Equazioni goniometriche di secondo grado: sostituzione, metodo ed esercizi svolti

Le equazioni goniometriche di secondo grado sono quelle in cui la stessa funzione goniometrica compare al quadrato, come $4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$. Nelle equazioni logaritmiche con sostituzione avevamo trattato il logaritmo come una nuova incognita: qui si fa lo stesso con il seno, il coseno o la tangente, e resta un’equazione di secondo grado che sai risolvere dalle superiori. C’è una sola attenzione in più, e riguarda i valori che la nuova incognita può assumere. All’esame queste equazioni compaiono da sole, nel calcolo degli zeri di una funzione e più avanti nello studio di funzione goniometrica. In questa pagina vediamo l’idea della sostituzione, il metodo passo per passo, perché alcuni valori si scartano, cosa dice il discriminante, tangente e cotangente, la relazione fondamentale, le tre versioni di $\cos 2x$, le equazioni di terzo e quarto grado, il controllo delle soluzioni, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: la funzione diventa l’incognita

Prendi $\sqrt{2}\sin^2 x - (\sqrt{2} - 1)\sin x - 1 = 0$. La $x$ compare solo dentro $\sin x$: se chiami $t = \sin x$, l’equazione diventa $\sqrt{2}\,t^2 - (\sqrt{2} - 1)\,t - 1 = 0$. Il lavoro si fa quindi su due piani:

1. sul piano algebrico trovi i numeri $t$ che risolvono l’equazione di secondo grado;
2. sul piano goniometrico cerchi gli angoli $x$ che hanno quel seno.

Primo passo: il discriminante è $\Delta = (\sqrt{2} - 1)^2 + 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$, che è il quadrato di $\sqrt{2} + 1$. Quindi

$$\begin{gathered} t = \frac{\sqrt{2} - 1 \pm (\sqrt{2} + 1)}{2\sqrt{2}} \\ t = 1 \quad \text{oppure} \quad t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Secondo passo. Ogni valore di $t$ diventa un’equazione goniometrica elementare: $\sin x = 1$ e $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Sulla circonferenza il seno è l’ordinata, quindi si cercano i punti che stanno all’altezza $t$: le intersezioni con la retta orizzontale $y = t$.

La retta $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ taglia la circonferenza in due punti, la retta $y = 1$ la tocca in uno solo:

$$\begin{gathered} \sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\[2mm] \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \iff x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

In un giro, cioè in $[0, 2\pi)$, le soluzioni sono tre: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$. Nota che $t = 1$ dà una sola famiglia. Succede ogni volta che una radice vale esattamente $1$ o $-1$: la retta è tangente alla circonferenza.

Il metodo passo per passo

1. Scrivi le condizioni di esistenza, se ci sono tangenti, cotangenti o frazioni.
2. Riduci a una sola funzione goniometrica, con la relazione fondamentale o con le formule di duplicazione.
3. Sostituisci $t = \sin x$ (oppure $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$) e risolvi l’equazione in $t$, con il discriminante o scomponendo.
4. Scarta i valori impossibili: se $t$ è un seno o un coseno, deve stare tra $-1$ e $1$. Con tangente e cotangente non si scarta nulla.
5. Torna alla $x$: ogni valore rimasto è un’equazione elementare, con due famiglie per seno e coseno (una sola per i valori $\pm 1$) e una per tangente e cotangente.
6. Controlla le condizioni di esistenza e sostituisci nel testo un valore per famiglia.

Il passo 5 è quello che si salta più spesso: $t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ non è una soluzione, è il valore del seno. Le soluzioni sono gli angoli.

Perché si scartano i valori fuori da [−1, 1]

Esempio 1. $4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$.

Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 16 + 48 = 64$, quindi

$$\begin{gathered} t = \frac{4 \pm 8}{8} \\ t = \frac{3}{2} \quad \text{oppure} \quad t = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Il valore $\frac{3}{2}$ è maggiore di 1, e nessun angolo ha un seno così grande: la retta $y = \frac{3}{2}$ passa sopra la circonferenza senza toccarla. Lo scarti. Resta $\sin x = -\frac{1}{2}$, che dà due punti.

