Integrali: cosa sono, area sotto una curva, simbolo e legame con le derivate

Sai calcolare l’area di un rettangolo, di un triangolo, di un cerchio. Ma quanto vale l’area di una figura con un lato curvo, come la regione sotto la parabola $y = x^2$ tra $x = 0$ e $x = 1$? La risposta si chiama integrale: è la seconda grande idea dell’Analisi 1 dopo la derivata, e all’esame la ritrovi ovunque, dalle aree agli integrali impropri. In questa pagina vediamo il problema dell’area, le somme inferiori e superiori fino al valore esatto, cosa vuol dire integrabile, come si legge il simbolo $\int$, l’area con segno, gli integrali in Fisica, la scoperta che lega integrali e derivate, integrale definito e indefinito, le prime proprietà, la guida al capitolo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il problema dell’area

Con un lato curvo i metodi dei poligoni non funzionano: nessun numero finito di rettangoli riempie esattamente la regione sotto una parabola. L’idea, antica quanto Archimede, è approssimare con figure di cui conosciamo l’area, rendendole sempre più piccole. L’errore non sparisce mai del tutto, ma diventa piccolo quanto vogliamo: quello che resta alla fine è un limite.

Se $f(x) \geq 0$ su $[a, b]$, si chiama trapezoide di $f$ la regione compresa tra il grafico, l’asse $x$ e le rette $x = a$ e $x = b$. Il nostro esempio guida è il trapezoide di $x^2$ su $[0, 1]$; chiamiamo $A$ la sua area. Qualcosa lo sappiamo già: per $0 < x < 1$ vale $x^2 < x$, quindi la regione sta sotto la diagonale del quadrato e $A < \frac{1}{2}$.

Approssimare con i rettangoli: somme inferiori e superiori

Dividiamo $[0, 1]$ in $n = 4$ pezzi uguali, di base $\frac{1}{4}$. Su ogni pezzo costruiamo due rettangoli: uno alto quanto il minimo della funzione nel pezzo, che sta tutto sotto il grafico, e uno alto quanto il massimo, che contiene il pezzo di grafico. Siccome $x^2$ è crescente, il minimo sta nell’estremo sinistro di ogni pezzo e il massimo nel destro. Nei punti $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1$ la funzione vale $0, \frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{9}{16}, \frac{16}{16}$.

La somma inferiore $s_4$ somma le aree dei rettangoli bassi, base per altezza; la somma superiore $S_4$ quelle dei rettangoli alti:

$$\begin{gathered} s_4 = \frac{1}{4}\left(0 + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16}\right) \\ {} = \frac{14}{64} = \frac{7}{32} \approx 0{,}219 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} S_4 = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + \frac{16}{16}\right) \\ {} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0{,}469 \end{gathered}$$

I rettangoli bassi stanno dentro la regione e quelli alti la contengono, quindi

$$0{,}219 \leq A \leq 0{,}469$$

Più rettangoli, forbice più stretta

Con più pezzi il conto è lo stesso, solo più lungo. Ecco i risultati, calcolati con Python:

$n$	$s_n$	$S_n$
4	0,219	0,469
10	0,285	0,385
100	0,32835	0,33835
1000	0,33283	0,33383

Le somme inferiori crescono, quelle superiori calano: la «forbice» si stringe.

Di quanto? La differenza $S_n - s_n$ è l’area dei rettangolini arancioni. Falli scivolare in orizzontale fino all’ultima colonna: si impilano e formano un’unica colonna di base $\frac{1}{n}$ e altezza $f(1) - f(0) = 1$. Quindi $S_n - s_n = \frac{1}{n}$, che tende a 0: con mille rettangoli l’area è già chiusa tra $0{,}3328$ e $0{,}3339$.

Il valore esatto: un terzo

I numeri fanno pensare a $\frac{1}{3}$. Per dimostrarlo serve la formula della somma dei primi $n$ quadrati, che si dimostra per induzione (controllo con $n = 4$: $1 + 4 + 9 + 16 = 30 = \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6}$):

$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

Con $n$ pezzi di base $\frac{1}{n}$, il rettangolo alto sul pezzo numero $k$ ha altezza $\left(\frac{k}{n}\right)^2$. Raccogliendo $\frac{1}{n^2}$:

$$\begin{gathered} S_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n^2} \\ {} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n^3} \\ {} = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2} \end{gathered}$$

Sopra c’è un polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 2, sotto $6n^2$: per $n \to +\infty$ il limite è $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Con i rettangoli bassi si trova allo stesso modo $s_n = \frac{(n - 1)(2n - 1)}{6n^2}$, che tende anche lei a $\frac{1}{3}$. L’area, schiacciata tra le due, vale

$$A = \frac{1}{3}$$

L’integrale definito: il limite comune

Lo stesso procedimento funziona per qualunque funzione limitata $f$ su un intervallo chiuso e limitato $[a, b]$.

