Esercizi svolti sulla funzione esponenziale: grafici, crescita e decadimento

Si porta ogni funzione nella forma $a^x$ e si guarda la base.

1. La base $\frac{3}{4}$ è compresa tra 0 e 1: decrescente.

2. Il meno capovolge la base:

Base minore di 1: decrescente.

3. Due capovolgimenti si annullano:

Base 9: crescente.

4. Stesso esponente, quindi si dividono le basi:

Base minore di 1: decrescente.

5. $e \approx 2{,}718$ è minore di 3, quindi $\frac{e}{3} \approx 0{,}906$ è minore di 1: decrescente.

6. Siccome $5 > 4$, si ha $\sqrt{5} > 2$, cioè $\sqrt{5} - 1 > 1$: crescente.

Tutte hanno immagine $(0, +\infty)$: ogni esponenziale con base positiva e diversa da 1 assume tutti e soli i valori positivi.

Con la stessa base si confrontano gli esponenti; con basi diverse conviene passare per il numero 1.

1. La base $e$ è maggiore di 1 e $-2 > -3$, quindi $e^{-2} > e^{-3}$.

2. Due controlli. La base: $\pi < 4$, quindi $\frac{\pi}{4} < 1$. Gli esponenti: $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3$, quindi $1{,}7 < \sqrt{3}$. La base minore di 1 inverte il verso:

I valori, circa $0{,}658$ e $0{,}663$, sono vicinissimi: a occhio non lo avresti deciso.

3. Scriviamo $1 = 0{,}8^0$. Base minore di 1 e $-0{,}3 < 0$, quindi:

Infatti $0{,}8^{-0{,}3} \approx 1{,}069$.

4. Basi ed esponenti diversi: si confronta ciascun numero con 1.

Quindi $0{,}9^5 < 1 < 1{,}1^{0{,}2}$: vince il secondo, circa $1{,}019$ contro $0{,}590$.

5. Tutto in base $e$:

Base maggiore di 1 e $1{,}5 > 1{,}4$: quindi $\sqrt{e^3} > \left(\frac{1}{e}\right)^{-1{,}4}$, circa $4{,}48$ contro $4{,}06$.

La regola dei punti 3 e 4: $a^x > 1$ quando $a > 1$ e $x > 0$, oppure $0 < a < 1$ e $x < 0$.

L’esponenziale $a^x$ è definito per ogni $x$ reale: le condizioni nascono dalle radici di indice pari, dai denominatori e dall’esponente.

Funzione $f$. Il radicando non deve essere negativo:

La base 2 è maggiore di 1, quindi il verso resta. Il dominio è $[2, +\infty)$.

Funzione $g$. Serve $e^x \neq e = e^1$. L’esponenziale è iniettivo, quindi $e^x = e^1$ solo per $x = 1$. Il dominio è $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Funzione $h$. Serve $1 - \left(\frac{1}{3}\right)^x \geq 0$:

La base $\frac{1}{3}$ è minore di 1, quindi il verso si inverte. Il dominio è $[0, +\infty)$. Controllo: per $x = -1$ il radicando vale $1 - 3 = -2$.

Funzione $k$. L’esponenziale non pone condizioni, ma il suo esponente sì: $x - 1 \geq 0$. Poi $x \neq 3$. Il dominio è $[1, 3) \cup (3, +\infty)$.

Le trasformazioni, seguendo il punto $(0, 1)$ e l’asintoto $y = 0$ di $2^x$:

1. $2^x \to 2^{x+1}$: traslazione di 1 verso sinistra, che equivale a moltiplicare per 2, perché $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Il punto diventa $(0, 2)$, l’asintoto resta $y = 0$.
2. $\to -2^{x+1}$: simmetria rispetto all’asse $x$. Il grafico passa sotto l’asse e decresce; il punto diventa $(0, -2)$.
3. $\to 3 - 2^{x+1}$: traslazione di 3 verso l’alto. Il punto diventa $(0, 1)$, l’asintoto $y = 3$.

Le proprietà.

• Immagine: $2^{x+1}$ assume tutti i valori di $(0, +\infty)$, quindi $-2^{x+1}$ quelli di $(-\infty, 0)$ e $f$ quelli di $(-\infty, 3)$.
• Monotonia: strettamente decrescente, perché $2^{x+1}$ cresce e gli si cambia segno.
• Asintoto: $y = 3$ per $x \to -\infty$, dove $2^{x+1}$ si avvicina a 0. Per $x \to +\infty$, $f$ scende sotto ogni valore.
• Intersezione con l’asse $y$: $f(0) = 3 - 2 = 1$.