Con $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ e $\pi - \alpha = \frac{7\pi}{6}$:

$$\begin{gathered} x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

Perché è vero. Scartare non vuol dire perdere soluzioni. Il trinomio si scompone, $4t^2 - 4t - 3 = 4\left(t - \frac{3}{2}\right)\left(t + \frac{1}{2}\right)$, e la scomposizione vale per ogni numero $t$, anche quando $t$ è un seno:

$$\begin{gathered} 4\sin^2 x - 4\sin x - 3 \\ {} = 4\left(\sin x - \frac{3}{2}\right)\left(\sin x + \frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

Un prodotto è zero se e solo se lo è almeno un fattore. Quindi le soluzioni dell’equazione sono tutte e sole quelle di $\sin x = \frac{3}{2}$ e di $\sin x = -\frac{1}{2}$. La prima equazione non ne ha nessuna: togliendola non si perde niente. Lo stesso ragionamento vale per ogni trinomio con $\Delta \geq 0$, che si scrive sempre $a(t - t_1)(t - t_2)$. È la stessa cosa che succede con $t = a^x$ nelle equazioni esponenziali con sostituzione, dove si scartano i valori $t \leq 0$.

Cosa dice il discriminante

Per un trinomio $at^2 + bt + c$ ci sono tre casi, ma con seno e coseno il conto non finisce lì.

• $\Delta < 0$: nessun valore reale di $t$, quindi l’equazione è impossibile. Per esempio $2\cos^2 x - \cos x + 1 = 0$ ha $\Delta = 1 - 8 = -7$.
• $\Delta = 0$: un solo valore di $t$, perché il trinomio è un quadrato. Se $t$ è un seno o un coseno e quel valore sta strettamente tra $-1$ e $1$, dà comunque due famiglie, come nell’esercizio 4.
• $\Delta > 0$: due valori di $t$, che però possono cadere fuori dalla finestra. In $2\cos^2 x + 7\cos x + 6 = 0$ si ha $\Delta = 49 - 48 = 1$ e $t = \frac{-7 \pm 1}{4}$, cioè $t = -\frac{3}{2}$ e $t = -2$: entrambi minori di $-1$. L’equazione è impossibile anche se $\Delta > 0$.

In breve, per seno e coseno $\Delta \geq 0$ è necessario ma non basta: conta quante radici cadono in $[-1, 1]$. Una radice strettamente interna dà due punti per giro, una radice uguale a $\pm 1$ uno solo. È anche la chiave delle equazioni con un parametro, come nell’esercizio 6.

I valori di t accettabili

Sostituzione	Valori di $t$	Condizioni su $x$
${t = \sin x}$, ${t = \cos x}$	${-1 \leq t \leq 1}$	nessuna
${t = \tan x}$	ogni ${t}$	${x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi}$
${t = \cot x}$	ogni ${t}$	${x \neq k\pi}$
${t = \sin^2 x}$, ${t = \cos^2 x}$	${0 \leq t \leq 1}$	nessuna

Tangente e cotangente: niente da scartare

La tangente assume tutti i valori reali, e così la cotangente: con $t = \tan x$ o $t = \cot x$ nessuna radice si scarta. Restano le condizioni di esistenza e il periodo, che è $\pi$.

Esempio 2. $\tan^2 x - (1 + \sqrt{3})\tan x + \sqrt{3} = 0$.

Con $t = \tan x$ servono due numeri con somma $1 + \sqrt{3}$ e prodotto $\sqrt{3}$: sono $t = 1$ e $t = \sqrt{3}$. Quindi

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi \end{gathered}$$

Le condizioni di esistenza, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, sono rispettate: dove la tangente vale 1 o $\sqrt{3}$, esiste.

Tangente e 1/cos² x

Dividendo la relazione fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ per $\cos^2 x$, dove $\cos x \neq 0$, si ottiene un’identità che porta tutto alla tangente:

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$

Esempio 3. $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 2\sqrt{3}\tan x - 2$.

