Insiemi e operazioni tra insiemi: simboli, Venn, logica ed esercizi svolti

Analisi 1 comincia quasi sempre dagli insiemi. Non perché siano difficili, ma perché sono la lingua in cui è scritto tutto il corso: il dominio di una funzione è un insieme, le soluzioni di una disequazione formano un insieme, la definizione di limite è una frase piena di simboli come $\forall$ ed $\exists$, e all’esame la usi in ogni esercizio. In questa pagina vediamo cos’è un insieme e come si scrive, sottoinsiemi e insieme delle parti, unione, intersezione, differenza e complementare, le leggi di De Morgan, come si contano gli elementi di un’unione, le operazioni con gli intervalli, il prodotto cartesiano, connettivi e quantificatori con il modo giusto di negarli, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Che cos’è un insieme

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi, descritta in modo così preciso che, preso un oggetto qualsiasi, si può sempre decidere se ne fa parte oppure no.

«Le vocali dell’alfabeto italiano» è un insieme: per ogni lettera sappiamo dire se è una vocale. «I numeri grandi» non lo è, perché non c’è un criterio oggettivo per dire quando un numero è grande.

Gli insiemi si indicano con le maiuscole, gli elementi con le minuscole. Per dire che un elemento fa parte di un insieme si usa il simbolo di appartenenza:

$$\begin{gathered} a \in A \quad \text{si legge «$a$ appartiene ad $A$»} \\ b \notin A \quad \text{si legge «$b$ non appartiene ad $A$»} \end{gathered}$$

Il paradosso di Russell

Non ogni proprietà definisce un insieme. Prova con «gli insiemi che non appartengono a sé stessi»:

$$R = \{X : X \notin X\}$$

Se $R \in R$, allora $R$ ha la proprietà, cioè $R \notin R$. Se $R \notin R$, allora ha la proprietà e quindi $R \in R$. Contraddizione in entrambi i casi: un insieme così non esiste. Bertrand Russell lo scoprì nel 1901 e lo scrisse a Gottlob Frege nel giugno 1902, mentre Frege pubblicava il secondo volume del trattato con cui voleva fondare l’aritmetica sulla logica. Con gli assiomi di Ernst Zermelo (1908), una proprietà seleziona elementi solo dentro un insieme già noto: per questo in Analisi scriviamo $\{x \in \mathbb{R} : \dots\}$.

Come si rappresenta un insieme

Per elencazione: si scrivono gli elementi tra parentesi graffe, separati da virgole.

$$V = \{a,\ e,\ i,\ o,\ u\}$$

L’ordine non conta e gli elementi ripetuti si contano una volta sola: $\{1, 2, 3\}$, $\{3, 1, 2\}$ e $\{1, 1, 2, 3\}$ sono lo stesso insieme.

Con una proprietà caratteristica: è il modo che userai di più, perché funziona anche con gli insiemi infiniti.

$$\begin{gathered} B = \{x \in \mathbb{Z} : -2 \leq x < 3\} \\ B = \{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\} \end{gathered}$$

Si legge: «$B$ è l’insieme degli $x$ interi tali che $-2 \leq x < 3$». Al posto dei due punti alcuni testi usano una barra verticale.

Con i diagrammi di Eulero-Venn: una linea chiusa con gli elementi dentro. Non dimostrano nulla, ma fanno vedere le operazioni.

Sottoinsiemi, insieme vuoto e uguaglianza

L’insieme vuoto $\varnothing$ non ha elementi. Lo incontri come soluzione di un’equazione impossibile: $\{x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\} = \varnothing$.

$A$ è un sottoinsieme di $B$, o è contenuto in $B$, se ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$:

$$A \subseteq B \iff \forall x,\ \ x \in A \Rightarrow x \in B$$

Se in più $B$ ha almeno un elemento che non sta in $A$, l’inclusione è stretta: $A \subset B$. Alcuni professori usano $\subset$ anche per l’inclusione larga: controlla la notazione del tuo corso.

L’insieme vuoto è contenuto in qualsiasi insieme: «se $x \in \varnothing$ allora $x \in A$» non può essere smentita, perché nessun $x$ sta in $\varnothing$ (è un’implicazione vera a vuoto, come vedremo).

