Convergenza assoluta e semplice delle serie: teorema di Riemann ed esercizi svolti

Con i termini positivi hai confronto, rapporto, radice e integrale. Ma all’esame arrivano spesso serie con termini di segno qualunque: segni che si alternano, come in $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots$, o che cambiano senza schema, come quelli di $\cos n$. Lo strumento principale è la convergenza assoluta: togli i segni, studi la serie dei valori assoluti e, se converge, hai finito. In questa pagina vediamo le definizioni di convergenza assoluta e semplice, il teorema che le collega con due dimostrazioni (una con il criterio di Cauchy per le serie), le quattro situazioni possibili, i criteri sui valori assoluti, i segni irregolari, i riordinamenti con i teoremi di Dirichlet e di Riemann, lo schema completo per studiare una serie, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: entrate e uscite

Pensa ai termini $a_n$ come ai movimenti di un conto corrente: i positivi sono entrate, i negativi uscite. La somma parziale $s_n$ è il saldo; la somma dei valori assoluti è il volume di denaro passato dal conto, entrate più uscite.

Se il volume totale è finito, il saldo si assesta per forza: entrate e uscite sono finite, e il saldo è la loro differenza. È la convergenza assoluta. Il saldo può assestarsi anche con un volume infinito, se entrate e uscite, entrambe infinite, si compensano nell’ordine giusto: è la convergenza semplice, molto più fragile, come vedremo con i riordinamenti.

Convergenza assoluta e semplice: le definizioni

In molti libri «converge semplicemente» vuol dire solo «converge»: all’esame, quando i valori assoluti divergono, scrivi per esteso «converge semplicemente, ma non assolutamente».

Il teorema: la convergenza assoluta implica la convergenza

A parole: se una serie converge senza segni, converge anche con i segni. Ecco due dimostrazioni, entrambe da sapere.

Prima dimostrazione: parte positiva e parte negativa

Separiamo ogni termine in parte positiva e parte negativa:

$$\begin{gathered} a_n^+ = \max\{a_n, 0\} \\ a_n^- = \max\{-a_n, 0\} \end{gathered}$$

Se $a_n \geq 0$, allora $a_n^+ = a_n$ e $a_n^- = 0$; se $a_n < 0$, allora $a_n^+ = 0$ e $a_n^- = \lvert a_n \rvert$. Anche $a_n^-$ è positivo o nullo: è la grandezza dell’uscita. In ogni caso

$$\begin{gathered} a_n = a_n^+ - a_n^- \qquad \lvert a_n \rvert = a_n^+ + a_n^- \\ 0 \leq a_n^+ \leq \lvert a_n \rvert \qquad 0 \leq a_n^- \leq \lvert a_n \rvert \end{gathered}$$

Per il criterio del confronto, se $\sum \lvert a_n \rvert$ converge convergono anche $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$, e quindi la loro differenza $\sum a_n$.

Seconda dimostrazione: il criterio di Cauchy per le serie

Il criterio di Cauchy per le successioni (sottosuccessioni e Bolzano-Weierstrass) dice che una successione converge se e solo se, da un certo punto in poi, i suoi termini sono tutti vicini tra loro. Per le somme parziali, la differenza $s_{n+p} - s_n$ è il blocco dei $p$ termini da $a_{n+1}$ ad $a_{n+p}$, e il criterio diventa:

Criterio di Cauchy per le serie. Una serie converge se e solo se, per ogni $\varepsilon > 0$, c’è un indice $N$ oltre il quale ogni blocco di termini consecutivi, lungo quanto vuoi, ha somma minore di $\varepsilon$ in valore assoluto:

$$\begin{gathered} \lvert a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{n+p} \rvert < \varepsilon \\ \text{per ogni } n \geq N \text{ e ogni } p \geq 1 \end{gathered}$$

È l’idea delle code: in una serie convergente, quello che aggiungi dopo un punto lontano conta poco, anche se continui a lungo. Con blocchi di un termine ritrovi la condizione necessaria $a_n \to 0$, ma il criterio chiede di più: nella serie armonica il blocco da $\frac{1}{n+1}$ a $\frac{1}{2n}$ vale sempre almeno $\frac{1}{2}$.

