Equazioni lineari in seno e coseno: angolo aggiunto, parametriche ed esercizi svolti

Fin qui, nelle equazioni di secondo grado e nelle altre che abbiamo visto, alla fine restava sempre una sola funzione goniometrica. Ma come si risolve

$$\sin x + \cos x = 1$$

dove seno e coseno compaiono entrambi, al primo grado? È l’esempio più semplice di equazione lineare in seno e coseno, $a\sin x + b\cos x = c$. Queste equazioni tornano spesso: negli esercizi d’esame sulle equazioni e sulle disequazioni lineari in seno e coseno, quando cerchi zeri e massimi di una funzione goniometrica, e in Fisica quando sommi due oscillazioni. In questa pagina vediamo cosa vuol dire «lineare» e perché la relazione fondamentale da sola non basta, i casi che si risolvono subito, il metodo dell’angolo aggiunto con la condizione per avere soluzioni, le formule parametriche con il controllo di $x = \pi$, il metodo della retta e della circonferenza, la trappola dell’elevare al quadrato, come scegliere il metodo, a cosa servono, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Che cosa sono le equazioni lineari in seno e coseno

Definizione. Si chiama equazione lineare in seno e coseno un’equazione del tipo

$$a\sin x + b\cos x = c$$

dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali, con $a$ e $b$ non entrambi nulli. Come sempre in Analisi, l’incognita $x$ è in radianti.

Perché «lineare». Chiama $X = \cos x$ e $Y = \sin x$: sono le coordinate del punto della circonferenza goniometrica che corrisponde all’angolo $x$. Con queste lettere l’equazione diventa

$$bX + aY = c$$

un’equazione di primo grado in $X$ e $Y$, cioè l’equazione di una retta. Tienila a mente: è l’idea del terzo metodo.

Prima di partire, due controlli:

• seno e coseno devono avere lo stesso argomento. $\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 1$ è lineare (nell’angolo $2x$); $\sin x + \cos 2x = 1$ no: con la duplicazione diventa di secondo grado in $\sin x$;
• non devono comparire quadrati o prodotti: $\sin^2 x + \sin x\cos x = 0$ non è lineare.

Perché la relazione fondamentale non basta. Nelle equazioni di secondo grado sostituivi $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ e restava una sola funzione. Qui c’è $\cos x$, non il suo quadrato, e dalla relazione fondamentale si ricava solo

$$\cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x}$$

con un segno che dipende dal quadrante, cioè proprio da quello che non conosci. Otterresti un’equazione irrazionale con due casi, e per togliere la radice dovresti elevare al quadrato, che introduce soluzioni false (lo vediamo più avanti). I tre metodi di questa pagina aggirano il problema in tre modi diversi: l’angolo aggiunto fonde seno e coseno in un solo seno, le parametriche li scrivono con una sola variabile, la retta li tratta come due coordinate.

I casi che si risolvono subito

• Se $b = 0$, l’equazione è $a\sin x = c$, cioè $\sin x = \frac{c}{a}$: un’equazione elementare.
• Se $a = 0$, è $b\cos x = c$, cioè $\cos x = \frac{c}{b}$: ancora elementare.
• Se $c = 0$, con $a$ e $b$ diversi da zero, l’equazione è omogenea di primo grado: ogni termine ha grado 1 in seno e coseno.

Nel caso $c = 0$ l’idea è dividere per $\cos x$, ma prima bisogna essere sicuri di non perdere soluzioni. Se fosse $\cos x = 0$, sarebbe $\sin x = \pm 1$ e il primo membro varrebbe $\pm a$, che non è zero. Quindi i valori con $\cos x = 0$ non sono soluzioni, e la divisione è lecita:

$$a\tan x + b = 0 \iff \tan x = -\frac{b}{a}$$

Le soluzioni sono $x = \arctan\left(-\frac{b}{a}\right) + k\pi$. Per esempio:

$$\begin{gathered} \sqrt{3}\sin x + 3\cos x = 0 \\ {} \iff \tan x = -\sqrt{3} \\ {} \iff x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{gathered}$$

Nota il passo $k\pi$, non $2k\pi$: la tangente ha periodo $\pi$. Questo è il caso più semplice delle equazioni omogenee in seno e coseno, che hanno una pagina tutta loro. I metodi che seguono funzionano sempre, ma servono davvero quando $a$, $b$ e $c$ sono tutti diversi da zero.