Come si dimostra che due insiemi sono uguali

Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, cioè se ognuno è contenuto nell’altro:

$$A = B \iff A \subseteq B \ \text{ e } \ B \subseteq A$$

È il metodo della doppia inclusione: prendi un elemento generico di $A$ e mostri che sta in $B$, poi il contrario. Proviamo con

$$\begin{gathered} A = \{n \in \mathbb{Z} : n \text{ è multiplo di 2 e di 3}\} \\ B = \{6k : k \in \mathbb{Z}\} \end{gathered}$$

$B \subseteq A$. Se $n = 6k$, allora $n = 2 \cdot 3k$ e $n = 3 \cdot 2k$: è multiplo di 2 e di 3.

$A \subseteq B$. Se $n = 2a$ e $n = 3b$, con $a$ e $b$ interi, scriviamo $n$ come $3n - 2n$:

$$\begin{gathered} n = 3n - 2n = 3 \cdot 2a - 2 \cdot 3b \\ {} = 6a - 6b = 6\,(a - b) \end{gathered}$$

quindi $n$ è multiplo di 6. Le due inclusioni danno $A = B$. Controllare che 6, 12 e $-18$ stiano in entrambi non sarebbe bastato: gli elementi sono infiniti.

L’insieme delle parti

L’insieme di tutti i sottoinsiemi di $A$ si chiama insieme delle parti e si indica con $\mathcal{P}(A)$. Per $A = \{a, b, c\}$, raggruppando i sottoinsiemi per numero di elementi:

$$\begin{gathered} \varnothing \\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\} \\ \{a, b\},\ \{a, c\},\ \{b, c\} \\ \{a, b, c\} \end{gathered}$$

In tutto $1 + 3 + 3 + 1 = 8$. Con $\lvert A \rvert$ indichiamo il numero di elementi di un insieme finito, la sua cardinalità.

Perché è vero. Per ogni elemento decidi: dentro o fuori. Sono $n$ scelte con 2 possibilità ciascuna, e ogni sequenza di scelte dà un sottoinsieme diverso: in tutto $2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^n$. Per $\{a, b, c\}$, «dentro, fuori, dentro» dà $\{a, c\}$.

Si può anche procedere per induzione. Con $n = 0$ l’insieme è vuoto e ha un solo sottoinsieme, $\varnothing$ stesso: $2^0 = 1$. Se la formula vale con $n$ elementi, aggiungine uno nuovo, $b$: i sottoinsiemi senza $b$ sono i $2^n$ di prima, quelli con $b$ si ottengono aggiungendo $b$ a ciascuno di essi. Totale $2^n + 2^n = 2^{n+1}$.

Nota che $\varnothing$ e $\{\varnothing\}$ sono diversi: il primo non ha elementi, il secondo ne ha uno. Infatti $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$.

Le operazioni tra insiemi

Nei diagrammi di Venn la parte colorata è il risultato; il rettangolo $U$ è l’insieme universo, cioè tutti gli oggetti di cui stiamo parlando.

L’unione contiene gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi; l’«oppure» è inclusivo, quindi ci sono anche quelli comuni. L’intersezione contiene gli elementi comuni; se $A \cap B = \varnothing$ gli insiemi si dicono disgiunti.

$$\begin{gathered} A \cup B = \{x : x \in A \text{ oppure } x \in B\} \\ A \cap B = \{x : x \in A \text{ e } x \in B\} \end{gathered}$$

La differenza contiene gli elementi di $A$ che non stanno in $B$, e in generale $A \setminus B \neq B \setminus A$. Fissato l’universo $U$, il complementare di $A$ è tutto ciò che sta in $U$ ma non in $A$:

$$\begin{gathered} A \setminus B = \{x \in A : x \notin B\} \\ A^c = U \setminus A \end{gathered}$$

Si scrive anche $\overline{A}$, e dipende dall’universo: il complementare dei pari è l’insieme dei dispari in $\mathbb{N}$, ma non in $\mathbb{R}$.