Ora la dimostrazione è una riga. Per la disuguaglianza triangolare

$$\begin{gathered} \lvert a_{n+1} + \dots + a_{n+p} \rvert \\ {} \leq \lvert a_{n+1} \rvert + \dots + \lvert a_{n+p} \rvert \end{gathered}$$

Se $\sum \lvert a_n \rvert$ converge, il blocco di destra è minore di $\varepsilon$ da un certo $N$ in poi; allora lo è anche quello di sinistra, e $\sum a_n$ converge. Nella serie armonica a segni alterni, invece, i blocchi dei valori assoluti non diventano piccoli, ma quelli con i segni sì: i termini si compensano, e il blocco $\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \dots$ vale al massimo $\frac{1}{n+1}$.

La disuguaglianza e la stima della coda

Per la disuguaglianza triangolare $\lvert s_n \rvert \leq \lvert a_1 \rvert + \dots + \lvert a_n \rvert \leq \sum \lvert a_k \rvert$; passando al limite si ottiene $\lvert s \rvert \leq \sum \lvert a_n \rvert$. Applicata alla coda, dà l’errore che fai fermandoti a $s_N$:

$$\lvert s - s_N \rvert \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \lvert a_n \rvert$$

Esempio. In $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos n}{2^n}$ i segni sono irregolari, ma $\left\lvert \frac{\cos n}{2^n} \right\rvert \leq \frac{1}{2^n}$, e la serie geometrica di ragione $\frac{1}{2}$ converge a 2. Quindi la serie converge assolutamente e $\lvert s \rvert \leq 2$. Fermandoti a $n = 10$ l’errore è al massimo $\frac{1}{2^{10}} \approx 0{,}001$: infatti $s_{10} \approx 1{,}0281$ e $s \approx 1{,}0284$.

Il viceversa è falso: le quattro situazioni

La serie armonica a segni alterni $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots$ converge a $\ln 2$ per il criterio di Leibniz, ma i valori assoluti formano la serie armonica, che diverge. Per una serie di segno qualunque ci sono quattro situazioni:

1. Converge assolutamente: $\sum_{n \geq 0} \left(-\frac{1}{2}\right)^n$, con somma $\frac{2}{3}$.
2. Converge semplicemente, ma non assolutamente: la serie armonica a segni alterni.
3. Diverge: $1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$, con i segni $+, +, -$ ripetuti. Ogni blocco $\frac{1}{3k - 2} + \frac{1}{3k - 1} - \frac{1}{3k}$ supera $\frac{1}{3k}$, quindi dopo $k$ blocchi la somma supera $\frac{1}{3}\left(1 + \dots + \frac{1}{k}\right) \to +\infty$, e le somme intermedie sono ancora più grandi.
4. È irregolare: $\sum_{n \geq 0} (-1)^n$, con somme parziali che saltano tra 1 e 0.

Nei casi 2, 3 e 4 la serie dei valori assoluti diverge: quando $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge, può succedere di tutto. Se invece i segni cambiano solo un numero finito di volte, convergenza e convergenza assoluta coincidono: la convergenza solo semplice richiede infiniti cambi di segno.

Parte positiva e parte negativa divergono entrambe

Perché è vero. Siano $P_n$, $N_n$ e $A_n$ le somme parziali di $\sum a_n^+$, $\sum a_n^-$ e $\sum \lvert a_n \rvert$. Dalle relazioni tra $a_n$, $\lvert a_n \rvert$, $a_n^+$ e $a_n^-$:

$$P_n = \frac{A_n + s_n}{2} \qquad N_n = \frac{A_n - s_n}{2}$$

Per ipotesi $s_n \to s$, finito, e $A_n \to +\infty$: quindi $P_n \to +\infty$ e $N_n \to +\infty$. Se invece diverge una sola delle due parti, la serie diverge a $\pm\infty$.

Nella serie armonica a segni alterni, dopo 10 000 termini i positivi sono arrivati a circa 5,24 e i negativi, senza segno, a 4,55; crescono come $\frac{1}{2}\ln n$, mentre la loro differenza è ferma vicino a $\ln 2 \approx 0{,}693$.

