Funzioni iniettive, suriettive e biiettive: definizioni, esempi ed esercizi svolti

Nella definizione di funzione c’è un’asimmetria: ogni $x$ del dominio deve avere una sola immagine, ma nessuno chiede che ogni $y$ del codominio venga raggiunto, né che venga raggiunto una volta sola. Queste due domande portano a tre definizioni: funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Servono a capire quando una funzione si può invertire e quando un’equazione $f(x) = k$ ha al più una soluzione, e all’esame «dimostra che $f$ è iniettiva e trova l’immagine» è un classico. In questa pagina vediamo le definizioni con i quantificatori, come si dimostra e come si smentisce l’iniettività, il test della retta orizzontale, il legame con la monotonia, la suriettività e il ruolo del codominio, le biiezioni, la composizione, gli insiemi finiti e infiniti, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: quante frecce arrivano

Immagina $f : A \to B$ come un insieme di frecce: da ogni elemento di $A$ ne parte esattamente una, perché lo chiede la definizione di funzione. Ora guarda dall’altra parte e conta quante frecce arrivano su ciascun elemento di $B$:

• se al più una, la funzione è iniettiva;
• se almeno una, è suriettiva;
• se esattamente una, è biiettiva.

Pensa agli spettatori di un cinema ($A$) e alle poltrone ($B$). Iniettiva vuol dire che nessuno divide la poltrona con un altro; suriettiva, che non resta nessuna poltrona vuota; biiettiva, sala piena con una persona per poltrona. Le due proprietà sono indipendenti, come mostrano i quattro casi della figura: in arancione gli elementi senza frecce e le frecce che finiscono sullo stesso elemento.

Le definizioni

Biiettiva, biunivoca e corrispondenza biunivoca sono sinonimi; si dice anche biiezione. Attenzione all’inglese: one-to-one vuol dire iniettiva, one-to-one correspondence biiettiva.

La forma che si usa negli esercizi

Negli esercizi l’iniettività si scrive quasi sempre così:

$$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$$

È la contronominale della definizione: «se le immagini sono uguali, le $x$ erano uguali». È la stessa frase, negata e letta al contrario, come «se piove, la strada è bagnata» e «se la strada è asciutta, non piove»; ed è più comoda, perché con le uguaglianze si fanno i conti.

Un terzo modo di dirlo collega tutto alle equazioni: $f$ è iniettiva se e solo se, per ogni $y \in B$, l’equazione $f(x) = y$ ha al più una soluzione.

Proprietà	Soluzioni di $f(x) = y$, per ogni $y \in B$
iniettiva	al più una
suriettiva	almeno una
biiettiva	esattamente una

Come si dimostra che una funzione è iniettiva

Il metodo algebrico

1. Prendi $x_1$ e $x_2$ nel dominio e scrivi $f(x_1) = f(x_2)$.
2. Con passaggi algebrici arriva a $x_1 = x_2$.
3. Se arrivi a «$x_1 = x_2$ oppure qualcos’altro», controlla se l’altra possibilità può succedere con $x_1 \neq x_2$ nel dominio: se sì, hai un controesempio.

Esempio: $f(x) = 3x - 5$. Da $3x_1 - 5 = 3x_2 - 5$ si ottiene $3x_1 = 3x_2$, cioè $x_1 = x_2$. È iniettiva.

Esempio: $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Nel dominio i denominatori non si annullano, quindi da $f(x_1) = f(x_2)$ possiamo moltiplicare in croce:

$$(x_1 + 1)(x_2 - 2) = (x_2 + 1)(x_1 - 2)$$ $$\begin{gathered} x_1x_2 - 2x_1 + x_2 - 2 \\ {} = x_1x_2 - 2x_2 + x_1 - 2 \end{gathered}$$

I termini $x_1x_2$ e $-2$ si cancellano e resta $-2x_1 + x_2 = -2x_2 + x_1$, cioè $3x_2 = 3x_1$: quindi $x_1 = x_2$. È iniettiva.

Esempio: $f(x) = x^2$. Da $x_1^2 = x_2^2$ segue $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$, cioè $x_1 = x_2$ oppure $x_1 = -x_2$. Su $\mathbb{R}$ la seconda possibilità succede, con $-2$ e $2$: non è iniettiva. Su $[0, +\infty)$, invece, $x_1 = -x_2$ con entrambi non negativi vuol dire $x_1 = x_2 = 0$: lì è iniettiva.

