su ogni intervallo $[n, n + 1)$. Il grafico è una scala di gradini di altezza 1, con il pallino pieno a sinistra (figura sotto, in alto). Il dominio è $\mathbb{R}$, l’immagine è $\mathbb{Z}$, la controimmagine di $\{n\}$ è $[n, n + 1)$.

Una tariffa a scaglioni

Un parcheggio costa 2 euro per ogni ora o frazione di ora, per un massimo di 3 ore. Il costo in euro, in funzione del tempo $t$ in ore, è

$$C(t) = \begin{cases} 2 & \text{se } 0 < t \leq 1 \\ 4 & \text{se } 1 < t \leq 2 \\ 6 & \text{se } 2 < t \leq 3 \end{cases}$$

Il dominio è $(0, 3]$ e il codominio $\mathbb{R}$, ma l’immagine contiene solo tre numeri: $\{2, 4, 6\}$. Le controimmagini rispondono a domande concrete: $C^{-1}(\{4\}) = (1, 2]$ dice per quanto tempo si pagano 4 euro, $C^{-1}([0, 5]) = (0, 2]$ che con 5 euro puoi restare al massimo 2 ore. Qui i pallini pieni sono a destra: a un’ora esatta paghi ancora 2 euro, un minuto dopo 4.

Quando due funzioni sono uguali

Non basta che le formule si somiglino: $f(x) = x$ e $g(x) = \frac{x^2}{x}$ sono diverse, perché $g$ non è definita in $x = 0$; altre coppie così, come $\ln(x^2)$ e $2\ln x$, sono nella trappola delle semplificazioni. Al contrario, $\sqrt{x^2}$ e $|x|$ sono uguali: stesso dominio $\mathbb{R}$ e stessi valori, con formule diverse.

La restrizione di una funzione

Se $f : A \to B$ e $S \subseteq A$, la restrizione di $f$ a $S$ è la funzione $f|_S : S \to B$ che usa la stessa legge, solo sui punti di $S$. Ha un altro dominio, quindi è una funzione diversa da $f$. Qualche esempio:

• $\frac{x^2}{x}$ è la restrizione di $x$ a $\mathbb{R} \setminus \{0\}$;
• $x^2$ non è invertibile su $\mathbb{R}$, ma la sua restrizione a $[0, +\infty)$ lo è, con inversa $\sqrt{x}$: è così che si costruiscono molte funzioni inverse;
• restringere il dominio può restringere l’immagine: $x^2$ su $[-3, 1]$ ha immagine $[0, 9]$.

Le operazioni tra funzioni

Date due funzioni reali $f$ e $g$, somma, differenza, prodotto e quoziente si calcolano punto per punto:

$$\begin{gathered} (f + g)(x) = f(x) + g(x) \\ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \\ \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \end{gathered}$$

Somma, differenza e prodotto sono definiti sull’intersezione dei domini; per il quoziente bisogna togliere anche i punti in cui $g(x) = 0$. Per esempio, con $f(x) = \sqrt{x + 2}$ e $g(x) = \ln(3 - x)$ si ha $\operatorname{dom} f = [-2, +\infty)$ e $\operatorname{dom} g = (-\infty, 3)$: somma e prodotto sono definiti su $[-2, 3)$. Per il quoziente si toglie anche lo zero del logaritmo, $3 - x = 1$, cioè $x = 2$:

$$\operatorname{dom} \frac{f}{g} = [-2,\ 2) \cup (2,\ 3)$$

Applicare una funzione dopo l’altra, invece, è la funzione composta, che ha un articolo tutto suo.

Le successioni: funzioni definite sui naturali

Anche le successioni sono funzioni, con dominio $\mathbb{N}$: $a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, scritta $a_n$ invece di $a(n)$. Il grafico è una fila di punti isolati, e tutto quello che hai visto vale ancora: per $a_n = (-1)^n$ l’immagine è $\{-1, 1\}$ e la controimmagine di $\{1\}$ sono i numeri pari. Le studiamo in successioni.