Infine la differenza simmetrica contiene gli elementi che stanno in uno solo dei due insiemi, come un «o… o…» esclusivo:

$$\begin{gathered} A \,\Delta\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \\ {} = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \end{gathered}$$

Un esempio con tutte le operazioni

Prendiamo come universo $U = \{1, 2, \dots, 10\}$ e gli insiemi

$$\begin{gathered} A = \{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\} \\ B = \{x \in U : x \leq 4\} = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\} \end{gathered}$$

Allora:

$$\begin{gathered} A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10\} \\ A \cap B = \{2, 4\} \\ A \setminus B = \{6, 8, 10\} \qquad B \setminus A = \{1, 3\} \\ A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\} \\ A \,\Delta\, B = \{1, 3, 6, 8, 10\} \end{gathered}$$

Le proprietà delle operazioni

Unione e intersezione sono commutative e associative, come somma e prodotto: per questo si scrive $A \cup B \cup C$ senza parentesi. Valgono due proprietà distributive; la seconda con i numeri non ha un analogo, perché in generale $a + bc \neq (a + b)(a + c)$.

$$\begin{gathered} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{gathered}$$

Altre regole utili: $A \cup \varnothing = A$, $A \cap \varnothing = \varnothing$, $(A^c)^c = A$ e soprattutto $A \setminus B = A \cap B^c$.

Le leggi di De Morgan

Passando al complementare, unione e intersezione si scambiano:

$$\begin{gathered} (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \\ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \end{gathered}$$

Dimostrazione della prima, per doppia inclusione. Se $x \in (A \cup B)^c$, $x$ non sta nell’unione, quindi non sta né in $A$ né in $B$: $x \in A^c$ e $x \in B^c$, cioè $x \in A^c \cap B^c$. Viceversa, se $x \in A^c \cap B^c$, $x$ non sta in $A$ e non sta in $B$, quindi non sta nella loro unione: $x \in (A \cup B)^c$.

La seconda segue dalla prima. Applicandola ad $A^c$ e $B^c$ e usando $(A^c)^c = A$ si ottiene $(A^c \cup B^c)^c = A \cap B$; passando ai complementari, $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$.

Sull’esempio di prima: $(A \cup B)^c = \{5, 7, 9\}$, e infatti $A^c \cap B^c = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{5, 6, 7, 8, 9, 10\} = \{5, 7, 9\}$.

I simboli degli insiemi in una tabella

Simbolo	Si legge	Significato
$a \in A$	$a$ appartiene ad $A$	$a$ è un elemento di $A$
$A \subseteq B$	$A$ è contenuto in $B$	ogni elemento di $A$ sta in $B$
$A \subset B$	contenuto strettamente	$A \subseteq B$ e $A \neq B$
$\varnothing$	insieme vuoto	nessun elemento
$A \cup B$	$A$ unione $B$	in $A$ o in $B$
$A \cap B$	$A$ intersezione $B$	in $A$ e in $B$
$A \setminus B$	$A$ meno $B$	in $A$, non in $B$
$A^c$	complementare di $A$	in $U$, non in $A$
$A \,\Delta\, B$	differenza simmetrica	in uno solo dei due
$\mathcal{P}(A)$	parti di $A$	tutti i sottoinsiemi
$\lvert A \rvert$	cardinalità di $A$	numero di elementi
$A \times B$	$A$ per $B$	coppie $(a, b)$

Contare gli elementi di un’unione

Sommando $\lvert A \rvert$ e $\lvert B \rvert$, gli elementi comuni vengono contati due volte. Basta toglierli una volta:

$$\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert$$

Nell’esempio di prima: $5 + 4 - 2 = 7$. Un problema tipico: in un corso di 120 studenti, 75 hanno superato Analisi 1, 60 Fisica 1 e 40 entrambi gli esami. Chiamati $A$ e $F$ i due gruppi:

$$\begin{gathered} \lvert A \cup F \rvert = 75 + 60 - 40 = 95 \\ \lvert (A \cup F)^c \rvert = 120 - 95 = 25 \\ \lvert A \setminus F \rvert = 75 - 40 = 35 \end{gathered}$$

Quindi 95 ne hanno superato almeno uno, 25 nessuno, 35 solo Analisi e 20 solo Fisica: $35 + 20 + 40 + 25 = 120$. Con tre insiemi vale il principio di inclusione-esclusione:

$$\begin{gathered} \lvert A \cup B \cup C \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert + \lvert C \rvert \\ {} - \lvert A \cap B \rvert - \lvert A \cap C \rvert - \lvert B \cap C \rvert \\ {} + \lvert A \cap B \cap C \rvert \end{gathered}$$

Un elemento che sta in tutti e tre viene contato tre volte, tolto tre volte e rimesso una: alla fine conta una volta, come deve.