Le condizioni di esistenza sono $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e dove sono rispettate vale l’identità:

$$\begin{gathered} 1 + \tan^2 x = 2\sqrt{3}\tan x - 2 \\ {} \iff \tan^2 x - 2\sqrt{3}\tan x + 3 = 0 \end{gathered}$$

Qui $\Delta = 12 - 12 = 0$: il trinomio è il quadrato $(\tan x - \sqrt{3})^2$. Resta $\tan x = \sqrt{3}$, cioè $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

Cotangente e 1/sin² x

La cotangente esiste per $x \neq k\pi$ e ha periodo $\pi$; come si risolve $\cot x = a$, compreso il caso $\cot x = 0$, lo trovi nella sezione sull’equazione elementare con la cotangente. Dividendo la relazione fondamentale per $\sin^2 x$:

$$\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x$$

Esempio 4. $\dfrac{1}{\sin^2 x} = 1 - \sqrt{3}\cot x$.

Con le condizioni $x \neq k\pi$:

$$\begin{gathered} 1 + \cot^2 x = 1 - \sqrt{3}\cot x \\ {} \iff \cot x\,(\cot x + \sqrt{3}) = 0 \end{gathered}$$

Quindi $\cot x = 0$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, oppure $\cot x = -\sqrt{3}$, cioè $x = \frac{5\pi}{6} + k\pi$. Controllo con $x = \frac{\pi}{2}$: $\frac{1}{1} = 1 - \sqrt{3} \cdot 0$, vero.

Seno e coseno insieme: la relazione fondamentale

Se compaiono sia il seno sia il coseno, ma uno dei due solo al quadrato, la relazione fondamentale lo trasforma nell’altro: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, oppure $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Esempio 5. $\sqrt{2}\cos^2 x = \sin x$.

Il coseno compare solo al quadrato. Scrivi la sostituzione tra parentesi, perché il meno va moltiplicato per entrambi i termini:

$$\begin{gathered} \sqrt{2}\,(1 - \sin^2 x) = \sin x \\ {} \iff \sqrt{2}\sin^2 x + \sin x - \sqrt{2} = 0 \end{gathered}$$

Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 1 + 8 = 9$:

$$\begin{gathered} t = \frac{-1 \pm 3}{2\sqrt{2}} \\ t = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{oppure} \quad t = -\sqrt{2} \end{gathered}$$

Il valore $-\sqrt{2} \approx -1{,}41$ si scarta. Da $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ si ottiene $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$.

Perché serve il quadrato. La relazione fondamentale dà $\cos^2 x$ in funzione di $\sin x$ senza ambiguità, per ogni $x$. Il coseno al primo grado, invece, è $\cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x}$, con un segno che dipende dal quadrante: non diventa un polinomio in $\sin x$, ed elevare al quadrato per togliere la radice può aggiungere soluzioni false. Il trucco funziona con qualsiasi potenza pari, per esempio $\cos^4 x = (1 - \sin^2 x)^2$.

Due casi in cui non basta:

• se compare il prodotto $\sin x\cos x$ insieme a $\sin^2 x$ e $\cos^2 x$, l’equazione è omogenea: si divide per $\cos^2 x$ e resta la tangente;
• se seno e coseno compaiono entrambi al primo grado, servono i metodi delle equazioni lineari, di cui parliamo in fondo alla pagina.

Con l’angolo doppio: le tre versioni di cos 2x

Se compare $\cos 2x$, si porta tutto all’angolo $x$ con le formule di duplicazione. Per $\cos 2x$ ci sono tre versioni, tutte equivalenti grazie alla relazione fondamentale:

$$\begin{gathered} \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \\ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \\ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \end{gathered}$$

La regola: si sceglie la versione di $\cos 2x$ che contiene la funzione già presente, così resta una sola funzione. La prima serve quando conviene scomporre.

Esempio 6: c’è il seno. $\cos 2x + \sin x + 2 = 0$.