La definizione completa, con suddivisioni qualsiasi e non solo in parti uguali, è nell’articolo sull’integrale definito.

«Integrabile» vuol dire che la forbice si chiude, e non è scontato: la funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali, ha in ogni pezzo minimo 0 e massimo 1, e su $[0, 1]$ le sue somme inferiori valgono sempre 0, le superiori sempre 1. Per fortuna:

La dimostrazione usa la continuità uniforme e la saltiamo. Sono integrabili anche le funzioni monotone e quelle limitate con un numero finito di salti.

Il simbolo di integrale: come si legge

Per la parabola abbiamo trovato

$$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$$

La notazione racconta la costruzione. Con rettangoli di base $\Delta x$ e altezza $f(x_k)$, la somma delle aree si scrive con la sommatoria; quando i rettangoli diventano infinitamente sottili, la $\Sigma$ diventa la S allungata e $\Delta x$ diventa $dx$:

$$\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x \ \longrightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx$$

Il simbolo lo inventò Gottfried Wilhelm Leibniz: in un manoscritto del 29 ottobre 1675 decise di scrivere $\int$, una S lunga come iniziale del latino summa, al posto dell’abbreviazione «omn.» (da omnia, «tutti»). Due settimane dopo cominciò a scrivere il $dx$ dopo il segno.

Il risultato è un numero che non dipende dalla lettera usata: la variabile di integrazione è «muta», e $\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^1 t^2\,dt$.

Area con segno e area geometrica

Nella costruzione l’altezza di ogni rettangolo è il valore $f(x)$: dove il grafico sta sotto l’asse $x$, $f(x) < 0$ e i rettangoli contano con il segno meno. L’integrale definito è quindi un’area con segno: se $f \geq 0$ è l’area del trapezoide, se $f \leq 0$ è l’area cambiata di segno, se $f$ cambia segno è l’area sopra l’asse meno l’area sotto.

L’esempio classico è $\sin x$ su $[0, 2\pi]$: una «gobba» sopra l’asse su $[0, \pi]$ e una identica sotto su $[\pi, 2\pi]$, perché $\sin(x + \pi) = -\sin x$, e le due aree si cancellano. Ogni gobba ha area 2 (lo calcoliamo tra poco), quindi l’area geometrica è 4:

$$\begin{gathered} \int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0 \\ \int_0^{2\pi} \lvert \sin x \rvert\,dx = 4 \end{gathered}$$

Per l’area geometrica si integra il valore assoluto $\lvert f(x) \rvert$, oppure si spezza l’intervallo negli zeri di $f$. Lo stesso ragionamento dà una scorciatoia: se $f$ è dispari, su un intervallo simmetrico $[-a, a]$ le aree a destra e a sinistra si cancellano e l’integrale vale 0. Per esempio $\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$ (rivedi le funzioni pari e dispari).

A cosa servono: spostamento, lavoro, valore medio

Un integrale compare ogni volta che si sommano tanti piccoli contributi che cambiano con continuità.

Lo spostamento. A velocità costante lo spostamento è $v \cdot \Delta t$, l’area di un rettangolo nel grafico velocità-tempo. Se la velocità cambia, è l’area sotto il grafico:

$$\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$$

Un’auto parte da ferma con $v(t) = 2t$ (in m/s, con $t$ in secondi). In 10 s la regione sotto il grafico è un triangolo di base 10 e altezza 20: l’auto percorre $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100$ m. È la formula $\frac{1}{2}at^2$ del moto uniformemente accelerato letta come un’area. Se la velocità cambia segno, l’integrale dà lo spostamento con segno; per lo spazio percorso si integra $\lvert v(t) \rvert$.