Le operazioni con gli intervalli

Con gli intervalli (li trovi negli insiemi numerici) si disegnano gli insiemi sulla retta e si legge il risultato. Con $A = [-1, 3]$ e $B = (2, 5)$:

$$\begin{gathered} A \cup B = [-1,\ 5) \qquad A \cap B = (2,\ 3] \\ A \setminus B = [-1,\ 2] \qquad B \setminus A = (3,\ 5) \end{gathered}$$

Gli estremi si decidono uno per uno, chiedendosi «questo punto sta nell’insieme?». Il 2 sta in $A \setminus B$ perché appartiene ad $A$ e non a $B$, che in 2 è aperto; il 3 invece non sta in $B \setminus A$, perché appartiene ad $A$.

Sistemi e «oppure»: intersezione e unione

Un sistema di disequazioni chiede che valgano tutte: le sue soluzioni sono l’intersezione degli insiemi delle soluzioni. Due condizioni legate da oppure chiedono che ne valga almeno una: le soluzioni sono l’unione. Per esempio:

$$\begin{gathered} 2x - 1 > 0 \iff x \in S_1 = \left(\tfrac{1}{2},\ +\infty\right) \\ x^2 \leq 9 \iff x \in S_2 = [-3,\ 3] \end{gathered}$$

Il sistema delle due ha soluzioni $S_1 \cap S_2 = \left(\frac{1}{2}, 3\right]$, mentre «$2x - 1 > 0$ oppure $x^2 \leq 9$» ha soluzioni $S_1 \cup S_2 = [-3, +\infty)$. Lo stesso vale per il dominio di una funzione, intersezione delle condizioni di esistenza, e per i sistemi di disequazioni goniometriche.

Il prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di $A$ e $B$ è l’insieme delle coppie ordinate con il primo elemento in $A$ e il secondo in $B$:

$$A \times B = \{(a, b) : a \in A,\ b \in B\}$$

«Ordinate» significa che l’ordine conta: $(a, b) = (c, d)$ solo se $a = c$ e $b = d$, quindi $(1, 2) \neq (2, 1)$. Con $A = \{1, 2\}$ e $B = \{x, y\}$:

$$A \times B = \{(1, x),\ (1, y),\ (2, x),\ (2, y)\}$$

Se $\lvert A \rvert = m$ e $\lvert B \rvert = n$, il prodotto ha $m \cdot n$ elementi. Il prodotto più importante del corso è $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$, il piano cartesiano: è lì che vive il grafico di ogni funzione, l’insieme delle coppie $(x, f(x))$. Il prodotto di due intervalli è un rettangolo, e scambiando i fattori il rettangolo cambia: in generale $A \times B \neq B \times A$.

Proposizioni e connettivi

Una proposizione è un’affermazione vera oppure falsa: «7 è primo» è vera, «$2 > 5$» è falsa. La frase «$x > 2$» non lo è finché non sai quanto vale $x$: è un predicato $P(x)$, che diventa una proposizione con un valore di $x$ o con un quantificatore.

Le proposizioni si combinano con i connettivi:

• non $P$ è vera quando $P$ è falsa;
• $P$ e $Q$ è vera solo quando sono vere entrambe;
• $P$ o $Q$ è vera quando almeno una è vera. È l’«o» inclusivo: «sconto per studenti o over 65» vale anche per uno studente di 70 anni.

«E» corrisponde all’intersezione, «o» all’unione, «non» al complementare, e valgono le leggi di De Morgan: il contrario di «$x > 0$ e $x < 1$» è «$x \leq 0$ oppure $x \geq 1$».

L’implicazione e la sua tavola di verità

L’implicazione $P \Rightarrow Q$, «se $P$ allora $Q$», è falsa in un solo caso: $P$ vera e $Q$ falsa.

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$
vera	vera	vera
vera	falsa	falsa
falsa	vera	vera
falsa	falsa	vera

Le ultime due righe stupiscono. Pensa alla promessa «se prendi 30, ti offro la pizza»: è infranta solo se prendi 30 e la pizza non arriva; se non prendi 30, non è stata violata. L’implicazione è vera a vuoto. In matematica: «se $n$ è multiplo di 4, allora $n$ è pari» è vera per ogni $n$, sia per $n = 6$ (falsa, vera) sia per $n = 7$ (falsa, falsa). Ecco perché $\varnothing \subseteq A$.