Primo metodo: l’angolo aggiunto

L’idea. $\sin x$ e $\cos x$ sono la stessa onda, spostata di un quarto di periodo. Sommando due onde con lo stesso periodo si ottiene ancora un’onda con quel periodo, solo più alta e spostata: una sinusoide del tipo $R\sin(x + \varphi)$. E un’equazione con un solo seno sappiamo risolverla.

Per trovare $R$ e $\varphi$ sviluppa con la formula di addizione:

$$\begin{gathered} R\sin(x + \varphi) \\ {} = R\cos\varphi \cdot \sin x + R\sin\varphi \cdot \cos x \end{gathered}$$

Perché sia uguale a $a\sin x + b\cos x$ per ogni $x$ bastano $R\cos\varphi = a$ e $R\sin\varphi = b$. Elevando al quadrato e sommando, $R^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = a^2 + b^2$, cioè $R^2 = a^2 + b^2$.

Teorema (angolo aggiunto). Se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli, per ogni $x$ reale

Un angolo $\varphi$ così esiste sempre: il punto $\left(\frac{a}{R}, \frac{b}{R}\right)$ ha distanza 1 dall’origine, quindi sta sulla circonferenza goniometrica. L’equazione $a\sin x + b\cos x = c$ diventa allora

$$\sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$$

un’equazione elementare con argomento composto, nell’incognita $x + \varphi$.

L’esempio guida. In $\sin x + \cos x = 1$ hai $a = b = 1$ e $R = \sqrt{2}$. L’angolo ha $\cos\varphi = \sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$, quindi $\varphi = \frac{\pi}{4}$:

$$\begin{gathered} \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \\ {} \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

L’argomento vale $\frac{\pi}{4}$ oppure $\frac{3\pi}{4}$, a meno di giri, quindi

$$x = 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$.

La scaletta

1. Calcola $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e controlla che sia $|c| \leq R$: se no, l’equazione è impossibile (il perché lo vediamo tra poco).
2. Trova $\varphi$ da $\cos\varphi = \frac{a}{R}$ e $\sin\varphi = \frac{b}{R}$, guardando i segni per scegliere il quadrante.
3. Riscrivi l’equazione come $\sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$.
4. Risolvi l’equazione elementare nell’incognita $x + \varphi$: due famiglie di soluzioni, una sola se $\frac{c}{R} = \pm 1$.
5. Sottrai $\varphi$ e verifica una soluzione nell’equazione di partenza.

Esempio 1. $\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x = 2$.

Qui $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{6}$ e $R = \sqrt{2 + 6} = 2\sqrt{2}$, e $2 \leq 2\sqrt{2}$. L’angolo ha $\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ e $\sin\varphi = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi $\varphi = \frac{\pi}{3}$, e l’equazione diventa $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\begin{gathered} x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ {} \iff x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{5\pi}{12}$, cioè 75°: $\sqrt{2}\sin 75^\circ + \sqrt{6}\cos 75^\circ \approx 1{,}366 + 0{,}634 = 2$.

Come si trova l’angolo: attenzione al quadrante

L’angolo $\varphi$ è fissato da due condizioni, una sul coseno e una sul seno. Geometricamente è l’angolo che il punto $(a, b)$ forma con l’asse orizzontale, e $R$ è la distanza di quel punto dall’origine.

La scorciatoia $\varphi = \arctan\frac{b}{a}$ guarda solo il rapporto $\frac{b}{a}$, che è lo stesso per $(a, b)$ e per $(-a, -b)$. L’arcotangente dà sempre un angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, quindi la scorciatoia è giusta solo se $a > 0$. Se $a < 0$ bisogna aggiungere $\pi$. In ogni caso controlla che $\cos\varphi$ abbia il segno di $a$ e $\sin\varphi$ quello di $b$.

Esempio 2: la trappola. $-\sqrt{3}\sin x + 3\cos x = \sqrt{6}$.

Qui $R = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$, maggiore di $\sqrt{6} \approx 2{,}45$: ci sono soluzioni. L’angolo deve avere

$$\begin{gathered} \cos\varphi = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Coseno negativo e seno positivo: secondo quadrante, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$. La scorciatoia darebbe $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, nel quarto quadrante: sbagliato, perché $2\sqrt{3}\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ è $\sqrt{3}\sin x - 3\cos x$, l’opposto del nostro primo membro. Con l’angolo giusto:

$$\begin{gathered} 2\sqrt{3}\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{6} \\ {} \iff \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ {} \iff x = -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{12}$, cioè 15°: $-1{,}732 \cdot 0{,}259 + 3 \cdot 0{,}966 \approx 2{,}449 \approx \sqrt{6}$.