Il lavoro. Con una forza variabile il lavoro è $\int F(x)\,dx$. Per allungare una molla serve una forza $F = kx$: da 0 a $x_0$ la regione è un triangolo e il lavoro vale $\frac{1}{2}kx_0^2$. Con $k = 200$ N/m e $x_0 = 0{,}1$ m, sono 1 J.

Il valore medio. La media di $n$ numeri è la loro somma divisa per $n$; per una funzione si «somma» con l’integrale e si divide per la lunghezza dell’intervallo:

$$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$

L’auto di prima ha percorso 100 m in 10 s: velocità media 10 m/s. Volumi, lunghezze e altri esempi sono nelle applicazioni degli integrali.

La grande scoperta: la funzione area e la derivata

Calcolare integrali con le somme è faticoso. La scorciatoia nasce lasciando libero l’estremo destro. Fissati una funzione continua $f$ e un punto $a$, chiamiamo $A(x)$ l’area (con segno) tra $a$ e $x$:

$$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

Dentro l’integrale usiamo $t$ perché $x$ è già l’estremo. Per $f(t) = t^2$ e $a = 0$, ripetendo il conto delle somme su $[0, x]$, con $x > 0$ e pezzi di base $\frac{x}{n}$, si trova $S_n = x^3\,\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2}$, che tende a $\frac{x^3}{3}$. Quindi $A(x) = \frac{x^3}{3}$, e derivando:

$$A'(x) = \frac{3x^2}{3} = x^2$$

La derivata dell’area è la funzione di partenza. Non è una coincidenza.

Perché è vero. Prendi $h > 0$ piccolo. $A(x + h) - A(x)$ è l’area della striscia sottile tra $x$ e $x + h$. Su un pezzetto così corto una funzione continua cambia poco: la striscia è quasi un rettangolo di base $h$ e altezza $f(x)$:

$$\frac{A(x + h) - A(x)}{h} \approx \frac{f(x) \cdot h}{h} = f(x)$$

Più precisamente, la striscia sta tra i rettangoli alti quanto il minimo $m_h$ e il massimo $M_h$ di $f$ su $[x, x + h]$, quindi il rapporto incrementale è compreso tra $m_h$ e $M_h$. Per $h \to 0$, grazie alla continuità, entrambi tendono a $f(x)$. Per $h < 0$ è lo stesso.

In altre parole $A$ è una primitiva di $f$, una funzione la cui derivata è $f$. Dimostrazione completa ed esempi sono nel teorema fondamentale del calcolo integrale. La conseguenza pratica:

Perché è vero. Due primitive della stessa funzione su un intervallo differiscono per una costante (conseguenza del teorema di Lagrange), quindi $A(x) = G(x) + c$. Da $A(a) = 0$ segue $c = -G(a)$, e per $x = b$ si ottiene $A(b) = G(b) - G(a)$.

La differenza si scrive anche $\big[G(x)\big]_a^b$. Per la parabola basta una riga:

$$\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$

E la gobba del seno, con la primitiva $-\cos x$:

$$\begin{gathered} \int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi \\ {} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \end{gathered}$$

Calcolare integrali diventa cercare primitive, cioè leggere al contrario le derivate delle funzioni elementari. Integrare e derivare sono operazioni inverse, ma a meno di una costante: $x^3$ e $x^3 + 7$ hanno la stessa derivata.

Integrale definito e integrale indefinito

Due integrali con nomi simili ma natura diversa:

	Definito	Indefinito
Si scrive	$\int_a^b f(x)\,dx$	$\int f(x)\,dx$
Che cos’è	un numero	una famiglia di funzioni
Esempio	${\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}}$	${\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C}$

L’integrale indefinito è l’insieme di tutte le primitive di $f$ su un intervallo: se $G$ è una primitiva, sono tutte del tipo $G(x) + C$, con $C$ costante reale. Per esempio $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ e $\frac{x^3}{3} - \pi$ hanno tutte derivata $x^2$. Le tecniche per trovarle partono da primitive e integrale indefinito.

La confusione più comune. Scrivere $+\,C$ nel risultato di un integrale definito, oppure rispondere $\frac{x^3}{3}$ alla domanda «quanto vale $\int_0^1 x^2\,dx$?», dimenticando di calcolare la primitiva agli estremi. Il risultato di un integrale definito è un numero e non contiene $x$.

Le prime proprietà

Valgono per $f$ e $g$ integrabili su $[a, b]$ e costanti reali $\alpha, \beta$.