L’equivalenza $P \iff Q$ vuol dire $P \Rightarrow Q$ e $Q \Rightarrow P$: le due proposizioni sono vere o false insieme, come $x^2 = 0$ e $x = 0$.

Condizione necessaria e condizione sufficiente

Se $P \Rightarrow Q$, si dice che $P$ è sufficiente per $Q$ (basta $P$ per avere $Q$) e che $Q$ è necessaria per $P$ (senza $Q$ non c’è $P$). Il teorema «se $f$ è derivabile in $x_0$, allora è continua in $x_0$» (derivabilità e continuità) dice che la derivabilità è sufficiente per la continuità. La continuità è necessaria ma non sufficiente: $\lvert x \rvert$ è continua in 0 ma non derivabile. «Condizione necessaria e sufficiente» vuol dire «se e solo se».

Inversa e contronominale

Da $P \Rightarrow Q$ nascono due frasi diverse:

• la contronominale $\neg Q \Rightarrow \neg P$ è equivalente all’originale: è falsa solo con $Q$ falsa e $P$ vera, come $P \Rightarrow Q$;
• l’inversa $Q \Rightarrow P$ non è equivalente.

«Se $n$ è divisibile per 4, allora $n$ è pari» è vera, e lo è anche la contronominale «se $n$ è dispari, allora non è divisibile per 4». L’inversa «se $n$ è pari, allora è divisibile per 4» è falsa: basta $n = 6$. In generale la negazione di $P \Rightarrow Q$ è $P$ e $\neg Q$: per smentire un’implicazione basta un controesempio.

La dimostrazione per assurdo

Per dimostrare $P$, supponi vera $\neg P$ e arriva a una contraddizione: allora $P$ è vera. Un altro esempio, l’irrazionalità di $\sqrt{2}$, lo vedremo negli insiemi numerici.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che siano un numero finito, $p_1, p_2, \dots, p_k$, e consideriamo

$$N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_k + 1$$

$N > 1$, quindi ha un divisore primo: il suo più piccolo divisore $p > 1$ è primo, perché se avesse un divisore $e$ con $1 < e < p$, anche $e$ dividerebbe $N$. Ma $p$ è uno dei $p_i$, quindi divide anche il prodotto $p_1 \cdots p_k$, e allora divide la differenza $N - p_1 \cdots p_k = 1$. Nessun primo divide 1: assurdo.

Attenzione, $N$ non è per forza primo: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30\,031 = 59 \cdot 509$. L’idea risale agli Elementi di Euclide (libro IX, proposizione 20), che però non supponeva i primi finiti.

I quantificatori e la loro negazione

Simbolo	Si legge	Esempio
$\forall$	per ogni	$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$
$\exists$	esiste (almeno uno)	$\exists x \in \mathbb{R} : x^2 = 4$
$\exists!$	esiste un unico	$\exists!\, x \in \mathbb{R} : x^3 = 8$
$:$	tale che	$\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$
$\Rightarrow$	implica	$x > 2 \Rightarrow x^2 > 4$
$\iff$	se e solo se	$x^2 = 0 \iff x = 0$
$\land$	e	$x > 0 \land x < 1$
$\lor$	o (inclusivo)	$x < 0 \lor x > 1$
$\neg$	non	$\neg(x > 0)$ cioè $x \leq 0$

L’ordine dei quantificatori conta. «$\forall x \in \mathbb{R}\ \exists y \in \mathbb{R} : y > x$» è vera: dopo ogni numero ce n’è uno più grande, per esempio $y = x + 1$. «$\exists y \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R},\ y > x$» è falsa: direbbe che c’è un numero più grande di tutti, anche di sé stesso.

Come si nega una frase con i quantificatori

Per negare si scambiano i quantificatori e si nega la proprietà:

$$\begin{gathered} \neg\big(\forall x,\ P(x)\big) \iff \exists x : \neg P(x) \\ \neg\big(\exists x : P(x)\big) \iff \forall x,\ \neg P(x) \end{gathered}$$

Il contrario di «tutti hanno superato l’esame» è «almeno uno non l’ha superato», non «nessuno l’ha superato». Con più quantificatori, la scaletta:

1. scorri la frase da sinistra a destra e scambia ogni $\forall$ con $\exists$ e viceversa;
2. lascia invariate le condizioni attaccate ai quantificatori, come $x \in A$ o $\varepsilon > 0$;
3. nega la proprietà finale: $\leq$ diventa $>$, $<$ diventa $\geq$, «e» diventa «o» e viceversa, «$P \Rightarrow Q$» diventa «$P$ e $\neg Q$».