Un trucco per le equazioni. Se $a < 0$ puoi cambiare segno a tutti i termini: $\sqrt{3}\sin x - 3\cos x = -\sqrt{6}$ ha le stesse soluzioni, $a > 0$, e la scorciatoia funziona: $\varphi = -\frac{\pi}{3}$ e $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ridà $x = \frac{\pi}{12}$ e $x = \frac{19\pi}{12}$, cioè $-\frac{5\pi}{12}$ più un giro. Il trucco vale per le equazioni, non per le espressioni: se cerchi il massimo di $-\sqrt{3}\sin x + 3\cos x$, cambiare segno cambia la funzione.

Quando ci sono soluzioni, e quante

Siccome il seno sta tra $-1$ e $1$, la sinusoide $R\sin(x + \varphi)$ assume tutti e soli i valori tra $-R$ e $R$. Da qui il vantaggio più grande dell’angolo aggiunto.

Teorema (condizione di risolubilità). Con $a$ e $b$ non entrambi nulli:

In un periodo, per esempio in $[0, 2\pi)$, il numero di soluzioni dipende solo dal confronto tra $|c|$ e $R$:

• se $|c| < R$ le soluzioni sono due: la retta $y = c$ taglia ogni onda in due punti;
• se $|c| = R$ è una: la retta tocca l’onda nel massimo o nel minimo;
• se $|c| > R$ non ce ne sono.

Lo vedi nella figura, con $8\sin x + 15\cos x$, che ha $R = \sqrt{64 + 225} = 17$.

Esempio 3: un angolo non notevole. $8\sin x + 15\cos x = 8$.

$R = 17$ e $|8| < 17$: due soluzioni per periodo. L’angolo ha $\cos\varphi = \frac{8}{17}$ e $\sin\varphi = \frac{15}{17}$, nel primo quadrante; siccome $a > 0$, con la calcolatrice in radianti $\varphi = \arctan\frac{15}{8} \approx 1{,}0808$, circa 62°. L’equazione diventa $\sin(x + \varphi) = \frac{8}{17}$, e $\arcsin\frac{8}{17} \approx 0{,}4900$:

$$\begin{gathered} x + \varphi = 0{,}4900 + 2k\pi \\ {} \iff x \approx -0{,}5909 + 2k\pi \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x + \varphi = \pi - 0{,}4900 + 2k\pi \\ {} \iff x \approx 1{,}5708 + 2k\pi \end{gathered}$$

La seconda famiglia è proprio $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$: infatti $8\sin\frac{\pi}{2} + 15\cos\frac{\pi}{2} = 8$. In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono $x = \frac{\pi}{2}$ e $x \approx 5{,}692$: i due punti arancioni della figura. Con lo stesso primo membro, $8\sin x + 15\cos x = 17$ ha una sola famiglia, quella del massimo: $x + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, cioè $x = \arctan\frac{8}{15} + 2k\pi \approx 0{,}490 + 2k\pi$. E $8\sin x + 15\cos x = 20$ è impossibile, perché $20 > 17$.

La versione con il coseno. Se preferisci, $a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \theta)$, con lo stesso $R$, $\cos\theta = \frac{b}{R}$ e $\sin\theta = \frac{a}{R}$: per verificarlo sviluppa $\cos(x - \theta)$. È lo stesso metodo, con $\theta = \frac{\pi}{2} - \varphi$.

Secondo metodo: le formule parametriche

L’idea. Esprimere seno e coseno con una sola variabile, $t = \tan\frac{x}{2}$, e ottenere un’equazione algebrica. Le formule parametriche, valide per $x \neq \pi + 2k\pi$, sono

$$\begin{gathered} \sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \\ \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \end{gathered}$$

Sostituisci in $a\sin x + b\cos x = c$ e moltiplica per $1 + t^2$, che non è mai zero:

$$\begin{gathered} 2at + b(1 - t^2) = c(1 + t^2) \\ {} \iff (b + c)\,t^2 - 2a\,t + (c - b) = 0 \end{gathered}$$

È un’equazione di grado al massimo due in $t$. Se $b + c \neq 0$ è di secondo grado, con

$$\frac{\Delta}{4} = a^2 - (c + b)(c - b) = a^2 + b^2 - c^2$$

Le radici reali esistono se e solo se $c^2 \leq a^2 + b^2$: di nuovo la condizione $|c| \leq R$. Trovato $t$, si torna alla $x$:

$$\begin{gathered} \tan\frac{x}{2} = t \iff \frac{x}{2} = \arctan t + k\pi \\ {} \iff x = 2\arctan t + 2k\pi \end{gathered}$$

Il periodo raddoppia insieme all’angolo: $2k\pi$, non $k\pi$.