Come si smentisce: basta un controesempio

L’iniettività è un «per ogni», quindi per smentirla basta una coppia di punti diversi con la stessa immagine. Una funzione pari non è iniettiva appena il dominio contiene un $a \neq 0$, perché $f(-a) = f(a)$; una periodica non lo è mai: $\sin 0 = \sin \pi$. Altrimenti scegli un valore comodo $a$ e risolvi $f(x) = f(a)$: ogni altra soluzione è un controesempio. Per $f(x) = x^3 - 4x$, che somiglia a $x^3$, l’equazione $f(x) = f(0) = 0$ ha anche le soluzioni $x = \pm 2$.

Il test della retta orizzontale

Per una funzione reale di variabile reale, la retta $y = k$ incontra il grafico nei punti $(x, k)$ con $f(x) = k$: contare le intersezioni vuol dire contare le soluzioni.

È il «gemello» del test della retta verticale, che dice quando una curva è il grafico di una funzione.

Un grafico fatto a mano però può ingannare: all’esame l’iniettività si dimostra con i conti o con la monotonia.

Il legame con la monotonia

Perché è vero. Se $x_1 \neq x_2$, uno dei due è più piccolo, diciamo $x_1 < x_2$. Se $f$ è strettamente crescente, $f(x_1) < f(x_2)$; se è strettamente decrescente, $f(x_1) > f(x_2)$. In entrambi i casi $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Ecco perché $x^3$, $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln x$ e tutte le funzioni strettamente monotone sono iniettive. Ed è il motivo per cui nelle equazioni esponenziali da $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ si passa a $f(x) = g(x)$: $a^t$, con $a > 0$ e $a \neq 1$, è strettamente monotona.

Il teorema salva quando l’algebra non basta: con $f(x) = 2x + \sin x$, da $f(x_1) = f(x_2)$ non si ricava nulla, ma $f'(x) = 2 + \cos x \geq 1 > 0$, quindi $f$ è strettamente crescente per il test di monotonia (lo trovi nei teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy) e dunque iniettiva.

Il contrario non vale. $\frac{1}{x}$ è iniettiva (da $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$ segue $x_1 = x_2$), ma non è monotona sul suo dominio: $f(-1) < f(1)$, mentre $f(1) > f(2)$. E anche su un intervallo può fallire, se la funzione fa un salto: $f(x) = x$ per $0 \leq x < 1$ e $f(x) = 3 - x$ per $1 \leq x \leq 2$ sale da 0 verso 1, salta a 2 e scende fino a 1. I due tratti danno i valori $[0, 1)$ e $[1, 2]$, che non si sovrappongono: $f$ è iniettiva senza essere monotona. Per le funzioni continue su un intervallo, invece, vale anche il viceversa: continua e iniettiva implica strettamente monotona, come vedi in continuità uniforme e funzioni monotone.

Come si dimostra che una funzione è suriettiva

Si fissa un $y$ qualsiasi del codominio, si risolve $f(x) = y$ nell’incognita $x$ e si controlla che la soluzione stia nel dominio. Se per ogni $y$ c’è almeno una soluzione accettabile, la funzione è suriettiva.

Esempio: $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$, con codominio $\mathbb{R}$. Risolviamo $\frac{x + 1}{x - 2} = y$, con $x \neq 2$:

$$\begin{gathered} x + 1 = y(x - 2) \\ {} \Longrightarrow x(y - 1) = 2y + 1 \\ {} \Longrightarrow x = \frac{2y + 1}{y - 1} \quad (y \neq 1) \end{gathered}$$

Per $y = 1$ l’equazione diventa $0 = 3$, impossibile. Per $y \neq 1$ la soluzione è accettabile, perché non vale mai 2: $\frac{2y + 1}{y - 1} = 2$ darebbe $1 = -2$. Quindi l’immagine è $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ e la funzione non è suriettiva su $\mathbb{R}$. Graficamente, $y = 1$ è l’asintoto orizzontale dell’iperbole, come vedi nei grafici delle funzioni elementari.