Gli errori più comuni

• Confondere codominio e immagine. Il codominio si sceglie, l’immagine si calcola: $x^2$ ha codominio $\mathbb{R}$ e immagine $[0, +\infty)$.
• Pensare che a ogni $y$ debba corrispondere un solo $x$. La definizione chiede un solo $y$ per ogni $x$; che più $x$ abbiano lo stesso valore è permesso.
• Calcolare l’immagine di un intervallo con i soli estremi. $x^2 + 2x$ su $[-2, 2]$ ha immagine $[-1, 8]$, non $[0, 8]$: il vertice sta dentro l’intervallo.
• Dimenticare il controllo sul dominio. Risolvendo $f(x) = y$, una soluzione fuori dal dominio non conta.
• Confondere controimmagine e inversa. $f^{-1}(T)$ esiste sempre ed è un insieme; la funzione inversa solo se $f$ è biiettiva.
• Semplificare prima di confrontare due funzioni. $\frac{x^2}{x}$ e $x$ hanno domini diversi, quindi sono diverse.
• Sbagliare la parte intera dei negativi. $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$, non $-2$.

Esercizi svolti

1. Funzione o no?

Testo. Siano $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{1, 2, \dots, 8\}$. Quali di queste relazioni, scritte come insiemi di coppie $(x, y)$, sono funzioni da $A$ a $B$? Per quelle che lo sono, trova l’immagine. Poi di’ se la legge che associa a $x$ i numeri $y$ con $y^2 = x$ è una funzione da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, e da $[0, +\infty)$ a $[0, +\infty)$.

$$\begin{gathered} R_1 = \{(1, 2),\ (2, 4),\ (3, 6)\} \\ R_2 = \{(1, 5),\ (2, 5),\ (3, 5)\} \\ R_3 = \{(1, 3),\ (3, 7)\} \\ R_4 = \{(1, 2),\ (2, 3),\ (3, 4),\ (1, 6)\} \end{gathered}$$

Ogni elemento di $A$ deve comparire come primo elemento di una e una sola coppia.

• $R_1$ è una funzione, con immagine $\{2, 4, 6\}$.
• $R_2$ è una funzione costante: che tutte le frecce arrivino su 5 è permesso. L’immagine è $\{5\}$.
• $R_3$ non lo è: il 2 non ha corrispondente.
• $R_4$ non lo è: l’1 ha due corrispondenti, 2 e 6.

La legge «$y^2 = x$» da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ fallisce in tutti e due i modi: a $x = 4$ associa $2$ e $-2$, a $x = -1$ niente. Da $[0, +\infty)$ a $[0, +\infty)$, invece, a ogni $x \geq 0$ associa il solo $y = \sqrt{x}$: è una funzione.

2. L’immagine di una funzione fratta su una semiretta

Testo. Determina l’immagine della funzione $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x + 4}{x + 1}$.

Risolviamo $f(x) = y$. Per $x \geq 0$ il denominatore è positivo, quindi possiamo moltiplicare:

$$\begin{gathered} x + 4 = y\,(x + 1) \\ x\,(1 - y) = y - 4 \end{gathered}$$

Per $y = 1$ si ottiene $0 = -3$, impossibile: 1 non sta nell’immagine. Per $y \neq 1$:

$$x = \frac{y - 4}{1 - y} = \frac{4 - y}{y - 1}$$

Il controllo sul dominio chiede $x \geq 0$. Il numeratore è $\geq 0$ per $y \leq 4$, il denominatore è positivo per $y > 1$; non possono essere entrambi negativi, perché servirebbe $y > 4$ e $y < 1$. Quindi

$$f\big([0, +\infty)\big) = (1,\ 4]$$

Lo conferma la riscrittura $f(x) = 1 + \frac{3}{x + 1}$: per $x \geq 0$ la frazione sta in $(0, 3]$. Il massimo è $4 = f(0)$, mentre 1 non è mai raggiunto. Verifica: con $y = 2$ la formula dà $x = 2$, e $f(2) = \frac{6}{3} = 2$.

3. Controimmagini per una parabola

Testo. Sia $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina $f^{-1}(\{0\})$, $f^{-1}\big((-3, 0]\big)$ e $f^{-1}\big([-6, -4]\big)$.

Completiamo il quadrato: $f(x) = (x - 3)^2 - 4$. Il primo punto è un’equazione: $(x - 1)(x - 5) = 0$, quindi $f^{-1}(\{0\}) = \{1, 5\}$.