L’indizio della perdita di grado. $x = \pi$ è soluzione quando $a\sin\pi + b\cos\pi = c$, cioè $-b = c$, cioè $b + c = 0$: proprio quando il termine in $t^2$ sparisce. Quindi, per le equazioni lineari, se l’equazione in $t$ «perde grado» manca la soluzione $x = \pi$, e viceversa. Il controllo diretto costa una riga: fallo sempre.

L’esempio guida. In $\sin x + \cos x = 1$ hai $a = b = c = 1$:

$$\begin{gathered} 2t^2 - 2t = 0 \\ {} \iff 2t\,(t - 1) = 0 \\ {} \iff t = 0 \ \text{ oppure } \ t = 1 \end{gathered}$$

Da $\tan\frac{x}{2} = 0$ segue $\frac{x}{2} = k\pi$, cioè $x = 2k\pi$; da $\tan\frac{x}{2} = 1$ segue $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Il controllo: $\sin\pi + \cos\pi = -1 \neq 1$, quindi $x = \pi$ non è soluzione, coerente con il fatto che il $t^2$ è rimasto. Stesso risultato dell’angolo aggiunto.

Esempio 4: la soluzione che si perde. $\sin x + \cos x = -1$.

Ora $a = b = 1$ e $c = -1$, quindi $b + c = 0$:

$$\begin{gathered} -2t - 2 = 0 \iff t = -1 \end{gathered}$$

cioè $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi$ e $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Il $t^2$ è sparito: campanello d’allarme. Infatti $\sin\pi + \cos\pi = 0 - 1 = -1$: $x = \pi$ è una soluzione. Le soluzioni complete sono

$$\begin{gathered} x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Il pregio delle parametriche: funzionano sempre, senza quadranti da scegliere, e quando $t$ è una frazione danno seno e coseno esatti (lo vedi nell’esercizio 3). Il difetto: il controllo di $x = \pi$, e soluzioni del tipo $2\arctan t$ quando $t$ non è notevole.

Terzo metodo: retta e circonferenza

Torniamo all’idea iniziale. Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$, il punto $(X, Y)$ sta sulla circonferenza goniometrica e l’equazione diventa la retta $bX + aY = c$. Le soluzioni corrispondono ai punti di intersezione:

$$\begin{cases} bX + aY = c \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases}$$

Si risolve per sostituzione: dalla retta ricavi una variabile e la sostituisci nella circonferenza, ottenendo un’equazione di secondo grado. Ogni punto trovato dà un angolo $x_0$ con $\cos x_0 = X$ e $\sin x_0 = Y$, e quindi una famiglia $x_0 + 2k\pi$.

L’esempio guida. La retta è $X + Y = 1$, cioè $Y = 1 - X$:

$$\begin{gathered} X^2 + (1 - X)^2 = 1 \\ {} \iff 2X^2 - 2X = 0 \\ {} \iff X = 0 \ \text{ oppure } \ X = 1 \end{gathered}$$

I punti sono $(0, 1)$ e $(1, 0)$, cioè gli angoli $\frac{\pi}{2}$ e $0$: in alto nella figura. In basso c’è l’esempio 4: la retta $X + Y = -1$ passa per $(-1, 0)$ e $(0, -1)$, gli angoli $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$. La soluzione $x = \pi$, che le parametriche nascondono, qui si vede subito.

La distanza dall’origine. Quanti punti ha in comune la retta con la circonferenza? Dipende dalla distanza $d$ del centro $O$ dalla retta. Per la formula della distanza di un punto da una retta,

$$d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

e la circonferenza ha raggio 1. Se $d < 1$ la retta è secante, con due punti; se $d = 1$ è tangente, con un punto; se $d > 1$ è esterna. Ma $d \leq 1$ equivale a $|c| \leq \sqrt{a^2 + b^2}$: è la stessa condizione trovata con l’angolo aggiunto e con il $\Delta$ delle parametriche. Tre metodi, una sola condizione, perché la geometria è la stessa.

Esempio 5: la tangenza. $8\sin x + 15\cos x = 17$ diventa la retta $15X + 8Y = 17$, con $d = \frac{17}{17} = 1$: è tangente. Il punto di tangenza è il punto della retta più vicino all’origine, sulla perpendicolare per $O$, nella direzione $(15, 8)$: è $\left(\frac{15}{17}, \frac{8}{17}\right)$. Quindi $\cos x = \frac{15}{17}$ e $\sin x = \frac{8}{17}$, cioè $x = \arctan\frac{8}{15} + 2k\pi$: la stessa famiglia dell’esempio 3.