Per smentire la suriettività basta un $y$ mai raggiunto, e spesso lo suggerisce una disuguaglianza: $x^2 \geq 0$, $e^x > 0$, $\lvert \sin x \rvert \leq 1$.

La suriettività dipende dal codominio

La stessa formula può dare una funzione suriettiva o no, a seconda del codominio. L’esempio più importante è l’esponenziale:

• $e^x$ da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ non è suriettiva: $e^x > 0$, quindi $-1$ non è mai raggiunto;
• $e^x$ da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$ è biiettiva: per ogni $y > 0$, $e^x = y$ ha l’unica soluzione $x = \ln y$.

In generale ogni funzione diventa suriettiva se come codominio si prende la sua immagine. Allo stesso modo la parte intera $\lfloor x \rfloor$ è suriettiva da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{Z}$, perché ogni intero $n$ è uguale a $\lfloor n \rfloor$, ma non da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$; e non è iniettiva, perché $\lfloor 0 \rfloor = \lfloor 0{,}5 \rfloor = 0$.

La parabola: quattro funzioni diverse

Con $x^2$ si vede bene che iniettività e suriettività dipendono da dominio e codominio, non solo dalla formula:

Funzione $x^2$	Iniettiva?	Suriettiva?
da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$	no: $f(-2) = f(2)$	no: manca $-1$
da $[0, +\infty)$ a $\mathbb{R}$	sì	no
da $\mathbb{R}$ a $[0, +\infty)$	no	sì
da $[0, +\infty)$ a $[0, +\infty)$	sì	sì: biiettiva

Togliere metà del dominio l’ha resa iniettiva; restringere il codominio all’immagine l’ha resa suriettiva. Insieme danno una biiezione, la cui inversa è $\sqrt{x}$.

Le funzioni biiettive

Biiettiva vuol dire invertibile

Se $f : A \to B$ è biiettiva, a ogni $y \in B$ corrisponde un solo $x \in A$ con $f(x) = y$. Associando a $y$ quell’$x$ si ottiene la funzione inversa $f^{-1} : B \to A$, che «disfa» $f$:

$$\begin{gathered} f^{-1}(f(x)) = x \quad \forall x \in A \\ f(f^{-1}(y)) = y \quad \forall y \in B \end{gathered}$$

Vale anche il viceversa: se una $g : B \to A$ soddisfa queste due identità, $f$ è biiettiva. Quindi una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva; la dimostrazione è nella pagina sulla funzione inversa.

Iniettiva e suriettiva con un solo conto

Se risolvendo $f(x) = y$ trovi, per ogni $y$ del codominio, esattamente una soluzione nel dominio, hai dimostrato insieme suriettività e iniettività.

Esempio: $f(x) = x\lvert x \rvert$, da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$. Per il valore assoluto vale $x^2$ per $x \geq 0$ e $-x^2$ per $x < 0$: ha sempre il segno di $x$. Quindi, se $y \geq 0$, da $x\lvert x \rvert = y$ segue $x \geq 0$ e $x = \sqrt{y}$; se $y < 0$, segue $x < 0$ e $x = -\sqrt{-y}$. Una e una sola soluzione per ogni $y$: $x\lvert x \rvert$ è biiettiva da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, anche se è fatta di due mezze parabole.

Come rendere biiettiva una funzione

1. Restringi il dominio a un insieme su cui è iniettiva, di solito un intervallo su cui è strettamente monotona.
2. Restringi il codominio all’immagine di questa restrizione.

Così $x^2$ diventa biiettiva da $[0, +\infty)$ a $[0, +\infty)$. Con la stessa idea nascono le funzioni goniometriche inverse: il seno non è iniettivo su $\mathbb{R}$, ma da $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ a $[-1, 1]$ è biiettivo. La scelta del tratto è una convenzione e va dichiarata: anche $x^2$ su $(-\infty, 0]$ è biiettiva su $[0, +\infty)$.

Composizione di funzioni iniettive e suriettive

Siano $f : A \to B$ e $g : B \to C$. La funzione composta $g \circ f : A \to C$ applica prima $f$ e poi $g$: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Perché è vero. Se $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$, l’iniettività di $g$ dà $f(x_1) = f(x_2)$, e quella di $f$ dà $x_1 = x_2$. Per la suriettività, dato $z \in C$ c’è $y \in B$ con $g(y) = z$, e c’è $x \in A$ con $f(x) = y$: allora $g(f(x)) = z$.