Si usa $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$\begin{gathered} 1 - 2\sin^2 x + \sin x + 2 = 0 \\ {} \iff 2\sin^2 x - \sin x - 3 = 0 \end{gathered}$$

Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 1 + 24 = 25$ e le radici $\frac{1 \pm 5}{4}$ sono $t = \frac{3}{2}$, da scartare, e $t = -1$. Il secondo valore sta sul bordo della finestra e dà una sola famiglia, $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$: in un giro c’è una sola soluzione.

Esempio 7: c’è il coseno. $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$.

Si usa $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, e gli uni si cancellano: resta $2\cos^2 x + \cos x = 0$. Manca il termine noto, quindi si raccoglie:

$$\cos x\,(2\cos x + 1) = 0$$

Da $\cos x = 0$ si ha $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$; da $\cos x = -\frac{1}{2}$ si ha $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dividendo per $\cos x$ avresti perso la prima famiglia.

Esempio 8: per scomporre. $\cos 2x = 3\sin^2 x + 3\sin x\cos x$.

C’è un prodotto di seno e coseno, quindi nessuna sostituzione diretta. A sinistra si usa la versione $\cos^2 x - \sin^2 x$, che è una differenza di quadrati; a destra si raccoglie $3\sin x$. Poi si porta tutto a sinistra e si raccoglie $\cos x + \sin x$:

$$\begin{gathered} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \\ {} = 3\sin x\,(\sin x + \cos x) \\ {} \iff (\cos x + \sin x)(\cos x - 4\sin x) = 0 \end{gathered}$$

Nessuno dei due fattori si annulla dove $\cos x = 0$, perché lì $\sin x = \pm 1$: si può dividere per $\cos x$. Il primo dà $\tan x = -1$, cioè $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$; il secondo $\tan x = \frac{1}{4}$, cioè $x = \arctan\frac{1}{4} + k\pi \approx 0{,}245 + k\pi$. L’equazione è anche omogenea: dividendo per $\cos^2 x$ si arriva a $4\tan^2 x + 3\tan x - 1 = 0$, con le stesse radici.

E sin 2x? La formula $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ introduce un prodotto. Se gli altri termini hanno un fattore in comune si raccoglie, come nelle equazioni riconducibili a elementari; se tutti i termini sono di grado 2 l’equazione è omogenea; se il prodotto è moltiplicato per una tangente o una cotangente resta una sola funzione, come nell’esercizio 5.

Equazioni di terzo e quarto grado

L’idea non cambia quando il grado sale: si sostituisce e si risolve un’equazione algebrica.

Esempio 9: una cubica. $2\sin^3 x + 3\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$.

Con $t = \sin x$ diventa $2t^3 + 3t^2 - 3t - 2 = 0$. La somma dei coefficienti è $2 + 3 - 3 - 2 = 0$, quindi $t = 1$ è una radice e, con la regola di Ruffini, il polinomio si divide per $t - 1$:

$$\begin{gathered} 2t^3 + 3t^2 - 3t - 2 \\ {} = (t - 1)(2t^2 + 5t + 2) \end{gathered}$$

Il secondo fattore ha $\Delta = 25 - 16 = 9$ e radici $t = \frac{-5 \pm 3}{4}$, cioè $-\frac{1}{2}$ e $-2$, da scartare. Restano $\sin x = 1$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, e $\sin x = -\frac{1}{2}$, cioè $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$.

Esempio 10: una biquadratica. $4\cos^4 x - 9\cos^2 x + 2 = 0$.

Qui conviene $t = \cos^2 x$, con la finestra $0 \leq t \leq 1$: un quadrato non è negativo e $\cos^2 x$ non supera 1. L’equazione $4t^2 - 9t + 2 = 0$ ha $\Delta = 81 - 32 = 49$ e $t = \frac{9 \pm 7}{8}$, cioè $t = 2$, da scartare, oppure $t = \frac{1}{4}$. Da $\cos^2 x = \frac{1}{4}$ si ha $\cos x = \pm\frac{1}{2}$: in un giro sono i quattro angoli $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$, che si scrivono insieme