I criteri da usare sui valori assoluti

La serie $\sum \lvert a_n \rvert$ è a termini positivi, quindi si studia con gli strumenti noti, applicati sempre a $\lvert a_n \rvert$ e mai ad $a_n$ con i segni.

Confronto e confronto asintotico. Un seno o un coseno si maggiorano con 1; il fattore che resta si studia con gli asintotici. In

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \cos(n^2)\left(e^{1/n^2} - 1\right)$$

i segni sono irregolari, ma per il limite notevole $e^t - 1 \sim t$

$$\lvert a_n \rvert \leq e^{1/n^2} - 1 \sim \frac{1}{n^2}$$

e la serie di $\frac{1}{n^2}$ converge: convergenza assoluta.

Rapporto e radice, sempre su $\lvert a_n \rvert$ (vedi il criterio del rapporto e della radice). In $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ si ha $\sqrt[n]{\lvert a_n \rvert} = \frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2} < 1$: convergenza assoluta.

Una differenza importante: limite maggiore di 1

Se $\frac{\lvert a_{n+1} \rvert}{\lvert a_n \rvert} \to \ell > 1$, la serie di partenza non converge. Infatti da un certo $N$ in poi $\lvert a_{n+1} \rvert > \lvert a_n \rvert$: i valori assoluti crescono e restano almeno $\lvert a_N \rvert > 0$, quindi $a_n \not\to 0$. Con la radice è lo stesso, perché definitivamente $\lvert a_n \rvert > 1$. Non scrivere però «diverge»: la serie può essere irregolare (esercizio 5).

Con il confronto non è così: se $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge per confronto con la serie armonica, sai solo che la serie non converge assolutamente; con i segni può ancora convergere, come la serie armonica a segni alterni. Rapporto e radice con $\ell > 1$ vedono termini che crescono, il confronto solo termini che non scendono abbastanza in fretta.

Segni che oscillano senza alternarsi

Segni periodici. In $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin\frac{n\pi}{3}}{n}$ il numeratore vale, ciclicamente, $\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0$: i segni vanno a coppie, e Leibniz non si applica. Con $n^\alpha$ e $\alpha > 1$ al denominatore basterebbe la convergenza assoluta; con $n$, invece, i valori assoluti contengono $\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \dots\right)$, una serie armonica travestita che diverge. Raggruppiamo a due a due i termini dello stesso segno:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)\right. \\ \left. {} + \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) - \dots\right] \end{gathered}$$

Le parentesi $c_k = \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2}$ sono positive, decrescenti e tendono a 0: per Leibniz la serie raggruppata converge. Siccome i termini tendono a 0 e ogni gruppo comprende al massimo tre termini consecutivi (con lo zero), le somme parziali originali differiscono da quelle raggruppate per al massimo due termini, che tendono a 0: stesso limite. La serie converge semplicemente, ma non assolutamente (e così con $n^\alpha$, per $0 < \alpha \leq 1$). Con le serie di Fourier si dimostra che la somma è $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$: con 60 000 termini il computer dà $1{,}04718$.

Segni senza schema. In $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^\alpha}$, per $\alpha > 1$ basta $\left\lvert \frac{\cos n}{n^\alpha} \right\rvert \leq \frac{1}{n^\alpha}$. Per $0 < \alpha \leq 1$ serve il criterio di Dirichlet, che molti corsi non fanno e che non dimostriamo: se le somme parziali di $\sum b_n$ sono limitate e $c_n$ decresce verso 0, $\sum b_n c_n$ converge. Le somme parziali di $\cos n$ sono limitate, quindi la serie converge; con $\alpha = 1$ le somme parziali si assestano vicino a $0{,}042$.

Riordinare i termini: quando l’ordine conta

In una somma finita l’ordine degli addendi non conta; in una serie la somma è un limite, che può dipendere dall’ordine. Un riordinamento di $\sum a_n$ è una serie $\sum a_{\sigma(n)}$, con $\sigma$ («sigma») funzione biiettiva dei naturali in sé: ogni termine compare una e una sola volta, in un’altra posizione. Per esempio

$$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots$$

è un riordinamento della serie armonica a segni alterni: due positivi, un negativo, e ogni $\frac{1}{n}$ prima o poi arriva con il suo segno.