Lo zero. Esiste perché 0 sta nell’immagine, ed è unico perché $f$ è strettamente decrescente. Calcoliamo $f$ negli interi vicini:

Siccome $f$ decresce, lo zero $x_0$ sta tra 0 e 1 (con i logaritmi, $x_0 \approx 0{,}58$): $f > 0$ per $x < x_0$, $f < 0$ per $x > x_0$.

La retta y = −5. Serve $f(x) > -5$:

Infatti $f(2) = 3 - 8 = -5$: il grafico sta sopra la retta per $x < 2$.

La regola: se una funzione continua è strettamente crescente su $[a, b]$, assume tutti i valori tra $f(a)$ e $f(b)$, e solo quelli: l’immagine è $[f(a), f(b)]$. Se è decrescente gli estremi si scambiano; se un estremo dell’intervallo è escluso, lo è anche il suo valore. Queste funzioni sono continue, come vedrai nel capitolo sulla continuità.

1. La base 3 è maggiore di 1, quindi $3^x$ è crescente:

L’immagine è $\left[\frac{1}{3}, 9\right]$.

2. $2^{1 - x} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$ ha base minore di 1: $g$ è decrescente e gli estremi si scambiano.

L’estremo $-2$ è escluso: $g$ si avvicina a 8 quanto vuoi, ma non lo raggiunge. L’immagine è $\left[\frac{1}{4}, 8\right)$.

3. $2^x$ e $x$ sono strettamente crescenti, quindi lo è anche la loro somma:

L’immagine è $\left[-\frac{1}{2}, 6\right]$. Per lo zero: $h(-1) < 0$ e $h(0) = 1 > 0$. Per il teorema degli zeri $h$, continua, si annulla tra $-1$ e $0$; essendo strettamente crescente, una volta sola. Vale circa $-0{,}64$, ma nemmeno i logaritmi lo esprimono con funzioni elementari: si stima per via grafica o numerica.

1. Si sostituisce $-x$ al posto di $x$, ricordando che $\sinh(-x) = -\sinh x$ e $\cosh(-x) = \cosh x$:

$f$ è pari: prodotto di due funzioni dispari.

$g$ è dispari: somma di due funzioni dispari. Per $h$ conviene semplificare:

$h$ non è né pari né dispari: $h(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37$ e $h(-1) = e \approx 2{,}72$ non sono né uguali né opposti.

2. Il denominatore è positivo, perché $\cosh x > 0$. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 e poi per $e^x$, con $e^x \cdot e^{-x} = 1$:

Sopra c’è una differenza di quadrati, sotto il quadrato di un binomio:

Parità. Nella forma iniziale il numeratore è dispari e il denominatore pari: $q(-x) = \frac{-\sinh x}{\cosh x + 1} = -q(x)$, quindi $q$ è dispari.

Monotonia. Aggiungiamo e togliamo 2 al numeratore:

A strati: quando $x$ cresce, $e^x + 1$ cresce ed è positivo, quindi $\frac{2}{e^x + 1}$ diminuisce e $q$ aumenta: è strettamente crescente.

Immagine. Al variare di $x$, $e^x$ assume tutti i valori positivi. Passo passo:

Ogni passaggio è una funzione invertibile, quindi ogni intervallo si trasforma tutto nel successivo: l’immagine è $(-1, 1)$. Confrontando con $\tanh x = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ si vede che $q(x) = \tanh\frac{x}{2}$.

$e^t$ è definito ovunque, positivo e strettamente crescente: quasi tutto si legge sull’esponente $t = x^2 - 4x$.

1. L’esponente è un polinomio: il dominio è $\mathbb{R}$. Come ogni esponenziale, $f$ è sempre positiva.

2. Completiamo il quadrato:

Siccome $e^t$ è crescente, $f$ fa come la parabola, che ha il vertice in $x = 2$: decresce su $(-\infty, 2]$ e cresce su $[2, +\infty)$. Il minimo è in $x = 2$:

Inoltre $f(2 + s) = f(2 - s) = e^{s^2 - 4}$: il grafico è simmetrico rispetto alla retta $x = 2$.