Questo metodo dà il meglio quando la retta passa per punti notevoli o «razionali»: trovi seno e coseno esatti, senza quadranti da indovinare. Ed è il modo più rapido per contare le soluzioni.

La trappola: elevare al quadrato

C’è un quarto metodo, che sembra il più naturale: isolare il seno ed elevare al quadrato. Proviamolo sull’esempio guida:

$$\begin{gathered} \sin x = 1 - \cos x \\ \sin^2 x = 1 - 2\cos x + \cos^2 x \\ 1 - \cos^2 x = 1 - 2\cos x + \cos^2 x \\ 2\cos x\,(\cos x - 1) = 0 \end{gathered}$$

Da $\cos x = 0$ segue $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, da $\cos x = 1$ segue $x = 2k\pi$. In un giro: $0$, $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$. Ma per $x = \frac{3\pi}{2}$ si ha $\sin x + \cos x = -1 + 0 = -1 \neq 1$: è una soluzione falsa.

Perché succede. Elevando al quadrato, $A = B$ e $A = -B$ diventano la stessa equazione. $\sin^2 x = (1 - \cos x)^2$ contiene anche $\sin x = -(1 - \cos x)$, cioè $\sin x - \cos x = -1$, e $\frac{3\pi}{2}$ è soluzione di quest’ultima. Geometricamente: alla retta $Y = 1 - X$ si aggiunge la sua simmetrica rispetto all’asse $X$, cioè $Y = X - 1$, che passa per $(0, -1)$. Se proprio elevi al quadrato, verifica ogni soluzione nell’equazione di partenza.

Quale metodo scegliere

Sull’esempio guida i tre metodi danno lo stesso risultato, $x = 2k\pi$ oppure $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$: l’angolo aggiunto in tre righe, le parametriche con un’equazione di secondo grado e il controllo di $x = \pi$, la retta con due punti che si vedono a occhio. Ecco quando conviene ciascuno:

Metodo	Conviene se	Attenzione a
Angolo aggiunto	$\varphi$ è notevole	il quadrante
Parametriche	$\varphi$ non è notevole	$x = \pi$
Retta e circonferenza	vuoi contare o verificare	$X = \cos x$
Al quadrato	mai, se puoi evitarlo	soluzioni false

Regola pratica. Calcola subito $R$: ti dice se ci sono soluzioni e se $\varphi$ è notevole, cosa che succede quando $\frac{b}{a}$ vale $\pm 1$, $\pm\sqrt{3}$ o $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. Se lo è, angolo aggiunto; se no, parametriche. Uno schizzo della retta sulla circonferenza, anche a mano libera, è il controllo finale.

A cosa servono

Massimi e minimi senza derivate. Siccome $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$, il massimo è $R$ e il minimo $-R$: $8\sin x + 15\cos x$ va da $-17$ a $17$, non da $-23$ a $23$. Un esempio dalla Fisica: per trascinare a velocità costante una cassa con una fune inclinata di un angolo $\theta$, su un pavimento con coefficiente di attrito dinamico $\mu$, serve la forza $F = \frac{\mu mg}{\cos\theta + \mu\sin\theta}$. È minima quando il denominatore è massimo, cioè vale $\sqrt{1 + \mu^2}$: succede per $\tan\theta = \mu$. Con $\mu = 0{,}75$ l’angolo migliore è circa 37° e basta $F = 0{,}6\,mg$. Oscillazioni. Due moti armonici con la stessa frequenza, lungo lo stesso asse, si sommano in un unico moto armonico: è l’angolo aggiunto, come vedi nelle sinusoidi e nella somma di moti armonici. E chiedersi quando la posizione vale un certo numero significa risolvere un’equazione lineare in seno e coseno.