Linearità. Moltiplicare le altezze moltiplica l’area, sommare due funzioni somma le aree:

$$\begin{gathered} \int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx \\ {} = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx \end{gathered}$$

Additività rispetto all’intervallo. Se $a < c < b$, l’area si calcola a pezzi:

$$\begin{gathered} \int_a^b f(x)\,dx \\ {} = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \end{gathered}$$

Con le convenzioni $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ e $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, vale per $a$, $b$, $c$ in qualunque ordine.

Monotonia. Se $f(x) \leq g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$, l’integrale di $f$ non supera quello di $g$:

$$\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$$

In particolare, se $m \leq f(x) \leq M$ su $[a, b]$:

$$m\,(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M\,(b - a)$$

Un po’ di storia

Nel III secolo a.C. Archimede, nella Quadratura della parabola, dimostrò che un segmento parabolico ha area pari ai $\frac{4}{3}$ del triangolo inscritto, riempiendolo con infiniti triangoli sempre più piccoli. Per la nostra parabola il segmento tra $y = x^2$ e $y = 1$ ha come triangolo inscritto quello di vertici $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(0, 0)$, di area 1: il segmento vale $\frac{4}{3}$, metà di esso sta nel quadrato unitario sopra la parabola, e sotto resta $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Lo stesso numero dei rettangoli (più dettagli nel calcolo delle aree).

Il legame con le derivate arrivò quasi duemila anni dopo, con Isaac Newton (dal 1665-1666) e Leibniz (dalla metà degli anni Settanta del Seicento), in modo indipendente. Leibniz pubblicò per primo, nel 1684, e la sua notazione è quella che usiamo ancora.

Il capitolo, passo dopo passo

Ecco l’ordine consigliato per leggere gli articoli del capitolo:

1. L’integrale definito: la definizione precisa, le funzioni integrabili, tutte le proprietà e il teorema della media.
2. Primitive e integrale indefinito: la costante di integrazione e la tabella degli integrali fondamentali.
3. Gli integrali immediati: la regola della catena letta al contrario.
4. Il teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale, la dimostrazione e la formula di Newton-Leibniz.
5. Le tecniche: per sostituzione, per parti, delle funzioni razionali fratte e delle funzioni goniometriche e irrazionali.
6. Le applicazioni: il calcolo delle aree e le altre applicazioni: volumi, lunghezze, valore medio e Fisica.
7. Gli integrali impropri, su intervalli illimitati o con funzioni illimitate.
8. Gli esercizi svolti sugli integrali, su tutto il capitolo.

Gli errori più comuni

• Confondere integrale e area. $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, ma l’area geometrica è 4: per l’area si integra $\lvert f \rvert$.
• Scrivere $+\,C$ in un integrale definito. La costante serve nell’indefinito; nel definito si cancella nella differenza.
• Lasciare una funzione come risultato di un integrale definito. La primitiva va calcolata agli estremi.
• Invertire la differenza. È $G(b) - G(a)$, estremo superiore meno inferiore; scambiandoli cambia il segno.
• Applicare la regola a una funzione non continua. Con $\frac{1}{x^2}$ su $[-1, 1]$ e la primitiva $-\frac{1}{x}$ verrebbe $-1 - 1 = -2$, negativo per una funzione positiva. Ma $\frac{1}{x^2}$ non è definita in 0: è un integrale improprio, e diverge.
• Usare la stessa lettera per estremo e variabile. Si scrive $\int_a^x f(t)\,dt$, non $\int_a^x f(x)\,dx$.
• Scambiare minimo e massimo nelle somme. Per una funzione decrescente il massimo di ogni pezzo sta nell’estremo sinistro.

Esercizi svolti

1. Aree con la geometria

Testo. Calcola senza primitive: (a) $\int_{-1}^{2} \lvert x \rvert\,dx$; (b) $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$.

(a) Il grafico di $\lvert x \rvert$ è una «V» con il vertice nell’origine. Per l’additività spezziamo in 0: su $[-1, 0]$ c’è un triangolo di base 1 e altezza 1, su $[0, 2]$ uno di base 2 e altezza 2:

$$\int_{-1}^{2} \lvert x \rvert\,dx = \frac{1 \cdot 1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

(b) Se $y = \sqrt{4 - x^2}$, allora $y \geq 0$ e $x^2 + y^2 = 4$: il grafico è la semicirconferenza superiore di centro l’origine e raggio 2, e la regione sotto è un semicerchio:

$$\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx = \frac{\pi \cdot 2^2}{2} = 2\pi \approx 6{,}28$$

Con grafici fatti di segmenti o archi di circonferenza, l’integrale si calcola con la geometria.