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi$$

Il controllo delle soluzioni

Alla fine sostituisci nel testo un valore per ogni famiglia, di solito quello con $k = 0$. In una famiglia con passo $2k\pi$ tutti i valori hanno lo stesso seno e lo stesso coseno, quindi se va bene uno vanno bene tutti; con passo $k\pi$ seno e coseno cambiano segno da un valore al successivo, e conviene provare anche $k = 1$. Nell’esempio 1, per $x = \frac{7\pi}{6}$ il seno vale $-\frac{1}{2}$:

$$4 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$$

Controlla a parte i valori delicati: quelli esclusi dalle condizioni di esistenza e quelli in cui si annulla un fattore per cui avresti voluto dividere. Se un controllo non torna, l’errore è quasi sempre nella riduzione a una sola funzione, spesso un segno.

Come scegliere la strada

Se vedi…	Strada
una sola funzione, al quadrato e al primo grado	sostituzione diretta
${\sin x}$ e ${\cos^2 x}$, o ${\cos x}$ e ${\sin^2 x}$	relazione fondamentale, poi sostituzione
${\cos 2x}$ con ${\sin x}$ o con ${\cos x}$	duplicazione, nella versione giusta
${\frac{1}{\cos^2 x}}$ con ${\tan x}$, ${\frac{1}{\sin^2 x}}$ con ${\cot x}$	${1 + \tan^2 x}$, ${1 + \cot^2 x}$
un fattore comune e nessun termine noto	raccoglimento e prodotto nullo
${t^3}$ o ${t^4}$	Ruffini, oppure ${t = \cos^2 x}$
${\sin^2 x}$, ${\sin x\cos x}$ e ${\cos^2 x}$ insieme	equazione omogenea

Gli errori più comuni

• Tenere un valore di $t$ impossibile. Se $t = \sin x$ o $t = \cos x$ esce fuori da $[-1, 1]$, si scarta: $\sin x = \frac{3}{2}$ non ha soluzioni.
• Scartare valori della tangente. $\tan x = 3$ e $\tan x = -5$ hanno soluzioni: la finestra vale solo per seno e coseno.
• Usare la versione sbagliata di $\cos 2x$. Con il seno si usa $1 - 2\sin^2 x$, con il coseno $2\cos^2 x - 1$; altrimenti restano due funzioni.
• Dividere per $\sin x$ o per $\cos x$. Si perdono le soluzioni in cui quel fattore vale zero: quando manca il termine noto si raccoglie.
• Dimenticare le condizioni di esistenza. Con la tangente $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, con la cotangente $x \neq k\pi$: si scrivono all’inizio e si controllano alla fine (esercizio 5).
• Fermarsi alla $t$. $t = \frac{1}{2}$ è il valore del seno, non una soluzione: bisogna tornare alla $x$.
• Dimenticare la seconda famiglia. $\sin x = -\frac{1}{2}$ dà $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$: un solo punto per giro c’è solo per i valori $\pm 1$.
• Sbagliare i segni con $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Senza parentesi, $2\cos^2 x$ diventa $2 - \sin^2 x$ invece di $2 - 2\sin^2 x$.

Esercizi svolti

1. Una sostituzione diretta

Testo. Risolvi l’equazione seguente e scrivi le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

$$4\cos^2 x - 2(1 + \sqrt{3})\cos x + \sqrt{3} = 0$$

Con $t = \cos x$ l’equazione diventa $4t^2 - 2(1 + \sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$. Il discriminante:

$$\begin{gathered} \Delta = 4(1 + \sqrt{3})^2 - 16\sqrt{3} \\ {} = 4(4 + 2\sqrt{3}) - 16\sqrt{3} \\ {} = 16 - 8\sqrt{3} \end{gathered}$$

Sembra brutto, ma è un quadrato: $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$, quindi $\Delta = 4(\sqrt{3} - 1)^2$ e $\sqrt{\Delta} = 2(\sqrt{3} - 1)$. Allora

$$\begin{gathered} t = \frac{2(1 + \sqrt{3}) \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{8} \\ t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oppure} \quad t = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Entrambi i valori sono tra $-1$ e $1$. Da $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ si ha $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, da $\cos x = \frac{1}{2}$ si ha $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono quattro: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$ e $\frac{11\pi}{6}$. Due radici strettamente interne danno due punti ciascuna.