Per esempio $e^{x^3}$ è iniettiva su $\mathbb{R}$, perché $x^3$ ed $e^t$ lo sono. Valgono anche due «viceversa a metà»:

• se $g \circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva: da $f(x_1) = f(x_2)$ segue $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$, quindi $x_1 = x_2$;
• se $g \circ f$ è suriettiva, allora $g$ è suriettiva: ogni $z \in C$ è $g(f(x))$, cioè l’immagine tramite $g$ di $f(x)$.

Di più non si può dire. Con $f(x) = \sqrt{x}$ da $[0, +\infty)$ a $\mathbb{R}$ e $g(y) = y^2$ da $\mathbb{R}$ a $[0, +\infty)$, la composta $g(f(x)) = x$ è l’identità di $[0, +\infty)$, biiettiva. Eppure $f$ non è suriettiva, perché non raggiunge i negativi, e $g$ non è iniettiva, perché $g(-1) = g(1)$.

Insiemi finiti: il principio dei cassetti

Se $A$ è finito, $\lvert A \rvert$ indica il numero dei suoi elementi, la sua cardinalità. Se $f : A \to B$ è iniettiva, le immagini degli elementi di $A$ sono tutte diverse, quindi $\lvert A \rvert \leq \lvert B \rvert$. Se è suriettiva, le $\lvert A \rvert$ frecce coprono tutto $B$, quindi $\lvert A \rvert \geq \lvert B \rvert$.

La prima osservazione, in forma contronominale, è il principio dei cassetti (o di Dirichlet): se metti più di $n$ oggetti in $n$ cassetti, almeno un cassetto ne contiene due. Cioè, se $\lvert A \rvert > \lvert B \rvert$, nessuna funzione da $A$ a $B$ è iniettiva. Per esempio, tra 13 persone ce ne sono sempre due nate nello stesso mese: la funzione «persona → mese di nascita» va da 13 elementi a 12.

Perché è vero. Sia $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert = n$. Se $f$ è iniettiva, l’immagine ha $n$ elementi ed è contenuta in $B$, che ne ha $n$: è tutto $B$. Se $f$ è suriettiva e due elementi avessero la stessa immagine, i valori diversi sarebbero al massimo $n - 1$, troppo pochi per coprire $B$.

Un esempio: su $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, il resto della divisione di $2n$ per 5 vale $0, 2, 4, 1, 3$, valori tutti diversi; la funzione è iniettiva e quindi, senza altri controlli, suriettiva. Il resto di $n^2$ per 5 vale invece $0, 1, 4, 4, 1$: non è iniettiva, e infatti non raggiunge né 2 né 3.

Insiemi infiniti: il paradosso di Galileo

Con gli insiemi infiniti questo teorema crolla. Su $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$:

• $f(n) = 2n$ è iniettiva, perché $2n_1 = 2n_2$ implica $n_1 = n_2$, ma non suriettiva: i dispari non sono raggiunti;
• $g(n) = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$, che vale $0, 0, 1, 1, 2, 2, \dots$, è suriettiva, perché $g(2m) = m$, ma non iniettiva: $g(0) = g(1)$.

E $2n$, come funzione da $\mathbb{N}$ ai soli numeri pari, è una biiezione: i pari, che sono «la metà» dei naturali, si accoppiano uno a uno con tutti i naturali. Galileo Galilei se ne accorse con i quadrati. Nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, pubblicati a Leida nel 1638, Salviati osserva che i quadrati $1, 4, 9, 16, \dots$ sembrano molti meno dei numeri, eppure sono tanti quanti i numeri, perché ogni numero ha il suo quadrato e ogni quadrato la sua radice. La conclusione: «gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle quantità terminate».

Nel 1888 Richard Dedekind trasformò il paradosso in una definizione, chiamando infinito un insieme che si può mettere in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria; e Georg Cantor usò proprio le biiezioni per confrontare gli insiemi infiniti. Che $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ si possano mettere in fila come i naturali, e $\mathbb{R}$ no, lo vedi negli insiemi numerici.