Il teorema di Dirichlet

Perché è vero. Comincia da una serie a termini positivi. Una somma parziale del riordinamento contiene un numero finito di termini, tutti tra i primi $M$ della serie originale per $M$ abbastanza grande: quindi non supera $s_M \leq s$. Le somme parziali del riordinamento crescono e sono limitate da $s$, quindi convergono a un $s' \leq s$. Ma anche la serie originale è un riordinamento dell’altra, quindi $s \leq s'$, e $s' = s$. Nel caso generale si applica questo a $\sum a_n^+$ e a $\sum a_n^-$ e si fa la differenza.

La serie armonica a segni alterni riordinata

Senza convergenza assoluta il teorema non vale. Calcoliamo la somma del riordinamento di prima: sotto la serie scriviamo la sua metà, $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \dots = \frac{\ln 2}{2}$, con uno zero davanti a ogni termine (gli zeri ripetono solo alcune somme parziali, e non cambiano la somma), poi sommiamo posto per posto, come permette la linearità:

Serie	Metà, con zeri	Somma
${1}$	${0}$	${1}$
${-\frac{1}{2}}$	${\frac{1}{2}}$	${0}$
${\frac{1}{3}}$	${0}$	${\frac{1}{3}}$
${-\frac{1}{4}}$	${-\frac{1}{4}}$	${-\frac{1}{2}}$
${\frac{1}{5}}$	${0}$	${\frac{1}{5}}$
${-\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	${0}$
${\frac{1}{7}}$	${0}$	${\frac{1}{7}}$
${-\frac{1}{8}}$	${-\frac{1}{8}}$	${-\frac{1}{4}}$
totale ${\ln 2}$	totale ${\frac{\ln 2}{2}}$	totale ${\frac{3}{2}\ln 2}$

Nella terza colonna i positivi $\frac{1}{2k - 1}$ restano, al posto $4k + 2$ i due termini si cancellano, al posto $4k$ compare $-\frac{2}{4k} = -\frac{1}{2k}$. Togliendo gli zeri resta proprio il riordinamento:

$$\begin{gathered} 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots \\ {} = \frac{3}{2}\ln 2 \approx 1{,}0397 \end{gathered}$$

Stessi termini, ordine diverso, somma diversa da $\ln 2 \approx 0{,}6931$ (al computer, con 600 000 termini, $1{,}03972$). Con la stessa idea e la costante di Eulero-Mascheroni si dimostra che prendendo a turno $p$ positivi e $q$ negativi la somma diventa $\ln 2 + \frac{1}{2}\ln\frac{p}{q}$: con un positivo e due negativi si dimezza, con uno e quattro diventa 0 (esercizio 4).

Il teorema di Riemann

L’idea della dimostrazione. I termini tendono a 0, e positivi e negativi, presi da soli, divergono. L’algoritmo per arrivare a $C$:

1. prendi i positivi, nel loro ordine, finché la somma supera $C$ (ci riesci sempre, perché divergono);
2. poi prendi i negativi finché la somma scende sotto $C$;
3. ricomincia dai positivi rimasti, e così via.

Le fasi si alternano senza fine, quindi ogni termine viene usato, una volta sola. Tra un attraversamento di $C$ e il successivo la somma non si allontana da $C$ più dell’ultimo termine con cui l’ha attraversato, e i termini tendono a 0: la serie riordinata converge a $C$. Per $+\infty$ basta alzare l’obiettivo a ogni giro: positivi fino a superare 1, un negativo, positivi fino a superare 2, e così via. Per un riordinamento irregolare si alternano due obiettivi, come 0 e 1.

Nella figura l’algoritmo lavora sulla serie armonica a segni alterni con $C = 1$: lo schema è di solito «due positivi, un negativo», a volte «uno e uno», e dopo 100 000 termini la somma parziale vale $1{,}000002$.

Perché conta. La somma di una serie non è un’addizione come le altre: è un limite, e la proprietà commutativa vale solo con la convergenza assoluta. Se una serie converge solo semplicemente, l’ordine dei termini fa parte della serie e non si tocca; raggruppare termini consecutivi senza spostarli, invece, si può (lo vedi nelle serie numeriche). Lo stesso succede con il prodotto di due serie: per il teorema di Mertens, se entrambe convergono e almeno una converge assolutamente, il prodotto alla Cauchy converge al prodotto delle somme.