Un quantificatore. La negazione di $\forall x \in A,\ x \leq 5$ è $\exists x \in A : x > 5$: c’è un elemento di $A$ più grande di 5.

Due quantificatori. «$A$ è limitato superiormente» si scrive $\exists M \in \mathbb{R} : \forall a \in A,\ a \leq M$. La negazione è

$$\forall M \in \mathbb{R}\ \ \exists a \in A : a > M$$

qualunque soglia fissi, un elemento la supera: $\sup A = +\infty$ (vedi l’estremo superiore).

Tre quantificatori. Qui $\varepsilon$ e $\delta$, le lettere greche «epsilon» e «delta», indicano numeri positivi e $\lvert x - x_0 \rvert$ è la distanza tra $x$ e $x_0$ (vedi il valore assoluto). Se $f$ è definita su $A$ e $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$, la definizione di $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ è:

$$\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : \forall x \in A, \\ 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - \ell \rvert < \varepsilon \end{gathered}$$

La negazione, che dice che $\ell$ non è il limite:

$$\begin{gathered} \exists \varepsilon > 0 : \forall \delta > 0\ \ \exists x \in A : \\ 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \text{ e } \ \lvert f(x) - \ell \rvert \geq \varepsilon \end{gathered}$$

Nota che $\varepsilon > 0$ resta $\varepsilon > 0$ e che l’implicazione è diventata una «e». La ritrovi nei limiti.

Un po’ di storia

Eulero usava i cerchi nelle Lettere a una principessa tedesca, pubblicate nel 1768. George Boole, nel 1854, trattò la logica come un’algebra di «e», «o» e «non». John Venn propose nel 1880 i diagrammi con tutte le regioni possibili. La teoria degli insiemi si fa nascere di solito con un articolo di Georg Cantor del 1874, in cui dimostrò che i reali non si possono mettere in fila come i naturali.

Gli errori più comuni

• Confondere $\in$ e $\subseteq$. $\{1\} \in \{1, 2\}$ è sbagliato: si scrive $\{1\} \subseteq \{1, 2\}$.
• Confondere $\varnothing$ e $\{\varnothing\}$. Il primo è vuoto, il secondo ha un elemento: $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$ ha cardinalità $2^0 = 1$.
• Dimostrare un’uguaglianza con qualche esempio. Serve un elemento generico, in entrambe le direzioni.
• Sbagliare gli estremi degli intervalli. Per ogni estremo chiediti se il punto sta nell’insieme.
• Contare due volte l’intersezione. $\lvert A \cup B \rvert$ è $\lvert A \rvert + \lvert B \rvert$ solo se gli insiemi sono disgiunti.
• Negare «per ogni» con «nessuno». Il contrario di «tutti» è «almeno uno no», e $\varepsilon > 0$ non diventa $\varepsilon \leq 0$.
• Scambiare inversa e contronominale. Solo la contronominale equivale all’implicazione.

Esercizi svolti

1. Operazioni con insiemi finiti

Testo. Nell’universo $U = \{1, 2, \dots, 15\}$ siano $A$ l’insieme dei divisori di 12, $B$ quello dei numeri primi e $C$ quello dei multipli di 3. Trova $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, $(A \cup B)^c$ e $A \,\Delta\, B$; verifica che $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ e che vale la formula per $\lvert A \cup B \rvert$.

Elenchiamo gli elementi (1 non è primo):

$$\begin{gathered} A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \\ B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\} \\ C = \{3, 6, 9, 12, 15\} \end{gathered}$$

Confrontando gli elenchi:

$$\begin{gathered} A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13\} \\ A \cap B = \{2, 3\} \\ A \setminus B = \{1, 4, 6, 12\} \\ B \setminus A = \{5, 7, 11, 13\} \\ (A \cup B)^c = \{8, 9, 10, 14, 15\} \\ A \,\Delta\, B = \{1, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13\} \end{gathered}$$

Per la proprietà distributiva:

$$\begin{gathered} B \cup C = \{2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15\} \\ A \cap (B \cup C) = \{2, 3, 6, 12\} \\ (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{2, 3\} \cup \{3, 6, 12\} \\ {} = \{2, 3, 6, 12\} \end{gathered}$$

Infine $\lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert = 6 + 6 - 2 = 10$, proprio il numero di elementi di $A \cup B$.