Gli errori più comuni

• Prendere φ = arctan(b/a) senza guardare il segno di a. Con $a < 0$ l’angolo è sbagliato di $\pi$ e risolvi l’equazione con il secondo membro cambiato di segno.
• Dimenticare x = π con le parametriche. $t = \tan\frac{x}{2}$ non vede $x = \pi + 2k\pi$: controllalo sempre, soprattutto se il $t^2$ sparisce.
• Dividere per cos x quando c non è zero. Funziona solo per le omogenee. In $\sin x + \cos x = 1$ diventa $\tan x + 1 = \frac{1}{\cos x}$: non elimina nessuna funzione e fa sparire $x = \frac{\pi}{2}$, dove $\cos x = 0$.
• Elevare al quadrato senza verificare. Compaiono soluzioni false, come $x = \frac{3\pi}{2}$ in $\sin x + \cos x = 1$.
• Non accorgersi che |c| supera R. $8\sin x + 15\cos x = 20$ è impossibile: calcola $R$ per prima cosa.
• Scrivere R = a + b. $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: per $8\sin x + 15\cos x$ vale 17, non 23.
• Scambiare X e Y nella retta. $X = \cos x$ è l’ascissa e $Y = \sin x$ l’ordinata: $a\sin x + b\cos x = c$ diventa $bX + aY = c$, non $aX + bY = c$.
• Sbagliare il passo dopo l’angolo metà. Da $\frac{x}{2} = \alpha + k\pi$ segue $x = 2\alpha + 2k\pi$: scrivere $x = 2\alpha + k\pi$ aggiunge soluzioni false.

Esercizi svolti

Altri esercizi sulle lineari, mescolati con gli altri tipi di equazioni, li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche.

1. Angolo aggiunto con valori notevoli

Testo. Risolvi $\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1$ e scrivi le soluzioni nell’intervallo $[0, 2\pi)$.

Qui $a = \sqrt{2}$ e $b = -\sqrt{2}$, quindi $R = \sqrt{2 + 2} = 2$, e $|1| < 2$: due soluzioni per periodo. L’angolo ha

$$\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

quarto quadrante, $\varphi = -\frac{\pi}{4}$ (con $a > 0$ va bene anche $\arctan(-1)$). L’equazione diventa

$$\begin{gathered} 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \\ {} \iff \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Il seno vale $\frac{1}{2}$ per $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$, a meno di giri:

$$\begin{gathered} x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ {} \iff x = \frac{13\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$

perché $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$ e $\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{12}$. Con $k = 0$ entrambe stanno in $[0, 2\pi)$. Verifica con $x = \frac{13\pi}{12}$, cioè 195°: $\sqrt{2}\,(\sin 195^\circ - \cos 195^\circ) \approx 1{,}414 \cdot (-0{,}259 + 0{,}966) \approx 1$.

Le soluzioni in $[0, 2\pi)$ sono $x = \frac{5\pi}{12}$ e $x = \frac{13\pi}{12}$: due, come previsto da $|c| < R$.

2. Un angolo non notevole, con la calcolatrice

Testo. Risolvi $-2\sin x + 3\cos x = 1$ e trova le soluzioni in $[0, 2\pi)$ con tre decimali.

$R = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}606$, maggiore di 1: due soluzioni per periodo. L’angolo ha $\cos\varphi = -\frac{2}{\sqrt{13}}$ e $\sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{13}}$: coseno negativo e seno positivo, secondo quadrante. Siccome $a < 0$ si aggiunge $\pi$ all’arcotangente:

$$\begin{gathered} \varphi = \pi + \arctan\left(-\frac{3}{2}\right) \\ {} \approx 3{,}1416 - 0{,}9828 = 2{,}1588 \end{gathered}$$

La scorciatoia senza $\pi$ darebbe $-0{,}983$, nel quarto quadrante. L’equazione diventa $\sin(x + \varphi) = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0{,}2774$; con la calcolatrice $\alpha = \arcsin\frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0{,}2810$. Le due famiglie:

$$\begin{gathered} x + \varphi = \alpha + 2k\pi \\ {} \iff x \approx -1{,}8778 + 2k\pi \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x + \varphi = \pi - \alpha + 2k\pi \\ {} \iff x \approx 0{,}7018 + 2k\pi \end{gathered}$$

Nella prima serve $k = 1$ per entrare in $[0, 2\pi)$: $-1{,}8778 + 6{,}2832 \approx 4{,}4054$. Verifica con $x \approx 0{,}7018$: $-2 \cdot 0{,}6456 + 3 \cdot 0{,}7637 \approx -1{,}291 + 2{,}291 = 1{,}000$.

Le soluzioni in $[0, 2\pi)$ sono $x \approx 0{,}702$ e $x \approx 4{,}405$.