Lo schema completo per una serie di segno qualunque

1. Condizione necessaria. Se $a_n \not\to 0$, la serie non converge.
2. Segno. Se i termini hanno definitivamente segno costante, usa i criteri per i termini positivi.
3. Convergenza assoluta. Studia $\sum \lvert a_n \rvert$ con confronto, confronto asintotico, rapporto, radice o criterio dell’integrale. Se converge, la serie converge assolutamente.
4. Rapporto o radice di $\lvert a_n \rvert$ maggiori di 1: la serie non converge.
5. Segni alterni. Se $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge, prova Leibniz: se vale, la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
6. Altri strumenti. Spezza il termine, raggruppa i segni periodici, usa Taylor o, se fa parte del tuo corso, il criterio di Dirichlet.

Cosa trovi	Cosa concludi
${a_n \not\to 0}$	non converge
${\sum \lvert a_n \rvert}$ converge	converge assolutamente
rapporto o radice ${> 1}$	non converge
${\sum \lvert a_n \rvert}$ diverge per confronto	ancora niente: vai avanti
segni alterni e Leibniz	converge semplicemente
segni irregolari	raggruppa o spezza

Un po’ di storia

Che riordinando la serie armonica a segni alterni la somma possa cambiare lo notò, di solito si dice, Augustin-Louis Cauchy nel 1833; lo stesso Cauchy aveva enunciato il criterio sui blocchi nel Cours d’analyse del 1821. Nel 1837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet, in un lavoro sui numeri primi nelle progressioni aritmetiche, osservò che solo per le serie assolutamente convergenti la somma non dipende dall’ordine. Il teorema completo, con l’algoritmo che abbiamo visto, è in poche righe della tesi di abilitazione di Bernhard Riemann sulle serie trigonometriche, presentata a Gottinga nel 1854 e pubblicata da Richard Dedekind solo dopo la morte di Riemann, con una nota del 1867.

Gli errori più comuni

• Dire «converge assolutamente» dopo Leibniz. Leibniz dà solo la convergenza: per quella assoluta serve $\sum \lvert a_n \rvert$.
• Dire «diverge» perché $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge per confronto. La serie con i segni può ancora convergere.
• Dire «diverge» quando il rapporto di $\lvert a_n \rvert$ supera 1. Non converge, ma spesso è irregolare.
• Usare il confronto asintotico su $a_n$ con i segni. Va applicato a $\lvert a_n \rvert$.
• Maggiorare male il numeratore. $\lvert 2\sin n - \cos 3n \rvert \leq 3$, non 1: si sommano i massimi.
• Spostare i termini di una serie che converge solo semplicemente. La somma può cambiare.
• Credere che, nella convergenza semplice, positivi e negativi abbiano somma finita. Divergono entrambi.

Esercizi svolti

1. Un numeratore trigonometrico

Testo. Studia la convergenza semplice e assoluta di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2\sin n - \cos(3n)}{n\sqrt{n} + 1}$.

I primi termini valgono circa $1{,}34$, $0{,}22$, $0{,}19$, $-0{,}26$, $-0{,}10$: segni irregolari, niente Leibniz. Passiamo ai valori assoluti. Per la disuguaglianza triangolare

$$\begin{gathered} \lvert 2\sin n - \cos(3n) \rvert \\ {} \leq 2\lvert \sin n \rvert + \lvert \cos(3n) \rvert \leq 3 \end{gathered}$$

e il denominatore è maggiore di $n\sqrt{n} = n^{3/2}$, quindi

$$\lvert a_n \rvert \leq \frac{3}{n^{3/2}}$$

La serie di $\frac{1}{n^{3/2}}$ converge (esponente maggiore di 1): per confronto la serie converge assolutamente, e quindi converge. La somma è circa $1{,}449$.

2. Leibniz e una telescopica divergente

Testo. Studia la convergenza semplice e assoluta di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1}\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.