2. Una radice da scartare

Testo. Risolvi $3\cos^2 x + 5\cos x - 2 = 0$.

Con $t = \cos x$ si ha $\Delta = 25 + 24 = 49$, quindi

$$\begin{gathered} t = \frac{-5 \pm 7}{6} \\ t = \frac{1}{3} \quad \text{oppure} \quad t = -2 \end{gathered}$$

Il valore $-2$ è minore di $-1$: si scarta. Il valore $\frac{1}{3}$ non è notevole, quindi si usa l’arcocoseno, con la calcolatrice in radianti:

$$\begin{gathered} x = \pm\arccos\frac{1}{3} + 2k\pi \\ {} \approx \pm 1{,}231 + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $\cos x = \frac{1}{3}$: $3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{5}{3} - 2 = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2 = 0$. In un giro le soluzioni sono due, circa $1{,}231$ e $2\pi - 1{,}231 \approx 5{,}052$.

3. Con la relazione fondamentale

Testo. Risolvi $2\cos^2 x - \sqrt{3}\sin x + 1 = 0$.

Il coseno compare solo al quadrato: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$$\begin{gathered} 2(1 - \sin^2 x) - \sqrt{3}\sin x + 1 = 0 \\ {} \iff -2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x + 3 = 0 \\ {} \iff 2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x - 3 = 0 \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio abbiamo cambiato tutti i segni, per avere il coefficiente di $\sin^2 x$ positivo. Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 3 + 24 = 27$ e $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$:

$$\begin{gathered} t = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4} \\ t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oppure} \quad t = -\sqrt{3} \end{gathered}$$

Il valore $-\sqrt{3} \approx -1{,}73$ si scarta. Da $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\begin{gathered} x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{3}$, dove $\cos^2 x = \frac{1}{4}$: $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$.

4. Duplicazione: la versione giusta

Testo. Risolvi $\cos 2x - 2\sqrt{2}\cos x + 2 = 0$ e trova le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Nell’equazione c’è il coseno, quindi si usa $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$\begin{gathered} 2\cos^2 x - 1 - 2\sqrt{2}\cos x + 2 = 0 \\ {} \iff 2\cos^2 x - 2\sqrt{2}\cos x + 1 = 0 \end{gathered}$$

Il discriminante è $\Delta = 8 - 8 = 0$: il trinomio è il quadrato $(\sqrt{2}\cos x - 1)^2$. Quindi $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, un solo valore di $t$, ma strettamente interno alla finestra: dà due famiglie, $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$.

Con la versione $1 - 2\sin^2 x$ saresti arrivato a $3 - 2\sin^2 x - 2\sqrt{2}\cos x = 0$, con seno e coseno insieme, e avresti dovuto tornare indietro. Controllo con $x = \frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{\pi}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 = 0 - 2 + 2 = 0$.

5. Cotangente e condizioni di esistenza

Testo. Risolvi $2\sin 2x \cdot \cot x = 5\cos x - 1$.

La cotangente esiste per $\sin x \neq 0$, cioè per $x \neq k\pi$. Dove esiste, con la duplicazione:

$$\begin{gathered} \sin 2x \cdot \cot x = 2\sin x\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ {} = 2\cos^2 x \end{gathered}$$

Il primo membro vale quindi $4\cos^2 x$, e l’equazione diventa $4\cos^2 x - 5\cos x + 1 = 0$. Con $t = \cos x$ si ha $\Delta = 25 - 16 = 9$ e $t = \frac{5 \pm 3}{8}$, cioè $t = 1$ oppure $t = \frac{1}{4}$. Ma $\cos x = 1$ dà $x = 2k\pi$, dove $\sin x = 0$ e la cotangente non esiste: quelle soluzioni vanno scartate tutte. Resta $\cos x = \frac{1}{4}$, che non è un valore notevole:

$$\begin{gathered} x = \pm\arccos\frac{1}{4} + 2k\pi \\ {} \approx \pm 1{,}318 + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $\cos x = \frac{1}{4}$: il primo membro vale $2 \cdot 2\cos^2 x = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$, il secondo $\frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$. Qui $t = 1$ sta dentro la finestra, ma si scarta per le condizioni di esistenza: per questo si scrivono all’inizio, prima di semplificare.