Per il secondo cerchiamo gli $x$ con $-3 < f(x) \leq 0$:

$$\begin{gathered} -3 < (x - 3)^2 - 4 \leq 0 \\ 1 < (x - 3)^2 \leq 4 \\ 1 < |x - 3| \leq 2 \end{gathered}$$

$|x - 3| \leq 2$ vuol dire $1 \leq x \leq 5$; $|x - 3| > 1$ vuol dire $x < 2$ oppure $x > 4$. Insieme:

$$f^{-1}\big((-3, 0]\big) = [1,\ 2) \cup (4,\ 5]$$

2 e 4 sono esclusi perché lì $f$ vale $-3$; 1 e 5 inclusi perché lì vale 0.

Per il terzo serve $-6 \leq (x - 3)^2 - 4 \leq -4$, cioè $-2 \leq (x - 3)^2 \leq 0$. Un quadrato non è mai negativo, quindi resta $(x - 3)^2 = 0$ e $f^{-1}\big([-6, -4]\big) = \{3\}$: il minimo di $f$ è $-4$, e i valori sotto $-4$ non sono mai raggiunti. Verifica: $f(1{,}5) = -1{,}75$, e infatti $1{,}5 \in [1, 2)$.

4. Sono la stessa funzione?

Testo. Per ciascuna coppia, stabilisci se $f$ e $g$ sono la stessa funzione:

1. $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ e $g(x) = x - 1$;
2. $f(x) = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}$ e $g(x) = \sqrt{x^2 - 1}$;
3. $f(x) = \dfrac{x^3 + x}{x^2 + 1}$ e $g(x) = x$.

1. Il radicando è $(x - 1)^2 \geq 0$, quindi entrambe hanno dominio $\mathbb{R}$. Ma la radice di un quadrato è un valore assoluto, $f(x) = |x - 1|$, e $f(0) = 1$ mentre $g(0) = -1$: sono diverse. Coincidono solo su $[1, +\infty)$.

2. Per $f$ servono $x - 1 \geq 0$ e $x + 1 \geq 0$: $\operatorname{dom} f = [1, +\infty)$. Per $g$ serve $x^2 - 1 \geq 0$: $\operatorname{dom} g = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Domini diversi, funzioni diverse: $g(-2) = \sqrt{3}$, $f(-2)$ non esiste. Su $[1, +\infty)$ i valori coincidono, perché $\sqrt{a}\,\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ per $a, b \geq 0$: $f$ è la restrizione di $g$.

3. $x^2 + 1 \geq 1$ non si annulla mai, quindi entrambe hanno dominio $\mathbb{R}$. E $x^3 + x = x\,(x^2 + 1)$, quindi $f(x) = x$ ovunque: sono uguali. A differenza di $\frac{x^2}{x}$, qui semplificare è lecito, perché il fattore tolto non vale mai zero.

5. L’immagine di una funzione a tratti

Testo. Considera la funzione

$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{se } x < 0 \\ (x - 2)^2 + 2 & \text{se } 0 \leq x \leq 3 \end{cases}$$

Determina l’immagine, di’ se $f$ ha massimo e minimo e risolvi l’equazione $f(x) = 3$.

Il dominio è $(-\infty, 3]$. Si calcola l’immagine di ogni tratto e poi si fa l’unione.

• Primo tratto. Per $x < 0$ si ha $x + 1 < 1$, e ogni $y < 1$ è raggiunto da $x = y - 1$, che è negativo: immagine $(-\infty, 1)$.
• Secondo tratto. Per $0 \leq x \leq 3$ si ha $-2 \leq x - 2 \leq 1$, quindi $(x - 2)^2$ prende tutti i valori di $[0, 4]$ e $f(x)$ quelli di $[2, 6]$: il minimo 2 nel vertice $x = 2$, il massimo 6 in $x = 0$.

$$\operatorname{Im} f = (-\infty,\ 1) \cup [2,\ 6]$$

I valori di $[1, 2)$ non sono mai presi: il buco è possibile perché in $x = 0$ la funzione fa un salto, mentre una funzione continua su un intervallo ha sempre come immagine un intervallo. Il massimo è $6 = f(0)$; il minimo non esiste, perché per $x \to -\infty$ il primo tratto scende sotto qualunque valore.