Valori assoluti. $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \ln(n + 1) - \ln n$: la serie dei valori assoluti è telescopica, e

$$\sum_{k=1}^{n} \left[\ln(k + 1) - \ln k\right] = \ln(n + 1)$$

che tende a $+\infty$. Niente convergenza assoluta.

Leibniz. $b_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ è positivo, perché $1 + \frac{1}{n} > 1$; decresce, perché $1 + \frac{1}{n}$ decresce e il logaritmo è crescente; tende a $\ln 1 = 0$. La serie converge semplicemente, ma non assolutamente. Per la stima di Leibniz la somma sta tra $s_{10} \approx 0{,}406$ e $s_{11} \approx 0{,}493$; con il prodotto di Wallis si dimostra che vale $\ln\frac{\pi}{2} \approx 0{,}452$.

3. Un parametro: assoluta, semplice o niente

Testo. Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$, studia la convergenza semplice e assoluta di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \left(\sqrt{n^2 + 1} - n\right)^\alpha$.

Razionalizziamo la base:

$$\begin{gathered} b_n = \sqrt{n^2 + 1} - n \\ {} = \frac{(n^2 + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 1} + n} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n} \end{gathered}$$

Quindi $b_n > 0$, $b_n$ decresce (il denominatore cresce), $b_n \to 0$ e $b_n \sim \frac{1}{2n}$.

Valori assoluti. $\lvert a_n \rvert = b_n^\alpha \sim \frac{1}{2^\alpha\,n^\alpha}$: per il confronto asintotico la loro serie converge se e solo se $\alpha > 1$.

Se 0 < α ≤ 1. Leibniz: $b_n^\alpha$ è positivo, decresce perché $t \mapsto t^\alpha$ è crescente per $\alpha > 0$, e tende a 0. La serie converge.

Se α ≤ 0. Con $\alpha = 0$ i termini sono $(-1)^n$, con $\alpha < 0$ si ha $b_n^\alpha \to +\infty$: i termini non tendono a 0, la serie non converge.

Conclusione: convergenza assoluta per $\alpha > 1$, semplice ma non assoluta per $0 < \alpha \leq 1$, nessuna convergenza per $\alpha \leq 0$.

4. Un riordinamento con somma zero

Testo. (a) La serie $\sum_{n \geq 0} \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ ha un riordinamento con somma diversa da $\frac{2}{3}$? (b) Dimostra che il riordinamento della serie armonica a segni alterni con un positivo e quattro negativi ha somma 0:

$$\begin{gathered} 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \\ {} + \frac{1}{3} - \frac{1}{10} - \dots - \frac{1}{16} + \dots \end{gathered}$$

Usa $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \ln n + \gamma + \varepsilon_n$, con $\varepsilon_n \to 0$.

(a) No: la serie converge assolutamente, e per il teorema di Dirichlet ogni riordinamento ha somma $\frac{2}{3}$.

(b) Dopo $k$ blocchi, cioè $5k$ termini, hai usato i positivi da $1$ a $\frac{1}{2k - 1}$ e i negativi da $\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{8k}$. Siccome $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2m} = \frac{1}{2}H_m$, i negativi danno $\frac{1}{2}H_{4k}$ e i positivi, cioè gli inversi fino a $2k$ meno quelli pari, danno $H_{2k} - \frac{1}{2}H_k$. Quindi

$$\begin{gathered} S_{5k} = H_{2k} - \frac{1}{2}H_k - \frac{1}{2}H_{4k} \\ {} = \ln 2k - \frac{1}{2}\ln k - \frac{1}{2}\ln 4k + \delta_k \end{gathered}$$

dove i $\gamma$ si cancellano e $\delta_k = \varepsilon_{2k} - \frac{1}{2}\varepsilon_k - \frac{1}{2}\varepsilon_{4k} \to 0$. I logaritmi danno $\ln 2 + \ln k - \frac{1}{2}\ln k - \ln 2 - \frac{1}{2}\ln k = 0$: quindi $S_{5k} \to 0$. Dentro un blocco le somme parziali differiscono da $S_{5k}$ per al massimo quattro termini, che tendono a 0: la somma è 0. Con i numeri, $S_5 = -\frac{1}{24}$ e $S_{500} \approx -0{,}0006$. Curiosità: l’algoritmo di Riemann con $C = 0$ produce proprio questo schema. Con una stima più fine di $H_n$ si trova $S_{5k} \approx -\frac{1}{16k}$, e la somma scende sotto 0 proprio al quarto negativo.