2. Somme inferiori e superiori di 1/x

Testo. Dividi $[1, 2]$ in 4 parti uguali e calcola la somma inferiore e quella superiore di $f(x) = \frac{1}{x}$. Che cosa puoi dire di $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx$?

I punti sono $1, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{7}{4}, 2$ e ogni base vale $\frac{1}{4}$. Attenzione: $\frac{1}{x}$ è decrescente, quindi il massimo di ogni pezzo sta a sinistra. Le aree vengono comode: sul primo pezzo il rettangolo alto ha area $\frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$, quello basso $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. Allo stesso modo:

$$\begin{gathered} S_4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \\ {} = \frac{105 + 84 + 70 + 60}{420} \\ {} = \frac{319}{420} \approx 0{,}760 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} s_4 = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \\ {} = \frac{168 + 140 + 120 + 105}{840} \\ {} = \frac{533}{840} \approx 0{,}635 \end{gathered}$$

Arrotondando per difetto e per eccesso:

$$0{,}634 \leq \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx \leq 0{,}760$$

La differenza $S_4 - s_4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ è la solita colonna, di base $\frac{1}{4}$ e altezza $f(1) - f(2) = \frac{1}{2}$. Vedremo che una primitiva di $\frac{1}{x}$ è $\ln x$, quindi l’integrale vale $\ln 2 \approx 0{,}693$, dentro la forbice.

3. Area con segno e simmetria

Testo. Calcola senza primitive: (a) $\int_{-2}^{2} (x^5 - 3x + 1)\,dx$; (b) $\int_0^2 (x - 1)\,dx$ e l’area geometrica tra la retta $y = x - 1$ e l’asse $x$ per $0 \leq x \leq 2$.

(a) Per la linearità separiamo $x^5 - 3x$ e $1$. La funzione $g(x) = x^5 - 3x$ è dispari, perché $g(-x) = -x^5 + 3x = -g(x)$, e l’intervallo è simmetrico: il suo integrale è 0. L’integrale di 1 è un rettangolo di base 4 e altezza 1:

$$\int_{-2}^{2} (x^5 - 3x + 1)\,dx = 0 + 4 = 4$$

(b) La retta taglia l’asse in $x = 1$. Su $[0, 1]$ forma sotto l’asse un triangolo di base 1 e altezza 1, che conta $-\frac{1}{2}$; su $[1, 2]$ un triangolo uguale sopra, che conta $+\frac{1}{2}$:

$$\int_0^2 (x - 1)\,dx = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$

L’area geometrica invece è $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$: integrale nullo non vuol dire area nulla.

4. Lo spostamento di un drone

Testo. Un drone si alza in verticale da terra (verso positivo: in alto). La sua velocità cresce in modo uniforme da 0 a 4 m/s nei primi 2 s, resta 4 m/s fino a $t = 7$ s e cala in modo uniforme fino a 0 per $t = 9$ s. Poi il drone scende: la velocità passa in modo uniforme a $-2$ m/s per $t = 10$ s e resta così fino a $t = 13$ s. Trova spostamento, spazio percorso, quota massima e velocità media.

Il grafico velocità-tempo è fatto di segmenti: l’integrale si spezza in triangoli e rettangoli, con le aree sotto l’asse negative.

Intervallo	Figura	Area
da 0 a 2 s	triangolo	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ m
da 2 a 7 s	rettangolo	$5 \cdot 4 = 20$ m
da 7 a 9 s	triangolo	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ m
da 9 a 10 s	triangolo	$-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = -1$ m
da 10 a 13 s	rettangolo	$-3 \cdot 2 = -6$ m

Lo spostamento è l’integrale della velocità:

$$\Delta s = 4 + 20 + 4 - 1 - 6 = 21\ \text{m}$$

Lo spazio percorso è l’integrale di $\lvert v \rvert$: $28 + 7 = 35$ m. Il drone sale finché $v > 0$, cioè fino a $t = 9$ s, quindi la quota massima è 28 m. La velocità media è $\frac{21}{13} \approx 1{,}6$ m/s.