Gli errori più comuni

• Confondere l’iniettività con la definizione di funzione. «A ogni $x$ un solo $y$» vale per ogni funzione; l’iniettività chiede «a ogni $y$ al più un $x$».
• Dimostrare l’implicazione sbagliata. $x_1 = x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2)$ è sempre vera; va dimostrata $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$.
• Credere che qualche esempio basti. L’iniettività va dimostrata per $x_1$ e $x_2$ qualsiasi; per smentirla basta una coppia.
• Parlare di suriettività senza dire il codominio. $e^x$ non è suriettiva su $\mathbb{R}$, ma lo è su $(0, +\infty)$.
• Non controllare che la soluzione stia nel dominio. Per una funzione su $\mathbb{Z}$, una soluzione non intera di $f(n) = m$ non vale.
• Pensare che iniettiva voglia dire monotona. $\frac{1}{x}$ è iniettiva ma non monotona.
• Usare la monotonia a pezzi. $\tan x$ è strettamente crescente su ogni intervallo del dominio, ma $\tan 0 = \tan \pi$: non è iniettiva.

Esercizi svolti

1. Riconoscere i quattro casi

Testo. Siano $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ e $C = \{a, b, c\}$. Di’ se ciascuna funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva, con $f, g : A \to B$, $h : A \to C$ e $k : C \to B$:

$$\begin{gathered} f = \{(1,b),\,(2,d),\,(3,a),\,(4,c)\} \\ g = \{(1,a),\,(2,c),\,(3,a),\,(4,d)\} \\ h = \{(1,c),\,(2,a),\,(3,b),\,(4,a)\} \\ k = \{(a,d),\,(b,a),\,(c,b)\} \end{gathered}$$

Esiste una funzione iniettiva da $A$ a $C$? E una suriettiva da $C$ a $B$?

Guardiamo dove arrivano le frecce, cioè i secondi elementi delle coppie.

• $f$ arriva su $b, d, a, c$: tutti diversi e tutto $B$. È biiettiva (con $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$ bastava l’iniettività).
• $g(1) = g(3) = a$: non è iniettiva, e quindi, con $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$, nemmeno suriettiva: infatti $b$ non è raggiunto.
• $h(2) = h(4) = a$: non è iniettiva; raggiunge però $a$, $b$ e $c$: è suriettiva.
• $k$ arriva su $d, a, b$, tutti diversi: è iniettiva, ma non raggiunge $c$: non è suriettiva.

Nessuna funzione da $A$ a $C$ è iniettiva, per il principio dei cassetti, e nessuna da $C$ a $B$ è suriettiva: 3 frecce non coprono 4 elementi.

2. Una funzione fratta: iniettività e immagine

Testo. Sia $f(x) = \dfrac{4x - 3}{2x + 1}$. Trova il dominio, dimostra che $f$ è iniettiva e trova l’immagine. Tra quali insiemi è biiettiva?

Il denominatore si annulla per $x = -\frac{1}{2}$: il dominio è $\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Iniettività. Da $f(x_1) = f(x_2)$, con denominatori non nulli, moltiplichiamo in croce:

$$(4x_1 - 3)(2x_2 + 1) = (4x_2 - 3)(2x_1 + 1)$$ $$\begin{gathered} 8x_1x_2 + 4x_1 - 6x_2 - 3 \\ {} = 8x_1x_2 + 4x_2 - 6x_1 - 3 \end{gathered}$$

Si cancellano $8x_1x_2$ e $-3$: resta $4x_1 - 6x_2 = 4x_2 - 6x_1$, cioè $10x_1 = 10x_2$, quindi $x_1 = x_2$.

Immagine. Risolviamo $f(x) = y$ con $x \neq -\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} 4x - 3 = y(2x + 1) \\ 4x - 2xy = y + 3 \\ x(4 - 2y) = y + 3 \end{gathered}$$

Per $y = 2$ si ottiene $0 = 5$, impossibile. Per $y \neq 2$ si trova $x = \frac{y + 3}{4 - 2y}$, che non vale mai $-\frac{1}{2}$: l’uguaglianza darebbe $2y + 6 = 2y - 4$. L’immagine è $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Verifica: per $y = \frac{1}{3}$ la formula dà $x = 1$, e infatti $f(1) = \frac{1}{3}$.