3. Con le formule parametriche

Testo. Risolvi $7\sin x + \cos x = 5$ con le formule parametriche e scrivi le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Con l’angolo aggiunto $R = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ e $\varphi = \arctan\frac{1}{7}$, non notevole: meglio le parametriche. Prima il controllo di $x = \pi$: $7 \cdot 0 + (-1) = -1 \neq 5$, non è soluzione. Con $t = \tan\frac{x}{2}$:

$$\frac{14t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = 5$$

Moltiplicando per $1 + t^2$:

$$\begin{gathered} 14t + 1 - t^2 = 5 + 5t^2 \\ {} \iff 6t^2 - 14t + 4 = 0 \\ {} \iff 3t^2 - 7t + 2 = 0 \end{gathered}$$

Il $t^2$ è rimasto, coerente con il controllo di $x = \pi$. Con $\Delta = 49 - 24 = 25$:

$$t = \frac{7 \pm 5}{6} \quad\Rightarrow\quad t = 2 \ \text{ oppure } \ t = \frac{1}{3}$$

Le parametriche danno seno e coseno esatti. Con $t = \frac{1}{3}$:

$$\begin{gathered} \sin x = \frac{2/3}{10/9} = \frac{3}{5} \\ \cos x = \frac{8/9}{10/9} = \frac{4}{5} \end{gathered}$$

Con $t = 2$: $\sin x = \frac{4}{5}$ e $\cos x = \frac{1 - 4}{5} = -\frac{3}{5}$. Verifica: $7 \cdot \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{25}{5} = 5$ e $7 \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

Per $x$ in $[0, 2\pi)$ l’angolo $\frac{x}{2}$ sta in $[0, \pi)$; con $t > 0$ è $\frac{x}{2} = \arctan t$, quindi le soluzioni in $[0, 2\pi)$ sono $x = 2\arctan\frac{1}{3} \approx 0{,}644$ e $x = 2\arctan 2 \approx 2{,}214$. La prima è anche $\arctan\frac{3}{4}$, la seconda $\pi - \arctan\frac{4}{3}$. Con l’angolo aggiunto avresti trovato la prima come $\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{7}$: è lo stesso angolo, ma molto più difficile da riconoscere.

4. Retta e circonferenza

Testo. Risolvi $2\sin x - \cos x = 2$ con il metodo della retta e della circonferenza, trovando le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ la retta è $-X + 2Y = 2$. La distanza dall’origine è $d = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}894$, minore di 1: retta secante, due soluzioni. Dalla retta $X = 2Y - 2$; sostituisci nella circonferenza:

$$\begin{gathered} (2Y - 2)^2 + Y^2 = 1 \\ {} \iff 5Y^2 - 8Y + 3 = 0 \\ {} \iff Y = \frac{8 \pm 2}{10} \end{gathered}$$

• $Y = 1$ dà $X = 0$: il punto $(0, 1)$, cioè $x = \frac{\pi}{2}$.
• $Y = \frac{3}{5}$ dà $X = \frac{6}{5} - 2 = -\frac{4}{5}$: il punto $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$, nel secondo quadrante, cioè $x = \pi - \arcsin\frac{3}{5} = \pi - \arctan\frac{3}{4} \approx 2{,}498$.

Verifica: $2 \cdot \frac{3}{5} - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{6 + 4}{5} = 2$. Controllo con le parametriche: $t^2 - 4t + 3 = 0$, cioè $t = 1$ e $t = 3$, che danno $x = \frac{\pi}{2}$ e $x = 2\arctan 3 \approx 2{,}498$.

Le soluzioni in $[0, 2\pi)$ sono $x = \frac{\pi}{2}$ e $x = \pi - \arctan\frac{3}{4} \approx 2{,}498$, con seno e coseno esatti.

5. Per quali c ci sono soluzioni

Testo. Considera l’equazione $\sqrt{5}\sin x + 2\cos x = c$. Per quali valori di $c$ ha soluzioni, e quante ne ha in $[0, 2\pi)$? Risolvila per $c = 2$. Infine conta le soluzioni nell’intervallo $[0, \pi]$ al variare di $c$.

$R = \sqrt{5 + 4} = 3$, quindi ci sono soluzioni se e solo se $-3 \leq c \leq 3$. In $[0, 2\pi)$, che è un periodo intero, le soluzioni sono due per $-3 < c < 3$, una per $c = \pm 3$, nessuna altrimenti.

L’angolo ha $\cos\varphi = \frac{\sqrt{5}}{3}$ e $\sin\varphi = \frac{2}{3}$, nel primo quadrante: $\varphi = \arctan\frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}730$, e il primo membro è $3\sin(x + \varphi)$. Per $c = 2$ l’equazione è $\sin(x + \varphi) = \frac{2}{3} = \sin\varphi$:

$$\begin{gathered} x + \varphi = \varphi + 2k\pi \iff x = 2k\pi \\ x + \varphi = \pi - \varphi + 2k\pi \\ {} \iff x = \pi - 2\varphi + 2k\pi \end{gathered}$$

Con la duplicazione, $\cos(\pi - 2\varphi) = -(\cos^2\varphi - \sin^2\varphi) = -\frac{5 - 4}{9} = -\frac{1}{9}$: un valore esatto. In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono $x = 0$ e $x = \pi - 2\varphi \approx 1{,}682$.