2. Operazioni con gli intervalli

Testo. Siano $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 2x + 8\}$ e $B = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 2x - 3 \geq 0\}$. Scrivi $A$ e $B$ come intervalli o unioni di intervalli, poi trova $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$ e $A^c$. Quali sono le soluzioni del sistema delle due disequazioni?

Per $A$ portiamo tutto a sinistra e scomponiamo; il trinomio è negativo tra le radici:

$$\begin{gathered} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ (x - 4)(x + 2) < 0 \iff -2 < x < 4 \end{gathered}$$

Per $B$, $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$ è $\geq 0$ fuori dalle radici, estremi compresi: $x \leq -3$ oppure $x \geq 1$, quindi un’unione.

$$\begin{gathered} A = (-2,\ 4) \\ B = (-\infty,\ -3] \cup [1,\ +\infty) \end{gathered}$$

Disegnando sulla retta i punti $-3$, $-2$, $1$, $4$:

$$\begin{gathered} A \cap B = [1,\ 4) \\ A \cup B = (-\infty,\ -3] \cup (-2,\ +\infty) \\ A \setminus B = (-2,\ 1) \\ B \setminus A = (-\infty,\ -3] \cup [4,\ +\infty) \\ A^c = (-\infty,\ -2] \cup [4,\ +\infty) \end{gathered}$$

Nell’unione resta il buco $(-3, -2]$: $-2{,}5$ non sta in nessuno dei due. Il sistema chiede entrambe le disequazioni: le soluzioni sono $A \cap B = [1, 4)$. Verifica: $x = 1$ dà $1 < 10$ e $0 \geq 0$, mentre $x = 4$ dà $16 < 16$, falso.

3. Un’identità con la doppia inclusione

Testo. Dimostra che $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ per tre insiemi qualsiasi. Poi stabilisci se $(A \cup B) \setminus B = A$ per ogni $A$ e $B$.

Prima inclusione. Se $x \in A \setminus (B \cap C)$, allora $x \in A$ e $x$ non sta contemporaneamente in $B$ e in $C$, cioè $x \notin B$ oppure $x \notin C$ (De Morgan). Nel primo caso $x \in A \setminus B$, nel secondo $x \in A \setminus C$: in ogni caso $x$ sta nell’unione.

Seconda inclusione. Se $x \in A \setminus B$, allora $x \in A$ e $x \notin B$, quindi $x \notin B \cap C$; lo stesso se $x \in A \setminus C$. In entrambi i casi $x \in A \setminus (B \cap C)$.

La seconda domanda. È falso in generale. Controesempio: con $A = \{1, 2\}$ e $B = \{2, 3\}$,

$$\begin{gathered} (A \cup B) \setminus B = \{1, 2, 3\} \setminus \{2, 3\} \\ {} = \{1\} \neq A \end{gathered}$$

In realtà $(A \cup B) \setminus B = A \setminus B$: togliendo $B$ si perdono anche gli elementi di $A$ che stanno in $B$. Il risultato è $A$ se e solo se $A \cap B = \varnothing$.

4. Quanti sottoinsiemi

Testo. Sia $A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$. Quanti elementi ha $\mathcal{P}(A)$? Quanti sottoinsiemi di $A$ contengono lo 0? Quanti non contengono numeri negativi? E quanti elementi ha l’insieme $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$, cioè le parti delle parti del vuoto?

Poiché $3^2 = 9 < 10$ e $4^2 = 16$, gli interi con $x^2 < 10$ vanno da $-3$ a $3$:

$$\begin{gathered} A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \\ \lvert \mathcal{P}(A) \rvert = 2^7 = 128 \end{gathered}$$

Con lo 0. Lo 0 è fissato «dentro» e restano 6 elementi liberi: $2^6 = 64$, esattamente la metà. Senza negativi. Sono i sottoinsiemi di $\{0, 1, 2, 3\}$: $2^4 = 16$, quindi $128 - 16 = 112$ contengono almeno un negativo. Le parti delle parti del vuoto. $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$ ha un elemento, quindi $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ ne ha $2^1 = 2$.