Quindi $f$ è biiettiva da $\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$ a $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Il 10 non è un caso: per $\frac{ax + b}{cx + d}$, con $c \neq 0$, compare sempre $ad - bc$, qui $4 \cdot 1 - (-3) \cdot 2 = 10$. Se $ad - bc \neq 0$ la funzione è iniettiva e manca il valore $\frac{a}{c}$; se $ad - bc = 0$ è costante.

3. Una parabola con due codomini

Testo. Sia $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. È suriettiva (a) da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$? (b) Da $\mathbb{R}$ a $(-\infty, 5]$? (c) Dimostra che $g : [0, 3] \to [1, 5]$ è suriettiva ma non iniettiva.

Completando il quadrato, $g(x) = -(x - 2)^2 + 5$. Siccome $(x - 2)^2 \geq 0$, si ha $g(x) \leq 5$ per ogni $x$.

(a) Il valore 6 non è mai raggiunto: $g$ non è suriettiva su $\mathbb{R}$.

(b) Per $y \leq 5$ risolviamo $g(x) = y$:

$$\begin{gathered} (x - 2)^2 = 5 - y \\ x = 2 \pm \sqrt{5 - y} \end{gathered}$$

Le soluzioni esistono per ogni $y \leq 5$: $g$ è suriettiva. Non è iniettiva: per esempio $g(0) = g(4) = 1$.

(c) Prima controlliamo che $g$ mandi $[0, 3]$ dentro $[1, 5]$: se $0 \leq x \leq 3$, allora $-2 \leq x - 2 \leq 1$, quindi $0 \leq (x - 2)^2 \leq 4$ e $1 \leq g(x) \leq 5$. Ora, dato $y \in [1, 5]$, prendiamo $x = 2 - \sqrt{5 - y}$: siccome $0 \leq 5 - y \leq 4$, la radice sta tra 0 e 2, quindi $x \in [0, 2] \subseteq [0, 3]$. Ogni $y$ è raggiunto: $g$ è suriettiva. Ma $g(1) = g(3) = 4$, perché 1 e 3 sono simmetrici rispetto al vertice: non è iniettiva. Per una biiezione basta restringere il dominio a $[0, 2]$.

4. Due funzioni da Z a Z

Testo. Studia iniettività e suriettività di (a) $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 3n + 2$; (b) $g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g(n) = n + (-1)^n$.

(a) Da $3n_1 + 2 = 3n_2 + 2$ segue $n_1 = n_2$: $f$ è iniettiva. Per la suriettività risolviamo $3n + 2 = m$, cioè $n = \frac{m - 2}{3}$: per $m = 0$ si ottiene $-\frac{2}{3}$, che non è intero. Lo 0 non è raggiunto: $f$ non è suriettiva. La stessa formula da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ sarebbe biiettiva: la soluzione c’è, ma deve stare nel dominio.

(b) Se $n$ è pari, $g(n) = n + 1$; se è dispari, $g(n) = n - 1$. Quindi $g$ scambia ogni pari con il numero che lo segue: $g(0) = 1$, $g(1) = 0$, $g(-2) = -1$. Applichiamola due volte. Se $n$ è pari, $n + 1$ è dispari e $g(n + 1) = n$; se $n$ è dispari, $n - 1$ è pari e $g(n - 1) = n$. Quindi $g(g(n)) = n$: $g \circ g$ è l’identità di $\mathbb{Z}$, biiettiva. Per i «viceversa a metà», $g$ è iniettiva (come funzione interna) e suriettiva (come esterna): è biiettiva, ed è l’inversa di sé stessa.

5. Una funzione a tratti

Testo. Per $c \in \mathbb{R}$ sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x) = \begin{cases} 2x + c & \text{se } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$$

Stabilisci se $f$ è iniettiva e se è suriettiva per $c = 1$, $c = 3$ e $c = -1$.

Una funzione a tratti è iniettiva se ogni tratto lo è e le immagini dei tratti non si sovrappongono; è suriettiva se le immagini dei tratti, insieme, coprono il codominio. Qui i due tratti sono strettamente crescenti, quindi iniettivi. Le immagini:

• per $x < 0$, $2x + c = y$ dà $x = \frac{y - c}{2}$, negativo solo se $y < c$: l’immagine è $(-\infty, c)$;
• per $x \geq 0$, $x^2 + 1 = y$ dà $x = \sqrt{y - 1}$, che esiste solo se $y \geq 1$: l’immagine è $[1, +\infty)$.