6. Da esame: un’equazione con parametro

Testo. Per quali valori del parametro reale $m$ l’equazione $\cos^2 x + \cos x = m$ ha soluzioni? Quante ne ha in $[0, 2\pi)$, al variare di $m$? Risolvila per $m = \frac{3}{4}$.

Con $t = \cos x$, dove $-1 \leq t \leq 1$, l’equazione diventa $g(t) = m$, con $g(t) = t^2 + t$. Il grafico di $g$ è una parabola con il vertice in $t = -\frac{1}{2}$, dove vale $-\frac{1}{4}$. Sulla finestra $[-1, 1]$ scende da $g(-1) = 0$ a $-\frac{1}{4}$, poi sale fino a $g(1) = 2$. La retta orizzontale $y = m$ incontra questo arco solo se

$$-\frac{1}{4} \leq m \leq 2$$

Per contare le soluzioni in $x$ ricorda che ogni $t$ strettamente tra $-1$ e $1$ dà due angoli in $[0, 2\pi)$, mentre $t = 1$ dà solo $x = 0$ e $t = -1$ solo $x = \pi$.

Valore di $m$	Valori di $t$	Soluzioni
${m < -\frac{1}{4}}$ o ${m > 2}$	nessuno	0
${m = -\frac{1}{4}}$	${-\frac{1}{2}}$	2
${-\frac{1}{4} < m < 0}$	due, tra ${-1}$ e ${0}$	4
${m = 0}$	${-1}$ e ${0}$	3
${0 < m < 2}$	uno, tra ${0}$ e ${1}$	2
${m = 2}$	${1}$	1

Per $-\frac{1}{4} < m < 0$ la retta taglia sia il tratto in discesa sia quello in salita, quindi i valori di $t$ sono due, uno per parte; per $0 < m < 2$ taglia solo il tratto in salita, perché l’altra radice è minore di $-1$. Per $m = 0$ le soluzioni sono $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$.

Per $m = \frac{3}{4}$: $t^2 + t - \frac{3}{4} = 0$ ha $\Delta = 1 + 3 = 4$ e $t = \frac{-1 \pm 2}{2}$, cioè $t = \frac{1}{2}$ oppure $t = -\frac{3}{2}$, da scartare. Da $\cos x = \frac{1}{2}$ si ottengono $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$: due soluzioni, come dice la tabella. Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche.

In sintesi

• Con $t = \sin x$ o $t = \cos x$ si risolve un’equazione algebrica in $t$ e si tengono solo i valori $-1 \leq t \leq 1$; poi ogni valore diventa un’equazione elementare.
• Scartare non è perdere: un valore fuori da $[-1, 1]$ non corrisponde a nessun angolo.
• Con $\Delta < 0$ l’equazione è impossibile; con seno e coseno $\Delta \geq 0$ non basta, contano le radici nella finestra. Una radice in $(-1, 1)$ dà due punti per giro, una radice $\pm 1$ uno solo.
• Con $t = \tan x$ o $t = \cot x$ non si scarta nulla, ma servono le condizioni di esistenza e il periodo $\pi$; $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ e $\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x$.
• Relazione fondamentale: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, quando l’altra funzione compare solo al quadrato.
• $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ con il seno, $2\cos^2 x - 1$ con il coseno, $\cos^2 x - \sin^2 x$ per scomporre.
• Si raccoglie, non si divide; alla fine si controlla un valore per famiglia. Con le disequazioni lo schema è lo stesso, ma escono intervalli: le vedi nelle disequazioni goniometriche di secondo grado.

E se seno e coseno compaiono entrambi al primo grado, come in $\sin x + \cos x = 1$? La relazione fondamentale non basta più: servono metodi nuovi, che vediamo nelle equazioni lineari in seno e coseno.