3. Per $x \to \pm\infty$ l’esponente cresce senza limiti, e con lui l’esponenziale:

Niente asintoti orizzontali. L’esponente assume tutti i valori di $[-4, +\infty)$, che l’esponenziale trasforma in tutti i valori da $e^{-4}$ in su:

4. Siccome $1 = e^0$, $f(x) > 1$ quando l’esponente è positivo:

Controllo: $f(0) = f(4) = e^0 = 1$, due punti simmetrici rispetto a $x = 2$.

1. Dopo $t$ ore i dimezzamenti sono $\frac{t}{6}$:

Controllo: $C(0) = 80$ e $C(6) = 40$.

2. Dopo 24 ore sono passati 4 tempi di dimezzamento:

Dopo 9 ore l’esponente è $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, e $2^{3/2} = 2\sqrt{2}$:

Ha senso: dopo 6 ore è 40, dopo 12 ore è 20, e 28,3 sta in mezzo.

3. In un’ora l’esponente è $\frac{1}{6}$: ogni ora la concentrazione viene moltiplicata per

Resta circa l’89,1%: cala di circa il 10,9% all’ora.

4. Serve $C(t) < 10$:

La base $\frac{1}{2}$ è minore di 1, quindi il verso si inverte:

Il farmaco non ha più effetto dopo 18 ore: tre dimezzamenti, $80 \to 40 \to 20 \to 10$.

1. Nel modello, in due settimane la superficie viene moltiplicata per $a^2$: $S(t + 2) = S_0\, a^t \cdot a^2 = S(t) \cdot a^2$. Dalla settimana 2 alla 4:

La base è positiva, quindi $a = \frac{3}{2}$ ($-\frac{3}{2}$ si scarta). Tornando indietro di due settimane dalla settimana 2:

Il modello è $S(t) = 1600 \cdot 1{,}5^t$: ogni settimana la superficie viene moltiplicata per 1,5, cioè cresce del 50%.

2. Dopo tre settimane:

La media dei dati è $\frac{3600 + 8100}{2} = 5850$ m², più di 5400: la crescita esponenziale non fa la media, ma moltiplica per lo stesso fattore ogni settimana, $3600 \cdot 1{,}5 = 5400$ e $5400 \cdot 1{,}5 = 8100$.

3. Serve $S(t) = 18\,225$. Dividendo per 1600 e semplificando per 25:

L’esponenziale è iniettivo, quindi $t = 6$: l’alga ricopre il lago dopo 6 settimane. Controllo: $8100 \cdot 1{,}5 = 12\,150$ e $12\,150 \cdot 1{,}5 = 18\,225$.

4. Siccome $S(t + T) = S(t) \cdot 1{,}5^T$, il tempo di raddoppio $T$ risolve $1{,}5^T = 2$. La funzione $1{,}5^T$ è crescente e

quindi $T$ sta tra una e due settimane: sì, meno di due.

Il grafico, a strati.

1. $2^{|x|}$: per $x \geq 0$ coincide con $2^x$; è pari, quindi si specchia la parte destra rispetto all’asse $y$. Il minimo è 1, in $x = 0$.
2. $2^{|x|} - 2$: si abbassa di 2. Vale $-1$ in $x = 0$, si annulla per $2^{|x|} = 2$, cioè $x = \pm 1$, ed è negativa tra $-1$ e 1.
3. $\left|2^{|x|} - 2\right|$: la parte negativa si ribalta sopra l’asse, e tra $-1$ e 1 compare una «gobba» con il massimo $F(0) = 1$.

Il risultato è una W: minimi nulli in $x = \pm 1$, massimo relativo 1 in $x = 0$, crescita senza limiti per $|x|$ grande. Per $x \geq 0$:

Il conteggio. Le soluzioni di $F(x) = k$ sono le ascisse dei punti in cui la retta $y = k$ taglia il grafico. Facciamo salire la retta:

• $k < 0$: nessuna soluzione, perché $F$ non è mai negativa;
• $k = 0$: due, $x = \pm 1$;
• $0 < k < 1$: quattro, due sulla gobba e due sui rami esterni;
• $k = 1$: tre, il massimo $x = 0$ e una per ramo esterno;
• $k > 1$: due, sui rami esterni.