In [0, π]. Quando $x$ va da $0$ a $\pi$, l’argomento $x + \varphi$ va da $\varphi$ a $\pi + \varphi$. Il primo membro parte da 2, sale fino al massimo 3 per $x = \frac{\pi}{2} - \varphi \approx 0{,}841$, poi scende fino a $-2$ per $x = \pi$. Quindi:

Valori di $c$	Soluzioni in $[0, \pi]$
$c > 3$ oppure $c < -2$	nessuna
$c = 3$	una
$2 \leq c < 3$	due
$-2 \leq c < 2$	una

Su un periodo intero conta solo il confronto tra $|c|$ e $R$; su un intervallo più corto bisogna seguire il grafico, come nella figura dei tre casi.

6. Da esame: una frazione che diventa lineare

Testo. Risolvi $\dfrac{1 + \sin x}{\cos x} = 3$.

Dominio. Serve $\cos x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Nel dominio puoi moltiplicare per $\cos x$:

$$\begin{gathered} 1 + \sin x = 3\cos x \\ {} \iff \sin x - 3\cos x = -1 \end{gathered}$$

È lineare, con $R = \sqrt{10}$ e né $\varphi$ né $\frac{c}{R} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ notevoli: parametriche. Il controllo di $x = \pi$: $0 - 3 \cdot (-1) = 3 \neq -1$, non è soluzione. Con $t = \tan\frac{x}{2}$:

$$\begin{gathered} 2t - 3(1 - t^2) = -(1 + t^2) \\ {} \iff 4t^2 + 2t - 2 = 0 \\ {} \iff 2t^2 + t - 1 = 0 \end{gathered}$$

e quindi $t = \frac{-1 \pm 3}{4}$, cioè $t = \frac{1}{2}$ oppure $t = -1$.

• $t = -1$ dà $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, cioè $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Lì $\cos x = 0$: fuori dal dominio, da scartare.
• $t = \frac{1}{2}$ dà $\sin x = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ e $\cos x = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$, quindi $x = 2\arctan\frac{1}{2} + 2k\pi$. Verifica: $\frac{1 + 4/5}{3/5} = \frac{9/5}{3/5} = 3$.

Perché proprio −π/2? In $x = -\frac{\pi}{2}$ si annullano insieme numeratore e denominatore. Quel valore risolve $1 + \sin x = 3\cos x$ con qualunque numero al posto del 3, ma la frazione lì non esiste.

La soluzione è $x = 2\arctan\frac{1}{2} + 2k\pi$, cioè $x = \arctan\frac{4}{3} + 2k\pi \approx 0{,}927 + 2k\pi$: una sola famiglia, perché il dominio ha eliminato l’altra.

In sintesi

• Un’equazione lineare in seno e coseno è $a\sin x + b\cos x = c$; con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ è la retta $bX + aY = c$.
• Casi semplici: con $a = 0$ o $b = 0$ è elementare; con $c = 0$ è omogenea, e $\tan x = -\frac{b}{a}$, perché $\cos x = 0$ non dà soluzioni.
• Ha soluzioni se e solo se $|c| \leq R = \sqrt{a^2 + b^2}$: due per periodo se $|c| < R$, una se $|c| = R$.
• Angolo aggiunto: $R\sin(x + \varphi) = c$, con $\cos\varphi = \frac{a}{R}$ e $\sin\varphi = \frac{b}{R}$; $\varphi = \arctan\frac{b}{a}$ solo se $a > 0$.
• Parametriche: $(b + c)\,t^2 - 2a\,t + (c - b) = 0$, poi $x = 2\arctan t + 2k\pi$; $x = \pi + 2k\pi$ si controlla a parte, ed è soluzione proprio quando il $t^2$ sparisce.
• Retta e circonferenza: la distanza dall’origine $\frac{|c|}{R}$ dice quante sono le soluzioni.
• Elevare al quadrato introduce soluzioni false: verifica sempre.

Restano le equazioni in cui ogni termine ha lo stesso grado in seno e coseno, con $\sin^2 x$, $\sin x\cos x$ e $\cos^2 x$: sono le equazioni omogenee in seno e coseno.