Con $c = 1$ le immagini $(-\infty, 1)$ e $[1, +\infty)$ non si sovrappongono e coprono $\mathbb{R}$: $f$ è biiettiva.

Con $c = 3$ si sovrappongono su $[1, 3)$: per esempio $f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = 2$ e $f(1) = 2$. Non è iniettiva, ma è suriettiva.

Con $c = -1$ le immagini $(-\infty, -1)$ e $[1, +\infty)$ non si sovrappongono: è iniettiva. Ma $[-1, 1)$ non è raggiunto; per esempio $f(x) = 0$ darebbe $x = \frac{1}{2}$, che non è negativo, oppure $x^2 = -1$. Non è suriettiva.

In generale $f$ è iniettiva per $c \leq 1$ e suriettiva per $c \geq 1$: è biiettiva solo per $c = 1$, quando i due tratti si raccordano in $(0, 1)$.

6. Un parametro: esercizio d’esame

Testo. Per $k \in \mathbb{R}$ sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x + k\,e^{-x}$. Per quali $k$ è iniettiva? Per quali è biiettiva? Per $k > 0$, trova l’immagine.

Contiamo le soluzioni di $f(x) = y$. Poniamo $t = e^x$: ogni $t > 0$ corrisponde a un solo $x = \ln t$, quindi le soluzioni $x$ sono tante quante le soluzioni positive $t$. Moltiplicando per $t > 0$:

$$\begin{gathered} t + \frac{k}{t} = y \\ t^2 - y\,t + k = 0 \end{gathered}$$

Le radici hanno prodotto $k$ e somma $y$; il discriminante è $\Delta = y^2 - 4k$.

Se $k < 0$, $\Delta > 0$ e il prodotto è negativo: una radice positiva e una negativa. Per ogni $y$ c’è esattamente una soluzione: $f$ è biiettiva.

Se $k = 0$, $f(x) = e^x$: iniettiva, ma con immagine $(0, +\infty)$, quindi non suriettiva su $\mathbb{R}$.

Se $k > 0$, il prodotto è positivo: le radici reali, se ci sono, hanno il segno della somma $y$.

• Se $y > 2\sqrt{k}$, $\Delta > 0$ e le radici sono positive e distinte: due soluzioni $x$.
• Se $y = 2\sqrt{k}$, c’è la sola radice $t = \sqrt{k}$: una soluzione.
• Se $y < 2\sqrt{k}$, o $\Delta < 0$, oppure $y \leq -2\sqrt{k}$ e le radici sono negative: nessuna soluzione.

Per $k > 0$ quindi $f$ non è iniettiva, e la sua immagine è $[2\sqrt{k}, +\infty)$. Per esempio, con $k = 4$, $f(0) = 1 + 4 = 5$ e $f(\ln 4) = 4 + 1 = 5$.

In conclusione $f$ è iniettiva se e solo se $k \leq 0$, biiettiva se e solo se $k < 0$.

Altri esercizi su iniettività, immagine e inversa li trovi negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• Iniettiva: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$; ogni $y$ ha al più una controimmagine. Per smentirla basta un controesempio.
• Suriettiva: $\operatorname{Im} f = B$; si verifica risolvendo $f(x) = y$ nel dominio, e dipende dal codominio.
• Biiettiva (biunivoca): ogni $y$ ha esattamente una controimmagine; biiettiva vuol dire invertibile.
• Test della retta orizzontale: ogni retta orizzontale taglia il grafico al più una volta.
• Strettamente monotona implica iniettiva; il viceversa vale per le funzioni continue su un intervallo, non in generale.
• Composte di iniettive sono iniettive, di suriettive suriettive; se $g \circ f$ è iniettiva lo è $f$, se è suriettiva lo è $g$.
• Insiemi finiti: iniettiva da $A$ a $B$ richiede $\lvert A \rvert \leq \lvert B \rvert$, e con $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$ iniettiva equivale a suriettiva. Su $\mathbb{N}$, invece, $2n$ è iniettiva ma non suriettiva.

Prima di arrivare alla funzione inversa conviene vedere come si combinano due funzioni, applicandole una dopo l’altra: è la funzione composta.