5. Il primo integrale con una primitiva

Testo. Calcola $\int_0^3 x^2\,dx$ con il teorema fondamentale, controlla con le somme superiori e trova il valore medio di $x^2$ su $[0, 3]$.

$x^2$ è continua e una sua primitiva è $\frac{x^3}{3}$, che ha derivata $x^2$. Per la regola $G(b) - G(a)$:

$$\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$$

Controllo. Con $n$ pezzi di base $\frac{3}{n}$, il rettangolo alto sul pezzo $k$ ha altezza $\left(\frac{3k}{n}\right)^2 = \frac{9k^2}{n^2}$:

$$\begin{gathered} S_n = \frac{3}{n} \cdot \frac{9}{n^2}\,(1^2 + \dots + n^2) \\ {} = \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ {} = \frac{9(n + 1)(2n + 1)}{2n^2} \end{gathered}$$

Per $n \to +\infty$ il limite è $\frac{9 \cdot 2}{2} = 9$. Il valore medio è $\frac{9}{3} = 3$, assunto dove $x^2 = 3$, cioè in $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$: il rettangolo di base 3 e altezza 3 ha la stessa area della regione sotto la parabola.

6. La funzione area di una spezzata

Testo. Sia $f$ definita su $[0, 4]$ da

$$f(t) = \begin{cases} 2 & \text{se } 0 \leq t \leq 1 \\ 4 - 2t & \text{se } 1 < t \leq 4 \end{cases}$$

e sia $A(x) = \int_0^x f(t)\,dt$. (a) Calcola $A(1)$, $A(2)$, $A(4)$. (b) Dove $A$ cresce e dove decresce? Qual è il massimo? (c) Quanto vale $A'(3)$? (d) Per quale $x > 0$ si ha $A(x) = 0$?

$f$ è continua: in $t = 1$ le due espressioni valgono 2. Il secondo tratto si annulla in $t = 2$ e vale $-4$ in $t = 4$.

(a) $A(1)$ è un rettangolo di base 1 e altezza 2: $A(1) = 2$. Da 1 a 2 si aggiunge un triangolo di base 1 e altezza 2, di area 1: $A(2) = 3$. Da 2 a 4 c’è un triangolo sotto l’asse, di base 2 e altezza 4, che conta $-4$: $A(4) = -1$.

(b) $f$ è continua, quindi $A'(x) = f(x)$. $A$ cresce dove $f > 0$, su $[0, 2]$, e decresce dove $f < 0$, su $[2, 4]$. Il massimo è $A(2) = 3$: fino a 2 si aggiunge area positiva, dopo si sottrae.

(c) $A'(3) = f(3) = 4 - 6 = -2$.

(d) Su $[0, 2]$ l’area è positiva, quindi lo zero sta in $[2, 4]$. Lì ad $A(2) = 3$ si sottrae il triangolo tra 2 e $x$, di base $x - 2$ e altezza $\lvert f(x) \rvert = 2(x - 2)$, che ha area $(x - 2)^2$:

$$A(x) = 3 - (x - 2)^2 \quad \text{per } 2 \leq x \leq 4$$

Controllo: la derivata è $-2(x - 2) = 4 - 2x = f(x)$. Ponendo $A(x) = 0$:

$$\begin{gathered} (x - 2)^2 = 3 \\ x = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73 \end{gathered}$$

L’altra soluzione, $2 - \sqrt{3}$, non sta in $[2, 4]$. In $2 + \sqrt{3}$ l’area negativa compensa esattamente quella positiva.

In sintesi

• L’integrale definito $\int_a^b f(x)\,dx$ è il limite comune delle somme inferiori e superiori; se $f \geq 0$ è l’area del trapezoide.
• Per $x^2$ su $[0, 1]$: $S_n - s_n = \frac{1}{n}$ e le due somme tendono a $\frac{1}{3}$.
• Ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile.
• $\int$ è una S di summa (Leibniz, 1675); $dx$ ricorda la base dei rettangoli.
• L’integrale è un’area con segno; l’area geometrica è $\int_a^b \lvert f(x) \rvert\,dx$.
• Teorema fondamentale: se $f$ è continua, $A'(x) = f(x)$ e $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$ per ogni primitiva $G$.
• Definito: un numero. Indefinito: la famiglia $G(x) + C$.
• Proprietà: linearità, additività, monotonia; non c’è una regola per i prodotti.

Si comincia dalla definizione precisa: l’integrale definito.