5. Negare una frase con tre quantificatori

Testo. Una successione $(a_n)$ diverge a $+\infty$ se $\forall M \in \mathbb{R}\ \exists n_M \in \mathbb{N} : \forall n > n_M,\ a_n > M$. Scrivi la negazione e usala per dimostrare che $a_n = n\,\big(1 + (-1)^n\big)$ non diverge a $+\infty$, pur non essendo limitata.

Scambiamo i tre quantificatori, lasciamo $n > n_M$ e neghiamo $a_n > M$:

$$\begin{gathered} \exists M \in \mathbb{R} : \forall n_M \in \mathbb{N} \\ \exists n > n_M : a_n \leq M \end{gathered}$$

C’è una soglia $M$ tale che, dopo qualunque indice, qualche termine non la supera. Per $n$ pari $1 + (-1)^n = 2$, per $n$ dispari vale 0:

$$a_n = \begin{cases} 2n & n \text{ pari} \\ 0 & n \text{ dispari} \end{cases}$$

I termini sono $0, 0, 4, 0, 8, 0, 12, \dots$ Scegliamo $M = 0$: dato un qualsiasi $n_M$, l’indice $n = 2n_M + 1$ è dispari e maggiore di $n_M$, e $a_n = 0 \leq 0$. La negazione è vera: $(a_n)$ non diverge a $+\infty$. Eppure non è limitata: per ogni $M$, un $n$ pari con $n > \frac{M}{2}$ dà $a_n = 2n > M$. Illimitata non vuol dire divergente (vedi il limite di una successione).

6. Contare con l’inclusione-esclusione

Testo. Quanti interi da 1 a 1000 non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5?

Siano $D_2$, $D_3$, $D_5$ i multipli di 2, 3 e 5 tra 1 e 1000. Cerchiamo $D_2^c \cap D_3^c \cap D_5^c$, che per De Morgan è $(D_2 \cup D_3 \cup D_5)^c$: basta contare l’unione. Il numero di multipli di $k$ tra 1 e 1000 è la parte intera di $\frac{1000}{k}$, ed essere multiplo di 2 e di 3 equivale a essere multiplo di 6, come abbiamo dimostrato (lo stesso vale per le altre coppie):

$$\begin{gathered} \lvert D_2 \rvert = 500 \quad \lvert D_3 \rvert = 333 \quad \lvert D_5 \rvert = 200 \\ \lvert D_2 \cap D_3 \rvert = 166 \quad \lvert D_2 \cap D_5 \rvert = 100 \\ \lvert D_3 \cap D_5 \rvert = 66 \quad \lvert D_2 \cap D_3 \cap D_5 \rvert = 33 \end{gathered}$$

Per l’inclusione-esclusione:

$$\begin{gathered} 500 + 333 + 200 - 166 - 100 - 66 + 33 \\ {} = 734 \end{gathered}$$

I numeri cercati sono $1000 - 734 = 266$. Controllo: tra 1 e 30 sono 8 (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) e lo schema si ripete ogni 30 numeri, quindi fino a 990 sono $33 \cdot 8 = 264$; con 991 e 997 si arriva a 266. Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• $\in$ lega un elemento a un insieme, $\subseteq$ due insiemi; $A = B$ si dimostra con la doppia inclusione.
• Un insieme con $n$ elementi ha $2^n$ sottoinsiemi.
• Unione («o»), intersezione («e»), differenza, complementare («non»); leggi di De Morgan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ e $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
• $\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert$; un sistema dà l’intersezione delle soluzioni, «oppure» l’unione.
• $A \times B$ è l’insieme delle coppie ordinate; $\mathbb{R}^2$ è il piano cartesiano.
• $P \Rightarrow Q$ è falsa solo con $P$ vera e $Q$ falsa; equivale alla contronominale, non all’inversa.
• Per negare si scambiano $\forall$ ed $\exists$, si lasciano le condizioni come $\varepsilon > 0$ e si nega la proprietà finale.

Il passo successivo è conoscere gli insiemi con cui lavoreremo per tutto il corso: gli insiemi numerici, dai naturali ai reali.