Lo confermano le formule: su $[0, 1)$ la funzione $2 - 2^x$ decresce e assume una volta ogni valore di $(0, 1]$; su $[1, +\infty)$ la funzione $2^x - 2$ cresce e assume una volta ogni valore di $[0, +\infty)$. Le soluzioni negative sono le opposte delle positive, e $x = 0$ si conta una volta.

Il caso k = 2. Si toglie il valore assoluto esterno:

Il secondo caso è impossibile: un esponenziale non vale mai 0. Dal primo $|x| = 2$, cioè $x = \pm 2$: due soluzioni, come previsto.

1. Siccome $4^x = \left(2^2\right)^x = \left(2^x\right)^2$, con $t = 2^x$ la funzione diventa

La condizione $t > 0$ è fondamentale: $2^x$ assume tutti e soli i valori positivi.

Zeri: $t = 0$, impossibile, oppure $t = 2$, cioè $x = 1$. Segno: il fattore $t$ è positivo, quindi conta solo $t - 2$.

• $f(x) > 0$ quando $2^x > 2$, cioè per $x > 1$;
• $f(x) < 0$ quando $0 < 2^x < 2$, cioè per $x < 1$.

2. $f$ è la composizione di $t = 2^x$, crescente, con la parabola

che decresce per $t \leq 1$ e cresce per $t \geq 1$. Siccome $2^x \leq 1$ equivale a $x \leq 0$:

• $f$ decresce su $(-\infty, 0]$;
• $f$ cresce su $[0, +\infty)$.

Il minimo è $f(0) = 1 - 2 = -1$. Per $t \geq 1$ i valori di $g$ vanno da $-1$ a $+\infty$; il tratto $0 < t < 1$ aggiunge solo valori tra $-1$ e 0, già presi. Quindi

3. Per $x \to -\infty$, $t = 2^x$ si avvicina a 0 e $f = t\,(t - 2)$ si avvicina a $0 \cdot (-2) = 0$, restando negativa: $y = 0$ è asintoto orizzontale a sinistra, e il grafico gli si avvicina da sotto. Per $x \to +\infty$, $t$ e $f$ crescono senza limiti.

4. Con la stessa sostituzione:

La radice $t = -2$ si scarta, perché $t = 2^x > 0$. Resta $t = 4$, cioè $2^x = 4$ e $x = 2$. Controllo: $f(2) = 16 - 2 \cdot 4 = 8$.

La sostituzione $t = a^x$ tornerà nelle equazioni esponenziali con sostituzione.

(a) Sostituiamo le definizioni e moltiplichiamo per 2:

Poniamo $t = e^x > 0$, così $e^{-x} = \frac{1}{t}$, e moltiplichiamo per $t$:

Le radici sono entrambe positive. Da $e^x = 1$ si ha $x = 0$. L’altra soluzione è il numero $x$ con $e^x = 3$: siccome $e < 3 < e^2 \approx 7{,}39$ ed $e^x$ è crescente, sta tra 1 e 2 (con i logaritmi, $x = \ln 3 \approx 1{,}10$). Controllo: per $e^x = 3$ si ha $\cosh x = \frac{5}{3}$ e $\sinh x = \frac{4}{3}$, e $\frac{10}{3} - \frac{4}{3} = 2$.

(b) Dall’identità fondamentale $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ si ha $\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1$. Con $c = \cosh x$:

$c = -2$ è impossibile, perché $\cosh x \geq 1$. Resta $\cosh x = 1$, che succede solo nel minimo: l’unica soluzione è $x = 0$. Controllo: $\sinh^2 0 + \cosh 0 = 0 + 1 = 1$.

(c) Come in (a), con $t = e^x > 0$ l’equazione diventa $t + \frac{3}{t} = 2k$, cioè

Le radici hanno prodotto 3 e somma $2k$. Quindi:

• se $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$, $\Delta < 0$: nessuna soluzione;
• se $k \leq -\sqrt{3}$, le radici sono entrambe negative (prodotto positivo, somma negativa): nessuna soluzione;
• se $k = \sqrt{3}$, c’è la radice doppia $t = \sqrt{3}$: una soluzione;
• se $k > \sqrt{3}$, due radici positive distinte: due soluzioni.

L’immagine di $2\cosh x - \sinh x$ è quindi $\left[\sqrt{3}, +\infty\right)$, con il minimo dove $e^x = \sqrt{3}$; con $k = 2 > \sqrt{3}$ ritrovi le due soluzioni di (a).