Per l’equazione: nel primo tratto $x + 1 = 3$ dà $x = 2$, che non è minore di 0: scartata. Nel secondo $(x - 2)^2 = 1$ dà $x = 1$ oppure $x = 3$, entrambe in $[0, 3]$. Quindi $f^{-1}(\{3\}) = \{1, 3\}$, e infatti $f(1) = f(3) = 3$.

6. Leggere un grafico descritto a parole

Testo. Il grafico di una funzione $f$ è formato da due pezzi:

• il segmento che va da $(-3, -2)$, pallino pieno, a $(0, 4)$, pallino vuoto;
• la spezzata che parte da $(0, 1)$, pallino pieno, scende in linea retta fino a $(2, -1)$ e risale in linea retta fino a $(5, 2)$, pallino vuoto.

Determina dominio, immagine, zeri, segno e monotonia di $f$, il valore $f(0)$, le soluzioni di $f(x) = 1$, e di’ se $f$ ha massimo e minimo.

Fai prima il disegno. Dalle pendenze tra gli estremi si ricavano le formule dei tratti:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{se } {-3} \leq x < 0 \\ 1 - x & \text{se } 0 \leq x \leq 2 \\ x - 3 & \text{se } 2 < x < 5 \end{cases}$$

Dominio e $f(0)$. L’ombra sull’asse $x$ va da $-3$, incluso, a 5, escluso: $\operatorname{dom} f = [-3, 5)$. Il punto $(0, 4)$ è vuoto e $(0, 1)$ è pieno, quindi $f(0) = 1$.

Immagine. Il segmento prende i valori di $[-2, 4)$, con 4 escluso; la spezzata quelli di $[-1, 2)$. L’unione è $\operatorname{Im} f = [-2, 4)$.

Zeri e segno. $2x + 4 = 0$ dà $x = -2$, $1 - x = 0$ dà $x = 1$, $x - 3 = 0$ dà $x = 3$. Il grafico sta sopra l’asse in $(-2, 1) \cup (3, 5)$ e sotto in $[-3, -2) \cup (1, 3)$.

Monotonia. $f$ cresce su $[-3, 0)$, decresce su $[0, 2]$ e cresce su $[2, 5)$. Non è crescente su $[-3, 0]$: $f(-0{,}5) = 3$ è più grande di $f(0) = 1$.

L’equazione $f(x) = 1$. Nel segmento $2x + 4 = 1$ dà $x = -\frac{3}{2}$; nella spezzata $1 - x = 1$ dà $x = 0$ e $x - 3 = 1$ dà $x = 4$. Ciascuna sta nel suo tratto: $f^{-1}(\{1\}) = \left\{-\frac{3}{2},\ 0,\ 4\right\}$.

Massimo e minimo. Il minimo è $-2 = f(-3)$. Il massimo non esiste: vicino a 0, da sinistra, i valori si avvicinano a 4 senza mai prenderlo. Il 4 è l’estremo superiore di $f$, non un massimo.

Altri esercizi su immagini, inverse e composte li trovi negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• Una funzione $f : A \to B$ associa a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$; in modo rigoroso, è un sottoinsieme di $A \times B$.
• Il codominio è l’insieme di arrivo, l’immagine $f(A)$ l’insieme dei valori raggiunti.
• $y$ sta nell’immagine se e solo se $f(x) = y$ ha almeno una soluzione nel dominio.
• La controimmagine $f^{-1}(T)$ è l’insieme degli $x$ con $f(x) \in T$: esiste sempre e non è la funzione inversa.
• Una curva è un grafico se ogni retta verticale la incontra al massimo una volta; dominio e immagine sono le sue ombre sugli assi.
• $\lfloor x \rfloor$ è il più grande intero $\leq x$: $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$.
• Due funzioni sono uguali solo se hanno lo stesso dominio e gli stessi valori.

Se la funzione è data solo con la formula, il primo passo è sempre trovare il dominio: ecco come si fa, caso per caso, in dominio di una funzione.