5. Il rapporto dei valori assoluti supera 1

Testo. Studia $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\,\frac{n^n}{n!\,2^n}$: converge, diverge o è irregolare? E con $3^n$ al posto di $2^n$?

Il rapporto dei valori assoluti è calcolato negli esercizi svolti sulle serie (esercizio 5):

$$\frac{\lvert a_{n+1} \rvert}{\lvert a_n \rvert} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to \frac{e}{2} \approx 1{,}36$$

Il limite supera 1: la serie non converge. Anzi, siccome $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \geq 2$, il rapporto è sempre almeno 1, e $\lvert a_n \rvert \geq \lvert a_1 \rvert = \frac{1}{2}$.

Irregolare. Da $\lvert a_{n+1} \rvert \geq \lvert a_n \rvert$ le somme di indice dispari decrescono, perché $s_{2k+1} = s_{2k-1} + \lvert a_{2k} \rvert - \lvert a_{2k+1} \rvert$, e per lo stesso motivo quelle pari crescono. Le dispari restano sotto $s_1 = -\frac{1}{2}$, le pari sopra $s_2 = 0$: la successione non tende né a $+\infty$ né a $-\infty$, e non converge. Infatti le prime somme sono $-0{,}5$, $0$, $-0{,}56$, $0{,}10$, $-0{,}71$, $0{,}30$.

Con 3ⁿ. Il rapporto tende a $\frac{e}{3} \approx 0{,}91 < 1$: la serie converge assolutamente.

6. Vero o falso

Testo. Di’ se ogni affermazione è vera o falsa, motivando.

1. Se $\sum a_n$ converge semplicemente ma non assolutamente, la serie dei suoi termini positivi converge.
2. Se $\sum a_n$ converge assolutamente e $(b_n)$ è limitata, $\sum a_n b_n$ converge assolutamente.
3. Se $\sum a_n$ converge e $(b_n)$ è limitata, $\sum a_n b_n$ converge.
4. Una serie convergente con un numero finito di termini negativi converge assolutamente.
5. Se due riordinamenti di $\sum a_n$ hanno somme diverse, $\sum a_n$ non converge assolutamente.

1. Falso. Parte positiva e parte negativa divergono entrambe.

2. Vero. Se $\lvert b_n \rvert \leq M$, allora $\lvert a_n b_n \rvert \leq M\lvert a_n \rvert$: basta il confronto.

3. Falso. Con $a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ e $b_n = (-1)^{n+1}$ si ha $a_n b_n = \frac{1}{n}$: la serie armonica. Rispetto alla 2 manca la convergenza assoluta.

4. Vero. Definitivamente $\lvert a_n \rvert = a_n$: le due serie differiscono solo per un numero finito di termini.

5. Vero. Altrimenti, per il teorema di Dirichlet, tutti i riordinamenti avrebbero la stessa somma.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle serie.

In sintesi

• $\sum a_n$ converge assolutamente se converge $\sum \lvert a_n \rvert$; converge semplicemente ma non assolutamente se converge ma $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge.
• La convergenza assoluta implica la convergenza, e $\left\lvert \sum a_n \right\rvert \leq \sum \lvert a_n \rvert$ (dimostrazioni: parti positiva e negativa, oppure criterio di Cauchy).
• Il viceversa è falso (serie armonica a segni alterni); nella convergenza solo semplice positivi e negativi divergono entrambi.
• Su $\lvert a_n \rvert$ si usano i criteri per termini positivi. Rapporto o radice maggiori di 1: non converge. Divergenza per confronto: della serie con i segni non si sa ancora nulla.
• Dirichlet: una serie assolutamente convergente si riordina senza cambiare la somma.
• Riemann: una serie solo semplicemente convergente si riordina per ottenere qualunque somma: $1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \dots = \frac{3}{2}\ln 2$.

Nell’ultimo articolo della teoria i termini della serie diventano funzioni di $x$, e le serie diventano un modo nuovo di scrivere le funzioni: le serie di potenze e le serie di Taylor.